資源簡介

第02講 三角恒等變換
目錄
01 考情解碼 命題預警 2
02 體系構建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 3
知識點2 二倍角公式 4
知識點3 降冪公式和升冪公式 4
知識點4 輔助角公式： 5
題型破譯 5
題型1 和、差、倍角公式的直接應用 5
題型2 和、差、倍角公式的的逆用及變形 7
題型3 正余弦的對偶式 9
題型4 輔助角公式的基本應用 11
題型5 給角求值 13
題型6 利用拼湊角思想給值求值 14
【方法技巧】拼湊角思想
題型7 利用拼湊角思想給值求角 17
【易錯分析】求解時忽略角的范圍
題型8 非特殊角的輔助角的應用 20
題型9 積化和差、和差化積公式 23
【方法技巧】公式及口訣
題型10 萬能公式 25
【方法技巧】萬能公式
題型11 三角恒等變換的綜合應用 27
題型12 三角恒等變換的實際應用 31
04 真題溯源·考向感知 36
05 課本典例·高考素材 40
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）兩角和差公式及二倍角公式 （2）三角恒等變換求值或求角 （3）輔助角公式的應用 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷T11（6分） 全國二卷T8（5分） 全國Ⅰ卷T4（5分） 全國II卷T13（5分） 全國甲卷（理）T8（5分） 全國甲卷（文）T9（5分），T13（5分） 全國I卷T8（5分） 全國II卷T7（5分）
考情分析： 新高考卷中三角恒等變換專題為必考內容，主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應用和半角公式變形應用。它不僅是獨立的考點，更是解決復雜三角函數問題（如求值、化簡、證明、圖像與性質分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效簡化問題，為后續求解鋪平道路. 需要深刻理解和運用三角恒等變換，要求學生自覺運用聯系與轉化的觀點（如化未知為已知、化繁為簡），并體會其中蘊含的一般與特殊（如特殊角公式到一般公式）、換元（簡化表達式）、方程（通過等式關系求解未知量）等核心數學思想。這些思想是靈活運用公式、提升解題能力的深層支撐.
復習目標： 1.能夠熟練記憶兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能夠掌握公式的逆用、變形與組合； 3.針對復雜表達式，通過角度統一、函數名統一、輔助角公式進行化簡，結合角的變換簡化計算； 4.熟練處理角的和差、倍半、互補關系，通過拼湊特殊角或引入中間角簡化問題.
知識點1 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）________；（2） ________
（3）________；（4）________
（5）________
（6）________
自主檢測已知，都是銳角，，，則 .
知識點2 二倍角公式
（1）________
（2）________________
（3）________
自主檢測已知角的終邊不在坐標軸上，且，則（ ）
A． B． C． D．
知識點3 降冪公式和升冪公式
（1）降冪公式： ________；________；
（2）升冪公式：；；
________；
自主檢測已知，則的值是 .
知識點4 輔助角公式：
，其中 ________ ________， ________
自主檢測（多選）已知函數，則（ ）
A．的周期是 B．是的對稱軸
C．的最大值為2 D．是的對稱中心
題型1 和、差、倍角公式的直接應用
例1-1已知，則（ ）
A． B． C． D．
例1-2已知，為第三象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【變式1-1】的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】已知角的終邊上有一點，則 ．
題型2 和、差、倍角公式的的逆用及變形
例2-1下列選項中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
例2-2（ 2025·湖北·模擬預測）已知，且，則 ．
【變式2-1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】已知滿足，則 ．
【變式2-3】已知，則 .
題型3 正余弦的對偶式
例3-1已知，則（ ）
A． B． C． D．
例3-2已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】已知α，β均為銳角，且滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（多選）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型4 輔助角公式的基本應用
例4-1函數的單調減區間是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2（多選）若，則的一個可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】已知函數的最大值為3，則實數的值為 .
【變式4-2】已知為銳角且，則 .
【變式4-3·變載體】函數的最大值 .
題型5 給角求值
例5-1求值： ．
例5-2式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】求值： ．
【變式5-2】的值為（ ）
A． B． C． D．
題型6 利用拼湊角思想給值求值
例6-1已知，均為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
例6-2已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 拼湊角思想
①當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;
②當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,一般會用到幾個特殊角等，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”,或者將“所求角”轉化為與“已知角”及特殊角之間的關系.
