資源簡介

第02講 等差數列及其前n項和
目錄
01考情解碼 命題預警 2
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 等差數列的概念 4
知識點2 等差數列的有關公式 4
知識點3 等差數列的常用性質 5
知識點4 等差數列與函數的關系 5
題型破譯 6
題型1 等差數列基本量計數 6
【方法技巧】等差數列基本量計算方法
題型2 等差數列判斷與證明 7
【方法技巧】判斷證明等差數列的方法
題型3 等差數列角標和性質 9
【方法技巧】等差中項角標和性質
題型4 等差數列前n項和性質 11
【方法技巧】等差數列前n項和性質
題型5 等差數列前n項和最值 12
【方法技巧】等差數列前n項和最值方法
題型6 等差數列實際應用 15
題型7 等差數列奇偶項問題 17
題型8 含絕對值等差數列前n項和 19
【方法技巧】含絕對值等差數列前n項和求和步驟
題型9 等差數列單調性 22
04真題溯源·考向感知 24
05課本典例·高考素材 27
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等差數列的概念 （2）等差數列的通項公式與求和 （3）等差數列的性質 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T7，（5分） 全國一卷T16（1），（5分） 北京卷T5，（4分） 天津卷T19（1），（5分） 上海卷T3，（4分） 全國甲卷（文）T5，（5分） 全國甲卷（理）T4，（5分） 全國II卷T12，（5分） 全國乙卷（文）T18（1），（5分） 全國甲卷（文）T5，（5分） 全國I卷T7，（5分） 全國I卷T20，（12分） 北京卷T14，（5分） 天津卷T19（1），（5分）
考情分析： （1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算． （2）解答題多與等比數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等差數列的概念． （2）掌握等差數列的通項公式與前n項和公式． （3）能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． （4）了解等差數列與一次函數、二次函數的關系．
知識點1 等差數列的概念
(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．數學語言表示為()(或者），為常數．
(2)等差中項：若，，成等差數列，則叫做和的等差中項，且.
注：證明一個數列是等差數列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項法：
自主檢測是首項，公差的等差數列，如果，那么序號（ ）
A．1009 B．1012 C．1008 D．1010
【答案】A
【詳解】由題意，
由可得.
故選：A
知識點2 等差數列的有關公式
(1)若等差數列的首項是，公差是，則其通項公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數列的前項和公式(其中)．
自主檢測設等差數列的前項和為，若，，則 .
【答案】
【詳解】利用等差數列中的等差中項性質可知：，
由等差數列的通項公式可得：，
所以，
則，
故答案為：
知識點3 等差數列的常用性質
已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．
(1)等差數列中，當時， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項組成的數列是等差數列，即，，，…仍是等差數列，公差為()．
(3)也成等差數列，其首項與首項相同，公差為.
(4)，，…也成等差數列，公差為.
（5）若數列,均為等差數列且其前項和分別為,,則
自主檢測已知等差數列的前項和為，且，則（ ）
A．16 B．18 C．24 D．26
【答案】B
【詳解】因為是等差數列，所以也是等差數列，
即，即，解得.
故選：B.
知識點4 等差數列與函數的關系
(1)等差數列與一次函數的關系
可化為的形式．當時，是關于的一次函數；當時，數列為遞增數列；當時，數列為遞減數列．
(2)等差數列前項和公式可變形為.當時，它是關于的二次函數，表示為(，為常數)．
自主檢測等差數列中，若，則通項 .
【答案】
【詳解】當時，，
當時，，
所以，
又，滿足上式，所以，
故答案為：
題型1 等差數列基本量計數
例1-1設等差數列的前n項和為．若，，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【詳解】設等差數列的公差為，則，解得，
所以．
故選：B
例1-2已知等差數列的前項和為，且，，若，則 .
【答案】9
【詳解】設等差數列的公差為，由，得，
故，由，得.
故答案為：9
方法技巧 等差數列基本量計算方法
等差數列基本運算的常見類型及解題策略：
（1）求公差或項數．在求解時，一般要運用方程思想．
（2）求通項．和是等差數列的兩個基本元素．
（3）求特定項．利用等差數列的通項公式或等差數列的性質求解．
（4）求前項和．利用等差數列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．
【變式訓練1-1】已知等差數列的首項為2，公差不為0，且成等比數列，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設等差數列的公差為d，
則由題，即或（舍去），
所以.
