資源簡介

第02講 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值
目錄
01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02體系構(gòu)建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅(jiān) 4
知能解碼 4
知識點(diǎn)1 單調(diào)性 4
知識點(diǎn)2 奇偶性 6
知識點(diǎn)3 周期性 7
知識點(diǎn)4 對稱性 8
題型破譯 7
題型1 確定函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間 8
題型2 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 9
題型3 比較大小 10
題型4 利用單調(diào)性解函數(shù)不等式 10
題型5 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 11
題型6 求最值（值域） 12
題型7 判斷函數(shù)的奇偶性 13
題型8 根據(jù)奇偶求解析式 14
題型9 利用奇偶求函數(shù)值或參數(shù) 14
題型10 利用奇偶和單調(diào)解不等式 15
題型11 函數(shù)的周期性 16
題型12 函數(shù)的對稱性 17
題型13 對稱、周期的綜合 18
04真題溯源·考向感知 19
05課本典例·高考素材 20
考點(diǎn)要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) （2）求函數(shù)值 （3）抽象函數(shù)的關(guān)系 （4）函數(shù)奇偶性的定義與判斷 （5）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 （6）函數(shù)對稱性的應(yīng)用 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷，第5題，5分 全國二卷，第10題，6分 北京卷，第15題，5分， 天津卷，第3題，5分 新課標(biāo)I卷，第6題,5分 新課標(biāo)I卷，第8題,5分 新課標(biāo)Ⅱ卷，第6題,5分 新課標(biāo)Ⅱ卷，第11題,6分 天津卷，第4題，5分 上海卷，第4題，4分 新課標(biāo)全國I卷，第4題,5分 新課標(biāo)全國I卷，第11題,5分 新課標(biāo)全國Ⅱ卷，第4題,5分 全國乙卷理，第4題，5分 全國甲卷理，第13題，5分 北京卷，第4題，4分
考情分析： 本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對稱性，是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容；設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-6分.
復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法 2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實(shí)際意義，會求簡單函數(shù)的最值 3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題 4.了解奇偶性的概念和意義，會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性 5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性解決問題 6.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關(guān)問題.
知識點(diǎn)1 單調(diào)性
一、函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)單調(diào)性的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果對于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，[
當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是 當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是
圖象描述 自左向右看，圖象是上升的 自左向右看，圖象是下降的
設(shè)，，
若有或，則在閉區(qū)間上是 ；
若有或，則在閉區(qū)間上是
2．單調(diào)區(qū)間的定義
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．
（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．
（3）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，注意區(qū)分，顯然.
3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
（1）若均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；
（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在函數(shù)的定義域上，如果與的單調(diào)性相同，那么單調(diào)遞增；如果與的單調(diào)性相反，那么單調(diào)遞減．簡記：“同增異減”．
（3）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性 ；
（4）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：
①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
二、函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足
條件 對于任意的，都有； 存在，使得 對于任意的，都有； 存在，使得
結(jié)論 為最大值 為最小值
注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；
（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.
自主檢測（多選）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點(diǎn)2 函數(shù)的奇偶性
1．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有 圖象關(guān)于軸對稱
奇函數(shù) 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：
對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）．
2．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論
（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反；
（2），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．
（4）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．
（5）掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)：
①函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)．
②函數(shù)（且）為奇函數(shù)．
③函數(shù)（且）為奇函數(shù)．
④函數(shù)（且）為奇函數(shù)．
自主檢測下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）.
A． B． C． D．
知識點(diǎn)3 周期性
1．周期函數(shù)
對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為 ，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．
2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論
設(shè)函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期為；②若，則函數(shù)的周期為；
③若，則函數(shù)的周期為
自主檢測設(shè)是以為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則 ， ．
知識點(diǎn)4 對稱性
1．函數(shù)自身的對稱性
（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是：
，即；
（2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件是：
，即。
2．不同函數(shù)對稱性
（1）函數(shù)與的圖像關(guān)于直線 成軸對稱。
（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對稱。
自主檢測（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
題型1 確定函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間
例1-1若函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】（多選）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．在上是減函數(shù) B．在上是減函數(shù)
C．在上是增函數(shù) D．（a為實(shí)數(shù)）在上是增函數(shù)
方法技巧
確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法
(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.
