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第三章 勾股定理　綜合評(píng)價(jià)卷
時(shí)間:60分鐘　滿分:100分
班級(jí): 　學(xué)號(hào): 　姓名: 　成績(jī): 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c,滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=90°
B.b2=a2-c2
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D.a∶b∶c=5∶12∶13
2.如圖所示,已知兩正方形的面積分別是25和169,則字母B所代表的正方形的面積是( )
A.12 B.13 C.144 D.194
3.等腰三角形的腰長(zhǎng)為10 cm,底邊長(zhǎng)為12 cm,則面積為( )
A.48 cm2 B.60 cm2 C.80 cm2 D.100 cm2
4.如圖所示,在4×4的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B為格點(diǎn),另取一格點(diǎn)C,使△ABC為直角三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5.如圖所示,有一塊直角三角形紙片,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,將斜邊AB翻折,使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處,折痕為AD,則CD的長(zhǎng)為( )
A. cm B. cm C.2 cm D.3 cm
6.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖所示,當(dāng)張角為∠CAF時(shí),頂部邊緣C處離桌面的高度BC為7 cm,此時(shí)底部邊緣A處與B處間的距離AB為24 cm,小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究,最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為∠EAF時(shí)(E是C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)),頂部邊緣E處到桌面的距離DE為20 cm,則底部B處與D處之間的距離BD為( )
A.24 cm B.21 cm C.18 cm D.9 cm
7.如圖所示,∠AOB=90°,OA=36 cm,OB=12 cm,一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向滾向點(diǎn)O,另一小球立即從點(diǎn)B出發(fā),沿BC勻速前進(jìn)攔截小球,恰好在點(diǎn)C處截住了小球.若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等,則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程BC是( )
A.13 cm B.20 cm
C.24 cm D.16 cm
8.如圖所示,在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=4,
BD=10,BC=8,則四邊形ABCD的面積是( )
A.60 B.40 C.39 D.36
9.如圖①所示,美麗的弦圖中有四個(gè)全等的直角三角形.已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a,較短的直角邊為b,斜邊長(zhǎng)為c.如圖②所示,現(xiàn)將這四個(gè)全等的直角三角形緊密拼接,形成飛鏢狀,已知外圍輪廓(實(shí)線)的周長(zhǎng)為24,OC=3,則該飛鏢狀圖案的面積為( )
A.6 B.12 C.24 D.24
10.給出下列四個(gè)說(shuō)法:①如果a,b,c為一組勾股數(shù),那么5a,5b,5c仍是勾股數(shù);②如果直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5,12,那么第三邊長(zhǎng)必是13;③如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;④如果三角形三邊長(zhǎng)分別是n2-4,4n,n2+4(n>2),那么此三角形是直角三角形.其中正確的說(shuō)法是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.在△ABC中,AB=5,BC=8,BC邊上的中線AD=3,則AC= .
12.使用13 m長(zhǎng)的梯子登建筑物,若梯子的底部與建筑物的底部的距離不能小于5 m,則使用該梯子最多可登上 m高的建筑物.
13.圖①中有一首古算詩(shī),根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度,其示意圖如圖②所示,其中AB=AB′,AB⊥B′C于點(diǎn)C,
BC=0.5尺,B′C=2尺.則AC的長(zhǎng)度為 尺.
① 　?、?br/>14. 如圖所示,長(zhǎng)為12 cm的彈性皮筋拉直放置在一軸上,固定兩端A和B,然后把中點(diǎn)C向上拉升8 cm至點(diǎn)D,則彈性皮筋被拉長(zhǎng)了
cm.
15.如圖所示,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片,將紙片沿MN折疊,使點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,且B′C=3,則AM的長(zhǎng)是 .
16.如圖所示,A,B兩鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè),到河邊的距離分別為AC=
10 km,BD=30 km,且CD=30 km.現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠,向A,B兩鎮(zhèn)供水,鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)元,在河流CD上選擇水廠的位置為點(diǎn)M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省,此時(shí)總費(fèi)用是 萬(wàn)元.
17.在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示),已知斜放的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放的四個(gè)正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4= .
