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遼寧省遼西重點(diǎn)高中 2024~2025學(xué)年度下學(xué)期高二期末考試
數(shù)學(xué)試題
考生注意：
1.滿分 150分，考試時(shí)間 120分鐘.
2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)
題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑 0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域
內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷 草稿紙上作答無(wú)效.
一 選擇題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1．已知集合 A {1,2,3,4,5}， B {x∣x 2 A}，則 A B （ ）
A． 1 B． 1,2 C． 1,2,3 D． 1,2,3,4
2．若命題 p： k 2，命題 q：直線 y kx 1與拋物線 y = x2無(wú)公共點(diǎn)，則 q是 p的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
1
3．若 a 1，則 4a 的最小值為（ ）
a 1
A．4 B．6 C．8 D．無(wú)最小值
4．如圖，在圓錐PO中，AB是底面圓的直徑，C在底面圓周上，AB 4, BAC 30 ,M 是BC的中點(diǎn)，PM
與圓錐底面所成角的大小為60o，則圓錐 PO的體積為（ ）
A．12 3π B．12π C． 4 3π D． 4π
5．已知V ABC不是直角三角形，三內(nèi)角 A,B,C的對(duì)邊依次為 a,b,c，且滿足 a2 b2 3c2 ，則
1 1 1

tanA tanB tan A B （ ）
A．0 B．1 C．2 D．不是定值

6 a ．已知向量 ， b滿足 | a | 1，b (1, 2) ， | a b | 5，則向量 a在向量 b上的投影向量坐標(biāo)為（ ）
1 , 1 1 2 1 1 1 2 A． B． ,10 5
C． , D． ,
5 5 10 5 5 5
試卷第 1頁(yè)，共 4頁(yè)
7 z
2
i2025．已知 ，則 z （ ）
1 i
A．1 2i B．1 2i C． i D．1
8．對(duì)于任意 x R， xf x 1 x 1 f x 1，且 f 2 3，則 f 2025 （ ）
A． 1 B．1 C．2025 D．4049
二 多選題：本題共 3小題，每小題 6分，共 18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
要求.全部選對(duì)的得 6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0分.
4y 1
9．已知拋物線C : x2 2 py( p 0)的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn)M1 x1, y1 在拋物線上， M F 11 ，設(shè)直線 ln 為拋物4
*
線C在點(diǎn)Mn xn , yn n N 處的切線，過(guò)點(diǎn)M n作 ln 的垂線交拋物線于另一點(diǎn)M n 1 xn 1, yn 1 ，若 x1 1，則
下列說(shuō)法正確的是（ ）
1 1
A． p B．直線M nM n 1的斜率為 2 xn
x 1 x M F 4n 1C． n 1 2x n D． n n 4
10．經(jīng)過(guò) A(1,0)， B 0,1 2 2兩點(diǎn)的曲線C : ax by xy 1如圖所示，關(guān)于曲線C，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． a b 2
B．曲線C經(jīng)過(guò)的整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3個(gè)
2 3 2 3
C． x, y的取值范圍均為 ,3 3
D．若點(diǎn) P在曲線C上，則以O(shè)P為半徑的圓的面積的最大值為 2π
11．下列說(shuō)法正確的是（ ）
2 4A． 1 2x 1 x 的展開(kāi)式中 x3的系數(shù)為12
B．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為
y 0.4x a，若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為 a,5.4 ，則 a 9
C．將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量 x、 y的一組數(shù)據(jù) x ,y1 1 、 x ,y2 2 、L 、 xn , yn 調(diào)整為 x1, y1 3 、
試卷第 2頁(yè)，共 4頁(yè)
n n 2 xi x yi y yi yi
x , y 3 、L 、 x , y 3 ，決定系數(shù) R2不變（附：b i 1 ，a 2 2 n n n 2 y b x R
2
， i 1n ）2
xi x yi y
i 1 i 1
D．已知A、 B為隨機(jī)事件，且P A 0.5， P B 0.4，則若 P B A 0.5，則 P B A 0.3
三 填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分.
12．已知x ， x2是函數(shù) f x cos3x cos2x， x 0, 1 的兩個(gè)零點(diǎn)，則 x1 x2 ．
13．甲同學(xué)有 3 本故事書(shū)和 1 本科普書(shū)，乙同學(xué)有 1 本故事書(shū)和 3 本科普書(shū)，若甲、乙兩位同學(xué)各取
出 i i 1，2，3 本書(shū)進(jìn)行交換，記交換后甲同學(xué)有故事書(shū)的本數(shù)為 X，X 的均值為 Ei X ，則
E1 X E3 X .
14．如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1中，AD AB 9, AA1 10，以 AB為棱作半平面 ABMH 分別和棱
CC1,DD1相交于點(diǎn)M ,H，二面角M AB C的平面角為 .在三棱柱 BCM ADH和四棱柱
BMC1B1 AHD1A1中分別放入半徑為 r1, r2的球，在 的變化過(guò)程中， r1 r2的最大值為 .
四 解答題：本題共 5小題，共 77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明 證明過(guò)程及演算步驟.
15．設(shè)函數(shù) f (x) a sin 2x (a 1)(sin x cos x)，其中a R．
(1)當(dāng) a 0時(shí)，求函數(shù) f (x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)記函數(shù) y | f (x) |
π
,0 在 上的最大值為M ．
2
（i）求M 關(guān)于 a的表達(dá)式；
π
（ⅱ）證明：當(dāng)a 1時(shí)， f (x) 3M 在 ,0 上恒成立． 2
16．已知 an 是等差數(shù)列， bn 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1 1，b1 2， a3 b2 1，5 a2 b3 .
(1)求 an ， bn 的通項(xiàng)公式；
a ,n為奇數(shù)
(2)若 c nn ，求數(shù)列 cn 的前 2n項(xiàng)和 S .
bn ,n
2n
為偶數(shù)
17．如圖，已知四棱臺(tái) ABCD A1B1C1D1 的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為 2 和 4 的正方形， A1A 4 ，且
A1A 底面 ABCD ，點(diǎn) P，Q 分別在棱 DD1，BC 上.
試卷第 3頁(yè)，共 4頁(yè)
(1)若 P 是 DD1 的中點(diǎn)，證明: AB1 PQ ；