故選：B
【變式訓練1-2】在等差數列中，，則（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4045
【答案】D
【詳解】設等差數列的公差為，
由可得，故，
則，
故選：D
【變式訓練1-3】已知等差數列的前n項和為，，則公差 .
【答案】2
【詳解】由題意可得，解得.
故答案為：.
題型2 等差數列判斷與證明
例2-1在數列中，，點在直線上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，點在直線上，
則，即，
可知數列是以首項為1，公差為2的等差數列，
所以.
故選：C.
例2-2已知數列滿足.
(1)求證：是等差數列.
(2)求數列的通項公式.
【答案】(1)證明見解析
(2)
（2）根據等差數列的通項即可求解.
【詳解】（1）為常數，
所以為公差為的等差數列，
（2）由于為公差為的等差數列，且首項為，
所以，所以
方法技巧 判斷證明等差數列方法
判斷數列是等差數列的常用方法（定義法和等差中項法可用于證明）
（1）定義法：對任意是周一常數．
（2）等差中項法：對任意，湍足．
（3）通項公式法：對任意，都滿足為常數）．
（4）前項和公式法：對任意，都湍足為常數）．
【變式訓練2-1】已知數列的前項和為，且，則當取得最小值時，的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【詳解】由可知，數列是等差數列，公差，
由，解得．
則
故當取得最小值時，的值是6．
故選：A．
【變式訓練2-2】已知數列滿足，（），令.
(1)求的值；
(2)求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式.
【答案】(1)，
(2)證明見解析，
【詳解】（1）因為，且，
當時，，
當時，.
（2）因為，
所以，
兩邊同時取倒數有：，
令，有，，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以.
【變式訓練2-3】數列滿足.
(1)求的值；
(2)設，證明是等差數列.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）數列滿足
所以，
（2）∵
∴為等差數列.
題型3 等差數列角標和性質
例3-1（2025·甘肅甘南·模擬預測）已知各項為正的等差數列的前項和為，且，則的最大值為（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【詳解】由，得，所以．
由已知，得，則，
當且僅當時等號成立．
故選：A
例3-2（2025·四川眉山·模擬預測）已知等差數列滿足，且前項和，則 .
【答案】10
【詳解】因為，所以，解得或2，
又前項和，
所以不能等于0，只能等于2，
所以，解得.
故答案為：10.
方法技巧 等差中項角標和性質
如果為等差數列，當時，．因此，出現等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與（或其他項）有關的條件；若求項，可由轉化為求的值．
【變式訓練3-1】（2025·遼寧·二模）已知等差數列滿足，，則（ ）
A．1 B． C．4 D．8
【答案】C
【詳解】因為數列為等差數列，且，，
所以，，解得，，所以．
故選：C．
【變式訓練3-2】記等差數列的前項和為.若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題知．
故選：A．
【變式訓練3-3】（2025·安徽·三模）已知等差數列的前n項和為，，若，，則 ．
【答案】30
【詳解】解析 由等差數列的性質可得，再由，，
可得，所以，則，解得．
故答案為：30.
題型4 等差數列前n項和性質
例4-1已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【詳解】由題意設，則，
由是等差數列，所以也成等差數列，
所以，解得；
，解得，
所以，
故選：C.
例4-2等差數列，的前項和分別為與，且，則 ．
【答案】
【詳解】數列，均為等差數列，．
，，
根據等差數列前項和，可設，
，
對于數列，當時，，
當時，，
顯然當時，也滿足，故，
同理可得，
故．
故答案為：．
方法技巧 等差數列前n項和性質
在等差數列中，，…仍成等差數列；也成等差數列．
【變式訓練4-1】已知等差數列的前項和為，若，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【詳解】等差數列的前項和為，則也是等差數列，
即成等差數列，即.
解得
故選：C.
【變式訓練4-2】設 是等差數列{}的前n項的和，若 則 .
【答案】
【詳解】因為數列是等差數列，所以仍然是等差數列，
所以也是等差數列，
因為，，
則構成等差數列，
所以，
解得：，
所以，
所以，即
故答案為：
【變式訓練4-3】已知數列和都是等差數列，且前n項和分別為，，若，則 .
