資源簡介

第02講 導數與函數的單調性
目錄
01考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 2
03核心突破·靶向攻堅 2
知能解碼 4
知識點1 函數的單調性與導數的關系（導函數看正負，原函數看增減） 4
知識點2 求已知函數（不含參）的單調區間 4
知識點3 由函數的單調性求參數的取值范圍的方法 5
知識點4 含參問題討論單調性 5
題型破譯 6
題型1 利用導數求函數的單調區間（不含參） 6
【方法技巧】求單調區間步驟
題型2 已知函數在區間上單調 6
【方法技巧】已知函數在區間上單調等價條件
題型3 已知函數在區間上存在單調區間 7
【方法技巧】已知函數在區間上存在單調區間 等價條件
題型4 已知函數在區間上不單調 8
【方法技巧】已知函數在區間上不單調 等價條件
題型5 導函數與原函數圖象的單調性 8
【方法技巧】導函數與原函數關系
題型6含參問題討論單調性（導函數有效部分是一次型（或可視為一次型）） 11
題型7含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 ） 12
題型8含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型 ） 13
04真題溯源·考向感知 25
05課本典例·高考素材 16
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函數的單調區間 （2）單調性與導數的關系 （3）含參數單調性討論 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T18（2）（i）（5分） 全國甲卷（理）T20（1）（5分） 北京卷T20（1）（4分） 全國乙卷（文）T20（2）（7分） 全國甲卷（文）T20（1）（5分） 全國 I卷T19（1）（5分） 全國 II卷T6（5分） 北京卷T20（2）（5分）
考情分析：高考對函數單調性的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節內容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數作為研究函數的有力工具這一點，將函數的單調性本質問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉化了．
復習目標： （1）結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系． （2）能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）． （3）分類討論求函數單調區間，討論時不重復，不遺漏
知識點1 函數的單調性與導數的關系（導函數看正負，原函數看增減）
條件 恒有 結論
函數在區間上可導 在內單調遞增
在內單調遞減
在內是常數函數
自主檢測已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（ ）

B．
C． D．
知識點2 求已知函數（不含參）的單調區間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調增區間
④令，解不等式，求單調減區間
注：求單調區間時，令（或）不跟等號.
自主檢測（2025·甘肅平涼·模擬預測）函數的單調遞減區間是 .
知識點3 由函數的單調性求參數的取值范圍的方法
（1）已知函數在區間上單調
①已知在區間上單調遞增，恒成立.
②已知在區間上單調遞減，恒成立.
注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數在區間上存在單調區間
①已知在區間上存在單調增區間令，
解不等式，求單調增區間，則
②已知在區間上存在單調減區間令，
解不等式，求單調減區間，則
（3）已知函數在區間上不單調，使得（是變號零點）
自主檢測已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
知識點4 含參問題討論單調性
第一步：求的定義域
第二步：求（導函數中有分母通分）
第三步：確定導函數有效部分，記為
對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數有效部分，只有該部分決定的正負.
第四步：確定導函數有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導函數有效部分，討論的單調性
自主檢測（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知函數.
(1)當時，求在處的切線方程；
(2)討論的單調性，并求最值.
題型1 利用導數求函數的單調區間（不含參）
例1-1函數的單調遞增區間為 .
例1-2函數的遞增區間是 ；遞減區間 ．
方法技巧 求單調區間步驟
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調增區間
④令，解不等式，求單調減區間
注：求單調區間時，令（或）不跟等號.
【變式訓練1-1】函數的單調遞增區間為 ．
【變式訓練1-2】函數的單調遞增區間是 ；單調遞減區間是 ．
【變式訓練1-3】函數的單調遞增區間為 .
題型2 已知函數在區間上單調
例2-1已知關于x的函數在區間上單調遞減，則t的取值范圍是 ．
例2-2（2025·江蘇·一模）若在上單調遞減，則實數的取值范圍為 ．
方法技巧 已知函數在區間上單調等價條件
①已知在區間上單調遞增，恒成立.
②已知在區間上單調遞減，恒成立.
注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.
