資源簡介

第03講 等比數(shù)列及其前n項和
目錄
01考情解碼 命題預警 2
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 等比數(shù)列的概念 3
知識點2等比數(shù)列的有關公式 4
知識點3 等比數(shù)列的性質 4
題型破譯 5
題型1 等比數(shù)列基本量計數(shù) 5
【方法技巧】等比數(shù)列基本量計算方法
題型2 等比數(shù)列的判斷與證明 7
【方法技巧】判斷與證明等比數(shù)列
題型3 等比數(shù)列角標和性質 9
【方法技巧】等比數(shù)列角標和性質
題型4 等比數(shù)列片段和性質 10
【方法技巧】等比數(shù)列片段和性質
題型5 奇數(shù)項與偶數(shù)項求和問題 12
【方法技巧】等比數(shù)列奇偶項和問題
題型6 等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合 14
題型7 等比數(shù)列實際應用 16
04真題溯源·考向感知 19
05課本典例·高考素材 21
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等比數(shù)列的有關概念 （2）等比數(shù)列的通項公式與求和公式 （3）等比數(shù)列的性質 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T7，（5分） 全國一卷T13，（5分） 北京卷T5，（4分） 全國甲卷（文）T17（1），（5分） 全國甲卷（理）T5，（5分） 全國II卷T8，（5分） 2全國乙卷（理）T15，（5分） 天津卷T19（2），（10分） 天津卷T5，（5分）
考情分析：高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等比數(shù)列的概念． （2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式． （3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．
知識點1 等比數(shù)列的概念
(1)等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母()表示．數(shù)學語言表達：，為常數(shù)，.
(2)等比中項
如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項 ，，成等比數(shù)列 .
自主檢測已知數(shù)列滿足，，（），則的前項和為 ．
【答案】
【詳解】因為,
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
因為,
所以,
所以,
.
故答案為：15.
知識點2等比數(shù)列的有關公式
1)若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；可推廣為.
(2)等比數(shù)列的前項和公式：當時，；當時，.
自主檢測（2025·陜西·模擬預測）已知是公比為2的等比數(shù)列，是公差為4的等差數(shù)列，若，則的通項公式為 ．
【答案】
【詳解】由題意可得，則，即，
則的通項公式為.
故答案為：
知識點3 等比數(shù)列的性質
設數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和．
(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．
(3)若數(shù)列，是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．
自主檢測等比數(shù)列中，是方程的兩個根，則（ ）
A．4 B． C．或4 D．
【答案】C
【詳解】由是方程的兩個根，可得，
因為數(shù)列為等比數(shù)列，可得且，所以，
所以或.
故選：C.
題型1 等比數(shù)列基本量計數(shù)
例1-1已知等比數(shù)列中，，則公比 .
【答案】
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，得，解得.
故答案為：
例1-2已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，．求數(shù)列的通項公式.
【答案】．
【詳解】依題意，，
，則，
解得，，所以.
方法技巧 等比數(shù)列基本量計算方法
方法總結解決等比數(shù)列基本量運算的思想方法
(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項和公比,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
(3)分類討論思想:若題目中公比未知,則運用等比數(shù)列前項和公式時要對分和兩種情況進行討論.
【變式訓練1-1】已知遞增等比數(shù)列的前項和為，，則（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【詳解】由已知，數(shù)列為等比數(shù)列，
可求出，（與數(shù)列為遞增數(shù)列矛盾，舍去），故.
故選：A
【變式訓練1-2】在等比數(shù)列中，已知，，，則 ．
【答案】5
【詳解】在等比數(shù)列中，，，，所以公比．
由前項和公式及通項公式可得，
，解得，．
故答案為：5.
【變式訓練1-3】數(shù)列成等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為Sn．若，，則 ．
【答案】或1
【詳解】等比數(shù)列的公比為q，由，得，
整理得，解得或，
所以或.
故答案為：或1
題型2 等比數(shù)列的判斷與證明
例2-1（多選）若為數(shù)列的前項和，且，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列
【答案】ACD
【詳解】當時，，
當時，由有，
所以，
所以數(shù)列時以為首項，2公比的等比數(shù)列，故C正確；
，故A正確；
由，故B錯誤；
因為，所以是等比數(shù)列，故D正確.