【變式訓(xùn)練1-2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
題型2 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例2-1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
例2-2（2025·江西·二模）若函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在函數(shù)的定義域上，如果與的單調(diào)性相同，那么單調(diào)遞增；如果與的單調(diào)性相反，那么單調(diào)遞減．簡記：“同增異減”．
【變式訓(xùn)練2-1】（多選）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在上都單調(diào)遞增，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增
【變式訓(xùn)練2-2·變考法】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練2-3·變載體】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．為偶函數(shù)
B．的值域?yàn)?br/>C．不存在，使得
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
題型3 比較大小
例3-1若，則以下不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
1.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待．
2.指數(shù)函數(shù)在第一象限圖像，具有“底大圖高”的性質(zhì)
3.指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)：一點(diǎn)一線。恒過定點(diǎn)（0，1），x軸是它的水平漸近線
4.進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．
【變式訓(xùn)練3-1】已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-2】（2025·山西·一模）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
題型4 利用單調(diào)性解函數(shù)不等式
例4-1（2025·廣西桂林·一模）函數(shù).若，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對于任意的，均有，則（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【變式訓(xùn)練4-1】已知是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是 ．
【變式訓(xùn)練4-2·變載體】（2025·河南·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
題型5 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例5-1已知，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例5-2（2025·江西宜春·一模）已知函數(shù)在上的最小值是1，則 .
【變式訓(xùn)練5-1】如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)的取值范圍（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【變式訓(xùn)練5-3】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值可以是 ．（寫出滿足條件的一個(gè)值即可）
題型6 求最值（值域）
例6-1的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
例6-2已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ．
方法技巧 （1）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
（2）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：
①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和
【變式訓(xùn)練6-1】函數(shù)的最小值和最大值分別是（ ）
A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6
【變式訓(xùn)練6-2】（2025·寧夏陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則在上的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．1
題型7 判斷函數(shù)的奇偶性
例7-1（多選）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
例7-2下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
【變式訓(xùn)練7-1】（2025·云南曲靖·二模）（多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練7-2】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練7-3】（多選）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
題型8 根據(jù)奇偶求解析式
例8-1已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，
例8-2（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為 .
【變式訓(xùn)練8-1】已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， （ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練8-2·變考法】定義在上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時(shí)，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值時(shí)，方程在上有解．
題型9 利用奇偶求函數(shù)值或參數(shù)
例9-1已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例9-2若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式訓(xùn)練9-1】若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【變式訓(xùn)練9-2】（2025·湖南長沙·二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則 ．
【變式訓(xùn)練9-3】已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練9-4】（2025·浙江·三模）已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則 ．
題型10 利用奇偶和單調(diào)解不等式
例10-1（2025·山西臨汾·三模）已知，則滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例10-2設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為 ．
【變式訓(xùn)練10-1】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集是 ．
【變式訓(xùn)練10-2】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.若實(shí)數(shù)a滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練10-3·變考法】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
題型11 函數(shù)的周期性
例11-1（2025·青海海東·三模）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．2為的一個(gè)周期
例11-2已知是定義在上的周期為3的奇函數(shù)，且，則 ．
方法技巧
【變式訓(xùn)練11-1】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 ．
【變式訓(xùn)練11-2·變考法】定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則 ．
題型12 對稱性
例12-1（2025·四川·三模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱
C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱
例12-2已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象有對稱軸 B．的圖象有對稱軸
C．的圖象有對稱中心 D．的圖象有對稱中心
方法技巧
1.中心對稱結(jié)論：
（1）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對稱中心為
（2）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對稱中心為
（3）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對稱中心為.