【變式訓練2-1】（2025·山西·模擬預測）若函數在區間單調遞增，則的取值范圍是 .
【變式訓練2-2】已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為 .
【變式訓練2-3】已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
題型3 已知函數在區間上存在單調區間
例3-1已知函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2（2025·山東威海·三模）已知函數在上存在單調遞減區間，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 已知函數在區間上存在單調區間 等價條件
①已知在區間上存在單調增區間令，解不等式，求單調增區間，則
②已知在區間上存在單調減區間令，解不等式，求單調減區間，則
【變式訓練3-1】若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】（多選）若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】若函數在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為 .
題型4 已知函數在區間上不單調
例4-1已知函數在區間上不單調，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例4-2已知函數 在上不單調，則t的取值范圍是 .
方法技巧 已知函數在區間上不單調 等價條件
已知函數在區間上不單調，使得（是變號零點）
【變式訓練4-1】若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】若函數在上不單調，則實數的取值范圍是
【變式訓練4-3】已知函數在區間上不單調，則實數a的取值范圍為 .
題型5 導函數與原函數圖象的單調性
例5-1已知下列四個圖象之一是函數在某區間的圖象，且的導函數在該區間的圖象如圖所示，則在該區間的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
例5-2（多選）如圖是函數的導函數的圖象，則下列判斷正確的是（ ）
A．在區間上單調遞增 B．在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞增
方法技巧 導函數與原函數關系
原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）．
【變式訓練5-1】設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-2】設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【變式訓練5-3】（多選）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
題型6含參問題討論單調性（導函數有效部分是一次型（或可視為一次型））
例6-1
(1)，求曲線在點處的切線方程
(2)討論的單調性
例6-2已知函數.
(1)討論的單調性；
【變式訓練6-1】已知
(1)若 求在處的切線的斜率;
(2)討論的單調性;
【變式訓練6-2·變載體】設函數.
求的單調區間;
題型7含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 ）
例7-1（已知函數
(1)若，求的最小值
(2)討論的單調性；
例7-2（2025·新疆·模擬預測）已知函數．
(1)若函數的圖象在處的切線與直線垂直，求實數a的值；
(2)討論函數的單調性；
【變式訓練7-1】已知函數．
(1)設，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性；
【變式訓練7-2】（2025·河南·二模）已知函數.
(1)討論的單調性.
【變式訓練7-3·變載體】（2025·江西·二模）已知函數.
(1)當時，求函數的圖象在處的切線方程；
(2)討論的單調性；
題型8含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型 ）
例8-1已知函數．
(1)當時，求的解集；
(2)當時，求的單調區間．
例8-2已知函數．討論的單調性.
【變式訓練8-1】（2025·貴州黔東南·三模）設函數．
(1)若，試求函數的極值；
(2)設，討論的單調性．
【變式訓練8-2·變載體】（2025·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)設的兩個極值點為．當且時，求的取值范圍.
【變式訓練8-3】已知函數，定義域為．
討論的單調性．
1．（2023·全國乙卷·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)求的單調區間；
3．（2023·北京·高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數，求的單調區間；
4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．
5．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
1.(人教A版選擇性必修第二冊練習)判斷下列函數的單調性，并求出單調區間
（1） （2）
2.(人教A版選擇性必修第二冊練習)證明函數在區間內單調遞減。
3(人教A版選擇性必修第二冊 例4)設，，兩個函數的圖象如圖所示.判斷,的 圖 象 與, 之間的對應關系 .