(2)若 DP
1
DD1，PQ / / 平面 ABB A4 1 1
，求二面角 P QD A 的余弦值.
x2 y2 2 2 18．已知橢圓C : 2 2 1 a b 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)a b
b, b
3
．

(1)求C的離心率．
(2)設(shè)A， B分別為C的左、右頂點(diǎn)， P，Q為C上異于A， B的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線 BQ的斜率恒為直線 AP的
斜率的 5倍．
①當(dāng)b的值確定時(shí)，證明：直線 PQ過(guò) x軸上的定點(diǎn)；
②按下面方法構(gòu)造數(shù)列 bn ：當(dāng)b bn時(shí)，直線 PQ過(guò)的定點(diǎn)為M bn 1,0 ，且b1 2，證明：
n 1 b1 1 b2 1 bn 1 n
2 3 b 1 b 1 b 1 2 n N
*
2 3 n 1
19．牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法—牛頓法.如圖，r是函數(shù) f x 的零點(diǎn)，
牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近 r的實(shí)數(shù) x0，x ，… xn 1，xn，在點(diǎn) x0 , f x0 f x1 處作 的切線，
則 f x 在 x x0處的切線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x1，同理 f x 在 x1, f x1 處的切線與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
x 2，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列 xn n N ，從圖中可以看到，x x x x1較 0接近 r， 2較 1接近 r，……，當(dāng) n
很大時(shí)， xn r 很小，我們就可以把 xn的值作為 r的近似值，即把 xn作為函數(shù) f x 的近似零點(diǎn).現(xiàn)令
f x 2x 1 3 .
(1)當(dāng) x0 1時(shí)，求 f x 0的近似解x x1， 2；
(2)在（1）的條件下，求數(shù)列 xn 的前 n項(xiàng)和 Sn；
(3)當(dāng) x 0時(shí)，令 g x 1 x ln f x 1 1 ，若 m 0時(shí)， g x m有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根 ， .3 2 4
求證： 1 4m m 1 .
試卷第 4頁(yè)，共 4頁(yè)
2024-2025 學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)期末考試 數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1．C 因?yàn)榧?A 1,2,3,4,5 ，所以由 x 2 1,2,3,4,5 ，可得B 1,0,1,2,3 ，
所以 A B 1,2,3 .
2．A 命題 q：直線 y kx 1與拋物線 y = x2無(wú)公共點(diǎn)，把 y kx 1代入即 x2 kx 1 0無(wú)解，
k2 4 0 2 k 2，又命題 p： k 2，所以 q是 p的充分不必要條件
1 1 1
3．C 若a 1，則4a 4 a 1 4 2 4 a 1 4 8，
a 1 a 1 a 1
1 3 1
當(dāng)且僅當(dāng)4 a 1 ，即a 時(shí)，等號(hào)成立，所以4a 的最小值為 8．
a 1 2 a 1
4．D 因?yàn)橛蠵O 平面 ABC，所以 PMO為PM 與圓錐底面所成角，即 PMO 60
1
又因?yàn)?AB是底面圓的直徑，所以O(shè)C OB OA AB 2，
2
又M 是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M BC ，
由已知 AB 4, BAC 30 ，
1 1
可得BC ABsin BAC 4 2，所以O(shè)M AC 3 .
2 2
又PO 平面 ABC,OM 平面 ABC，所以PO OM .
PO PO
由 tan PMO 3，解得OP 3，
OM 3
1 1
V PO S 3 π 22所以圓錐PO的體積 e O 4π，
3 3
5．A 由余弦定理以及a2 b2 3c2 可得：
cosC sinC
2abcosC 2c2 sin Asin BcosC sin2 C ，
sinC sin Asin B
又在三角形中有sin A B sinC ，即sin A B sin Acos B cos Asin B，
cosC sin Acos B cos Asin B cos B cos A
所以
sinC sin Asin B sin B sin A
1 1 1
故 0 .
tan A tan B tanC
6．A 因?yàn)?| a | 1，b (1,2)， | a b | 5 ，
1
所以a2 2a b b 2 1 2a b 5 5，則a b ，
2
答案第 1 頁(yè)，共 11 頁(yè)
1
a b 1 1 1
所以向量 a 在向量b 上的投影向量坐標(biāo)為 b 2

1,2 1,2 2 , .
b 5 10 10 5
故選：A
7．A
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、乘方運(yùn)算得到 z ，再由共軛復(fù)數(shù)得到 z .
2 2 1 i2025
【詳解】 z i i 1 2i ，所以 ，
1 i z 1 2i1 i 1 i
f x 1 f x 1 f x 1 1
8．D 由 xf x 1 x 1 f x 1，當(dāng) x N* 時(shí)，可得 ，
x 1 x x x 1 x x x 1
f 3 f 2 1 1