故選：ACD.
例2-2已知數(shù)列滿足．
(1)設，寫出；
(2)證明數(shù)列為等比數(shù)列；
【答案】(1)，，
(2)證明見解析
【詳解】（1）已知，因為，所以.
當時，，即.
當時，.
先求，因為為偶數(shù)，.
再求，因為為奇數(shù)，，即.
當時，.
先求，因為為偶數(shù)，.
再求，因為為奇數(shù)，，即.
（2）由可得.
所以.
則. 又.
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
方法技巧 判斷證明等比數(shù)列方法
證明是等比數(shù)列 定義法 () (或者）
等差中項法
判斷是等比數(shù)列 的通項關于的指數(shù)函數(shù) （，）
的前項和 （，，）
【變式訓練2-1】數(shù)列滿足，且其前項和為.若，則正整數(shù)（ ）
A．99 B．103 C．137 D．169
【答案】D
【詳解】由得，
為等比數(shù)列，，
，
，
①為奇數(shù)時，;
②為偶數(shù)時，，
只能為奇數(shù)，為偶數(shù)時，無解，
綜上所述，.
故選:D.
【變式訓練2-2】已知數(shù)列的前n項和為，若，則 ．
【答案】
【詳解】當時，，所以；
當時，，
兩式相減得，，即，
所以，
因為，所以，所以為常數(shù)，
故數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：.
【變式訓練2-3】已知數(shù)列滿足：，（n≥2）．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式及其前n項和的表達式．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題得，，
，，
所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，，即，
所以前n項和.
題型3 等比數(shù)列角標和性質
例3-1已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，和是方程的兩個根，則（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【詳解】由和是方程的兩個根，得，
又數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則，
所以.
故選：B
例3-2已知數(shù)列為等比數(shù)列，其中，為方程的兩根．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題得，根據(jù)韋達定理可得，，則，
由等比數(shù)列的等比中項性質可得：.
因為等比數(shù)列的偶數(shù)項符號相同，都是負數(shù)，設公比為q，則,
所以.
故選：B.
方法技巧 等比數(shù)列角標和性質
在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
【變式訓練3-1】在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由韋達定理得，，
又為等比數(shù)列，所以，
所以，
故選：A.
【變式訓練3-2】是等比數(shù)列，是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設等比數(shù)列公比為，
因為，是方程的兩根，
所以，所以，
由等比數(shù)列的性質可知
所以.
故選：C.
【變式訓練3-3】已知等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．9 B． C．81 D．
【答案】A
【詳解】在等比數(shù)列中，根據(jù)等比數(shù)列性質，即.
已知，，那么. 由，可得.
因在等比數(shù)列中，偶數(shù)項的符號相同，，，所以，故.
故選：A.
題型4 等比數(shù)列片段和性質
例4-1記等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．7 B．49 C． D．43
【答案】C
【詳解】設，則，
因為，
所以，解得，
所以.
故選：C
例4-2已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則 .
【答案】52
【詳解】因為為正項等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，
則，
即，
兩式相除得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
所以.
故答案為：52
方法技巧 等比數(shù)列片段和性質
為等比數(shù)列，公比為（當時，不為偶數(shù)）．
【變式訓練4-1】已知正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【詳解】由題意及等比數(shù)列前n項和的性質，得，，成等比數(shù)列，
則，即，解得或（舍）.
故選：A
【變式訓練4-2】已知是等比數(shù)列的前項和，，則（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【詳解】因為是等比數(shù)列的前項和且，
可知也成等比數(shù)列，
又因為，則，
可得，，
所以，，
故選：C.
【變式訓練4-3】已知等比數(shù)列的前 項和 滿足 ，則 .
【答案】273
【詳解】等比數(shù)列的前 項和 滿足成等比數(shù)列，
所以，即.
故答案為：273
題型5 奇數(shù)項與偶數(shù)項求和問題
例5-1已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3倍，前2項之積為8，則（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
【答案】D
【詳解】設首項為，公比為，數(shù)列共有項，則滿足首項為，公比為，項數(shù)為項，設所有奇數(shù)項之和為，
因為所有項之和是奇數(shù)項之和的3倍，所以，
所以，，
故滿足，解得，
又，
所以.