4.(人教A版選擇性必修第二冊 練習第2題)證明不等式：，。
5.(人教A版選擇性必修第二冊 練習第1題)利用函數的單調性，證明不等式：，
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 導數與函數的單調性
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01考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 2
03核心突破·靶向攻堅 2
知能解碼 3
知識點1 函數的單調性與導數的關系（導函數看正負，原函數看增減） 3
知識點2 求已知函數（不含參）的單調區間 4
知識點3 由函數的單調性求參數的取值范圍的方法 5
知識點4 含參問題討論單調性 5
題型破譯 6
題型1 利用導數求函數的單調區間（不含參） 6
【方法技巧】求單調區間步驟
題型2 已知函數在區間上單調 8
【方法技巧】已知函數在區間上單調等價條件
題型3 已知函數在區間上存在單調區間 9
【方法技巧】已知函數在區間上存在單調區間 等價條件
題型4 已知函數在區間上不單調 12
【方法技巧】已知函數在區間上不單調 等價條件
題型5 導函數與原函數圖象的單調性 13
【方法技巧】導函數與原函數關系
題型6含參問題討論單調性（導函數有效部分是一次型（或可視為一次型）） 17
題型7含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 ） 18
題型8含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型 ） 21
04真題溯源·考向感知 25
05課本典例·高考素材 28
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函數的單調區間 （2）單調性與導數的關系 （3）含參數單調性討論 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T18（2）（i）（5分） 全國甲卷（理）T20（1）（5分） 北京卷T20（1）（4分） 全國乙卷（文）T20（2）（7分） 全國甲卷（文）T20（1）（5分） 全國 I卷T19（1）（5分） 全國 II卷T6（5分） 北京卷T20（2）（5分）
考情分析：高考對函數單調性的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節內容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數作為研究函數的有力工具這一點，將函數的單調性本質問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉化了．
復習目標： （1）結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系． （2）能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）． （3）分類討論求函數單調區間，討論時不重復，不遺漏
知識點1 函數的單調性與導數的關系（導函數看正負，原函數看增減）
條件 恒有 結論
函數在區間上可導 在內單調遞增
在內單調遞減
在內是常數函數
自主檢測已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（ ）

B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由圖可知在上單調遞減，在上單調遞增，
則的切線斜率在上遞減，在上遞增，選項A符合題意；
選項B，的切線斜率在上遞增，在上遞減，不符合題意；
選項C，的切線斜率在上遞減，不符合題意；
選項D，的切線斜率在上遞增，不符合題意.
故選：A．
知識點2 求已知函數（不含參）的單調區間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調增區間
④令，解不等式，求單調減區間
注：求單調區間時，令（或）不跟等號.
自主檢測（2025·甘肅平涼·模擬預測）函數的單調遞減區間是 .
【答案】（寫成，，，同樣給分）
【詳解】因為，，
令，得，解得，
所以的單調遞減區間是.
故答案為：
知識點3 由函數的單調性求參數的取值范圍的方法
（1）已知函數在區間上單調
①已知在區間上單調遞增，恒成立.
②已知在區間上單調遞減，恒成立.
注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.
（2）已知函數在區間上存在單調區間
①已知在區間上存在單調增區間令，
解不等式，求單調增區間，則
②已知在區間上存在單調減區間令，
解不等式，求單調減區間，則
（3）已知函數在區間上不單調，使得（是變號零點）
自主檢測已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，所以，
因為在區間上單調遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因為在上單調遞減，所以，故.
故選：A.
知識點4 含參問題討論單調性
第一步：求的定義域
第二步：求（導函數中有分母通分）
第三步：確定導函數有效部分，記為
對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數有效部分，只有該部分決定的正負.
第四步：確定導函數有效部分的類型：
①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）
第五步：通過分析導函數有效部分，討論的單調性
自主檢測（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知函數.
(1)當時，求在處的切線方程；
(2)討論的單調性，并求最值.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）當時，，求導得：，
則，，
則在處的切線方程：，即；
（2）由求導得：，
①當時，在上恒成立，故在上單調遞增，無最值；
②當時，由，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，在單調遞增，
所以在有最小值，為,無最大值.
題型1 利用導數求函數的單調區間（不含參）
例1-1函數的單調遞增區間為 .
【答案】
【詳解】由題設，令，即的單調遞增區間為.
故答案為：
例1-2函數的遞增區間是 ；遞減區間 ．
【答案】
【詳解】函數的定義域為，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增.
所以函數的遞增區間是；遞減區間．
故答案為：；
方法技巧 求單調區間步驟
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調增區間
④令，解不等式，求單調減區間
注：求單調區間時，令（或）不跟等號.
【變式訓練1-1】函數的單調遞增區間為 ．
【答案】
【詳解】因為，
因為，由可得：，
即 （舍去）或.
