資源簡介

第03講 導數與函數的極值、最值
目錄
01 考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 函數的極值 3
知識點2 函數的最大（小）值 4
知識點3 函數的最值與極值的關系 5
題型破譯 6
題型1 函數圖象與極值（點），最值的關系 6
題型2 求已知函數的極值（點） 8
題型3 根據函數的極值（點）求參數 10
【方法技巧】根據極值點求參數要回代檢驗
題型4 求函數的最值（不含參） 13
【方法技巧】求區間上函數最值步驟
題型5 求函數的最值（含參） 16
題型6 根據函數的最值求參數 19
題型7函數的單調性、極值、最值的綜合應用 23
04真題溯源·考向感知 28
05課本典例·高考素材 32
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函數的極值 （2）函數的最值 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T18（1）（4分） 全國二卷T13（5分） 上海卷T19（2）（8分） 北京卷T20（1）（4分） 全國一卷T19（1）（4分） 全國甲卷（理）T21（1）（5分） 全國 II卷T16（2）（9分） 全國乙卷（理）T21（3）（6分） 全國 II卷T22（2）（9分） 全國 II卷T5（5分） 北京卷T20（3）（7分）
考情分析： 高考對最值、極值的考查相對穩定，屬于重點考查的內容．高考在本節內容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數作為研究函數的有力工具這一點，將函數的單調性、極值、最值等本質問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉化了．最終的落腳點一定是函數的單調性與最值，因為它們是導數永恒的主題．
復習目標： （1）借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件． （2）會用導數求函數的極大值（點）、極小值（點）． （3）會求閉區間上函數的最大值、最小值．
知識點1 函數的極值
一般地，對于函數，
（1）若在點處有，且在點附近的左側有，右側有，則稱為的極小值點，叫做函數的極小值.
（2）若在點處有，且在點附近的左側有，右側有，則稱為的極大值點，叫做函數的極大值．
（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.
注：極大（小）值點，不是一個點，是一個數.
自主檢測（2025·四川·三模）函數的極小值是 .
【答案】
【詳解】由題意可得，
當或時，，則在和上單調遞增，
當時，，則在上單調遞減，
故.
故答案為：.
知識點2 函數的最大（小）值
一般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設函數在上連續，在內可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
自主檢測已知函數在時取得極值．
(1)求a的值；
(2)求函數的單調區間；
(3)求函數在區間上的最小值．
【答案】(1)
(2)單調遞增區間為，單調遞減區間為；
(3)-8
【詳解】（1），由題意得，
即，解得，
故，
令得或，令得，
故為極小值點，滿足要求；
（2）由（1）可知，，
或時，，時，，
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
（3）由（1）知為極小值點，，
又，，
顯然，故在區間上的最小值為-8
知識點3 函數的最值與極值的關系
（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數的定義區間的整體而言；
（2）在函數的定義區間內，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；
（3）函數的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點；
（4）對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區間端點處取得.
自主檢測已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)求函數在上的最大值和最小值．
【答案】(1)極小值為，極大值為0
(2)，.
【詳解】（1）定義域，令，，
0 2
0 0
單調遞減 極小值 單調遞增 極大值0 單調遞減
當時，有極小值，極小值為；
當時，有極大值，極大值為．
（2）
0 2 3
0 0
16 單調遞減 極小值 單調遞增 極大值0 單調遞減
所以，.．
題型1 函數圖象與極值（點），最值的關系
例1-1已知定義域為的函數的導函數為且的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的（ ）
A．在上單調遞增 B．有極大值
C．有3個極值點 D．在處取得最大值
【答案】C
【詳解】由題圖知，在上，則在上單調遞減，
在上，則在上單調遞增，
所以在上不單調，為極小值，且共有3個極值點，處不是最大值.
