資源簡介

第02講 平面向量基本定理及坐標表示
目錄
01 考情解碼 命題預警 2
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 平面向量的基本定理 4
知識點2 平面向量的正交分解 4
知識點3 平面向量的坐標運算 4
知識點4 平面向量共線的坐標表示 5
題型破譯 5
題型1 對基向量概念的理解 5
題型2 用基底表示向量 6
題型3 利用平面向量基本定理求參數 7
【方法技巧】對應系數相等求參數
【易錯分析】向量的分解易錯
題型4 平面向量的坐標運算 8
題型5 向量共線的坐標表示 9
04真題溯源·考向感知 10
05課本典例·高考素材 11
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解平面向量基本定理及其意義，在平面內，當一組基選定后，會用這組基來表示其他向量； （2）借助平面坐標系，掌握平面向量的坐標表示； （3）理解向量坐標的運算及中點坐標公式； （4）掌握平面向量平行的坐標表示． 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷，12題，5分 新課標I卷，第3題，5分 全國甲卷，第9題，5分 上海卷，第5題，4分 新課標I卷，第3題，5分
考情分析： 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示； 會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算； 理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
復習目標： （1）會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題； （2）會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；能將向量的幾何運算和代數運算靈活地結合起來，解決一些平面向量的計算問題； （3）理解用坐標表示的平面向量共線的條件，并能正確地進行有關應用．
知識點1 平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個 .
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝ .
基底 若e1，e2 .，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
自主檢測在中，點滿足，點滿足，，分別是，的中點，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
知識點2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及標準正交基
（1）若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基；
（2）在正交基下向量的線性表示稱為正交分解；
（3）若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為 .．
（4）把一個向量分解為兩個 .的向量，叫做把向量作正交分解.
自主檢測已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是．
(1)用坐標表示；
(2)求的模長；
(3)求頂點A的坐標．
知識點3 平面向量的坐標運算
1、平面向量的坐標表示
如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于坐標平面內的任意向量a，以坐標原點O為起點作＝a（通常稱為位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數x，y，使＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我們把(x，y)稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，向量a可以表示為a＝(x，y)．
2、點的坐標與向量坐標間的關系
在平面直角坐標系中，點的位置被它的位置向量所唯一確定，設點的坐標為，容易看出，即點的位置向量的坐標也就是點的坐標；反之，點在平面直角坐標系中的坐標也是點所決定的位置向量的坐標．
3、平面向量的坐標運算
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
數學公式 文字語言表述
向量加法 a＋b＝ . 兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝ . 兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應坐標的差
向量數乘 λa＝ . 實數與向量數乘的坐標等于這個實數與向量的相應坐標的乘積
自主檢測若向量，，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
知識點4 向量坐標的坐標表示
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量，
即任意一個向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標．
自主檢測已知向量，，若，則y的值為（ ）
A． B． C．2 D．
題型1 對基向量概念的理解
例1-1若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
例1-2（多選）設，是平面內所有向量的一組基底，則下面四組向量中，能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
方法技巧 向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
【變式訓練1-1】若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】（多選）下列說法正確的是（ ）
A．與向量方向相同的單位向量的坐標為
B．為非零向量，則向量在向量上的投影向量為
C．為非零向量，且相互不共線，則
D．若與共線，則
【變式訓練1-3】若是平面內一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
題型2 用基底表示向量
例2-1已知點為的重心（三條中線的交點），記，則（ ）
A． B． C． D．
例2-2在中，為邊上的中線，為上靠近的三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧
判斷所給的兩個向量能否作為一組基的方法
由基的定義可知，要判斷兩個向量a，b能否作為一組基，只需判斷兩向量是否共線，而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作為基的向量必為非零向量
【變式訓練2-1】若點O是平行四邊形兩條對角線的交點，，則向量（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2·變考法】（多選）在中，已知是的中點，若P是上的一點，且滿足與交于點E，則（ ）
A． B．在上的投影向量為
C． D．
【變式訓練2-3·變載體】在平行四邊形中，，，若為線段上靠近的三等分點，交于，則 .（用，表示）
題型3 利用平面向量基本定理求參數
例3-1
在中，點是邊的中點，點是的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
例3-2（2026高三·全國·專題練習）已知點M為中邊上的中點，點N滿足，過點N的直線與分別交于P，Q兩點，且設，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
例3-3如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，若，則的值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
方法技巧
若直接利用基表示向量比較困難，可設出目標向量，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量（一般需建立兩個不同的向量表達式），再根據待定系數法確定系數，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．
【變式訓練3-1】在平行四邊形中，，交于點，若，則 .