3 2 2 3
f 4 f 3 1 1

4 3 3 4

賦值可得： f 5 f 4 1 1 ，

5 4 4 5



f 2025 f 2024 1 1
2025 2024 2024 2025
f 2025 f 2 1 1
利用累加法可得： ，
2025 2 2 2025
f 2025 3 1 1 4049
代入 f 2 3可得： f 2025 4049，
2025 2 2 2025 2025
p 1 1
9．ACD 對(duì)于選項(xiàng) A，因?yàn)?M1F y1 y1 ，解得 p ，所以選項(xiàng) A 對(duì)，
2 4 2
因?yàn)?x2 y，即 y = x2，則 y 2x，
*
所以拋物線在點(diǎn)Mn xn , yn n N 處的切線方程為 y yn 2xn x xn ，
1
直線M M n n 1的斜率為 ，所以選項(xiàng) B 錯(cuò)； 2xn
1
y yn x xn 1y x2 x x2
1
由 2xn ，消 得到 n 0，
2xn 2
y x
2
1 1
則 xn xn 1 ，得到 xn 1 xn ，所以選項(xiàng) C 正確；
2xn 2xn
2
1 1 1
對(duì)于選項(xiàng) D，因?yàn)?y 2n 1 xn 1
2
xn xn 1 yn 1 yn 1，
2x
2 2
n 4xn 4xn
答案第 2 頁(yè)，共 11 頁(yè)
得到 yn 1 yn 1，所以當(dāng)n 2 n N 時(shí)， yn y1 y2 y1 y3 y2 yn yn 1 y1 n 1 ，
2 1 4n 1
又 y y n1 x1 1，所以 n ，則 MnF yn ，故選項(xiàng) D 正確．
4 4
2 2 a 1
10．CD 對(duì)于 A，將 A(1,0)，B 0,1 代入方程ax by xy 1，可得 ，故 A 錯(cuò)誤；
b 1
2 2
對(duì)于 B，由 A 可知曲線C : ax by xy 1，當(dāng) x 0時(shí)， y2 1，解得 y 1；
2
當(dāng) x 1時(shí)，1 y y 1，解得 y 1或 0 或 1；同理可得當(dāng) x 1時(shí)， y 1或 0 或 1；
當(dāng) x m， m 2
2 2
，m Z時(shí)，m y my 1，即 y2 my m2 1 0，
由 m
2 4 m2 1 4 3m2 0，則方程無(wú)解，
綜上可得曲線C 經(jīng)過(guò)的整數(shù)點(diǎn)有 0,1 ， 0, 1 ，(1, - 1) ， 1,0 ， 1,1 ， 1, 1 ，
1,0 ， 1,1 ，共8個(gè)，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，將曲線C 的方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的一元二次方程 y2 xy x2 1 0，
2 3 2 3
則 x
2 4 x2 1 4 3x2 0，解得 x ，
3 3
2 3 2 3
同理可得 y ，故 C 正確；
3 3
x2 y2
對(duì)于 D， x2 y2 1 xy 1，當(dāng)且僅當(dāng) x y 時(shí)，等號(hào)成立，
2
2 2 x
2 y2
由 2 2x y 1，則 x y 2，即OP 的最大值為 2 ，所以圓的面積最大值為2π，故 D 正確.
2
4 r r
11．ACD 對(duì)于 A 選項(xiàng)， 1 x 的展開(kāi)式通項(xiàng)為C4 x 0 r 4,r N ，