故選：C
例1-2（多選）已知函數，的圖象是一條連續不斷的曲線，設其導數為，函數的圖象如下，則下列說法正確的是（ ）
A．在處取最大值 B．是的極大值點
C．沒有極小值點 D．可能不是導函數的極大值點
【答案】ACD
【詳解】當時，，
函數單調遞增，
同理可得：當時，，函數單調遞減，
所以為函數的極大值，
當時，，函數單調遞減，
當時，函數單調遞減，
所以函數在上單調遞減，
從而在處取最大值，且沒有極小值點，故A,C正確，B錯誤；
又和時，，
，而在時等于0，所以不一定等于0，
當時，是導函數的極大值點，
當時，不是導函數的極大值點，所以D正確.
故選：ACD.
【變式訓練1-1】（多選）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數在上單調遞增 B．函數至少有2個極值點
C．函數在上單調遞減 D．函數在處取得極大值
【答案】ABC
【詳解】
根據的圖象可知：函數在上單調遞增，故A正確；
根據的圖象可知：有三個解，其中和是導函數的變號零點，
而是不是導函數的變號零點，故函數有2個極值點，故B正確；
根據的圖象可知：在時，，所以函數在上單調遞減，故C正確；
根據的圖象可知：有三個解，其中和是導函數的變號零點，
而是不是導函數的變號零點，故函數在處無極值，故D錯誤；
故選：ABC．
【變式訓練1-2】（多選）函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示，則下列命題正確的是（ ）
A．函數在內一定不存在最小值 B．函數在內只有一個極小值點
C．函數在內有兩個極大值點 D．函數在內可能沒有零點
【答案】BCD
【詳解】對AB，設的根為，且，則由圖可知，
函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，
在內單調遞減，所以函數在區間內有極小值，
當時，是函數在區間內的最小值，
所以A錯誤，B正確；
對C，函數在區間內有極大值，所以C正確；
對D，當時，函數在內沒有零點，所以D正確．
故選：BCD．
【變式訓練1-3】（多選）已知定義在上的函數的導函數的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A． B．函數在上單調遞減
C．函數在處取得極大值 D．函數有最大值
【答案】ABC
【詳解】對A：由圖可知，，故A正確；
對B：由圖可知，當時，恒成立，
故函數在上單調遞減，故B正確；
對C：由圖可知，當時，，當，，
故函數在處取得極大值，故C正確；
對D：由圖可知，當時，恒成立，
故在上單調遞增，無最大值，故D錯誤.
故選：ABC.
題型2 求已知函數的極值（點）
例2-1（2025·廣東·模擬預測）已知函數，則的極小值為 .
【答案】
【詳解】因為，所以，
當 時，，故 ，
所以，
當 時，，故 ，
所以，
綜上，當時，恒成立，故在區間上單調遞增，
又因為，，
即，所以的圖象關于直線對稱，
故在區間 上單調遞減，故為的極小值點，的極小值為 .
故答案為：
例2-2函數的極值是 .
【答案】
【詳解】由的定義域為，，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增；
故在取得極小值為，無極大值；
故答案為：.
【變式訓練2-1】已知函數，則的極大值為 ．
【答案】/
【詳解】函數的定義域為，且，令，可得，列表如下，
x e
+ 0 -
單調遞增 極大值 單調遞減
所以函數的極大值為．
故答案為：
【變式訓練2-2】已知函數，則的極小值為
【答案】
【詳解】易知函數的定義域為，由題知，
令，得到，當時，，當時，，
所以在處取得極小值，極小值為，
故答案為：.
【變式訓練2-3】若函數在處取得極大值，則的極小值為
【答案】
【詳解】由函數，可得，
因為函數在處取得極大值，可得，
即，解得，
將，代入可得，
當時，；當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以時，函數取得極小值，極小值為.
故答案為：.
題型3 根據函數的極值（點）求參數
例3-1（湖南省天壹T8聯盟2024-2025學年高二下學期5月月考數學試題）已知函數，當時，有極大值，則（ ）
A． B． C．0 D．或1
【答案】A
【詳解】函數，求導得，
依題意，，即，解得或，
當時，，
當時，，函數在區間上單調遞增；
當時，，函數在區間上單調遞減，
此時在時取得極大值，滿足題意，因此；
當時，，則在上單調遞增，不符合題意，
所以.