【變式6-1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】已知，，，均為銳角，則=（　　）
A． B．
C． D．
【變式6-3】若，則 .
【變式6-4】（ 2024·安徽·二模）已知，則 .
題型7 利用拼湊角思想給值求角
例7-1若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
例7-2已知角，，，則（ ）
A． B． C． D．
易錯分析 求解時忽略角的范圍
根據已知角的范圍和三角函數的取值，需要精確確定未知角的范圍，并進行定號
【變式7-1】已知，，，，則的值為 .
【變式7-2】已知，為銳角，，且．
(1)求的值；
(2)求角的值．
【變式7-3】若，，且，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
題型8 非特殊角的輔助角的應用
例8-1已知函數的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
例8-2設當時，函數取得最大值，則 .
【變式8-1】已知函數在處取得最小值，則 .
【變式8-2】設，若恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3·變載體】已知，函數的最大值與最小值之差為2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型9 積化和差、和差化積公式
例9-1的值為（ ）
A． B． C． D．
例9-2（ 2024·廣東·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 公式及口訣
（1）積化和差
，
，
口訣：積化和差得和差，余弦在后要相加；異名函數取正弦，正弦相乘取負號
（2）和差化積
，
，
口訣：正弦加正弦，正弦在前；正弦減正弦，余弦在前；余弦加余弦，余弦并肩；余弦減余弦，余弦不見負號顯
【變式9-1】函數在區間的零點個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式9-2】若 則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】已知，則 .
題型10 萬能公式
例10-1已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 萬能公式
通過萬能公式將三角函數全部轉化為，可減少變量的存在，大大簡化計算過程
【變式10-1】若，則（ ）
A． B． C． D．1
【變式10-2】已知且，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【變式10-3】已知，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型11 三角恒等變換的綜合應用
例11-1已知函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B．或 C．或 D．
例11-2已知，．
(1)求、的值；
(2)求的值；
(3)若、均為銳角，且，求的值．
【變式11-1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】已知函數，，則的最大值為 ．
【變式11-3】已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)若銳角滿足，求.
題型12 三角恒等變換的實際應用
例12-1筒車是一種水利灌溉工具（如圖所示），筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉輪的中心為，筒車的半徑為，筒車轉動的周期為，如圖所示，盛水桶在處距水面的距離為.后盛水桶在處距水面的距離為，若，則直線與水面的夾角為（ ）

A． B． C． D．
例12-2如圖，在直徑為1的圓中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中.
(1)將十字形的面積表示成的函數；
(2)求十字形面積的最大值，并求出此時的值.
【變式12-1】某工廠制作如圖所示的一種標識，在半徑為的圓內做一個關于圓心對稱的“”型圖形，“”型圖形由兩豎一橫三個等寬的矩形組成，兩個豎起來的矩形全等且它們的長邊是橫向矩形長邊的倍，設為圓心，，記矩形的面積為，則的最大值為 .
【變式12-2】某大學為了制作“迎新杯”籃球賽創意冠軍獎杯，在全校學生中開展“迎新杯”籃球賽獎杯的創意設計征集活動.同學甲設計的創意獎杯如圖1所示，從其軸截面中抽象出來的平面圖形如圖2所示，若圓O的半徑為10cm，，，甲在獎杯的設計與制作的過程中發現，當OB越長時，該獎杯越美觀，則當該獎杯最美觀時，（ ）
A．10cm B． C． D．
【變式12-3】已知某標準足球場長105米，寬68米，球門寬7.32米，某球員沿邊線帶球進攻，他距離底線多遠處射門，命中率最高？（注：對球門所張的角最大時命中率最高）
1．（2024·上海·高考真題）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·全國二卷·高考真題）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國甲卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
7．（2025·全國一卷·高考真題）（多選）已知的面積為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
1．以表示的結果為（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（多選）已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，則 ．