【變式訓練3-2】如圖所示，在中，是BN上的一點，若，則實數m的值為 ．
題型4 平面向量的坐標運算
例4-1與向量平行的單位向量是（ ）
A． B．
C．或 D．或
例4-2在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，若向量，則點A的坐標為 ．
方法技巧
求向量的坐標的一般方法
1、數形結合法：根據正交分解，求向量在軸、軸上的坐標分量；
2、平移法：把向量的始點移至坐標原點，終點坐標即向量的坐標；
3、若已知、，則．
【變式訓練4-1】已知向量，，則與（ ）
A．互為相等向量 B．互為相反向量 C．相互垂直 D．均為零向量
【變式訓練4-2·變載體】已知點，則（ ）
A． B． C． D．
題型5 向量共線的坐標表示
例5-1已知非零向量，，若A，B，C三點共線，則（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．無解
例5-2已知平面向量，，且，則 .
例5-3已知點，點，且，則點的坐標為 ．
方法技巧
1、判斷兩個向量共線的方法：一般是利用向量的坐標運算求出需要判斷的向量的坐標，并根據兩個向量平行的坐標來判斷，即先求出，，若，則．
2、由向量共線求參數的值
已知兩個向量共線求參數時，參數一般設置在兩個位置：一是向量坐標本身含參，二是將相關向量用已知兩個向量的含參關系表示，解題時應根據題目特點選擇向量共線的坐標表示的兩種形式，建立有關參數的方程或方程組求解．
【變式訓練5-1】已知，，若線段的一個三等分點為，則的坐標為（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式訓練5-2】設向量其中為坐標原點， ，若三點共線， 則的最小值為 .
【變式訓練5-3已知向量，，，若與平行，則實數 .
1．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，，.設，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
3．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
6．（2025·上海·高考真題）已知橢圓，，A是的右頂點．
(1)若的焦點，求離心率e；
(2)若，且上存在一點P，滿足，求m；
(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點，為鈍角，求a的取值范圍．
1.已知的兩條對角線相交于點O，以，為基向量，則 .
2.已知，，，當時，求實數x，y應滿足的關系式．
3.已知，，，求的頂點的坐標．
4.已知，，求的坐標．
5.已知向量，，，求，并用標準正交基表示.
6.已知，，求，，的坐標．
7.如圖，點B與點C關于點A對稱，點D在線段OB上，，DC和OA交于點E.設，，用和表示向量，.

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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 平面向量基本定理及坐標表示
目錄
01 考情解碼 命題預警 2
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 平面向量的基本定理 4
知識點2 平面向量的正交分解 4
知識點3 平面向量的坐標運算 5
知識點4 平面向量共線的坐標表示 6
題型破譯 7
題型1 對基向量概念的理解 7
題型2 用基底表示向量 10
題型3 利用平面向量基本定理求參數 13
【方法技巧】對應系數相等求參數
【易錯分析】向量的分解易錯
題型4 平面向量的坐標運算 16
題型5 向量共線的坐標表示 17
04真題溯源·考向感知 19
05課本典例·高考素材 24
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解平面向量基本定理及其意義，在平面內，當一組基選定后，會用這組基來表示其他向量； （2）借助平面坐標系，掌握平面向量的坐標表示； （3）理解向量坐標的運算及中點坐標公式； （4）掌握平面向量平行的坐標表示． 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷，12題，5分 新課標I卷，第3題，5分 全國甲卷，第9題，5分 上海卷，第5題，4分 新課標I卷，第3題，5分
考情分析： 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示； 會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算； 理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
復習目標： （1）會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題； （2）會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；能將向量的幾何運算和代數運算靈活地結合起來，解決一些平面向量的計算問題； （3）理解用坐標表示的平面向量共線的條件，并能正確地進行有關應用．
知識點1 平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
自主檢測在中，點滿足，點滿足，，分別是，的中點，設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，利用向量的線性運算法則即可求解.
【詳解】
∵，，∴，.
∵，分別是，的中點，∴，.
又，，∴，即.
故選：A.
知識點2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及標準正交基
（1）若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基；
（2）在正交基下向量的線性表示稱為正交分解；
（3）若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標準正交基．
（4）把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
自主檢測已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是．
(1)用坐標表示；
(2)求的模長；
(3)求頂點A的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用終點坐標和始點坐標即可得解；
（2）求出的坐標，由模長公式可得；
（3）利用相等向量列方程組求解即可.
【詳解】（1）因為，所以.
（2）因為，
所以，
所以，所以.