所以函數的單調遞增區間為：.
故答案為：
【變式訓練1-2】函數的單調遞增區間是 ；單調遞減區間是 ．
【答案】
【詳解】函數的定義域為，又，
令，得．當時，；當時，．
的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
故答案為：；
【變式訓練1-3】函數的單調遞增區間為 .
【答案】和
【詳解】，令
解得或從而的單調遞增區間為和
故答案為：和
題型2 已知函數在區間上單調
例2-1已知關于x的函數在區間上單調遞減，則t的取值范圍是 ．
【答案】
【精細解析】因為，所以，
因為函數在區間上單調遞減，
所以在上恒成立，
所以，解得或，
所以t的取值范圍是．
故答案為：.
例2-2（2025·江蘇·一模）若在上單調遞減，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】因為在上單調遞減，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
則，
當且僅當，即時等號成立，所以，
即實數的取值范圍為.
故答案為：.
方法技巧 已知函數在區間上單調等價條件
①已知在區間上單調遞增，恒成立.
②已知在區間上單調遞減，恒成立.
注：已知單調性，等價條件中的不等式含等號.
【變式訓練2-1】（2025·山西·模擬預測）若函數在區間單調遞增，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】，
令，則當時，，
又因為，
當且僅當時等號成立，且當時，不恒為0，
故的取值范圍是.
故答案為：.
【變式訓練2-2】已知函數在上單調遞增，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】由函數，可得，
因為在上單調遞增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因為當時，，當且僅當時，等號成立，所以，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
【變式訓練2-3】已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由題可知，在上恒成立，
即恒成立，
令，則，所以函數在上單調遞增
所以，解得，則實數的取值范圍是.
故答案為：.
題型3 已知函數在區間上存在單調區間
例3-1已知函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數在上存在單調遞增區間，
所以在上有解，且，
所以，，
令，則，
當時，，則函數單調遞增，
所以，
所以，即實數的取值范圍是.
故選：A
例3-2（2025·山東威?！と＃┮阎瘮翟谏洗嬖趩握{遞減區間，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】求導可得，
由題意有解，
即有解，
即有解，
令，
因為，易知在單調遞增，
此時，所以，
又，，
所以，解得：，
所以的取值范圍是.
故選：B.
方法技巧 已知函數在區間上存在單調區間 等價條件
①已知在區間上存在單調增區間令，解不等式，求單調增區間，則
②已知在區間上存在單調減區間令，解不等式，求單調減區間，則
【變式訓練3-1】若函數在區間內存在單調遞減區間，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由已知可得定義域為，
當時，解可得，不滿足定義域；
當時，令，
要使函數在區間內存在單調遞減區間，
只需滿足或.
由可得，，此時有；
由可得，，此時有.
所以，.
綜上所述，.
故選：A.
【變式訓練3-2】（多選）若函數在區間內存在單調遞增區間，則實數的取值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【詳解】，
因為函數在區間內存在單調遞增區間，
所以在內有解，所以有解，
由于，所以，故，
則實數的取值范圍是，結合選項可知，符合題意．
故選：CD.
【變式訓練3-3】若函數在上存在單調遞減區間，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】依題意，在區間上有解，
即在區間上有解，
設，則，故只需求在上的最小值，
而，當時，取得最小值，故得，
則實數的取值范圍為.
故答案為：
題型4 已知函數在區間上不單調
例4-1已知函數在區間上不單調，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】函數在區間上不單調，
則在區間上有零點，
所以，得（舍），
故，使得函數在上遞減，在上遞增，
所以實數a的取值范圍為.
故選：B.
例4-2已知函數 在上不單調，則t的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由題意可知：的定義域為，且，
令，解得或；令，解得；
可知在，上單調遞增，上單調遞減，
若在上不單調，
則或，解得或，
即實數的取值范圍是.
故答案為：．
方法技巧 已知函數在區間上不單調 等價條件
已知函數在區間上不單調，使得（是變號零點）
【變式訓練4-1】若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】函數，其定義域為，
對求導得，
令，可得.