故選：A
例3-2已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因為函數有兩個極值點，
所以有兩個不同的正實數解，
所以有有兩個不同的正實數解，
即二次函數有兩個不同的正零點，
所以有，解得.
故選：D.
方法技巧 根據極值點求參數要回代檢驗
在函數極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
【變式訓練3-1】（2025·黑龍江哈爾濱·三模）若函數存在唯一極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由，求導可得，
由題意可得函數存在唯一變號零點，則方程存在唯一解，
即方程存在唯一解，
令，求導可得，由，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，
當時，，則，當時，，
易知當，即時，方程存在唯一解，
當時，，易知方程的解為，
由當時，，，則，同理可得當時，，
所以此時函數無極值點，不符合題意；
當時，，易知函數在上單調遞增，符合題意.
故選：B.
【變式訓練3-2】已知函數 在 時有極值 ，則 ．
【答案】
【詳解】，有極值前提 ．
或 ．
當時，函數，函數在R上單調遞增，函數無極值，舍去.
同理，當時，經驗證，滿足條件.
則.
故答案為：11.
【變式訓練3-3】已知函數在處取得極大值，則 .
【答案】/
【詳解】由，
得，
則，
解得或，
當時，，，
此時函數在，上單調遞增，在上單調遞減，
即函數在處取極小值，不成立；
當時，，，
此時函數在，上單調遞增，在上單調遞減，
即函數在處取極大值，成立；
綜上所述，
故答案為：.
題型4 求函數的最值（不含參）
例4-1已知函數．
(1)若在R上單調遞增．求實數m的取值范圍；
(2)若，求在上的值域．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為，所以．
因為在上單調遞增，所以恒成立，
則，解得，即實數的取值范圍是．
（2）因為，則，
則，
由，得或；由，得．
可知在上單調遞增，在上單調遞減．
因為，
所以在上的值域為．
例4-2已知函數在時取得極大值4.
(1)求實數a，b的值；
(2)求函數在區間上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值為4，最小值為
【詳解】（1）由題可知，，解得．
此時，
當時，，所以在單調遞增，
當時，，所以在單調遞減，
當時，，所以在單調遞增，
所以在時取得極大值．所以．
（2）由（1）可知，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增．
又因為，
所以函數在區間上的最大值為4，最小值為．
方法技巧 求區間上函數最值步驟
設函數在上連續，在內可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
【變式訓練4-1】已知函數在處取得極值．
(1)求的值；
(2)求曲線在點處的切線方程；
(3)求函數在上的最值．
【答案】(1)，
(2)
(3)最大值為，最小值為
【詳解】（1），在處取得極值，
，解得：；
當，時，，
當時，；當時，；
在，上單調遞減，在上單調遞增，
是的極小值點，滿足題意；
綜上所述：，.
（2）由（1）得：，，，，
在點處的切線方程為：，即.
（3）由（1）知：在，上單調遞減，在上單調遞增；
，
又，，，
在上的最大值為，最小值為.
【變式訓練4-2】已知函數
(1)求函數在處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)求函數在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)單調遞增區間為，，單調遞減區間為
(3)最大值為，最小值為
【詳解】（1）因為，則，，
所以，所以函數在處的切線方程為；
（2）函數的定義域為R，且.
由，解得或，所以的單調遞增區間為，；
由，解得，所以的單調遞減區間為.
（3）由（2）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在處取得極大值，在處取得極小值，
又，，，，
所以函數在上的最大值為，最小值為.
【變式訓練4-3】設函數.
(1)求在處的切線方程與坐標軸圍成的三角形面積；
(2)求在區間上的最大值與最小值.
【答案】(1)，
(2)，
【詳解】（1）由題意可知，，則，
又，
則在處的切線方程為：，即，
所以在處的切線方程；
令，則，令，則，；
（2）令，解得：或，
則，，變化如表，
0 0
單調遞減 極小值 單調遞增 極大值 單調遞減
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
又，，
，，
所以，.
題型5 求函數的最值（含參）
例5-1（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知函數.