【答案】
【詳解】因數列和都是等差數列，且前n項和分別為，，
由，可設，，
則，
.
故答案為：.
題型5 等差數列前n項和最值
例5-1（2025·廣西南寧·三模）設等差數列的前n項和為，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】假設等差數列的公差為，由得,
所以，所以，故，
則
則．
故選：C．
例5-2已知數列的前項和為，若.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和，并求的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1），故，
由，得，
兩式相減并整理得，
所以為等比數列，公比為2，首項，
所以數列的通項公式為.
（2），
所以為等差數列，首項為12，公差為.
所以.
由 .
所以當或時，取得最大值.
且 .
所以當或5時，取得最大值30.
方法技巧 等差數列前n項和最值方法
求等差數列前項和最值的2種方法
（1）函數法：利用等差數列前項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解．
（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數使得取得最大值；
②若，則滿足的項數使得取得最小值．
【變式訓練5-1】已知數列是等差數列，其前n項和為，若，，則數列中最小的項是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以公差，
故當時，，當時，，
所以當時，取得最小值，即中最小的項是，
故選：C.
【變式訓練5-2】已知是等差數列的前n項和，且
(1)求數列的通項公式.
(2)判斷是否為等差數列.
(3)為何值時，取得最大值并求其最大值．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)為4時，取得最大值，最大值28．
【詳解】（1）由題意可知：，當時，，
當時，，
當時，顯然成立，∴數列的通項公式；
（2）因為，所以，
所以是以為公差的等差數列；
（3），
由，則時，取得最大值28，
∴當為4時，取得最大值，最大值28．
【變式訓練5-3】設為等差數列的前項和，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求，并求的最大值及此時的值．
【答案】(1)
(2)，的最大值，此時
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
因為，．
所以，解得，
所以的通項公式是．
（2）

當且僅當時，的最大值為16．
題型6 等差數列實際應用
例6-1“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二(除以3余2)，五五數之剩三(除以5余3)，七七數之剩二(除以7余2)，問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數滿足二二數之剩一，三三數之剩一，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前n項和為，則的最小值為（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
【答案】C
【詳解】二二數之剩一、三三數之剩一的數分別為、，，
因此數列的項即為以上兩類數的公共項，即，，
而，則數列是等差數列，
于是，，
又對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以時，取得最小值38.
故選：C
例6-2專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現象趕上潮汐高潮的時候，這個時候水位就會異常的高.某地發生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調抽水機.經測算，需要調用20臺某型號抽水機，每臺抽水機需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機需要從其他施工現場抽調.若抽調的抽水機每隔20min才有一臺到達施工現場投入工作，要在24h內完成排水任務，指揮部至少共需要抽調這種型號的抽水機（ ）
A．25臺 B．24臺 C．23臺 D．22臺
【答案】B
【詳解】設至少需要臺抽水機，記一臺抽水機20min完成的任務為單位1，這臺抽水機完成的任務依次為，（）
依題意，，是公差為的等差數列，
，
要完成所有任務，則，
，
記，在上是減函數，
，，
所以時，，
所以最小值需要24臺抽水機，
故選：B．
【變式訓練6-1】鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數層可自由轉動的空心球，空心球的球面厚度不計.為保證鬼工球的每一層均可以自由轉動，要求其從最內層起，每層與其外一層球面的間距構成首項為 公差為的等差數列，若一個鬼工球最外層與最內層的半徑之差為，則該鬼工球的層數為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【詳解】已知每層與其外一層球面的間距構成首項、公差的等差數列.設該鬼工球的層數為，
由于最外層與最內層的半徑之差就是這個等差數列的前項和，即.
根據等差數列前項和公式，
將，，代入可得： ，即
得到，（因為層數為正整數，所以舍去）.
該鬼工球的層數為10.
故選：B.
【變式訓練6-2】生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續打卡，每天所得積分都會比前一天多2積分．若某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡需從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，若連續打卡5天，則共獲得積分為 ；若該會員從3月1日開始到3月20日，他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天可以是3月 日．
【答案】 25 8或13
【詳解】對于空①，連續打卡5天的總積分
連續打卡的積分規律為：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此類推.
這實際上是一個首項為1、公差為2的等差數列.