18.我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”,并且直角邊中較短邊為勾,另一直角邊為股,斜邊為弦.如圖①所示,數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,后人借助這種分割方法所得的圖形驗(yàn)證了勾股定理.如圖②所示的長(zhǎng)方形,是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成,若a=4,b=6,則長(zhǎng)方形的面積為 .
三、解答題(共46分)
19.(6分)如圖所示,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,BD=13,
BE=12,BC=14,求△BCD的面積.
20.(8分)如圖所示,某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警,在該市正南方向
340 km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心,沿BC方向以10 km/h的速度移動(dòng),已知城市A到BC的距離AD為160 km.
(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)
(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心B的200 km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響,那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)多少小時(shí)
21.(10分)某地規(guī)定:機(jī)動(dòng)車(chē)在同方向只有一條機(jī)動(dòng)道的公路上行駛的速度不得超過(guò) 70 km/h.如圖所示,一輛小汽車(chē)在同方向只有一條機(jī)動(dòng)道的公路上行駛,某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A處的正前方30 m的C處,過(guò)了2 s,測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為50 m,這輛小汽車(chē)超速了嗎 (參考數(shù)據(jù):1 m/s=3.6 km/h)
22.(10分)某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下,在臨街的拐角處建造了一塊綠化地(陰影部分).如圖所示,已知AB=9 m,
BC=12 m,CD=17 m,AD=8 m,技術(shù)人員通過(guò)測(cè)量確定了∠ABC=90°.
(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B再到點(diǎn)C位置,為了方便居民出入,技術(shù)人員打算在綠地中開(kāi)辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路,請(qǐng)問(wèn)如果方案落實(shí)施工完成,那么居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走多少路程
(2)這片綠地的面積是多少
23.(12分)【問(wèn)題情境】
數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上,老師提出如下問(wèn)題:一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20,3,2,A和B是這個(gè)三級(jí)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).
【探究實(shí)踐】
老師讓同學(xué)們探究:如圖①所示,若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物,那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少
(1)同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法:如圖②所示,將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形,可得到長(zhǎng)為20,寬為15的長(zhǎng)方形,連接AB,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到AB的長(zhǎng)度為 ,就是最短路程.
【變式探究】
(2)如圖③所示的是一只圓柱形玻璃杯,該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30 cm,高是8 cm,若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B,則螞蟻爬行的最短距離為 .
①　 　② ③　 ?、?br/>【拓展應(yīng)用】
(3)如圖④所示,圓柱形玻璃杯的高為9 cm,底面周長(zhǎng)為16 cm,在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜,此時(shí),一只螞蟻正好在外壁上,離杯上沿1 cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少 (杯壁厚度不計(jì))第三章 勾股定理　綜合評(píng)價(jià)卷
時(shí)間:60分鐘　滿分:100分
班級(jí):　　　　　　學(xué)號(hào):　　　　　　姓名:　　　　　　成績(jī):　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c,滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是(C)
A.∠A+∠B=90°
B.b2=a2-c2
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D.a∶b∶c=5∶12∶13
2.如圖所示,已知兩正方形的面積分別是25和169,則字母B所代表的正方形的面積是(C)
A.12 B.13 C.144 D.194
3.等腰三角形的腰長(zhǎng)為10 cm,底邊長(zhǎng)為12 cm,則面積為(A)
A.48 cm2 B.60 cm2 C.80 cm2 D.100 cm2
4.如圖所示,在4×4的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B為格點(diǎn),另取一格點(diǎn)C,使△ABC為直角三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為(B)
A.4 B.6 C.8 D.10
5.如圖所示,有一塊直角三角形紙片,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,將斜邊AB翻折,使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處,折痕為AD,則CD的長(zhǎng)為(A)
A. cm B. cm C.2 cm D.3 cm