2.軸對稱性的常用結(jié)論如下：
（1）若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為
（2）若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為
（3）若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為
（4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱；
【變式訓(xùn)練12-1】（2025·重慶·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的?dǎo)函數(shù).若是奇函數(shù)，則的圖象（ ）
A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于對稱
C．關(guān)于對稱 D．關(guān)于對稱
【變式訓(xùn)練12-2】（多選）設(shè)函數(shù)滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于中心對稱
C．是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
D．
【變式訓(xùn)練12-3·變考法】（2025·湖北·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則 ．
題型13 對稱、周期的綜合
例13-1已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
例13-2已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則 ．
方法技巧 ①兩中心
②兩垂直軸
③一個(gè)中心 ，一條軸
【變式訓(xùn)練13-1】已知是定義在上的偶函數(shù)且，是奇函數(shù)，則 ．
【變式訓(xùn)練13-2】已知定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓(xùn)練13-3·變考法】（2025·寧夏銀川·三模）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)
C．是周期為3的周期函數(shù) D．
1.（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
3.（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
4.．（2023·全國乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
5.．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
6．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
8．（2023·全國甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
1．圖中的曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）

A． B． C． D．
2．已知
(1)求和；
(2)求函數(shù)的值域．
3．討論下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1)；
(2)．
4．已知函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
5．函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．
(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．
6．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第02講 函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值
目錄
01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02體系構(gòu)建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅(jiān) 4
知能解碼 4
知識點(diǎn)1 單調(diào)性 4
知識點(diǎn)2 奇偶性 6
知識點(diǎn)3 周期性 7
知識點(diǎn)4 對稱性 8
題型破譯 9
題型1 確定函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間 9
題型2 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 11
題型3 比較大小 13
題型4 利用單調(diào)性解函數(shù)不等式 15
題型5 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 17
題型6 求最值（值域） 19
題型7 判斷函數(shù)的奇偶性 21
題型8 根據(jù)奇偶求解析式 24
題型9 利用奇偶求函數(shù)值或參數(shù) 27
題型10 利用奇偶和單調(diào)解不等式 29
題型11 函數(shù)的周期性 32
題型12 函數(shù)的對稱性 34
題型13 對稱、周期的綜合 38
04真題溯源·考向感知 41
05課本典例·高考素材 46
考點(diǎn)要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) （2）求函數(shù)值 （3）抽象函數(shù)的關(guān)系 （4）函數(shù)奇偶性的定義與判斷 （5）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 （6）函數(shù)對稱性的應(yīng)用 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷，第5題，5分 全國二卷，第10題，6分 北京卷，第15題，5分， 天津卷，第3題，5分 新課標(biāo)I卷，第6題,5分 新課標(biāo)I卷，第8題,5分 新課標(biāo)Ⅱ卷，第6題,5分 新課標(biāo)Ⅱ卷，第11題,6分 天津卷，第4題，5分 上海卷，第4題，4分 新課標(biāo)全國I卷，第4題,5分 新課標(biāo)全國I卷，第11題,5分 新課標(biāo)全國Ⅱ卷，第4題,5分 全國乙卷理，第4題，5分 全國甲卷理，第13題，5分 北京卷，第4題，4分
考情分析： 本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對稱性，是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容；設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-6分.
復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法 2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實(shí)際意義，會求簡單函數(shù)的最值 3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題 4.了解奇偶性的概念和意義，會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性 5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性解決問題 6.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關(guān)問題.
知識點(diǎn)1 單調(diào)性
一、函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)單調(diào)性的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑τ诙x域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，[
當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看，圖象是上升的 自左向右看，圖象是下降的
設(shè)，，
若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；
若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù)
2．單調(diào)區(qū)間的定義
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．
（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．
（3）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，注意區(qū)分，顯然.
3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
（1）若均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；
（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在函數(shù)的定義域上，如果與的單調(diào)性相同，那么單調(diào)遞增；如果與的單調(diào)性相反，那么單調(diào)遞減．簡記：“同增異減”．
（3）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
（4）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：
①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
二、函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足
條件 對于任意的，都有； 存在，使得 對于任意的，都有； 存在，使得
結(jié)論 為最大值 為最小值
注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；
（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.
自主檢測（多選）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】顯然在上單調(diào)遞減；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增；又的圖象關(guān)于直線對稱，所以在上單調(diào)遞減；由知，其圖象關(guān)于直線對稱，所以在上單調(diào)遞增．
知識點(diǎn)2 函數(shù)的奇偶性
1．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有 圖象關(guān)于軸對稱
奇函數(shù) 如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：
對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）．
2．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論
（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反；
（2），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 不能確定 奇函數(shù) 偶函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．
（4）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．
（5）掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)：
①函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)．
②函數(shù)（且）為奇函數(shù)．
③函數(shù)（且）為奇函數(shù)．
④函數(shù)（且）為奇函數(shù)．
自主檢測下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接運(yùn)用常見函數(shù)的奇偶性判斷即可.
【詳解】根據(jù)所學(xué)知識，知道為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為非奇非偶函數(shù).
故選：B.
知識點(diǎn)3 周期性
1．周期函數(shù)
對于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．
2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論
設(shè)函數(shù)，.
①若，則函數(shù)的周期為；②若，則函數(shù)的周期為；
③若，則函數(shù)的周期為
自主檢測設(shè)是以為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則 ， ．
【答案】 /
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式和周期函數(shù)即可求解.
【詳解】解析：，，
故答案為：；
知識點(diǎn)4 對稱性
1．函數(shù)自身的對稱性
（1）函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是：
，即；
（2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件是：
，即。
2．不同函數(shù)對稱性
（1）函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對稱。
（2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對稱。
自主檢測（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)的條件，建立關(guān)于的方程，通過帶入特定值推導(dǎo)各選項(xiàng)的函數(shù)值即可.