前5天的總積分為：
對于空②，確定未打卡的日期
若他連續打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數列，
且首項為1，公差為2，第天所得積分為．
假設他連續打卡天，第天中斷了，則他所得積分之和為：
，化簡得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故答案為：25；8或13
題型7 等差數列奇偶項問題
例7-1等差數列的前16項和為640，前16項中偶數項和與奇數項和之比為11：9，則公差的值分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在等差數列中，設，
依題意，，解得，
而，，
所以.
故選：D
例7-2已知等差數列的項數為奇數，且奇數項和為，偶數項和為，則數列的中間項為 ；項數為 ．
【答案】
【詳解】設等差數列的項數為，
則，
，
，解得：，即等差數列的項數為；
項的數列的中間項為第項，即，
由得：，解得：，即中間項為.
故答案為：；.
【變式訓練7-1】已知等差數列的項數為其中奇數項之和為 偶數項之和為 則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】項數為的中奇數項共有項,
其和為
項數為的中偶數項共有項, 其和為
所以解得
故選: A.
【變式訓練7-2】一個等差數列共100項，其和為80，奇數項和為30，則該數列的公差為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】設等差數列的公差為，則由條件可知：
數列的奇數項之和為，①
偶數項之和為，②
由②-①，得，所以，即該數列的公差為.
故選：D.
【變式訓練7-3】已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設等差數列的公差為，首項為，
則，所以，
因為，即，則，
等差數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，等差數列的前30項中奇數項有15項，所以，得，
所以.
故選：B
題型8 含絕對值等差數列前n項和
例8-1已知是數列的前項和，且.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）解：由數列滿足，當時，可得，
兩式相減，可得，即，即，
當時，，即，解得，
所以數列是首項為，公比的等比數列.
（2）解：由（1）可得數列的通項公式為，
則，
令，可得數列的前項和為，
當時，可得；
當時，可得
，
所以數列的前項和.
例8-2已知數列 滿足
(1)求數列的通項公式
(2)若數列 滿足 ，求數列的前 項和
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知可得，
故當時，，
，
，
…….
，
累加后可得，
所以，
當時，代入成立，
所以數列的通項公式為.
（2），
當時，，
此時
；
當時，，
，
綜上
方法技巧 含絕對值等差數列前n項和求解步驟
由正項開始的遞減等差數列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號由正變負的項
（2）在對進行討論，當時，，當時，
【變式訓練8-1】已知數列為等差數列，首項，公差．
(1)若，證明：是等比數列；
(2)若，設數列的前項和為，求滿足的的最小值．
(3)若，求數列的前項和；
【答案】(1)證明見詳解
(2)13
(3)
【詳解】（1）因為數列為等差數列，首項，公差，
所以.
對于，且，
所以是等比數列.
（2）由（1）可知：，
可得，
令，解得，
所以滿足的的最小值為13.
（3）由（1）可知：，
則，可知數列為等差數列，
設數列的前n項和為，則，
令，解得，
當時，，則；
當時，，則
；
綜上所述：.
【變式訓練8-2】等差數列的前項和記為，已知，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和
(3)求數列的前16項的和.
【答案】(1)
(2)
(3)160
【詳解】（1）設等差數列的公差為d，
由題可得：，
解得，
（2）由（1）知，，
所以，
（3）由，
所以均為負數，且從開始，后面每一項均為正數，
【變式訓練8-3】已知數列、的各項均不為零，若是單調遞增數列，且，，，.
(1)求及數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1），，
故，即，
的各項均不為零，故，
所以為等差數列，且公差大于0，
中，令得，
又，故，
中，令得，
其中，，故，
即，解得或0（舍去），
故；
（2），
故當時，，當時，，
設的前項和為，
當時，，
當時，，
綜上，.
題型9 等差數列單調性
例9-1（多選） 設等差數列的前項和，公差為且，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．時，最大 D．
【答案】ABD
【詳解】在等差數列中，由，可得異號，
若，由，則，不滿足題意，則，故A正確；
由于，則數列為遞減數列，所以，故B正確；
由于時，；時，，
所以時，最大，故C錯誤；
又，
，故D正確.
故選：ABD.