6.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖所示,當(dāng)張角為∠CAF時(shí),頂部邊緣C處離桌面的高度BC為7 cm,此時(shí)底部邊緣A處與B處間的距離AB為24 cm,小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究,最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為∠EAF時(shí)(E是C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)),頂部邊緣E處到桌面的距離DE為20 cm,則底部B處與D處之間的距離BD為(D)
A.24 cm B.21 cm C.18 cm D.9 cm
7.如圖所示,∠AOB=90°,OA=36 cm,OB=12 cm,一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向滾向點(diǎn)O,另一小球立即從點(diǎn)B出發(fā),沿BC勻速前進(jìn)攔截小球,恰好在點(diǎn)C處截住了小球.若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等,則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程BC是(B)
A.13 cm B.20 cm
C.24 cm D.16 cm
8.如圖所示,在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=4,
BD=10,BC=8,則四邊形ABCD的面積是(D)
A.60 B.40 C.39 D.36
9.如圖①所示,美麗的弦圖中有四個(gè)全等的直角三角形.已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a,較短的直角邊為b,斜邊長(zhǎng)為c.如圖②所示,現(xiàn)將這四個(gè)全等的直角三角形緊密拼接,形成飛鏢狀,已知外圍輪廓(實(shí)線)的周長(zhǎng)為24,OC=3,則該飛鏢狀圖案的面積為(C)
A.6 B.12 C.24 D.24
10.給出下列四個(gè)說(shuō)法:①如果a,b,c為一組勾股數(shù),那么5a,5b,5c仍是勾股數(shù);②如果直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5,12,那么第三邊長(zhǎng)必是13;③如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;④如果三角形三邊長(zhǎng)分別是n2-4,4n,n2+4(n>2),那么此三角形是直角三角形.其中正確的說(shuō)法是(C)
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.在△ABC中,AB=5,BC=8,BC邊上的中線AD=3,則AC=　5　.
12.使用13 m長(zhǎng)的梯子登建筑物,若梯子的底部與建筑物的底部的距離不能小于5 m,則使用該梯子最多可登上　12　m高的建筑物.
13.圖①中有一首古算詩(shī),根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度,其示意圖如圖②所示,其中AB=AB′,AB⊥B′C于點(diǎn)C,
BC=0.5尺,B′C=2尺.則AC的長(zhǎng)度為　3.75　尺.
① 　?、?br/>14. 如圖所示,長(zhǎng)為12 cm的彈性皮筋拉直放置在一軸上,固定兩端A和B,然后把中點(diǎn)C向上拉升8 cm至點(diǎn)D,則彈性皮筋被拉長(zhǎng)了
　8　cm.
15.如圖所示,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片,將紙片沿MN折疊,使點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,且B′C=3,則AM的長(zhǎng)是　2　.
16.如圖所示,A,B兩鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè),到河邊的距離分別為AC=
10 km,BD=30 km,且CD=30 km.現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠,向A,B兩鎮(zhèn)供水,鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)元,在河流CD上選擇水廠的位置為點(diǎn)M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省,此時(shí)總費(fèi)用是　150　萬(wàn)元.
17.在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示),已知斜放的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放的四個(gè)正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4=　4　.
18.我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”,并且直角邊中較短邊為勾,另一直角邊為股,斜邊為弦.如圖①所示,數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,后人借助這種分割方法所得的圖形驗(yàn)證了勾股定理.如圖②所示的長(zhǎng)方形,是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成,若a=4,b=6,則長(zhǎng)方形的面積為　48　.
三、解答題(共46分)
19.(6分)如圖所示,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,BD=13,
BE=12,BC=14,求△BCD的面積.
解:因?yàn)镈E⊥AB于點(diǎn)E,
所以∠BED=90°.
因?yàn)锽D=13,BE=12,
所以DE2=BD2-BE2=132-122=25,所以DE=5.
因?yàn)锽D是△ABC的角平分線,
所以點(diǎn)D到AB與BC的距離相等,
所以點(diǎn)D到BC的距離為5,
所以△BCD的面積是×5×14=35.
20.(8分)如圖所示,某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警,在該市正南方向
340 km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心,沿BC方向以10 km/h的速度移動(dòng),已知城市A到BC的距離AD為160 km.
(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)
(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心B的200 km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響,那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)多少小時(shí)
解:(1)在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2,
即BD2+1602=3402,所以BD=300 km,
所以300÷10=30.
答:臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)30 h從B點(diǎn)移到D點(diǎn).
(2)如圖所示,在射線BC上取點(diǎn)E,F,使得AE=AF=200 km.
因?yàn)锳D⊥BC,
所以DE=DF.
在Rt△AED中,ED2+AD2=AE2,即ED2+1602=2002,
所以ED=120 km,
所以EF=2ED=240 km,
所以240÷10=24.
答:A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)24 h.
21.(10分)某地規(guī)定:機(jī)動(dòng)車(chē)在同方向只有一條機(jī)動(dòng)道的公路上行駛的速度不得超過(guò) 70 km/h.如圖所示,一輛小汽車(chē)在同方向只有一條機(jī)動(dòng)道的公路上行駛,某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A處的正前方30 m的C處,過(guò)了2 s,測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為50 m,這輛小汽車(chē)超速了嗎 (參考數(shù)據(jù):1 m/s=3.6 km/h)
解:由題意知△ABC是直角三角形,∠C=90°,AC=30 m,AB=50 m.
根據(jù)勾股定理,得BC2+AC2=AB2,
即BC2+302=502,
解得BC=40 m,
所以小汽車(chē)的速度為=20(m/s).
20 m/s=72 km/h.
因?yàn)?2 km/h>70 km/h,
所以這輛小汽車(chē)超速了.
22.(10分)某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下,在臨街的拐角處建造了一塊綠化地(陰影部分).如圖所示,已知AB=9 m,
BC=12 m,CD=17 m,AD=8 m,技術(shù)人員通過(guò)測(cè)量確定了∠ABC=90°.
(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B再到點(diǎn)C位置,為了方便居民出入,技術(shù)人員打算在綠地中開(kāi)辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路,請(qǐng)問(wèn)如果方案落實(shí)施工完成,那么居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走多少路程
(2)這片綠地的面積是多少
解:(1)如圖所示,連接AC.
因?yàn)椤螦BC=90°,AB=9 m,BC=12 m,
所以AC2=AB2+BC2=92+122=225,所以AC=15 m,
所以AB+BC-AC=9+12-15=6(m).
答:居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走6 m路程.
(2)因?yàn)镃D=17 m,AD=8 m,AC=15 m,
所以AD2+AC2=DC2,
所以△ADC是直角三角形,∠DAC=90°,
所以S△DAC=AD·AC=×8×15=60(m2).
因?yàn)镾△ACB=AB·BC=×9×12=54(m2),
所以S四邊形ABCD=60+54=114(m2).
答:這片綠地的面積是 114 m2.
23.(12分)【問(wèn)題情境】
數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上,老師提出如下問(wèn)題:一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20,3,2,A和B是這個(gè)三級(jí)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).
【探究實(shí)踐】
老師讓同學(xué)們探究:如圖①所示,若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物,那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少
(1)同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法:如圖②所示,將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形,可得到長(zhǎng)為20,寬為15的長(zhǎng)方形,連接AB,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到AB的長(zhǎng)度為　　　　,就是最短路程.
【變式探究】
(2)如圖③所示的是一只圓柱形玻璃杯,該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30 cm,高是8 cm,若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B,則螞蟻爬行的最短距離為　　　　　.
①　 ?、? ③　 ?、?br/>【拓展應(yīng)用】
(3)如圖④所示,圓柱形玻璃杯的高為9 cm,底面周長(zhǎng)為16 cm,在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜,此時(shí),一只螞蟻正好在外壁上,離杯上沿1 cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少 (杯壁厚度不計(jì))
解:(1)25
(2)17 cm
(3)如圖所示,將玻璃杯的一半側(cè)面展開(kāi),作B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B′,
作B′D⊥AE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接AB′,BF,則BF+AF為最短
路程.
由題意,得DE=1 cm,AE=9-4=5(cm),
所以AD=AE+DE=6 cm.
因?yàn)榈酌嬷荛L(zhǎng)為16 cm,
所以B′D=×16=8(cm).
因?yàn)锽′D2+AD2=AB′2,
所以AB′2=82+62=100,
所以AB′=10 cm,
所以螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為10 cm.

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