5．若，則 ．
6．已知，且，則 ．
7．已知，求的值．
8．已知銳角滿足．
(1)求；
(2)若，求．
9．已知，且．
(1)求的值；
(2)若角為第一象限角，且是方程的兩個實根，則是否有可能成為三角形的兩個內角（給出證明過程）．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 三角恒等變換
目錄
01 考情解碼 命題預警 2
02 體系構建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 3
知識點2 二倍角公式 4
知識點3 降冪公式和升冪公式 4
知識點4 輔助角公式： 5
題型破譯 5
題型1 和、差、倍角公式的直接應用 5
題型2 和、差、倍角公式的的逆用及變形 7
題型3 正余弦的對偶式 9
題型4 輔助角公式的基本應用 11
題型5 給角求值 13
題型6 利用拼湊角思想給值求值 14
【方法技巧】拼湊角思想
題型7 利用拼湊角思想給值求角 17
【易錯分析】求解時忽略角的范圍
題型8 非特殊角的輔助角的應用 20
題型9 積化和差、和差化積公式 23
【方法技巧】公式及口訣
題型10 萬能公式 25
【方法技巧】萬能公式
題型11 三角恒等變換的綜合應用 27
題型12 三角恒等變換的實際應用 31
04 真題溯源·考向感知 36
05 課本典例·高考素材 40
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）兩角和差公式及二倍角公式 （2）三角恒等變換求值或求角 （3）輔助角公式的應用 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷T11（6分） 全國二卷T8（5分） 全國Ⅰ卷T4（5分） 全國II卷T13（5分） 全國甲卷（理）T8（5分） 全國甲卷（文）T9（5分），T13（5分） 全國I卷T8（5分） 全國II卷T7（5分）
考情分析： 新高考卷中三角恒等變換專題為必考內容，主要考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應用和半角公式變形應用。它不僅是獨立的考點，更是解決復雜三角函數問題（如求值、化簡、證明、圖像與性質分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效簡化問題，為后續求解鋪平道路. 需要深刻理解和運用三角恒等變換，要求學生自覺運用聯系與轉化的觀點（如化未知為已知、化繁為簡），并體會其中蘊含的一般與特殊（如特殊角公式到一般公式）、換元（簡化表達式）、方程（通過等式關系求解未知量）等核心數學思想。這些思想是靈活運用公式、提升解題能力的深層支撐.
復習目標： 1.能夠熟練記憶兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能夠掌握公式的逆用、變形與組合； 3.針對復雜表達式，通過角度統一、函數名統一、輔助角公式進行化簡，結合角的變換簡化計算； 4.熟練處理角的和差、倍半、互補關系，通過拼湊特殊角或引入中間角簡化問題.
知識點1 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）；（2）
（3）；（4）
（5）
（6）
自主檢測已知，都是銳角，，，則 .
【答案】
【詳解】根據兩角差的正切公式，.
故答案為：.
知識點2 二倍角公式
（1）
（2）
（3）
自主檢測已知角的終邊不在坐標軸上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為角的終邊不在坐標軸上，則，，
由，化簡可得.
故選：A.
知識點3 降冪公式和升冪公式
（1）降冪公式： ；；
（2）升冪公式：；；
；
自主檢測已知，則的值是 .
【答案】/0.64
【詳解】由題得，則，
兩邊同時平方可得，故.
故答案為：.
知識點4 輔助角公式：
，其中 ，
自主檢測（多選）已知函數，則（ ）
A．的周期是 B．是的對稱軸
C．的最大值為2 D．是的對稱中心
【答案】ABD
【詳解】因為，最小正周期為，一般周期都是指最小正周期，故A正確；
因為，故是的對稱軸，故B正確；
，故C錯誤；
因為，故點是的對稱中心，故D正確.
故選：ABD.
題型1 和、差、倍角公式的直接應用
例1-1已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，且，
所以，，
則.
故選：A.
例1-2已知，為第三象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為，且為第三象限角，
結合可知，
所以.
（2）.
【變式1-1】的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
.
故選:C.
【變式1-2】已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為角的終邊經過點，則，.
所以.
故選：B
【變式1-3】已知角的終邊上有一點，則 ．
【答案】/
【詳解】由三角函數的定義，知，所以，
．
故答案為：
題型2 和、差、倍角公式的的逆用及變形
例2-1下列選項中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】A、利用二倍角公式，
可得：，A錯誤.
B、利用余弦和角公式，
得：因此原式為：，B錯誤.
C、利用正切和角公式，令，
則，C正確.
D、利用遞推積化和差公式，結合，得：.
D錯誤.
故選：C.
例2-2（ 2025·湖北·模擬預測）已知，且，則 ．
【答案】/
【詳解】因為，
所以，
所以，即，
又因為，所以，
所以.
故答案為：.
【變式2-1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】.
故選：B.
【變式2-2】已知滿足，則 ．
【答案】
【詳解】由，
可得：，
即，
所以，
故答案為：
【變式2-3】已知，則 .