當時，，單調遞減；
當時，，，單調遞增.
因為函數在區間上不單調，所以，
所以的取值范圍是，
故選：B.
【變式訓練4-2】若函數在上不單調，則實數的取值范圍是
【答案】
【詳解】已知，其定義域為.
對求導可得：.
令，即，因為，所以，則，解得.
當時，，，，所以，函數在上單調遞減；
當時，，，，所以，函數在上單調遞增.
因為函數在上不單調，所以.
故實數的取值范圍是.
故答案為：.
【變式訓練4-3】已知函數在區間上不單調，則實數a的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】∵，∴.
當時，，∴函數在上單調遞增，不符合題意；
當時，令，解得；令，解得，
∵函數在上不單調，∴，解得.
故答案為：.
題型5 導函數與原函數圖象的單調性
例5-1已知下列四個圖象之一是函數在某區間的圖象，且的導函數在該區間的圖象如圖所示，則在該區間的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】不妨設在區間（，可為，也可為）內的圖象，
由的圖象可知，當或時，當時，
所以在，上單調遞增，在上單調遞減，故排除C、D；
又在上單調遞減，則在上切線的斜率逐漸減小，
且由的圖象可知當時趨近于一個常數（正數），
所以的切線斜率不趨近于，故排除A.
故選：B
例5-2（多選）如圖是函數的導函數的圖象，則下列判斷正確的是（ ）
A．在區間上單調遞增 B．在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞增
【答案】BC
【詳解】由圖知，在區間上，在區間上，
所以在、上不單調，在上單調遞減，在上單調遞增.
故選：BC
方法技巧 導函數與原函數關系
原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）．
【變式訓練5-1】設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則其導函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由的圖象可知，當時，函數單調遞增，則，故排除C，D；
當時，先遞增，再遞減最后遞增，所以所對應的導數值應該先大于0，
再小于0，最后大于0，排除B.
故選:A.
【變式訓練5-2】設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由的圖象可知，當時， ，則單調遞增；
當時， ，單調遞減；當， ，單調遞增；
滿足該函數單調性的，只有選項D對應的圖象.
故選：D.
【變式訓練5-3】（多選）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】由的圖象知，當時，，
所以的圖象在上單調遞增，
且在區間上增長的速度越來越快，
在區間上增長的速度越來越慢.
對于A，函數在區間上增長的速度越來越慢，
在區間上增長的速度越來越快，故A不可能；
對于B，函數在區間上增長的速度越來越快，
在區間上增長的速度越來越慢，故B可能；
對于C，函數在區間上增長的速度越來越快，故C不可能；
對于D，函數在區間上增長的速度越來越慢，故D不可能.
故選：ACD．
題型6含參問題討論單調性（導函數有效部分是一次型（或可視為一次型））
例6-1
(1)，求曲線在點處的切線方程
(2)討論的單調性
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【詳解】（1）當時，，求導得，則，而，
所以所求切線方程為：，即．
（2）函數的定義域為R，求導得，
當時，恒成立，函數在R上單調遞減；
當時，由，得；由，得，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，函數在R上單調遞減；
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.
例6-2已知函數.
(1)討論的單調性；
【答案】(1)答案見解析
【詳解】（1）由題意可知，則，
當時，恒成立，在上單調遞增，
當時，由解得，由解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
綜上所述，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
【變式訓練6-1】已知
(1)若 求在處的切線的斜率;
(2)討論的單調性;
【答案】(1)
(2)答案見詳解
【詳解】（1）當時，，則，
所以所求切線的斜率為.
（2）由，，則，
當時，，即在上單調遞增，
當時，，
由，得，由，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
【變式訓練6-2·變載體】設函數.
(1)求的單調區間;
【答案】(1)答案見解析；
【詳解】（1）由題設，
當時，恒成立，故的增區間為，無減區間；
當時，令，得，故上，上，
所以的減區間為，增區間為.
題型7含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 ）
例7-1（已知函數
(1)若，求的最小值
(2)討論的單調性；
【答案】(1)
(2)見解析
【詳解】（1）時， ，，
令得或（舍），
當時，，為減函數；當時，，為增函數；
所以的最小值為.