例9-2已知等差數列{}的前n項和是，，，則數列{||}中值最小的項為第 項．
【答案】10
【詳解】由題意得：，∴，
，∴，，
∴，故等差數列{}為遞減數列，即公差為負數，
因此的前9項依次遞減，從第10項開始依次遞增，
由于，∴{||}最小的項是第10項，
故答案為：10
【變式訓練9-1】（多選） 已知是等差數列的前n項和，且，，則（ ）
A．數列為遞減數列 B．
C．的最大值為 D．
【答案】AC
【詳解】設等差數列的公差為d，
由于，，故，
則，B錯誤；
，則數列為遞減數列，A正確，
由以上分析可知，時，，
故的最大值為，C正確；
，D錯誤，
故選：AC
【變式訓練9-2】（多選） 等差數列的前n項和為，若，，，則（ ）
A． B．數列是遞減數列 C． D．
【答案】ABD
【詳解】對于A，由，得，A正確；
對于B，由，得，等差數列的公差，
數列是遞減數列，B正確；
對于C，等差數列的前8項都為正，第9項為0，則，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：ABD
【變式訓練9-3】已知等差數列的前項和能取到最大值，且滿足：，對于以下幾個結論：
①數列是遞減數列；
②數列是遞減數列；
③數列的最大項是；
④數列的最小的正數是．
其中正確的序號是 ．
【答案】①③④
【詳解】解：等差數列的前項和能取到最大值，
數列是遞減數列，且，故①正確；
，
，數列先增后減，故②錯誤；
由，，得，，
數列的最大項是，故③正確；
由，，得數列的最小的正數是，故④正確．
正確的序號是①③④．
故答案為：①③④．
1．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【詳解】依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
2．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【詳解】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【詳解】方法一：利用等差數列的基本量
由，根據等差數列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數列的性質
根據等差數列的性質，，由，根據等差數列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數列公差，則，則.
故選：D
4．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等差數列的前n項和，若，，則 .
【答案】95
【詳解】因為數列為等差數列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
5．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設等差數列的公差為，且．令，記分別為數列的前項和．
(1)若，求的通項公式；
(2)若為等差數列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）為等差數列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差數列性質知，，即，
，即，解得或（舍去）
當時，，解得，與矛盾，無解；
當時，，解得.
綜上，.
1．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第2題)已知為等差數列，，求；
【答案】①；②．
【詳解】①由，得，，
所以，，所以，所以.
2．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第3題)（1）求從小到大排列的前n個正偶數的和．
（2）求從小到大排列的前n個正奇數的和．
（3）在三位正整數的集合中有多少個數是5的倍數？求這些數的和．
（4）在小于100的正整數中，有多少個數被7除余2？這些數的和是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）180，98550；（4）14，665.
【詳解】（1）通項公式為，所以，
（2）通項公式為，所以，
（3）因為末尾數是0或者5的數均是5的倍數，故最小是100，最大是995，
所以，
故和為，
（4）被7整除余2的數為，當時，這個數等于100，所以在小于100的正整數中共有14個數被7整除余2，每相鄰兩個數之間的差（大數減小數）為7，
所以.
3．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第4題)1682年，英國天文學家哈雷發現一顆大星的運行曲線和1531年、1607年的彗星驚人地相似，他大膽斷定，這是同一天體的三次出現，并預言它將于76年后再度回歸這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年，請你查找資料，列出哈雷星的回歸時間表，并預測它在本世紀回歸的年份．
【答案】2061年
【詳解】根據歷史記載，哈雷彗星在1607年及以后的回歸時間表為：
次數 1 2 3 4 5 7
年份 1607 1682 1759 1835 1910 1986
預測它在本世紀回歸的年份為2061年.
4．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第9題)一支車隊有15輛車，某天下午依次出發執行運輸任務．第一輛車于14時出發，以后每間隔發出一輛車．假設所有的司機都連續開車，并都在18時停下來休息．
（1）截止到18時，最后一輛車行駛了多長時間？
（2）如果每輛車行駛的速度都是，這個車隊當天一共行駛了多少千米？
【答案】（1）小時； （2） .
【詳解】（1）第一輛車出發事件為14時，每輛車的間隔時間為，即為小時，
則第15輛車在小時后，最后一輛車出發的時間為，
所以第15輛車行駛的時間為小時，即1小時40分鐘.
（2）設每輛車行駛的時間構成數列，
由題意可得構成首項為，公差為的等差數列，
則15輛車行駛的時間的和為小時，
所以行駛的總里程為.