【答案】/
【詳解】，
.
故答案為：.
題型3 正余弦的對偶式
例3-1已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：因為
所以
所以，
，
所以，
整理得：
所以
故選：B
例3-2已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，，
所以兩式平方相加得，
即，
又因為，
所以，即，，
將代入，
得，即，
所以.
故選：D.
【變式3-1】已知α，β均為銳角，且滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
所以，
，
因為，均為銳角，所以，
故
故選：D.
【變式3-2】（多選）已知，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【詳解】由已知，得，，
兩式分別平方相加，得，，
整理得，∴，∴A正確；
同理由，，兩式分別平方相加，易得，∴B正確；
由，，兩式分別平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正確，D錯誤.
故選：ABC．
題型4 輔助角公式的基本應用
例4-1函數的單調減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】，因在上單調遞減，則，
則.
故選：D
例4-2（多選）若，則的一個可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【詳解】因為，
且，
所以,解得： ,.
所以的一個可能的值是,.
故選：AB
【變式4-1】已知函數的最大值為3，則實數的值為 .
【答案】
【詳解】，
因為函數的最大值為3，
所以，（舍去），
所以實數的值為.
故答案為：.
【變式4-2】已知為銳角且，則 .
【答案】/
【詳解】由可得，
由于為銳角，所以，故，
進而可得，
故，
故答案為：
【變式4-3·變載體】函數的最大值 .
【答案】
【詳解】由于，
所以是一個周期為的函數，
我們只需要研究一個周期，即，
當時，，此時，
由于，所以，即，
當時，，此時，
由于，所以，即，
所以綜上的最大值為.
故答案為：
題型5 給角求值
例5-1求值： ．
【答案】1
【詳解】
，
故答案為：1
例5-2式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】原式
.
故選：B.
【變式5-1】求值： ．
【答案】
【詳解】方法一：原式
；
方法二：令原式乘以得，
，
則原式．
故答案為：.
【變式5-2】的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】原式.
故選：A
題型6 利用拼湊角思想給值求值
例6-1已知，均為銳角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，
又因為，均為銳角，則，所以，，
所以，
故選：C
例6-2已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由，得，
又，所以，
所以，
所以.
故選：D
方法技巧 拼湊角思想
①當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;
②當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,一般會用到幾個特殊角等，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”,或者將“所求角”轉化為與“已知角”及特殊角之間的關系.
【變式6-1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
，
，
.
故選：A
【變式6-2】已知，，，均為銳角，則=（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為， ，
所以，
又因為，所以，
因為，
所以，
所以，
又因為，
所以.
故選：B.
【變式6-3】若，則 .
【答案】/0.8
【詳解】解：因為，
且，
所以.
故答案為：
【變式6-4】（ 2024·安徽·二模）已知，則 .
【答案】/
【詳解】因為
，
，
，
因為，
所以，所以，
故
故答案為：.
題型7 利用拼湊角思想給值求角
例7-1若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，符號相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故選：A．
例7-2已知角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】角，由得，
則，又因為在上單調遞增，則，
而，
同理有，
所以，
且，得.
故選：A.
易錯分析 求解時忽略角的范圍
根據已知角的范圍和三角函數的取值，需要精確確定未知角的范圍，并進行定號
【變式7-1】已知，，，，則的值為 .
【答案】
【詳解】因為，，則，
所以，
則，
且，，，
則.
故答案為：
【變式7-2】已知，為銳角，，且．
(1)求的值；
(2)求角的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，為銳角，則，
又，則，
所以，
即，
所以……① 又……②
由為銳角，由①②解得：．
（2）由（1）知，又，
即．
由，且，則，所以，
又，則，所以．
法二：因為，為銳角，，，解得：，，
由，又，
所以，
則
，
由，且，則，所以，
又，則，所以．
【變式7-3】若，，且，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，，則，
又因為，則，
由二倍角正切公式可得，
所以，，
因為，，則，即，
因此，.
故選：B.
題型8 非特殊角的輔助角的應用
例8-1已知函數的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題設
，且，
所以，則，可得，
所以.
故選：C
例8-2設當時，函數取得最大值，則 .
【答案】
【詳解】因為，
令，，
則，
當，，即，時，取最大值，
此時，，所以.
故答案為：.
【變式8-1】已知函數在處取得最小值，則 .