(1)當時，求在處的切線方程；
(2)討論的單調性，并求最值.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）當時，，求導得：，
則，，
則在處的切線方程：，即；
（2）由求導得：，
①當時，在上恒成立，故在上單調遞增，無最值；
②當時，由，解得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，在單調遞增，
所以在有最小值，為,無最大值.
例5-2已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)求函數在區間上的最小值．
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)
【詳解】（1），
由，得；由，得．
在上單調遞增，在上單調遞減．
的極小值為，無極大值．
（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減．
，．
①當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
②當時，在上單調遞增，．
.
【變式訓練5-1．已知函數.
(1)已知在點處的切線方程為，求實數，的值；
(2)求函數在上的最大值.
【答案】(1)，.
(2)答案見解析
【詳解】（1）因為，所以，
所以，所以，
又，所以，
綜上所述，.
（2）因為，
（ⅰ）當時，恒成立，
所以函數在上單調遞增，
所以；
（ⅱ）當時，由，解得或，
當或時，，則在和上單調遞增，
當時，，則在上單調遞減；
①當時，即，所以函數在上單調遞減，
所以；
②當時，即，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，則，
所以當時，，當時，，
當時，，
所以，
綜上所述，當時，；當時，.
【變式訓練5-2】已知函數．
(1)討論的極值；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）由題意知：的定義域為，；
當時，，恒成立，在上單調遞增，
無極值；
當時，若，；若，；
在上單調遞減，在上單調遞增；
的極小值為，無極大值；
綜上所述：當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值.
（2）當時，在上恒成立，在上單調遞增，
；
當時，若，；若，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
；
當時，在上單調遞減，；
綜上所述：在上的最小值.
【變式訓練5-3】已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)當時，求函數的最大值．
【答案】(1)在上為增函數；在上為減函數；
(2)
【詳解】（1）的定義域為，
當時，，，
當，解得：，
當，解得：．
在上為增函數；在上為減函數；
（2）的定義域為，
，
當時，令，得，令時，得，
的遞增區間為，遞減區間為．
.
題型6 根據函數的最值求參數
例6-1已知函數，.
(1)討論的單調性；
(2)若函數在上的最小值是，求a的值.
【答案】(1)答案見解析；
(2)
【詳解】（1）易知的定義域為，
可得；
若，可得，此時在上單調遞增；
若，令，解得；
當時，，即可得在上單調遞減；
當時，，即可得在上單調遞增；
綜上可得，時，在上單調遞增；
時，在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，
此時無最小值，不合題意；
當時，可知在上單調遞減，在上單調遞增；
此時在處取得極小值，也是最小值；
因此，解得，符合題意；
當時，在上單調遞減，此時無最小值，不合題意；
綜上可知，
例6-2（2025·河北·三模）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若函數在區間上的最小值為0，求實數的值.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）當時，函數，求導得，則，而，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）函數的定義域為，求導得，
當時，，函數在上單調遞減，
，解得，不符題意舍去；
當時，由得，；由得，，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
①當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
，解得，滿足，則；
②當，即時，在上單調遞減，
則，解得，不滿足，不符題意舍去.
所以.
【變式訓練6-1】已知函數在內有最小值，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】函數定義域為，求導得，
當時，，當時，，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數在處取得極小值，即最小值，
又函數在內有最小值，則，解得，
所以實數的取值可以是.
故選：D
【變式訓練6-2】已知函數（其中為常數）在處取得極值.
(1)當時，求的極值；
(2)若在上的最大值為2，求的值.
【答案】(1)極大值為：，極小值
(2)或.
【詳解】（1）因為，所以，
因為函數在處取得極值，，
當時，，，
，隨的變化情況如下表：
1
+ 0 - 0 +
增 極大值 減 極小值 增
所以的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，
極大值為：，極小值，
（2）當時，由，可知，
，，
易知當時，，當時，，
所以，在單調遞增，在單調遞減，
此時最大值為，不符合題意，
當時，由，得到，
所以，
令，，，
因為在處取得極值，所以，
當時，易得在上恒成立，
在上單調遞減；
所以在區間上的最大值為，
令，解得，
當，；
當時，易得在恒成立，
在上單調遞增，
所以，解得，符合；
當時，
由得，由得
所以在上單調遞減，上單調遞增，
所以最大值2可能在或處取得，而，
所以，
解得，與矛盾
當時，可以在恒成立，
所以在單調遞減，
所以最大值2可能在處取得，而，矛盾
綜上所述，或.