【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，
即， 所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以.
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以.
故選：D.
題型1 確定函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間
例1-1若函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，，所以，A正確；又，所以，，B，C正確，D錯(cuò)誤．
例1-2函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖象得的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
【變式訓(xùn)練1-1】（多選）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．在上是減函數(shù) B．在上是減函數(shù)
C．在上是增函數(shù) D．（a為實(shí)數(shù)）在上是增函數(shù)
【答案】BCD
【詳解】設(shè)，則必有，所以，所以選項(xiàng)A一定成立；其余三項(xiàng)不一定成立，如當(dāng)時(shí)，B，C不成立；當(dāng)時(shí)，D不成立．
方法技巧
確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法
(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.
【變式訓(xùn)練1-2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化函數(shù)為分段函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：A
【變式訓(xùn)練1-3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
【答案】,
【分析】利用分段函數(shù)思想，來作出圖象，即可得單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】，
畫出函數(shù)圖象，如圖所示，
根據(jù)圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
故答案為：，．
題型2 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例2-1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】有意義，則，解得．設(shè)，其圖象開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的性質(zhì)，當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞增．
例2-2（2025·江西·二模）若函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性計(jì)算求參即可.
【詳解】根據(jù)函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，
可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.
故選:D.
方法技巧
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)在函數(shù)的定義域上，如果與的單調(diào)性相同，那么單調(diào)遞增；如果與的單調(diào)性相反，那么單調(diào)遞減．簡記：“同增異減”．
【變式訓(xùn)練2-1】（多選）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在上都單調(diào)遞增，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增
【答案】AB
【分析】根據(jù)奇偶性定義可判斷AB；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷CD.
【詳解】，所以A正確；
，所以B正確；
取，則在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；
取，，則在上單調(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤．
故選：AB
【變式訓(xùn)練2-2·變考法】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函數(shù)定義域，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，外函數(shù)是增函數(shù)，要求函數(shù)的遞增區(qū)間，則求內(nèi)函數(shù)遞增區(qū)間即可.
【詳解】由題得由，得，
解得，即函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，故求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，
令，則，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為.
故選：D.
【變式訓(xùn)練2-3·變載體】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．為偶函數(shù)
B．的值域?yàn)?br/>C．不存在，使得
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義判斷A；換元并利用余弦函數(shù)值域判斷B；舉例說明判斷C；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，因此為偶函數(shù)，A正確；
對于B，令，函數(shù)是R上增函數(shù)，值域?yàn)镽，函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>因此的值域?yàn)?，B正確；
對于C，由選項(xiàng)B知，存在唯一使得，則，
且，因此存在，使得，C錯(cuò)誤；
對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.
故選：ABD
題型3 比較大小
例3-1若，則以下不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先構(gòu)造函數(shù)判斷出最小，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性去比較的大小即可解決.
【詳解】令，則，
由，得，由，得，
即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
即當(dāng)時(shí)取得最小值，
則有，，即，，
又，
綜上的大小關(guān)系為.
故選：A
例3-2（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求得的值，根據(jù)可求出的值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則，解得，
所以，可得，故，
因?yàn)椋?，?br/>且函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，則，故.
故選：C.
方法技巧
1.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待．
2.指數(shù)函數(shù)在第一象限圖像，具有“底大圖高”的性質(zhì)
3.指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)：一點(diǎn)一線。恒過定點(diǎn)（0，1），x軸是它的水平漸近線
4.進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．
【變式訓(xùn)練3-1】已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.
【詳解】因?yàn)?，，，?gòu)造函數(shù)，
因?yàn)?，由，得到?br/>由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br/>因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A，C，D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，
故選：B.
【變式訓(xùn)練3-2】（2025·山西·一模）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，，所以，
又，所以.
故選：.
題型4 利用單調(diào)性解函數(shù)不等式
例4-1（2025·廣西桂林·一模）函數(shù).若，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，再利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小.
【詳解】，
關(guān)于對稱.
當(dāng)時(shí)：為增函數(shù)，也為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，
關(guān)于對稱在為減函數(shù)，
，，
.
故選：A.
例4-2已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對于任意的，均有，則（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)且可得答案.
【詳解】構(gòu)造函數(shù) ，
則 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
故 ，
即 ，
即 .
同理， ，
即 .
故選 ： A.
【變式訓(xùn)練4-1】已知是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】由題意，得解得①．因?yàn)槭嵌x在區(qū)間上的增函數(shù)，且，所以，解得②．綜合①②得．所以的取值范圍是．
【變式訓(xùn)練4-2·變載體】（2025·河南·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分類討論解不等式, 再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，， 在上單調(diào)遞減，
所以，即當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，不等式無解.