4 4 4
因?yàn)? 1 2x2 1 x 1 x 2x2 1 x ，
4
Cr r 1 x 的展開(kāi)式通項(xiàng)為 4 x 0 r 4,r N ，令 r 3，
2 4 2 k k k k 22x 1 x 的展開(kāi)式通項(xiàng)為2x C4 x 2C4 x 0 k 4,k N ，令 k 2 3，可得 k 1，
3 1
因此，展開(kāi)式中 x3的系數(shù)為C4 2C4 4 2 4 12，A 對(duì)；
對(duì)于 B 選項(xiàng)，將點(diǎn) a,5.4 的坐標(biāo)代入回歸直線方程得 0.4a a 5.4，解得a 9，
但回歸直線不一定過(guò)樣本點(diǎn)，B 錯(cuò)；
答案第 3 頁(yè)，共 11 頁(yè)
對(duì)于 C 選項(xiàng)，設(shè)原數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的回歸直線方程為 y bx a，
則新數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的回歸直線方程為 y bx a 3，新數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為 x, y 3 ，
n 2 n 2
yi 3 yi 3 yi yi
2 2
新數(shù)據(jù)的決定系數(shù)為R i 1 i 1 Rn n ，C 對(duì)； 2 2
yi 3 y 3 yi y
i 1 i 1
對(duì)于 D 選項(xiàng)，P A 0.5，P B 0.4，若P B A 0.5，
則P B P A P B A P A P B A ，即0.4 0.5 0.5 0.5P B A ，
所以P B A 0.3，D 對(duì)．
2π 3x 2x 3x 2x 5x x
12． 根據(jù)和差化積公式得 f x cos3x cos2x 2sin sin 2sin sin ，
5 2 2 2 2
5x x
則令 2sin sin 0，
2 2
x x π
當(dāng) sin 0時(shí)，因?yàn)?x 0,π ，則 0, ，此時(shí)無(wú)解，
2 2 2
5x 5x 5π
當(dāng) sin 0 ，因?yàn)?x 0,π ，則 0, ，
2 2 2
5x 2π 4π
則 π或2π，解得 x 或 x ，
2 5 5
4π 2π 2π
則 x1 x2 .
5 5 5
13．4 當(dāng) i 1時(shí)， X 的可能取值為 2，3，4，
C1C1 9 2C
1C1 3
則P X 2 3 3 , P1 1 X 3
1 3
C C 1 1
，
4 4 16 C4C4 8
C1C11 1 1 9 3 1 5P X 4 1 1 ，所以E1 X 2 3 4 ； C4C4 16 16 8 16 2
當(dāng) i 3時(shí)， X 的可能取值為 0，1，2，
C3 1 3 23C3 1 2C C 3
則P X 0 , P X 1 3 3 3 3 ， C4C4 16 C
3
4C
3
4 8
C2C1C2C1 9 1 3 9 3
P X 2 3 1 3 1 3 3 ，所以E3 X 0 1 2 ； C4C4 16 16 8 16 2
5 3
則E1 X E3 X 4，
2 2
14．19 6 5 如圖所示，這兩個(gè)球在長(zhǎng)方體左側(cè)面上的投影分別為球的兩個(gè)大圓，且都與直線 AH 相
答案第 4 頁(yè)，共 11 頁(yè)
切，