5．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第11題)虎甲蟲以爬行速度快聞名，下表記錄了一只鹿甲蟲連續爬行時爬行的距離．
時間/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距離/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一個數列模型，近似地表示這只虎甲蟲連續爬行的距離和時間之間的關系嗎？
（2）利用建立的模型計算，這只虎甲蟲連續爬行能爬多遠（精確到）？它連續爬行需要多長時間（精確到）？
【答案】（1）； （2）；.
【詳解】（1）設虎甲蟲爬行的距離構成數列，
可得
其中，，
， ，
可得每一項與前一項的差都是近似為，所以構成一個首項為，公差的等差數列，
所以虎甲蟲爬行的距離與時間之間的關系是為.
（2）由（1）知，
因為，所以 ，
令，可得，
即虎甲蟲連續爬行能爬米，連續爬行需要.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 等差數列及其前n項和
目錄
01考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 等差數列的概念 4
知識點2 等差數列的有關公式 4
知識點3 等差數列的常用性質 4
知識點4 等差數列與函數的關系 5
題型破譯 5
題型1 等差數列基本量計數 5
【方法技巧】等差數列基本量計算方法
題型2 等差數列判斷與證明 6
【方法技巧】判斷證明等差數列的方法
題型3 等差數列角標和性質 7
【方法技巧】等差中項角標和性質
題型4 等差數列前n項和性質 8
【方法技巧】等差數列前n項和性質
題型5 等差數列前n項和最值 8
【方法技巧】等差數列前n項和最值方法
題型6 等差數列實際應用 10
題型7 等差數列奇偶項問題 11
題型8 含絕對值等差數列前n項和 11
【方法技巧】含絕對值等差數列前n項和求和步驟
題型9 等差數列單調性 13
04真題溯源·考向感知 13
05課本典例·高考素材 14
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等差數列的概念 （2）等差數列的通項公式與求和 （3）等差數列的性質 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T7，（5分） 全國一卷T16（1），（5分） 北京卷T5，（4分） 天津卷T19（1），（5分） 上海卷T3，（4分） 全國甲卷（文）T5，（5分） 全國甲卷（理）T4，（5分） 全國II卷T12，（5分） 全國乙卷（文）T18（1），（5分） 全國甲卷（文）T5，（5分） 全國I卷T7，（5分） 全國I卷T20，（12分） 北京卷T14，（5分） 天津卷T19（1），（5分）
考情分析： （1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算． （2）解答題多與等比數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等差數列的概念． （2）掌握等差數列的通項公式與前n項和公式． （3）能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． （4）了解等差數列與一次函數、二次函數的關系．
知識點1 等差數列的概念
(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．數學語言表示為()(或者），為常數．
(2)等差中項：若，，成等差數列，則叫做和的等差中項，且.
注：證明一個數列是等差數列可以使用①定義法：()(或者）
②等差中項法：
自主檢測是首項，公差的等差數列，如果，那么序號（ ）
A．1009 B．1012 C．1008 D．1010
知識點2 等差數列的有關公式
(1)若等差數列的首項是，公差是，則其通項公式為，可推廣為(*)．
(2)等差數列的前項和公式(其中)．
自主檢測設等差數列的前項和為，若，，則 .
知識點3 等差數列的常用性質
已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．
(1)等差數列中，當時， ()．
特別地，若，則()．
(2)相隔等距離的項組成的數列是等差數列，即，，，…仍是等差數列，公差為()．
(3)也成等差數列，其首項與首項相同，公差為.
(4)，，…也成等差數列，公差為.
（5）若數列,均為等差數列且其前項和分別為,,則
自主檢測已知等差數列的前項和為，且，則（ ）
A．16 B．18 C．24 D．26
知識點4 等差數列與函數的關系
(1)等差數列與一次函數的關系
可化為的形式．當時，是關于的一次函數；當時，數列為遞增數列；當時，數列為遞減數列．
(2)等差數列前項和公式可變形為.當時，它是關于的二次函數，表示為(，為常數)．
自主檢測等差數列中，若，則通項 .
題型1 等差數列基本量計數
例1-1設等差數列的前n項和為．若，，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例1-2已知等差數列的前項和為，且，，若，則 .