綜上，所求不等式的解集為.
故選：A.
題型5 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例5-1已知，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，得解得，函數(shù)的定義域?yàn)椋郑院瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)．，所以在上單調(diào)遞減．又，所以解得．
例5-2（2025·江西宜春·一模）已知函數(shù)在上的最小值是1，則 .
【答案】/
【分析】分三類，，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，即可求出最小值.
【詳解】若，則，在上單調(diào)遞增，最小值為，不符合題意；
若，則的定義域?yàn)椋?br/>且由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
則最小值為，解得，不符合題意；
若，則的定義域?yàn)椋?br/>由題意可得，則，
此時(shí)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
則最小值為，解得，符合題意；
綜上， .
故答案為：
【變式訓(xùn)練5-1】如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)的取值范圍（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
【變式訓(xùn)練5-2】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【變式訓(xùn)練5-3】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值可以是 ．（寫出滿足條件的一個(gè)值即可）
【答案】0（答案不唯一，）
【詳解】依題意，函數(shù)，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，則，解得，
實(shí)數(shù)的值可以是0.
故答案為：0（答案不唯一）
題型6 求最值（值域）
例6-1的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以，即．又在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為，即的值域?yàn)椋?br/>例6-2已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 ．
【答案】
【詳解】由已知得，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．
方法技巧 （1）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；
（2）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：
①的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
②（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和
【變式訓(xùn)練6-1】函數(shù)的最小值和最大值分別是（ ）
A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6
【答案】C
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，把6，3分別代入得．
【變式訓(xùn)練6-2】（2025·寧夏陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則在上的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】先利用換元法求出的解析式，再利用定義法求證在上的單調(diào)性即可求出.
【詳解】，令，則，
則，
且，則
因，則，則，
又，則，即，
則在上單調(diào)遞增，
則的最大值為.
故選：C
題型7 判斷函數(shù)的奇偶性
例7-1（多選）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【詳解】在A中，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則是偶函數(shù)；在B中，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則是偶函數(shù)；在C中，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則是奇函數(shù)；在D中，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，則，則是奇函數(shù)．
例7-2下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)?，，故?br/>所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，A不滿足；
對于B選項(xiàng)，對于函數(shù)，由可得，解得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，
外層函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，B不滿足；
對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br/>故函數(shù)為偶函數(shù)，C不滿足；
對于D選項(xiàng)，對任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，即函數(shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)椋?br/>內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，在定義域上為增函數(shù)，D滿足.
故選：D.
方法技巧 常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)：①函數(shù)或函數(shù)．②函數(shù)．
③函數(shù)或函數(shù)
④函數(shù)或函數(shù)．
【變式訓(xùn)練7-1】（2025·云南曲靖·二模）（多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】求出各個(gè)函數(shù)的定義域，代入判斷函數(shù)奇偶性，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出單調(diào)性.
【詳解】設(shè)，，，
對于A項(xiàng)，易知定義域?yàn)镽，
且，所以為偶函數(shù).
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增.故A正確；
對于B項(xiàng)，定義域?yàn)镽，
且，所以不是偶函數(shù).故B錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)，定義域?yàn)椋?br/>且.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.故C正確；
對于D項(xiàng)，定義域?yàn)椋?br/>且，所以為奇函數(shù).故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【變式訓(xùn)練7-2】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】對于選項(xiàng)A，D，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故其為非奇非偶函數(shù)；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義，故選項(xiàng)B也是非奇非偶函數(shù)；對于選項(xiàng)C，令，無論x取何值都滿足．
【變式訓(xùn)練7-3】（2026高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用偶函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A，的定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，A不是；
對于B，的定義域?yàn)椋?，為偶函?shù)，B是；
對于C，的定義域?yàn)椋摵瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，C不是；
對于D，的定義域?yàn)镽，，該函數(shù)為偶函數(shù)，D是.
故選：BD
題型8 根據(jù)奇偶求解析式
例8-1已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，
【答案】
【分析】根據(jù)條件得到時(shí)，，又，求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，
又是定義在上的奇函數(shù)，故，
所以，故.
故答案為：
例8-2（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為 .
【答案】.
【分析】利用奇函數(shù)的定義，將求時(shí)的解析式轉(zhuǎn)化為時(shí)的情況，直接代入已知解析式即可.
【詳解】解析：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，.
故答案為：.