r 9tan
π
1
設(shè) HAD ，由 tan ，得 r 21 ，同理 rtan 2 2 ，得 r2 5 1 tan ， 2 9 r 1 21 tan 2 10 r 2
2
10 9x
由已知可得 tan 0, .令 tan x，則 r1 r2 5 1 x ，
9 2 1 x
9x 9 9 3
記 f x 5 1 x , x 0，則 f x 5 5 02 ，由 2 得 x 1 .
1 x 1 x 1 x 5
3 3
當(dāng) x 0, 1 時(shí) f x 0, f x 單調(diào)遞增，當(dāng) x 1, 時(shí) f x 0, f x 單調(diào)遞減，
5 5
3
所以 f x f 1 19 6 5 ， max
5
3
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) tan 1時(shí)， r1 r2 的最大值為19 6 5 .
2 5
π
15．解：（1）當(dāng)a 0時(shí)， f (x) (sin x cos x) 2 sin x
4
T 2π
π π 3π π 5π
2kπ x 2kπ 可得：2kπ x 2kπ
2 4 2 4 4
π 5π
f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 2kπ , 2kπ ,k Z
4 4
π π
（2）（i）令 t sin x cos x 2 sin x ，則 x
4
,0 可得 t [ 1,1]．
2
f (x) a t2 1 (a 1)t at2 (a 1)t a
令 g(t) at2 (a 1)t a
當(dāng) a 0時(shí)， g(t) t [ 1,1]，故M 1 1 a．
1 a
當(dāng) a 0時(shí)， (a 1)2 4a2 0，對(duì)稱軸 t對(duì) , g(1) a 1, g( 1) 1 a
2a
答案第 5 頁(yè)，共 11 頁(yè)
1
①當(dāng)a 1時(shí)， t對(duì) 1, , g( 1) 0, g(1) 0
2
1 a 1 a 5a
2 2a 1
M g g
2a 2a 4a
②當(dāng) 1 a 0時(shí)， t 1，故 g(t)在 1,1對(duì) 上單調(diào)遞減
M |1 a | 1 a
1
③當(dāng)0 a 時(shí)， t對(duì) 1，故 g(t)在[ 1,1]上單調(diào)遞減
3
M |1 a | 1 a
1 1 1 a 1 a
④當(dāng)a 時(shí)， t對(duì) ,1 ，故 g(t)在 1, 上單調(diào)遞減，在 ,1 上單調(diào)遞增．
3 2 2a 2a
1 a
2
1 a 5a 2a 1
M g g
2a 2a 4a
5a2 2a 1
a 1
4a
1
綜上，M 1 a 1 a
3
5a2 2a 1 1
a
4a 3
（ⅱ） f (x) 2acos2x (a 1)(cos x sin x)
f (x) | 2acos2x (a 1)(cos x sin x) | 2a 2 | a 1|
當(dāng) a 1時(shí)，2a 2 | a 1| (2 2)a 2
15a2 6a 3 7a a 3 3 7a 3 3
3M
4a 2 4 4a 2 2 2
7a 3 3
而 (2 2)a 2
2 2
f (x) 3M ．
16．解：（1） a bn 是等差數(shù)列， n 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公差為d ，公比為q q 0 ，由
a1 1，b1 2，a3 b2 1，5 a2 b3，
1 2d 2q 1
可得 ，解得：d q 22 （負(fù)的舍去），
5 1 d 2q
a 2n 1 b 2n則 n ， n
答案第 6 頁(yè)，共 11 頁(yè)
2n 1,n為奇數(shù)
（2）cn n
2 ,n為偶數(shù)
∴ S2n c1 c c
2 4 2n
3 2n 1 c2 c4 c2n 1 5 4n 3 2 2 2
n 1 4n 3 4 1 4n 4
2n2 n 4n 1 .
2 1 4 3
17．證明：（1）以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB, AD, AA1所在直線分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A 0,0,0 ，B1 2,0,4 ，D 0,4,0 ，D1 0,2,4 ，
設(shè)Q 4,m,0 ，其中m BQ，0 m 4，
若 P 是DD1的中點(diǎn)，則P 0,3,2 ， AB1 2,0,4 ，
PQ 4,m 3, 2 ，∴ AB PQ 8 8 0， 1
∴ AB AB PQ1 PQ，即 1 ．
（2）因?yàn)?A 0,0,0 ，D1 0,2,4 ，D 0,4,0 ，
1 1 7
DD 0, 2,4 ，則DP DD1 0, 2,4 ，故P 0, ,11 ，
4 4 2
7
設(shè)Q 4,m,0 ，其中0 m 4， PQ 4,m , 1 ，
2
由于平面 ABB1A1的法向量為 AD 0,4,0 ，
7 7
故PQ AD 0,4,0 4,m , 1 0，故m ，
2 2
7
因此Q 4, ,0 ,
2
1
則PQ 4,0, 1 ，DQ 4, ,0 ,
2
設(shè)平面PQD的一個(gè)法向量為m x, y, z ，
答案第 7 頁(yè)，共 11 頁(yè)
m PQ 4x z 0