方法技巧 等差數列基本量計算方法
等差數列基本運算的常見類型及解題策略：
（1）求公差或項數．在求解時，一般要運用方程思想．
（2）求通項．和是等差數列的兩個基本元素．
（3）求特定項．利用等差數列的通項公式或等差數列的性質求解．
（4）求前項和．利用等差數列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．
【變式訓練1-1】已知等差數列的首項為2，公差不為0，且成等比數列，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】在等差數列中，，則（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4045
【變式訓練1-3】已知等差數列的前n項和為，，則公差 .
題型2 等差數列判斷與證明
例2-1在數列中，，點在直線上，則（ ）
A． B． C． D．
例2-2已知數列滿足.
(1)求證：是等差數列.
(2)求數列的通項公式.
方法技巧 判斷證明等差數列方法
判斷數列是等差數列的常用方法（定義法和等差中項法可用于證明）
（1）定義法：對任意是周一常數．
（2）等差中項法：對任意，湍足．
（3）通項公式法：對任意，都滿足為常數）．
（4）前項和公式法：對任意，都湍足為常數）．
【變式訓練2-1】已知數列的前項和為，且，則當取得最小值時，的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式訓練2-2】已知數列滿足，（），令.
(1)求的值；
(2)求證：數列是等差數列，并求出數列的通項公式.
【變式訓練2-3】數列滿足.
(1)求的值；
(2)設，證明是等差數列.
題型3 等差數列角標和性質
例3-1（2025·甘肅甘南·模擬預測）已知各項為正的等差數列的前項和為，且，則的最大值為（ ）
A． B．4 C．5 D．
例3-2（2025·四川眉山·模擬預測）已知等差數列滿足，且前項和，則 .
方法技巧 等差中項角標和性質
如果為等差數列，當時，．因此，出現等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與（或其他項）有關的條件；若求項，可由轉化為求的值．
【變式訓練3-1】（2025·遼寧·二模）已知等差數列滿足，，則（ ）
A．1 B． C．4 D．8
【變式訓練3-2】記等差數列的前項和為.若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】（2025·安徽·三模）已知等差數列的前n項和為，，若，，則 ．
題型4 等差數列前n項和性質
例4-1已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B．3 C． D．
例4-2等差數列，的前項和分別為與，且，則 ．
方法技巧 等差數列前n項和性質
在等差數列中，，…仍成等差數列；也成等差數列．
【變式訓練4-1】已知等差數列的前項和為，若，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【變式訓練4-2】設 是等差數列{}的前n項的和，若 則 .
【變式訓練4-3】已知數列和都是等差數列，且前n項和分別為，，若，則 .
題型5 等差數列前n項和最值
例5-1（2025·廣西南寧·三模）設等差數列的前n項和為，若，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知數列的前項和為，若.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和，并求的最大值.
方法技巧 等差數列前n項和最值方法
求等差數列前項和最值的2種方法
（1）函數法：利用等差數列前項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解．
（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數使得取得最大值；
②若，則滿足的項數使得取得最小值．
【變式訓練5-1】已知數列是等差數列，其前n項和為，若，，則數列中最小的項是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】已知是等差數列的前n項和，且
(1)求數列的通項公式.
(2)判斷是否為等差數列.