【變式訓(xùn)練8-1】已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先設(shè)時(shí)，代入再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)得出函數(shù)的解析式即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
又．
故選:C．
【變式訓(xùn)練8-2·變考法】定義在上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時(shí)，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值時(shí)，方程在上有解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，利用奇函數(shù)性質(zhì)可求在上的解析式，利用周期性和奇偶性可得；
（2）求出單調(diào)性，畫出的圖象，利用圖象交點(diǎn)可得的范圍.
【詳解】（1）時(shí)，，則，
因?yàn)槠婧瘮?shù)，則；
因的最小正周期為，則，
又，則，
則
（2），且，則
，
因，則，，
則，即，則在上單調(diào)遞減，則；
利用奇函數(shù)性質(zhì)可得， 在上也單調(diào)遞減，且，
畫出圖象如圖所示，

由圖象可知，則或或時(shí)，與的圖象有交點(diǎn)，
即方程在上有解，故．
題型9 利用奇偶求函數(shù)值或參數(shù)
例9-1已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：根據(jù)，得到方程，求出；方法二：根據(jù)得到方程，求出，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，故.
【詳解】方法一：，
令，解得，故定義域?yàn)椋?br/>則，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，
故，因此；
方法二：，故，
即，故，解得，
故，
令，解得，故定義域?yàn)椋?br/>所以，故為奇函數(shù).
故選：A.
例9-2若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，所以．
【變式訓(xùn)練9-1】若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)來求解的值，進(jìn)而得出的值.
【詳解】由題可得的定義域?yàn)?
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，.
所以，則，
因?yàn)閷θ我獾模愠闪ⅲ?br/>所以，所以.
故選：C.
【變式訓(xùn)練9-2】（2025·湖南長沙·二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)輔助角公式得出，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出的值，得出答案.
【詳解】由輔助角公式，得，其中．
又因?yàn)槠婧瘮?shù)，則有，即，故（），
于是，故．
故答案為：.
【變式訓(xùn)練9-3】已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為 ．
【答案】0
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，得．因?yàn)?，即，得，所以，所以?br/>【變式訓(xùn)練9-4】（2025·浙江·三模）已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則 ．
【答案】-3
【分析】可根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)來求解與的值，進(jìn)而得到的值．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，，，
所以，，
所以．
故答案為：.
題型10 利用奇偶和單調(diào)解不等式
例10-1（2025·山西臨汾·三模）已知，則滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)解析式明確定義域，判其奇偶性，整理函數(shù)解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)性，簡化不等式，可得答案.
【詳解】由，易知其定義域?yàn)椋?br/>由
，則函數(shù)為偶函數(shù)，
，
由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，則，即，
整理可得，分解因式可得，
解得.
故選：A
例10-2設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)解不等式求出，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，
解得．又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，
所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，
所以不等式的解集為．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練10-1】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【詳解】由題意得．關(guān)于x的不等式，即，所以．又定義在上，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，解得或．
易錯(cuò)警示 解題中易忽視函數(shù)的定義域．
【變式訓(xùn)練10-2】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.若實(shí)數(shù)a滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，知，所以.又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即或，所以或.
【變式訓(xùn)練10-3·變考法】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過其單調(diào)性奇偶性，得到在上有解，求得最值，進(jìn)而可求解；
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，
又，則是奇函數(shù)，
由，可得，
即，
，即在上有解，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
題型11 函數(shù)的周期性
例11-1（2025·青海海東·三模）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．2為的一個(gè)周期
【答案】ACD
【分析】根據(jù)給定條件求得函數(shù)的周期，再逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于D，由，得，則2為的一個(gè)周期，D正確；
對于A，，A正確；
對于B，，B錯(cuò)誤；
對于C，，C正確.
故選：ACD
例11-2已知是定義在上的周期為3的奇函數(shù)，且，則 ．
【答案】
【分析】利用函數(shù)的周期性得，由已知條件可知，即可求值.
【詳解】由題意知，又，且，
所以，所以，即．
所以．
故答案為：
方法技巧
【變式訓(xùn)練11-1】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 ．
【答案】/0.125
【分析】由可得函數(shù)的周期為3，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由知，函數(shù)的周期為3，又函數(shù)為奇函數(shù)，
所以．
故答案為：.
【變式訓(xùn)練11-2·變考法】定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則 ．
【答案】339
【分析】利用條件可得的周期，再利用函數(shù)解析式和周期性計(jì)算出至，再利用，從而將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，
所以的周期，
當(dāng)時(shí)，，則，，
則，，
當(dāng)時(shí)，，則，，，，
則，，
則，
，
而，
所以．
故答案為：339.