【答案】
【詳解】因為， 其中
因為函數在處取得最小值，則
則 ，即 ，
所以
故答案為：
【變式8-2】設，若恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，其中，
因為恒成立，所以，即，
則.
故選：B.
【變式8-3·變載體】已知，函數的最大值與最小值之差為2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】若，取，則，，符合題意；
若，由，所以只需考慮即可．
由，，所以，當且僅當時取等，即；
求的最大值只需考慮，則，，當時取等號，
所以，即，即，所以，
同理時可得．
綜上，．
故選：C．
題型9 積化和差、和差化積公式
例9-1的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】首先，我們先對合理變形，
得到，
，
由積化和差公式得，
同理可得，
，
則，
得到，故A正確.
故選：A
例9-2（ 2024·廣東·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
得到，又，所以，
所以，
故選：B.
方法技巧 公式及口訣
（1）積化和差
，
，
口訣：積化和差得和差，余弦在后要相加；異名函數取正弦，正弦相乘取負號
（2）和差化積
，
，
口訣：正弦加正弦，正弦在前；正弦減正弦，余弦在前；余弦加余弦，余弦并肩；余弦減余弦，余弦不見負號顯
【變式9-1】函數在區間的零點個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【詳解】由，，
令，則，或，
故或，即或，
由，則或，
即或，
故或，
綜上所述，存在個零點,即為.
故選：C.
【變式9-2】若 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】法一：
因為，所以，
即，
即，即，即.
法二：
.
故選：D.
【變式9-3】已知，則 .
【答案】
【詳解】由，
可得
，
則.
故答案為：.
題型10 萬能公式
例10-1已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，
得，
則，而．
故選：B
方法技巧 萬能公式
通過萬能公式將三角函數全部轉化為，可減少變量的存在，大大簡化計算過程
【變式10-1】若，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【詳解】因為，
可得，
可得，
解得，因為，所以，
所以，
所以.
故選：C.
【變式10-2】已知且，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【詳解】由，，
所以，即，
又，可得.
故選：D
【變式10-3】已知，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，即；
即，故
令，則（當且僅當時等號成立）
故選：B．
題型11 三角恒等變換的綜合應用
例11-1已知函數的圖象關于直線對稱，則（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【詳解】函數
，
令 ，得到對稱軸，
圖象關于直線對稱，
，
易知，
，
當為奇數時，設，
此時，，
，
；
當為偶數時，設，
，，
，
，
綜上，知的值為或 .
故選：C.
例11-2已知，．
(1)求、的值；
(2)求的值；
(3)若、均為銳角，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意得，得．
（2）．
（3）由，得．
由，得，得，
所以，，
由，得，
，
所以
．
【變式11-1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由可知，
在上述等式兩邊同除可得，可得，
解得，
所以，
當時，，
當時，，
綜上所述，，因此，.
故選：B.
【變式11-2】已知函數，，則的最大值為 ．
【答案】
【詳解】因為，則，則，，
所以
，
令，，
則函數在區間上單調遞減，
故當時，函數取最大值，即，
故函數在上的最大值為.
故答案為：.
【變式11-3】已知函數.
(1)求函數的最小正周期；
(2)若銳角滿足，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）.
，
所以函數的最小正周期.
（2）因為，得，
又因為是銳角，所以，
因為是銳角，所以，且，所以，
則
，
故.
題型12 三角恒等變換的實際應用
例12-1筒車是一種水利灌溉工具（如圖所示），筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉輪的中心為，筒車的半徑為，筒車轉動的周期為，如圖所示，盛水桶在處距水面的距離為.后盛水桶在處距水面的距離為，若，則直線與水面的夾角為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，

過作直線與水面平行，
過 作，垂足為點，過 作，垂足為點，
設，，則，其中，
則，，
所以，，
所以，
整理可得，
因為，則，所以，，解得.
故選：A.
例12-2如圖，在直徑為1的圓中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中.
(1)將十字形的面積表示成的函數；
(2)求十字形面積的最大值，并求出此時的值.
【答案】(1)
(2)，此時
【詳解】（1）解：如圖所示：，為銳角，
因為，所以，解得，
所以，
（2）解：由（1）知，
（其中），
當，，即當時，十字形取得最大面積，．
因為
所以
此時，
所以
綜上，，此時
【變式12-1】某工廠制作如圖所示的一種標識，在半徑為的圓內做一個關于圓心對稱的“”型圖形，“”型圖形由兩豎一橫三個等寬的矩形組成，兩個豎起來的矩形全等且它們的長邊是橫向矩形長邊的倍，設為圓心，，記矩形的面積為，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】過點作，垂足為，設交于點，
則、分別為、的中點.