（3）設點坐標為，則，
因為四邊形為平行四邊形，所以，
則，解得，即點坐標為
知識點3 平面向量的坐標運算
1、平面向量的坐標表示
如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于坐標平面內的任意向量a，以坐標原點O為起點作＝a（通常稱為位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數x，y，使＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我們把(x，y)稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，向量a可以表示為a＝(x，y)．
2、點的坐標與向量坐標間的關系
在平面直角坐標系中，點的位置被它的位置向量所唯一確定，設點的坐標為，容易看出，即點的位置向量的坐標也就是點的坐標；反之，點在平面直角坐標系中的坐標也是點所決定的位置向量的坐標．
3、平面向量的坐標運算
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
數學公式 文字語言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應坐標的差
向量數乘 λa＝(λx1，λy1) 實數與向量數乘的坐標等于這個實數與向量的相應坐標的乘積
自主檢測若向量，，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐標運算求得結果.
【詳解】由，，
則.
故選：A.
知識點4 向量坐標的坐標表示
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量，
即任意一個向量的坐標等于其終點的坐標減去起點的坐標．
自主檢測已知向量，，若，則y的值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共線的坐標表示求解即可.
【詳解】由，則，解得.
故選：D.
題型1 對基向量概念的理解
例1-1若已知、是平面上的一組基，則下列各組向量中不能作為基的一組是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【分析】由基的定義可判斷選項正誤.
【詳解】因、是平面上的一組基，則、不共線，據此可得ABC選項所對應向量組均不共線，可作為基，
D選項，與共線，則不可以作為一組基.
故選：D
例1-2（多選）設，是平面內所有向量的一組基底，則下面四組向量中，能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】ABD
【分析】根據向量基底的定義逐一分析即可判斷.
【詳解】對于：由可得和不共線，
所以和能作為基底，故正確；
對于：由可得和不共線，
所以和能作為基底，故正確；
對于：由，可得，
所以和共線，故不能作為基底，故錯誤；
對于：由可得和不共線，
所以和能作為基底，故正確.
故選：.
方法技巧 向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
【變式訓練1-1】若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據基底滿足的條件逐一分析判斷即可.
【詳解】對于A，設存在唯一的實數使，
則，此方程無解，故能作為平面向量的基底，故A不符合題意；
對于B，設存在唯一的實數使，
則，此方程無解，故能作為平面向量的基底，故B不符合題意；
對于C，由，所以與共線，
故不能作為平面向量的基底，故C符合題意；
對于B，設存在唯一的實數使，
則，此方程無解，故能作為平面向量的基底，故D不符合題意.
故選：C.
【變式訓練1-2】（多選）下列說法正確的是（ ）
A．與向量方向相同的單位向量的坐標為
B．為非零向量，則向量在向量上的投影向量為
C．為非零向量，且相互不共線，則
D．若與共線，則
【答案】AD
【分析】對于A，根據向量的單位化，可得其正誤；對于B，根據投影向量的計算，可得其正誤；對于C，根據數量積的概念，由向量的減法，可得其正誤；對于D，根據共線向量的坐標表示，可得其正誤.
【詳解】對于A，與向量方向相同的單位向量為，故A正確；
對于B，向量在向量上的投影向量為，故B錯誤；
對于C，由與為數字，且不共線，則，故C錯誤；
對于D，由與共線，則，解得，故D正確.
故選：AD.
【變式訓練1-3】若是平面內一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根據題意，利用向量的共線定理，以及基底向量的定義，逐個判定，即可求解.
【詳解】對于①中，由和，可得，
所以和是共線向量，不能作為一組基底向量；
對于②中，設，可得，方程組無解，
所以和不共線，可以作為一組基底向量；
對于③中，設，可得，方程組無解，
所以和不共線，可以作為一組基底向量；
對于④中，設，可得，解得
所以和是共線向量，不能作為一組基底向量.
故選：B.
題型2 用基底表示向量
例2-1已知點為的重心（三條中線的交點），記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的中線公式、重心的性質及向量的線性運算，即可求解.
【詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：
因為是的重心，所以.
故選：B.
例2-2在中，為邊上的中線，為上靠近的三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依據平面向量共線基本定理和向量的加減運算法則求解.
【詳解】如下圖所示，
.
故選：D
方法技巧
判斷所給的兩個向量能否作為一組基的方法
由基的定義可知，要判斷兩個向量a，b能否作為一組基，只需判斷兩向量是否共線，而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作為基的向量必為非零向量
【變式訓練2-1】若點O是平行四邊形兩條對角線的交點，，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的線性運算即可求解.