故 1 ，取 y 8，則m 1,8,4 ，
m DQ 4x y 0
2
由于平面 ADQ的一個(gè)法向量為 AA1 0,0,4
m AA 16 4
故 cos m, AA1
1 ,
m AA 4 1 64 16 91
結(jié)合圖形可知二面角P QD A的平面角為銳角，
4
∴二面角P QD A的余弦值為 ．
9
2 2 b2 8b2 b2 1
18．解：（1）因?yàn)闄E圓 C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b, b ，所以 1，故 ， 3 a2 9b
2 a2 9
b2 2 2
所以 C 的離心率 e 1 ；
a2 3
x2 y2
（2）①由（1）知 C 的方程為 1， A 3b,0 ，B 3b,0 .
9b2 b2
由對(duì)稱性可知直線 PQ的斜率不可能為 0，設(shè)P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，設(shè) PQ的方程為 x ty m．
x ty m
2
由 x2 y2 ，可得 t 9 y2 2tmy m2 9b2 0，
1
9b
2 b2
Δ 4t2m2 4 t2 9 m2 9b2 36 t2b2 m2 9b2所以 0，即m2 t2b2 9b2 ，
2tm m2 9b2 9b2 m2
且 y1 y2 2 ， y1y ．所以 ty y y t 9 2 1 2 1
y2
t2 9 2m
kBQ y x 3b ty1 m 3b y2 ty1y2 m 3b y2 1 2
則
kAP x2 3b y1 ty2 m 3b y1 ty1y2 m 3b y1
9b2 m2
y1 y2 m 3b y2
2m
3b m 3b m y1 3b m y2 3b m
5
9b2 2
，
m 3b m 3b m y1 3b m y2 3b m y1 y2 m 3b y1
2m
解得m 2b，則 PQ的方程為 x ty 2b，
即直線 PQ過(guò) x 軸上的定點(diǎn) 2b,0 .
答案第 8 頁(yè)，共 11 頁(yè)
②由①可知，b 2b ，又bn 0，b1 2n 1 n ，
所以 bn
n
是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，所以bn 2 ，
bn 1 2
n 1 2n 1 1 b1 1 b2 1 bn 1 n
b 1 2n 1 1 2n 1 2 2 b 1 bn 1 2 3 1 bn 1 1 2
b nn 1 2 1 1 1 1 1 1 1
b 1 2n 1
n 1 1 2 4 2
n 2 2 3 2n 2n 2 2 3 2n
b1 1 b2 1 bn 1 n 1 1 1 1
b2 1 b
2 n
3 1 bn 1 1 2 3 2 2 2
1 1
（1 ）
n n n 1 1 n 1
6 2
2 1 2 3 3 2n 2 3
1
2
n 1 b1 1 b2 1 b n
1 n
n *N .
2 3 b2 1 b3 1 bn 1 1 2
19．解：（1）由題意可得在 x x0處的切線方程為 y f x0 f x0 x x0 ，令 y 0，得
f x0
x1 x0 ，
f x0
f x1
同理可得在 x x 處的切線方程為 y f x f x x x ，令 y 0，得 x2 x1 1 1 1 1 ，
f x1
3 2
所以對(duì)于函數(shù) f x 2x 1 ， f x 6 2x 1 ，
1
f
f x f 1 33 1 f x 1 0 1 2 1 2
3 1
故 x1 x0 1 1 2 ， x2 x 1
；
f x0 f 1 6 3 2 f x1 2 1 2 6 2
2 6
f
2
3
f xn 2xn 1 2 1
（2）由（1）可知存在遞推關(guān)系 xn 1 xn xn x 2 n ，
f xn 6 2xn 1 3 6
1 2 1 1 2 1
構(gòu)造等比數(shù)列 xn 1 xn xn ，
2 3 6 2 3 2
1 1 2
所以數(shù)列 xn 是以 x1 1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，
2 2 3
n 1 n 1
1 2 2 1
故 xn xn ，
2 3 3 2
答案第 9 頁(yè)，共 11 頁(yè)
n
2
1 n
所以數(shù)列 xn 的前n項(xiàng)和 3
1 2 n
S ； n n 3 3 2 2 3 21
3
1 x 1
（3）由題意可得 g x x ln f x ln x x 0 ，則 g x ln x 1，
3 2
1 1 1
令 g x 0，得 x ，當(dāng) x 0, 時(shí)， g x 0；當(dāng) x , 時(shí)， g x 0，
e e e
1 1 1 1
所以 g x 在 0, 單調(diào)遞減，在 , 單調(diào)遞增，所以 g x g ，
e min