題型12 對稱性
例12-1（2025·四川·三模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（ ）
A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱
C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性可得為奇函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的平移變換即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則為奇函數(shù)，
所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
函數(shù)的圖象可由的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．
故選：A
例12-2已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象有對稱軸 B．的圖象有對稱軸
C．的圖象有對稱中心 D．的圖象有對稱中心
【答案】D
【分析】只需計(jì)算，驗(yàn)證即可求解.
【詳解】，，所以，所以的圖象有對稱中心，故A錯(cuò)誤，D正確；
，，
所以，，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，
故選：D.
方法技巧
1.中心對稱結(jié)論：
（1）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對稱中心為
（2）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對稱中心為
（3）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對稱中心為.
2.軸對稱性的常用結(jié)論如下：
（1）若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為
（2）若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為
（3）若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為
（4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱；
【變式訓(xùn)練12-1】（2025·重慶·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋堑膶?dǎo)函數(shù).若是奇函數(shù)，則的圖象（ ）
A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于對稱
C．關(guān)于對稱 D．關(guān)于對稱
【答案】B
【分析】由題意得，求導(dǎo)得，即可求解.
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，
對其求導(dǎo)，則有，所以關(guān)于直線對稱.
故選：B
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查對稱性，一般根據(jù)以下結(jié)論進(jìn)行判斷：
（1）對于，若，則函數(shù)周期為；
（2）對于，若，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；
（3）對于，若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱.
【變式訓(xùn)練12-2】（多選）設(shè)函數(shù)滿足，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的圖象關(guān)于中心對稱
C．是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
D．
【答案】AD
【分析】圍繞函數(shù)，依據(jù)給定的等式關(guān)系，通過對不同變量賦值，來判斷函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱中心以及計(jì)算函數(shù)值的和等性質(zhì).
【詳解】對于A，令，代入等式可得.得到，開方后解得，所以A選項(xiàng)正確.
對于B，令，則原等式變?yōu)?
因?yàn)榍懊嬉亚蟮茫裕?，移?xiàng)可得.
根據(jù)偶函數(shù)的定義，可知函數(shù)是偶函數(shù)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于C，令，原等式變?yōu)?
由于，則，即.
令，則，那么.
根據(jù)周期函數(shù)的定義，所以是函數(shù)的一個(gè)周期.
當(dāng)，時(shí)，可得，
可得，①；
當(dāng)時(shí)，可得 ②.
由①+②可得，由于，
所以，
代入②式得到，由于，進(jìn)而解得.
令，原等式變?yōu)?
因?yàn)?，所以，移?xiàng)可得.
又因?yàn)?，所?
根據(jù)函數(shù)對稱中心的性質(zhì)可知是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心.
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)周期，，所以也是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于D，根據(jù)前面的分析，有，，，，且是函數(shù)的一個(gè)周期，所以.
因?yàn)椋?，所以D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
【變式訓(xùn)練12-3·變考法】（2025·湖北·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則 ．
【答案】4
【分析】由題意可得對任意，恒有成立，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由題意知，對任意，恒有成立，
即恒成立，化簡得，
故只能，又，則．
故答案為：4.
題型13 對稱、周期的綜合
例13-1已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，
所以，所以，即，
所以是周期為的周期函數(shù)，且，，
所以．
故選：C．
例13-2已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)奇偶性得到，進(jìn)而推導(dǎo)出是周期為4的函數(shù)，利用周期性求函數(shù)值即可.
【詳解】由為偶函數(shù)，，即，
由為奇函數(shù)，，即，
所以，即，即，
所以，即是周期為4的函數(shù)，
所以，又，
所以.
故答案為：
方法技巧 ①兩中心
②兩垂直軸
③一個(gè)中心 ，一條軸
【變式訓(xùn)練13-1】已知是定義在上的偶函數(shù)且，是奇函數(shù)，則 ．
【答案】0
【分析】利用奇偶性和周期性的定義得到的周期為4，再利用賦值法求出前幾項(xiàng)的函數(shù)值，再求和即可.
【詳解】是上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，
的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得到，
，，
故，即的周期為4，
是上的偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
，由已知得，
對于，當(dāng)時(shí)，得到，
當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，，
，
.
故答案為：
【變式訓(xùn)練13-2】已知定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先利用圖象變換得出為偶函數(shù)，再利用得出的周期，進(jìn)而利用周期性和對稱性即可求解.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
可知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù)，
又由，得，則，
所以是周期為8的偶函數(shù)，則．
故選：B.