【變式訓練6-3】已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若在上的最大值是，求的值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）依題意得函數的定義域為，
則，．
當時，在上恒成立，
即函數在上單調遞增；
當時，令，則；
令，則；
故函數在上單調遞增，在上單調遞減．
綜上所述，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增；在上單調遞減．
（2）若，由（1）可知，函數在上單調遞增，
此時不存在最大值，與題意不符，
若，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
若要使得函數在上存在最大值，則，即，
且此時最大值為．
令，解得，故a的值為．
題型7函數的單調性、極值、最值的綜合應用
例7-1（2025·北京·二模）已知函數，其中．
(1)若曲線在點處的切線經過點，求的值；
(2)證明：函數存在極小值；
(3)記函數的最小值為，求的最大值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)0
【詳解】（1）求導，得，
所以，，
故曲線在點處的切線方程為，
將點代入切線方程，得．
（2）函數的定義域為．
設函數，則，
由，得，
所以函數在上單調遞增，
因為，
所以存在唯一的，使得，即．
當變化時，與的變化情況如下：
- 0 +
極小值
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
故函數存在極小值．
（3）由（2）知，函數有最小值．
由，得．
所以．
設函數，則．
今，得（舍）或．
當變化時，與的變化情況如下：
1
+ 0 -
極大值
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．
所以當時，，即當時，．
結合，知當時，．
由函數的導數，知其在區間上單調遞減，
故當且僅當時．
所以當時，取得最大值0．
例7-2（2025·四川瀘州·模擬預測）已知函數.
(1)當時，求的極大值；
(2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當時，，
，
令，解得或，
當或，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減，
所以當時，的極大值為.
（2），，
當時，，，單調遞增，無最小值，不符題意；
當時，令，則或，
當時，，，所以單調遞增，無最小值，
當時，當，，當，，
所以在單調遞減，在上單調遞減，所以當時，有最小值，
最小值為，
所以，即，
化簡得，即，
解得，即.
【變式訓練7-1】已知函數
(1)當時，求的極值；
(2)若，求在區間的最小值．
【答案】(1)極大值，極小值；
(2)時，最小值為；時，最小值為.
【詳解】（1）當時，的定義域為，且，
所以，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.
所以，在處取得極大值，在處取得極小值.
（2）由題意，，
令，解得或.
因為，所以當或時，；當時，，單調遞減.
所以，當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
則在區間的最小值為.
當即時，在上單調遞減，則在區間的最小值為.
綜上所述，時，在區間的最小值為；
時，則在區間的最小值為.
【變式訓練7-2】（2024·四川成都·模擬預測）設.
(1)當時，求的極小值；
(2)若的極大值為4，求的值.
【答案】(1)0
(2)
【詳解】（1）.
當時，，，
在上單調遞減，上單調遞減，
在上單調遞增，
因此的極小值為.
（2）當時，，無極值；
當時，，，
在上單調遞減，上單調遞減，
在上單調遞增，有極小值，極大值.
當時，由，解得.
當時，，，
在上單調遞減，上單調遞減，
在上單調遞增，有極小值，極大值；
當時，，即.
設，則，
因此在上單調遞減，，所以無解.
綜上可知，當且僅當時，的極大值為4.
【變式訓練7-3】設函數
(1)當時，求的極值；
(2)已知，若單調遞增，求的最大值；
(3)已知，設為的極值點，求的最大值.
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)
(3)
【詳解】（1）當時，，則
令，解得
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
所以的極小值為，無極大值；
（2）解法一：由，
若單調遞增，必有恒成立；
令，有，
當時，由已知單調遞增，但，不合題意
當時，令，可得，
故函數的減區間為，增區間為，有
又由函數單調遞減，且.
又由，故a的最大值為.