故選：D
例5-2若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為 ．
【答案】300
【詳解】設等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，
則，
，
由題意可得：，即，解得，
故數(shù)列的所有項之和是.
故答案為：300.
方法技巧 等比數(shù)列奇偶項和性質
（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；
②若共有項，．
【變式訓練5-1】已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為1012，偶數(shù)項之和為2024，則這個數(shù)列的公比為（ ）
A．8 B． C．4 D．2
【答案】D
【詳解】由題意可知：，
所以．
故選：D.
【變式訓練5-2】已知等比數(shù)列的前6項和為126，其中偶數(shù)項和是奇數(shù)項和的2倍，則 ．
【答案】2
【詳解】由題設，可得，
若的公比為，則，
所以，則.
故答案為：2
【變式訓練5-3】若等比數(shù)列共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為 ，項數(shù)為 ．
【答案】 2 9
【詳解】在等比數(shù)列中，由，得，解得，
設這個數(shù)列共有項，則，解得，所以這個等比數(shù)列的項數(shù)為9.
故答案為：2；9
題型6 等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合
例6-1已知等比數(shù)列的公比.
(1)求；
(2)設，若，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
解得或（舍去）.
例6-2已知等差數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）對于等差數(shù)列，設該數(shù)列的公差為，則，
．
（2）由（1）可知，又正項等比數(shù)列，設其公比為,
，．
【變式訓練6-1】在等差數(shù)列中，，．
(1)求通項公式及其前項和的最小值；
(2)若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，求的前項和．
【答案】(1)，最小值為
(2)
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為.
因為，所以，解得，
所以.
所以.
因為，所以當或時取得最小值，
且最小值為.
（2）由（1）可得：，，
所以等比數(shù)列的公比為，
所以，所以等比數(shù)列的前項和.
【變式訓練6-2】已知數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的前5項；
(2)若等差數(shù)列滿足，求的前n項和．
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）數(shù)列中，因為，故，
故，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比是2，
又因為，所以．
所以；
（2）等差數(shù)列滿足，
設等差數(shù)列公差為，所以，
所以，
所以的前n項和．
【變式訓練6-3】已知數(shù)列滿足：，．
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求的通項公式以及前n項和；
(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項公式．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）因為數(shù)列是等差數(shù)列，
所以．
所以．
所以，
即，
解得．
所以數(shù)列的通項公式，
即，
所以數(shù)列的前n項和，
即．
（2）因為數(shù)列是等比數(shù)列，
所以．
由，
得，
即，
解得．
所以．
數(shù)列的通項公式為．
題型7 等比數(shù)列實際應用
例7-1在國家開發(fā)西部的號召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設備更新．據(jù)預測，該企業(yè)設備更新后，第1個月收入為20萬元，在接下來的5個月中，每月收入都比上個月增長20%，從第7個月開始，每個月的收入都比前一個月增加2萬元．則從新設備使用開始計算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需 個月．（結果取整）
【答案】10
【詳解】由題意設每個月的收入為數(shù)列，其前n項和記作，前6個月的收入成等比數(shù)列，且公比為，
第7個月開始收入成等差數(shù)列，公差為2，則，
又，，，，
而，，
所以該企業(yè)用所得收入償還400萬元貸款只需10個月.
故答案為：10.
例7-2某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因為企業(yè)的設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降．若不進行技術改造，預測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進行技術改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術改造資金的情況下，預計2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．
(1)設從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元；進行技術改造后，在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元，求和；
(2)設從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元，進行技術改造后的累計純利潤為萬元，依上述預測，從2024年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤？
【答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）由題意得是等差數(shù)列，，
所以，由題意得，
所以，
所以是首項為250，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以.
（2）是數(shù)列的前項和，所以，
是數(shù)列的前項和減去600，
所以 ，
，
又當時，函數(shù)單調遞增，
所以函數(shù)單調遞增，且時，時，
所以至少經過4年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤.