（2） ，
當時，時，，單調遞減；時，，單調遞增；
當時，時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增；
當時，，且不恒為0，在定義域內單調遞增；
當時，時，，單調遞增；
時，，單調遞減；時，，單調遞增；
綜上，時，時，單調遞減，時，單調遞增；
時，時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增；
時，在定義域內單調遞增；
時，時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增.
例7-2（2025·新疆·模擬預測）已知函數．
(1)若函數的圖象在處的切線與直線垂直，求實數a的值；
(2)討論函數的單調性；
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1），
因為函數的圖象在點處的切線與直線垂直，
所以，解得．
（2）當時，令，得，當時，，在單調遞減，時，，在單調遞增；
當時，令，得，，
當時，，，
所以當，或時，，在，單調遞減，
當時，，在單調遞增；
當時，恒成立，所以在單調遞減；
當時，，，所以當，或時，，在，單調遞減，
當時，，在單調遞增；
綜上所述，時，在單調遞減，在單調遞增；
當時，在，單調遞減，在單調遞增；
當時，在單調遞減；
當時，在，單調遞減，在單調遞增．
【變式訓練7-1】已知函數．
(1)設，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論的單調性；
【答案】(1)
(2)見解析
【詳解】（1）因為，所以函數.
對函數求導得：.
因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線斜率為-1，
故曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）因為，所以.
令，則.
當時，或時，;時，.
此時，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是.
當時，或時，;時，.
此時，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是.
當時，，此時函數在上單調遞增.
綜上所述，當時，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是；
當時，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是；
當時，函數在上單調遞增.
【變式訓練7-2】（2025·河南·二模）已知函數.
(1)討論的單調性.
【答案】(1)答案見解析
【詳解】（1）的定義域為，且，
①當時，由，得，由，得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；
②當時，恒成立，故函數在上單調遞增；
③當時，由，得，由，得或，
所以函數在上單調遞減，在，上單調遞增；
④當時，由，得，由，得或，
所以函數在上單調遞減，在，上單調遞增；
綜上：當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減，在，上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減，在，上單調遞增.
【變式訓練7-3·變載體】（2025·江西·二模）已知函數.
(1)當時，求函數的圖象在處的切線方程；
(2)討論的單調性；
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）當時，，
所以函數的圖象在處的切線方程為.
（2），
當時，，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增；
當時，由，得或，
當即時，在上單調遞增，
當時，時，在上單調遞減，
和時，在單調遞增；
當時，時，在上單調遞減，
和時，在上單調遞增.
綜上可得，時，在單調遞減，在上單調遞增；
時，在上單調遞增；
時，在上單調遞減，在上單調遞增；
時，在上單調遞減，在上單調遞增.
題型8含參問題討論單調性（導函數有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型 ）
例8-1已知函數．
(1)當時，求的解集；
(2)當時，求的單調區間．
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【詳解】（1）當時，，，
所以在上單調遞減，又，
則當時，；當時，，
故的解集為．
（2），（）
設，（）的對稱軸，，
當，有，則，在單調遞減．
當，則有兩個不等正根，，
所以、上，上，
在、上單調遞減，在上單調遞增；
當，則有一個正根，即上，上，
在上單調遞增，在上單調遞減．
綜上：
當，的單調減區間為，無單調遞增區間；
當，的單調減區間為、，單調遞增區間為；
當，的單調遞增區間為，單調減區間為．
例8-2已知函數．討論的單調性.
【答案】答案見解析
【詳解】，則，
令，，則，
因，故，
當，即時，，則在上單調遞減；
當時，令，，，，，，
在和單調遞減，在單調遞增;
當時，，，則在上單調遞增，在單調遞減;
綜上所述，當時，則在上單調遞減，
當時，在和單調遞減，在單調遞增；
當時，在上單調遞增，在單調遞減.