(3)為何值時，取得最大值并求其最大值．
【變式訓練5-3】設為等差數列的前項和，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求，并求的最大值及此時的值．
題型6 等差數列實際應用
例6-1“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二(除以3余2)，五五數之剩三(除以5余3)，七七數之剩二(除以7余2)，問物幾何？現有這樣一個相關的問題：已知正整數滿足二二數之剩一，三三數之剩一，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列，記數列的前n項和為，則的最小值為（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
例6-2專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現象趕上潮汐高潮的時候，這個時候水位就會異常的高.某地發生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調抽水機.經測算，需要調用20臺某型號抽水機，每臺抽水機需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機需要從其他施工現場抽調.若抽調的抽水機每隔20min才有一臺到達施工現場投入工作，要在24h內完成排水任務，指揮部至少共需要抽調這種型號的抽水機（ ）
A．25臺 B．24臺 C．23臺 D．22臺
【變式訓練6-1】鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數層可自由轉動的空心球，空心球的球面厚度不計.為保證鬼工球的每一層均可以自由轉動，要求其從最內層起，每層與其外一層球面的間距構成首項為 公差為的等差數列，若一個鬼工球最外層與最內層的半徑之差為，則該鬼工球的層數為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【變式訓練6-2】生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續打卡，每天所得積分都會比前一天多2積分．若某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡需從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，若連續打卡5天，則共獲得積分為 ；若該會員從3月1日開始到3月20日，他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天可以是3月 日．
題型7 等差數列奇偶項問題
例7-1等差數列的前16項和為640，前16項中偶數項和與奇數項和之比為11：9，則公差的值分別是（ ）
A． B． C． D．
例7-2已知等差數列的項數為奇數，且奇數項和為，偶數項和為，則數列的中間項為 ；項數為 ．
【變式訓練7-1】已知等差數列的項數為其中奇數項之和為 偶數項之和為 則( )
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】一個等差數列共100項，其和為80，奇數項和為30，則該數列的公差為（ ）
A． B．2 C． D．
【變式訓練7-3】已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
題型8 含絕對值等差數列前n項和
例8-1已知是數列的前項和，且.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
例8-2已知數列 滿足
(1)求數列的通項公式
(2)若數列 滿足 ，求數列的前 項和
方法技巧 含絕對值等差數列前n項和求解步驟
由正項開始的遞減等差數列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號由正變負的項
（2）在對進行討論，當時，，當時，
【變式訓練8-1】已知數列為等差數列，首項，公差．
(1)若，證明：是等比數列；
(2)若，設數列的前項和為，求滿足的的最小值．
(3)若，求數列的前項和；
【變式訓練8-2】等差數列的前項和記為，已知，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和
(3)求數列的前16項的和.
【變式訓練8-3】已知數列、的各項均不為零，若是單調遞增數列，且，，，.
(1)求及數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
題型9 等差數列單調性
例9-1（多選） 設等差數列的前項和，公差為且，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．時，最大 D．
例9-2已知等差數列{}的前n項和是，，，則數列{||}中值最小的項為第 項．
【變式訓練9-1】（多選） 已知是等差數列的前n項和，且，，則（ ）
A．數列為遞減數列 B．
C．的最大值為 D．
【變式訓練9-2】（多選） 等差數列的前n項和為，若，，，則（ ）
A． B．數列是遞減數列 C． D．
【變式訓練9-3】已知等差數列的前項和能取到最大值，且滿足：，對于以下幾個結論：
①數列是遞減數列；
②數列是遞減數列；
③數列的最大項是；
④數列的最小的正數是．
其中正確的序號是 ．
1．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
2．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等差數列的前n項和，若，，則 .
5．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設等差數列的公差為，且．令，記分別為數列的前項和．
(1)若，求的通項公式；
(2)若為等差數列，且，求．
1．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第2題)已知為等差數列，，求；
2．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第3題)（1）求從小到大排列的前n個正偶數的和．
（2）求從小到大排列的前n個正奇數的和．
（3）在三位正整數的集合中有多少個數是5的倍數？求這些數的和．
（4）在小于100的正整數中，有多少個數被7除余2？這些數的和是多少？
3．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第4題)1682年，英國天文學家哈雷發現一顆大星的運行曲線和1531年、1607年的彗星驚人地相似，他大膽斷定，這是同一天體的三次出現，并預言它將于76年后再度回歸這就是著名的哈雷彗星，它的回歸周期大約是76年，請你查找資料，列出哈雷星的回歸時間表，并預測它在本世紀回歸的年份．
4．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第9題)一支車隊有15輛車，某天下午依次出發執行運輸任務．第一輛車于14時出發，以后每間隔發出一輛車．假設所有的司機都連續開車，并都在18時停下來休息．
（1）截止到18時，最后一輛車行駛了多長時間？
（2）如果每輛車行駛的速度都是，這個車隊當天一共行駛了多少千米？
5．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.2第11題)虎甲蟲以爬行速度快聞名，下表記錄了一只鹿甲蟲連續爬行時爬行的距離．
時間/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距離/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一個數列模型，近似地表示這只虎甲蟲連續爬行的距離和時間之間的關系嗎？
（2）利用建立的模型計算，這只虎甲蟲連續爬行能爬多遠（精確到）？它連續爬行需要多長時間（精確到）？
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