【詳解】
．
故選：B．
【變式訓練2-2·變考法】（多選）在中，已知是的中點，若P是上的一點，且滿足與交于點E，則（ ）
A． B．在上的投影向量為
C． D．
【答案】ACD
【分析】對于A，根據向量的線性運算可得；對于B，由，結合可直接得到投影向量；對于C，根據向量的數量積可直接計算判斷；對于D，設，再結合三點共線，列出方程組可求.
【詳解】

對于A，，
，故A正確；
對于B，，且，在上的投影向量為，故B錯誤；
對于C，是的中點，，
則，
又，所以，
即，故C正確；
對于D，設，
三點共線，，
則，所以，故D正確.
故選：ACD.
【變式訓練2-3·變載體】在平行四邊形中，，，若為線段上靠近的三等分點，交于，則 .（用，表示）
【答案】
【分析】由得到，結合圖形，由平面向量的線性運算可得結果.
【詳解】由為線段上靠近的三等分點，則，
由題意，易得，所以，
故有，
所以.
故答案為：.

題型3 利用平面向量基本定理求參數
例3-1
在中，點是邊的中點，點是的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的線性運算可得出關于、的表達式，結合平面向量基本定理求出、的值，即可得解.
【詳解】如下圖所示：
因為為的中點，所以，
因為為的中點，所以，
所以，
因為、不共線，且，所以，，
故.
故選：B.
例3-2（2026高三·全國·專題練習）已知點M為中邊上的中點，點N滿足，過點N的直線與分別交于P，Q兩點，且設，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理可把用表示出來，再由平面向量共線定理的推論即可得出答案.
【詳解】根據題意，得
，
三點共線，，即.
故選：D.
例3-3如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，若，則的值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】A
【分析】由題意可得，從而可得，再由三點共線，即可得答案.
【詳解】因為點是線段的中點，則，
則，
因為三點共線，
所以.
故選：A.
方法技巧
若直接利用基表示向量比較困難，可設出目標向量，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量（一般需建立兩個不同的向量表達式），再根據待定系數法確定系數，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．
【變式訓練3-1】在平行四邊形中，，交于點，若，則 .
【答案】/
【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理將用線性表示，對照系數即得.
【詳解】如圖，中，，則與相似，
因，則，
故，
即，故.
故答案為：.
【變式訓練3-2】如圖所示，在中，是BN上的一點，若，則實數m的值為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，可得，再利用共線向量的推論列式計算作答.
【詳解】在中，，即，
又，即，
因此，而點B，P，N共線，于是，解得.
故答案為：
題型4 平面向量的坐標運算
例4-1與向量平行的單位向量是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】與向量平行的單位向量是，即可求解．
【詳解】因為與向量平行的單位向量是，，
所以所求單位向量為，即或
故選：D
例4-2在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，若向量，則點A的坐標為 ．
【答案】
【分析】設點A的坐標為，根據向量坐標等于向量終點坐標減去向量起點坐標列出式子，再利用向量相等列出方程，計算即可求出點A的坐標.
【詳解】設點A的坐標為，因為點B的坐標為，
所以向量，
向量，所以，解得，
所以點A的坐標為.
故答案為：
方法技巧
求向量的坐標的一般方法
1、數形結合法：根據正交分解，求向量在軸、軸上的坐標分量；
2、平移法：把向量的始點移至坐標原點，終點坐標即向量的坐標；
3、若已知、，則．
【變式訓練4-1】已知向量，，則與（ ）
A．互為相等向量 B．互為相反向量 C．相互垂直 D．均為零向量
【答案】B
【分析】由坐標表示可得答案.
【詳解】因為，所以，即互為相反向量．
故選：B．
【變式訓練4-2·變載體】已知點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的坐標運算即可求解.
【詳解】為，所以，
則．
故選：A
題型5 向量共線的坐標表示
例5-1已知非零向量，，若A，B，C三點共線，則（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．無解
【答案】A
【分析】利用非零向量定義以及向量共線的坐標表示解方程即可.
【詳解】根據A，B，C三點共線可知存在實數滿足，
可知且，
解得，此時，滿足題意.
故選：A
例5-2已知平面向量，，且，則 .
【答案】/
【分析】根據向量平行的坐標表示的結論求參數的值.
【詳解】由，得.
故答案為：.
例5-3已知點，點，且，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】設點，根據平面向量的坐標運算及，可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可得出點的坐標.
【詳解】設點，因為點，點，且，
所以，即，解得，
故點的坐標為.
故答案為：.