解法二：，依題意恒成立，
所以，故
因為，所以，
當時，，
設，則
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
所以
所以滿足題意，即的最大值為；
（3）當時，易知單調遞增.
易知，
所以存在使得，即，為的極小值點，
所以，其中，
設，則
整理得
因為，，
所以當時，，在上單調遞增
當時，，在上單調遞減，
所以，即的最大值為.
1．（多選）（2024·新課標Ⅰ·高考真題）設函數，則（ ）
A．是的極小值點 B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】ACD
【詳解】對A，因為函數的定義域為R，而，
易知當時，，當或時，
函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是函數的極小值點，正確；
對B，當時，，所以，
而由上可知，函數在上單調遞增，所以，錯誤；
對C，當時，，而由上可知，函數在上單調遞減，
所以，即，正確；
對D，當時，，
所以，正確；
故選：ACD.
2．（多選）（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值點，故D錯誤.
故選：.
3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，求的極值；
【答案】(1)極小值為，無極大值.
【詳解】（1）當時，，
故，
因為在上為增函數，
故在上為增函數，而，
故當時，，當時，，
故在處取極小值且極小值為，無極大值.
4．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見詳解（2）
【詳解】（1）構建，則對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以；
構建，
則，
構建，則對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數的定義域為，
若，則，
因為在定義域內單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當時，令
因為，
且，
所以函數在定義域內為偶函數，
由題意可得：，
（i）當時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當時，，則在上單調遞增，
結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當時，取，則，
由（1）可得，
構建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調遞增，且，
所以在內存在唯一的零點，
當時，則，且，
則，
即當時，，則在上單調遞減，
結合偶函數的對稱性可知：在上單調遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
5．（2023·北京·高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數，求的單調區間；
(3)求的極值點個數．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)3個
【詳解】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，
即的單調遞減區間為和，單調遞增區間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，
當時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，在上單調遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；
所以在上有一個極大值點；
當時，在上單調遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，，
所以，則單調遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
1.(人教A版選擇性必修第二冊練習)求下列函數的極值
（1） （2）
【答案】（1）函數有極小值，即（2）當時，函數有極大值，，當時，函數有極小值，
【詳解】（1），，令。則，當時，，當時，，當時，函數有極小值，即
，，令，則，當時，，當時，，當時，，所以，當時，函數有極大值，，當時，函數有極小值，
2．(人教A版選擇性必修第二冊例題8)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．
(1)瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
(2)瓶子的半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？
【答案】(1)當時，每瓶飲料的利潤最大
(2)當時，每瓶飲料的利潤最小
(3)
【詳解】（1）解：由題知：每瓶飲料的利潤為：
，，
所以，
令，解得，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
又，
所以，當時，每瓶飲料的利潤最大；
（2）由（1）知：當時，每瓶飲料的利潤最小；
3．(人教A版選擇性必修第二冊練習)求下列函數在給定區間上的最大值與最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為；（4）最大值為，最小值為.
【詳解】（1），則，
∴時，，單調遞減；時，，單調遞增；
∴在上的極小值為，而，，
∴在上最大值為，最小值為.
（2），則時有，
∴時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增；
∴在上的極大值為，極小值為，而， ，
綜上，在上最大值為，最小值為.
（3），則時有，
∴時，，單調遞減；
∴在上最大值為，最小值為.
（4），則時有，
∴時，，單調遞增；時，，單調遞減；
∴在上的極大值為，而， ，
∴在上最大值為，最小值為.