【變式訓練8-1】（2025·貴州黔東南·三模）設函數．
(1)若，試求函數的極值；
(2)設，討論的單調性．
【答案】(1)的極大值為，無極小值
(2)當時，的單調減區間為，無增區間；
當時，的單調增區間為，單調減區間為
【詳解】（1）當時，，函數的定義域為，
所以，令有，
由有，有，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的極大值為，無極小值；
（2）由，
所以的定義域為，
所以，令，
當時，，，所以在單調遞減；
當時，令有，，
所以，
所以由有，，有，，
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以的單調增區間為，單調減區間為；
綜上有：當時，的單調減區間為，無增區間；
當時，的單調增區間為，單調減區間為.
【變式訓練8-2·變載體】（2025·黑龍江大慶·模擬預測）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)設的兩個極值點為．當且時，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1），則，
令，，則，
因，故，
當，即時，，則在上單調遞減;
當時，令，，，，，，
在和單調遞減，在單調遞增;
當時，，，則在上單調遞增，在單調遞減;
綜上所述，當時，則在上單調遞減，
當時，在和單調遞減，在單調遞增；
當時，在上單調遞增，在單調遞減.
（2）由（1）可知，， 因為要有兩個極值點，則，
由
，
又因為，而，
由，即，
則根據對鉤函數在區間上遞增，則有，
所以有，解得.
則令，，則，
則當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減，
則，，，
又因為，
所以，即的取值范圍是.
【變式訓練8-3】已知函數，定義域為．
(1)討論的單調性．
【答案】(1)當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減
【詳解】（1）因為，
所以，
設，，
(i)時，則，
所以在上遞增；
(ii)或，，
當時，，，
方程的兩根都為正，
令可得：，令可得：，
所以在上遞增，在上遞減；
當時，，，
方程的兩根都為負，
令可得：，所以在上遞增，
綜上：當時，在上遞增；
當時，在上遞增，在上遞減；
1．（2023·全國乙卷·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由函數的解析式可得在區間上恒成立，
則，即在區間上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
結合題意可得實數的取值范圍是.
故答案為：.
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)求的單調區間；
【答案】(1)見解析
【詳解】（1）定義域為，
當時，，故在上單調遞減；
當時，時，，單調遞增，
當時，，單調遞減.
綜上所述，當時，的單調遞減區間為；
時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
3．（2023·北京·高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數，求的單調區間；
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，
即的單調遞減區間為和，單調遞增區間為和.
4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數在單調遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）當時，，
則，
據此可得，
所以函數在處的切線方程為，即.
（2）由函數的解析式可得，
滿足題意時在區間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區間上恒成立，
則，
當時，由于，故，在區間上單調遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當，時，由于，所以在區間上單調遞增，
即在區間上單調遞增，
所以，在區間上單調遞增，，滿足題意.
當時，由可得，
當時，在區間上單調遞減，即單調遞減，
注意到，故當時，，單調遞減，
由于，故當時，，不合題意.
綜上可知：實數得取值范圍是.
5．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，討論的單調性；
【答案】(1)在上單調遞減
【詳解】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以 ，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調遞減.
1.(人教A版選擇性必修第二冊練習)判斷下列函數的單調性，并求出單調區間
（1） （2）
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，令，解得或，則令得，由得或，所以函數單調遞減區間為，單調遞增區間為
（2）因為定義域為，所以，令，解得或，，則由得或由得，所以函數的單調遞減區間為，單調遞減區間為
2.(人教A版選擇性必修第二冊練習)證明函數在區間內單調遞減。
證明：，則當時，可得，所以函數在區間內單調遞減。
3.(人教A版選擇性必修第二冊 例4)設，，兩個函數的圖象如圖所示.判斷,的 圖 象 與, 之間的對應關系 .
【詳解】因為，所以
，
當時，
當，
當，
所以，，在上都是增函數，在區間內，的圖象要比圖象“陡峭”；在區間上，的圖象要比圖象“平緩”；
所以，對應，。
4.(人教A版選擇性必修第二冊 練習第2題)證明不等式：，。
【詳解】證明，構造，求導.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增。所以在處取得最小值，，所以，即
5.(人教A版選擇性必修第二冊 練習第1題)利用函數的單調性，證明不等式：，
【詳解】證明，構造，則，所以在上單調遞增，所以，即。
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