e e e
又當(dāng) x 0 時(shí)， g x 0；當(dāng) x 時(shí)， g x ，且 g 1 0，
1
所以當(dāng)m ,0 時(shí)， g x m有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
e
1 1
又 ,0 ,0 ，所以 g x m確實(shí)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根 ， ，
4 e
1 1
且 0, , ,1 ， ln ln m，
e e
先證明右半部分： m 1，
考慮 g x 在 x 1處的切線方程： y g 1 g 1 x 1 y x 1
當(dāng) y m時(shí)， x m 1，因?yàn)? ，所以 y m與切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于 ，
1
即 m 1，又 0, ，故 m 1；
e
再證明左半部分： 1 4m ，
2
觀察不等式1 4m的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到一元二次方程的兩根之差 x1 x2 x1 x2 4x x ， 1 2
即構(gòu)造方程 x2 x m 0來(lái)描述不等式的左邊，
故嘗試將 g x x ln x放縮為二次函數(shù)，即將 ln x放縮成 x 1，
故令h x ln x x 1 ln x x 1 x 0 ，
1 1 x
則 h x 1 ，當(dāng) x 0,1 時(shí)，h x 0；當(dāng) x 1, 時(shí)，h x 0，
x x
所以h x 在 0,1 上單調(diào)遞增，在 1, 上單調(diào)遞減，所以h x h 1 0，
即 ln x x 1，當(dāng)且僅當(dāng) x 1時(shí)取等號(hào)，
2
1 1
所以當(dāng) x 0,1 時(shí)， g x x ln x x x 1 x2 x x ，
2 4
答案第 10 頁(yè)，共 11 頁(yè)
1 1
故當(dāng) m 0時(shí)，方程 x2 x m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記為 t1, t2 ，且 t1 t2 ，
4 2
1 1 1 1
t1 t2 1,t1t2 m，又 g ln 2 ，故0 1，所以 t1 1 0，
2 2 4 2
因?yàn)? ln t
2
1 t1 0
2 t21 t1 t1 t1 1 ，所以得到 t1，
2
同理可得 t2，所以 t ， 2 t1 t1 t2 4t1t2 1 4m
綜上所述， 1 4m m 1.
答案第 11 頁(yè)，共 11 頁(yè)

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