4．(人教A版選擇性必修第二冊練習)已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數關系式為．求產量q為何值時，利潤L最大？
【答案】當q=84時，利潤最大
【詳解】先求出利潤L關于q的函數關系式.,顯然當q=84時，利潤最大
5．(人教A版選擇性必修第二冊練習)已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b元/件時，可賣出c件.市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%．現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利潤？
【答案】
【詳解】設銷售價為x，可獲得的利潤為y，
則，
求導得，令，
解得，由知，，
當時，，函數單增；
當時，，函數單減；
因此是函數的極大值點，也是最大值點；
故當銷售價為元/件時，可獲得最大利潤.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 導數與函數的極值、最值
目錄
01 考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 函數的極值 3
知識點2 函數的最大（小）值 4
知識點3 函數的最值與極值的關系 4
題型破譯 5
題型1 函數圖象與極值（點），最值的關系 5
題型2 求已知函數的極值（點） 6
題型3 根據函數的極值（點）求參數 6
【方法技巧】根據極值點求參數要回代檢驗
題型4 求函數的最值（不含參） 7
【方法技巧】求區間上函數最值步驟
題型5 求函數的最值（含參） 9
題型6 根據函數的最值求參數 10
題型7函數的單調性、極值、最值的綜合應用 12
04真題溯源·考向感知 13
05課本典例·高考素材 14
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函數的極值 （2）函數的最值 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T18（1）（4分） 全國二卷T13（5分） 上海卷T19（2）（8分） 北京卷T20（1）（4分） 全國一卷T19（1）（4分） 全國甲卷（理）T21（1）（5分） 全國 II卷T16（2）（9分） 全國乙卷（理）T21（3）（6分） 全國 II卷T22（2）（9分） 全國 II卷T5（5分） 北京卷T20（3）（7分）
考情分析： 高考對最值、極值的考查相對穩定，屬于重點考查的內容．高考在本節內容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數作為研究函數的有力工具這一點，將函數的單調性、極值、最值等本質問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉化了．最終的落腳點一定是函數的單調性與最值，因為它們是導數永恒的主題．
復習目標： （1）借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件． （2）會用導數求函數的極大值（點）、極小值（點）． （3）會求閉區間上函數的最大值、最小值．
知識點1 函數的極值
一般地，對于函數，
（1）若在點處有，且在點附近的左側有，右側有，則稱為的極小值點，叫做函數的極小值.
（2）若在點處有，且在點附近的左側有，右側有，則稱為的極大值點，叫做函數的極大值．
（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.
注：極大（小）值點，不是一個點，是一個數.
自主檢測（2025·四川·三模）函數的極小值是 .
知識點2 函數的最大（小）值
一般地，如果在區間上函數的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.
設函數在上連續，在內可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
自主檢測已知函數在時取得極值．
(1)求a的值；
(2)求函數的單調區間；
(3)求函數在區間上的最小值．
知識點3 函數的最值與極值的關系
（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數的定義區間的整體而言；
（2）在函數的定義區間內，極大（小）值可能有多個（或者沒有），但最大（小）值只有一個（或者沒有）；
（3）函數的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點；
（4）對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區間端點處取得.
自主檢測已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)求函數在上的最大值和最小值．
題型1 函數圖象與極值（點），最值的關系
例1-1已知定義域為的函數的導函數為且的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的（ ）
A．在上單調遞增 B．有極大值
C．有3個極值點 D．在處取得最大值
例1-2（多選）已知函數，的圖象是一條連續不斷的曲線，設其導數為，函數的圖象如下，則下列說法正確的是（ ）
A．在處取最大值 B．是的極大值點
C．沒有極小值點 D．可能不是導函數的極大值點
【變式訓練1-1】（多選）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數在上單調遞增 B．函數至少有2個極值點
C．函數在上單調遞減 D．函數在處取得極大值
【變式訓練1-2】（多選）函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示，則下列命題正確的是（ ）
A．函數在內一定不存在最小值 B．函數在內只有一個極小值點
C．函數在內有兩個極大值點 D．函數在內可能沒有零點
【變式訓練1-3】（多選）已知定義在上的函數的導函數的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A． B．函數在上單調遞減
C．函數在處取得極大值 D．函數有最大值
題型2 求已知函數的極值（點）
例2-1（2025·廣東·模擬預測）已知函數，則的極小值為 .
例2-2函數的極值是 .