方法技巧
1、判斷兩個向量共線的方法：一般是利用向量的坐標運算求出需要判斷的向量的坐標，并根據兩個向量平行的坐標來判斷，即先求出，，若，則．
2、由向量共線求參數的值
已知兩個向量共線求參數時，參數一般設置在兩個位置：一是向量坐標本身含參，二是將相關向量用已知兩個向量的含參關系表示，解題時應根據題目特點選擇向量共線的坐標表示的兩種形式，建立有關參數的方程或方程組求解．
【變式訓練5-1】已知，，若線段的一個三等分點為，則的坐標為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】由題意或，結合向量線性運算的坐標表示即可求解.
【詳解】由線段的一個三等分點為，得或，
若，則，所以；
若，則，所以．
故選：B.
【變式訓練5-2】設向量其中為坐標原點， ，若三點共線， 則的最小值為 .
【答案】
【分析】由向量共線的坐標表示可得，再應用基本不等式及“1”的代換求目標式的最小值.
【詳解】由，
由三點共線，且，
所以，
則，
當且僅當時取等.
故答案為：6
【變式訓練5-3已知向量，，，若與平行，則實數 .
【答案】
【分析】由題意，結合向量平行的充要條件列方程即可求解.
【詳解】由題意，若與平行，則，解得.
故答案為：1.
1．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標系中，，.設，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據，求出，進而可以用向量表示出，即可解出．
【詳解】因為，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故選：D.
2．（2024·全國甲卷·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
3．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量數量積的運算律，數量積的坐標表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
4．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則
【答案】
【分析】根據向量坐標化運算得，再利用向量垂直的坐標表示得到方程，解出即可.
【詳解】，因為，則，
則，解得.
則，則.
故答案為：.
5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】空1：根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；空2：用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

6．（2025·上海·高考真題）已知橢圓，，A是的右頂點．
(1)若的焦點，求離心率e；
(2)若，且上存在一點P，滿足，求m；
(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點，為鈍角，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程可得，再由焦點坐標得，從而求出得離心率；
（2）設點坐標，由向量關系坐標化可解得坐標，代入橢圓方程可得；
（3）根據中垂線性質，由斜率與中點坐標得直線方程，聯立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉化為向量不等式，再坐標化利用韋達定理代入化簡不等式求解可得范圍.
【詳解】（1）由題意知，，則，
由右焦點，可知，則，
故離心率.
（2）由題意，
由得，，
解得，代入，
得，又，解得.
（3）由線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，
則，解得，
由得中點坐標為，
故直線，顯然直線過橢圓內點，
故直線與橢圓恒有兩不同交點，
設，
由消得，
由韋達定理得，
因為為鈍角，則，且，
則有，
所以，
即，解得，
又，
故，即的取值范圍是.
1.已知的兩條對角線相交于點O，以，為基向量，則 .
【答案】
【分析】根據平行四邊形的性質，結合圖形即可得出答案.
【詳解】

根據平行四邊形的性質可知，.
故答案為：.
2.已知，，，當時，求實數x，y應滿足的關系式．
【答案】
【分析】根據已知求出，進而根據向量共線的充要條件列出關系式，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，.
因為，所以，
所以有，
整理可得，.
3.已知，，，求的頂點的坐標．
【答案】
【分析】設，根據得到方程組，解得即可.
【詳解】設，因為，，，
所以，，
在中，，則，解得，即.
4.已知，，求的坐標．
【答案】
【分析】根據平面向量的坐標與線性運算求解即可.
【詳解】
5.已知向量，，，求，并用標準正交基表示.
【答案】，
【分析】根據向量的線性坐標運算即可求解向量坐標，根據坐標定義即可用標準正交基表示.
【詳解】因為向量，，，
所以，
所以根據向量坐標概念易知.
6.已知，，求，，的坐標．
【答案】，，
【分析】根據平面向量的坐標運算求解即可.
【詳解】由題意，，
，
.
7.如圖，點B與點C關于點A對稱，點D在線段OB上，，DC和OA交于點E.設，，用和表示向量，.

【答案】，
【分析】根據向量數乘運算及平面向量基本定理求解.
【詳解】∵點與點關于點對稱，
∴是的中點，，
，
，
，
且，
.
綜上：， .
14．（9-10高一下·吉林松原·期末）如圖，在中，點M為AB的中點，點N在BD上，.

求證：M，N，C三點共線.
【答案】證明見解析
【分析】利用向量證明三點共線.
【詳解】設，
則
所以，
又因為有公共起點C，所以M，N，C三點共線.
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