【變式訓(xùn)練13-3·變考法】（2025·寧夏銀川·三模）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)
C．是周期為3的周期函數(shù) D．
【答案】BCD
【分析】由可判斷A，由，得到，可判斷C，由和可判斷B，由周期性，奇偶性可判斷D.
【詳解】對于A，，所以不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
對于B：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，
由，可得：，
所以，即，
所以，偶函數(shù)，正確；
對于C：由，
可得，所以是周期為3的周期函數(shù)，正確；
對于D，，
所以，
由周期性可得：
故選：BCD
1.（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【詳解】，
又函數(shù)定義域?yàn)?，故該函?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故選：B.
2.（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號，進(jìn)而可得的符號，即可得，代入可得最值.
【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br/>令解得；令解得；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
可知若，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br/>令解得；令解得；
則當(dāng)時(shí)，，故，所以；
時(shí)，，故，所以；
故， 則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.
3.（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因?yàn)?，而?br/>所以，即
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
因?yàn)?，而?br/>即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
4.．（2023·全國乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
5.．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（ ）．
A． B．
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.
方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】方法一：
因?yàn)椋?br/>對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.
方法二：
因?yàn)椋?br/>對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，當(dāng)時(shí)，對兩邊同時(shí)除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：.
6．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
7．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)?為偶函數(shù)，則 ，解得，
當(dāng)時(shí)，，，解得或，
則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.
，
故此時(shí)為偶函數(shù).
故選：B.
8．（2023·全國甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，
所以.
故答案為：2.
1．圖中的曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的函數(shù)值符號以及奇偶性，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)不滿足條件；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，B選項(xiàng)不滿足條件；
對于C選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由三角函數(shù)圖象可知，C選項(xiàng)滿足條件；
對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)不滿足條件.
故選：C.
2．已知
(1)求和；
(2)求函數(shù)的值域．
【答案】(1)，，.
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，代入即可求解；
（2）解法1：由，得到，函數(shù)的值域；
解法2：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為應(yīng)該有解，結(jié)合，即可求得函數(shù)的值域．
【詳解】（1）解：由函數(shù)，
可得，，.
（2）解法1：因?yàn)椋傻煤愠闪ⅲ傻?，所以?br/>即函數(shù)的值域?yàn)?
解法2：假設(shè)是所求值域中的元素，則關(guān)于的方程應(yīng)該有解，即應(yīng)該有解，
從而，即，解得，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>3．討論下列函數(shù)的單調(diào)性：
(1)；
(2)．
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖像即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.
【詳解】（1），定義域?yàn)镽，開口向上，對稱軸，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）,定義域?yàn)镽，，令，
，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
4．已知函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需要滿足在每一段上單調(diào)遞減，且分段處，左端函數(shù)值大于等于右端函數(shù)值.
【詳解】要想滿足在R上是減函數(shù)，
則二次函數(shù)的對稱軸，且，
解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
5．函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，．
(1)畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并求其單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在區(qū)間上的解析式，其中．
【答案】(1)答案見解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根據(jù)周期性及已知區(qū)間解析式畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合確定單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)、最值；
（2）利用周期性求函數(shù)值即可；
（3）由，代入已知解析式，根據(jù)周期性即可得解析式.
【詳解】（1）由的周期性及上解析式，得區(qū)間上的圖象如下：

由上圖知：增區(qū)間為，減區(qū)間為；
零點(diǎn)為共3個(gè)；最大值為1，最小值為0.
（2）由題設(shè).
（3）令且，則，
又，則，即，
綜上，在區(qū)間上，.
6．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)非奇非偶函數(shù)；
(2)非奇非偶函數(shù)；
(3)奇函數(shù)
(4)偶函數(shù)
(5)奇函數(shù)
【分析】首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義判斷出各函數(shù)定義域，可得（1）（2）中的兩函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以（1）（2）為非奇非偶函數(shù)；對（3）（4）（5）中的函數(shù)再利用奇偶性的定義可分別判斷出（3）（5）為奇函數(shù)，（4）為偶函數(shù).
【詳解】（1）由對數(shù)函數(shù)定義可知需滿足，解得；
即函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）由對數(shù)函數(shù)定義可知需滿足，
解得，所以，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（3）由對數(shù)函數(shù)定義可知需滿足，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋@然關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且易知，滿足；
所以函數(shù)為奇函數(shù).
（4）對于函數(shù)可得對于恒成立，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，滿足；
所以函數(shù)為偶函數(shù)；
（5）對于函數(shù)可知對于恒成立，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且
，滿足；
所以函數(shù)為奇函數(shù).
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