【變式訓練2-1】已知函數，則的極大值為 ．
【變式訓練2-2】已知函數，則的極小值為
【變式訓練2-3】若函數在處取得極大值，則的極小值為
題型3 根據函數的極值（點）求參數
例3-1（湖南省天壹T8聯盟2024-2025學年高二下學期5月月考數學試題）已知函數，當時，有極大值，則（ ）
A． B． C．0 D．或1
例3-2已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 根據極值點求參數要回代檢驗
在函數極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
【變式訓練3-1】（2025·黑龍江哈爾濱·三模）若函數存在唯一極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-2】已知函數 在 時有極值 ，則 ．
【變式訓練3-3】已知函數在處取得極大值，則 .
題型4 求函數的最值（不含參）
例4-1已知函數．
(1)若在R上單調遞增．求實數m的取值范圍；
(2)若，求在上的值域．
例4-2已知函數在時取得極大值4.
(1)求實數a，b的值；
(2)求函數在區間上的最值.
方法技巧 求區間上函數最值步驟
設函數在上連續，在內可導，求在上的最大值與最小值的步驟為：
（1）求在內的極值；
（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
【變式訓練4-1】已知函數在處取得極值．
(1)求的值；
(2)求曲線在點處的切線方程；
(3)求函數在上的最值．
【變式訓練4-2】已知函數
(1)求函數在處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)求函數在上的最大值和最小值.
【變式訓練4-3】設函數.
(1)求在處的切線方程與坐標軸圍成的三角形面積；
(2)求在區間上的最大值與最小值.
題型5 求函數的最值（含參）
例5-1（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知函數.
(1)當時，求在處的切線方程；
(2)討論的單調性，并求最值.
例5-2已知函數．
(1)求函數的極值；
(2)求函數在區間上的最小值．
【變式訓練5-1．已知函數.
(1)已知在點處的切線方程為，求實數，的值；
(2)求函數在上的最大值.
【變式訓練5-2】已知函數．
(1)討論的極值；
(2)求在上的最小值．
【變式訓練5-3】已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)當時，求函數的最大值．
題型6 根據函數的最值求參數
例6-1已知函數，.
(1)討論的單調性；
(2)若函數在上的最小值是，求a的值.
例6-2（2025·河北·三模）已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若函數在區間上的最小值為0，求實數的值.
【變式訓練6-1】已知函數在內有最小值，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】已知函數（其中為常數）在處取得極值.
(1)當時，求的極值；
(2)若在上的最大值為2，求的值.
【變式訓練6-3】已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若在上的最大值是，求的值．
題型7函數的單調性、極值、最值的綜合應用
例7-1（2025·北京·二模）已知函數，其中．
(1)若曲線在點處的切線經過點，求的值；
(2)證明：函數存在極小值；
(3)記函數的最小值為，求的最大值．
例7-2（2025·四川瀘州·模擬預測）已知函數.
(1)當時，求的極大值；
(2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范圍.
【變式訓練7-1】已知函數
(1)當時，求的極值；
(2)若，求在區間的最小值．
【變式訓練7-2】設.
(1)當時，求的極小值；
(2)若的極大值為4，求的值.
【變式訓練7-3】設函數
(1)當時，求的極值；
(2)已知，若單調遞增，求的最大值；
(3)已知，設為的極值點，求的最大值.
1．（多選）（2024·新課標Ⅰ·高考真題）設函數，則（ ）
A．是的極小值點 B．當時，
C．當時， D．當時，
2．（多選）（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數．
(1)當時，求的極值；
4．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．
5．（2023·北京·高考真題）設函數，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數，求的單調區間；
(3)求的極值點個數．
1.(人教A版選擇性必修第二冊練習)求下列函數的極值
（1） （2）
2．(人教A版選擇性必修第二冊例題8)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．
(1)瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
(2)瓶子的半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？
3．(人教A版選擇性必修第二冊練習)求下列函數在給定區間上的最大值與最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
4．(人教A版選擇性必修第二冊練習)已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數關系式為．求產量q為何值時，利潤L最大？
5．(人教A版選擇性必修第二冊練習)已知某商品進價為a元/件，根據以往經驗，當售價是b元/件時，可賣出c件.市場調查表明，當售價下降10%時，銷量可增加40%．現決定一次性降價，銷售價為多少時，可獲得最大利潤？
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