設四邊形為橫向矩形，如圖所示，
由題意可知，，
因為，，所以，
所以.
所以矩形的面積
，其中，且為銳角，
因為，則，
故當時，即當時，取得最大值為.
故答案為：.
【變式12-2】某大學為了制作“迎新杯”籃球賽創意冠軍獎杯，在全校學生中開展“迎新杯”籃球賽獎杯的創意設計征集活動.同學甲設計的創意獎杯如圖1所示，從其軸截面中抽象出來的平面圖形如圖2所示，若圓O的半徑為10cm，，，甲在獎杯的設計與制作的過程中發現，當OB越長時，該獎杯越美觀，則當該獎杯最美觀時，（ ）
A．10cm B． C． D．
【答案】B
【詳解】過O點作，分別交BC，AD于E，F兩點，如圖所示
設，則，，
由，，得，
則，，
，
當，即時，OB取得最大值，
此時
故選：B.
【變式12-3】已知某標準足球場長105米，寬68米，球門寬7.32米，某球員沿邊線帶球進攻，他距離底線多遠處射門，命中率最高？（注：對球門所張的角最大時命中率最高）
【答案】33.40米.
【詳解】如圖設，由題可知，，
所以，
所以
，
當且僅當，即取等號，此時最大，
因為是銳角，
所以當時，最大，即球員沿邊線帶球進攻，他距離底線33.40米處射門對球門所張的角最大，命中率最高.
1．（2024·上海·高考真題）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】對A，，周期，故A正確；
對B，，周期，故B錯誤；
對于選項C，，是常值函數，不存在最小正周期，故C錯誤；
對于選項D，，周期，故D錯誤，
故選：A．
2．（2025·全國二卷·高考真題）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
因為，則，則，
則.
故選：D.
3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
故選：C.
4．（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，所以，
而，所以，
故即，
從而，故，
故選：A.
5．（2024·全國甲卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
6．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【答案】
【詳解】由題意得，
因為，，
則，，
又因為，
則，，則，
則，聯立 ，解得.
故答案為：.
7．（2025·全國一卷·高考真題）（多選）已知的面積為，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A選項正確；
由誘導公式，，
展開可得，
即，
下證.
方法一：分類討論
若，則可知等式成立；
若，即，由誘導公式和正弦函數的單調性可知，，同理，
又，于是，
與條件不符，則不成立；
若，類似可推導出，則不成立.
綜上討論可知，，即.
方法二：邊角轉化
時，由，則，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，則，
若，則，注意到，則，
于是（兩者同負會有兩個鈍角，不成立），于是，
結合，而都是銳角，則，
于是，這和相矛盾，
故不成立，則
故選：ABC
8．（2022·浙江·高考真題）若，則 ， ．
【答案】
【詳解】利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
1．以表示的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】．
故選：D.
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【詳解】依題意，，則，
又，則
所以.
故選：B
3．（多選）已知函數，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】由題得，
則，則，
又，則，
故，A正確；
，B錯誤；
由可知，故，C正確；
，D正確．
故選：ACD
4．已知，則 ．
【答案】
【詳解】，
解得，
解得，故．
故答案為：.
5．若，則 ．
【答案】
【詳解】因為，
所以
．
故答案為：.
6．已知，且，則 ．
【答案】
【詳解】因為，
所以，
由得，
則，
又，
且，
所以．
故答案為：.
7．已知，求的值．
【答案】
【詳解】解：由題意得①，②，
得，則，
又因為，所以．
由可知，則，
故．
8．已知銳角滿足．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），則，
由為銳角，則，
故．
（2）結合（1）可知，
則，
解得．
9．已知，且．
(1)求的值；
(2)若角為第一象限角，且是方程的兩個實根，則是否有可能成為三角形的兩個內角（給出證明過程）．
【答案】(1)
(2)可能為三角形的兩個內角，證明見解析
【詳解】（1）因為
，
即，
所以，即，
因為，所以當時，．
（2）因為是方程的兩個實根，所以，
由（1）得，所以，
因為，若為三角形的一個內角，則三角形另外兩角之和等于，
因為為銳角，且，所以當時，
可能為三角形的兩個內角．
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