【變式訓練7-1】漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：
出生時間 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 ……
改革后法定退休年齡 60歲+1個月 60歲+2個月 60歲+3個月 60歲+4個月 ……
那么1975年7月出生的男職工法定退休年齡為（ ）
A．62歲3個月 B．62歲5個月 C．62歲8個月 D．63歲
【答案】C
【詳解】設1965年7月出生的男職工退休年齡為歲，
則1966年7月出生的男職工退休年齡為歲，
設7月出生的男職工退休年齡為，則是首項為，公差為的等差數(shù)列，
1975年7月出生的男職工退休年齡為.
故1975年7月出生的男職工退休年齡為62歲8個月.
故選：C.
【變式訓練7-2】王先生為購房于2019年12月初向銀行貸款36萬元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進行還款，從2020年1月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為，現(xiàn)因資金充足準備向銀行申請?zhí)崆斑€款，銀行規(guī)定：提前還款除償還剩余本金外，另需收取違約金，貸款不滿一年提前還款收取提前還款額的百分之三作為違約金；貸款的時間在一年到兩年之間申請?zhí)崆斑€款收取提前還款額的百分之二作為違約金；滿兩年之后提前還款收取提前還款額的百分之一作為違約金.王先生計劃于2024年12月初將剩余貸款全部一次性還清，則他按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定的所有還款數(shù)額少（ ）
A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，截止2024年12月，提前還款數(shù)額比按約定還款數(shù)額少的部分為：
按原計劃還款時，從2024年12月起到原計劃結束時所還的利息，即剩余60個月的利息，
同時減掉剩余還款額百分之一的違約金.因為每月所還本金為元，
所以2024年12月還完后本金還剩余元，
故違約金為1800元，
2025年1月應還利息為，
2025年2月應還利息為，
2025年3月應還利息為，
最后一次應還利息為，
所以后60個月的利息合計為
元），
故他按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定的所有還款數(shù)額少元.
故選：C.
【變式訓練7-3】小琴3月8日用分期付款的方式購買一件商品，商品價格為2200元，購買當天支付200元，當年4月開始算分期付款的第一個月，月利率為個月還清．
（1）已知從當年4月開始，后面每月的8日都還款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，則購買這件商品實際付款 元；
（2）若從當年4月開始，后面每月的8日還款一次，每次還款數(shù)額相同，按復利計息，則每月還款金額為 元．（最后結果保留4位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】 2330
【詳解】（1）設第n個月付款元，則，
所以購買這件商品實際付款，
所以購買這件商品實際付款元；
（2）設每期還款x元，按復利計算2000元貸款經過25期連本帶息增值為元.
則，
可得，
整理可得，
所以每月還款金額為元.
故答案為：2330；.
1．（2023·全國甲卷·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【詳解】當時，，所以，即，
當時，，
所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
則.
故選：C.
3．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
【答案】 23 57.5/
【詳解】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，.
故答案為：.
4．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項的和為 ．
【答案】 48 384
【詳解】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，
且，所以；
又因為，則；
空2：設后7項公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
5．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【詳解】（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
1．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第9題)在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要 輪感染？（結果取整數(shù)，初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人再分別傳染給個人為第二輪傳染……）
【答案】5
【詳解】由題可知，第一輪傳染感染的人數(shù)為；第二輪傳染感染的人能數(shù)為：人；
第三輪傳染感染的人能數(shù)為：人；故感染人數(shù)可看作首項為5，公比為4的等比數(shù)列，，令，即，得，
，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要5輪
故答案為：5
2．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第1題)已知數(shù)列是等比數(shù)列．
（1）若，，求q與；
（2）若，，求．
【答案】（1），； （2）或.
【詳解】（1）由數(shù)列是等比數(shù)列，設等比數(shù)列的公比為，
因為，，可得，即，解得，
所以.
（2）設等比數(shù)列的公比為，因為，，
可得，即，解得或，
當時，可得，則；
當時，可得，則.
3．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第2題)已知是一個無窮等比數(shù)列，公比為q．
（1）將數(shù)列中的前k項去掉，剩余項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？
（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？
（3）在數(shù)列中，每隔10項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結論作出關于等比數(shù)列的一個猜想嗎？
【答案】答案見解析.
【詳解】（1）將數(shù)列中的前k項去掉，剩余項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項與公比分別是；
（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項與公比分別是；
（3）在數(shù)列中，每隔10項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列.它的公比是，我們由此可以得到一個結論： 在數(shù)列中，每隔項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比為.
4．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第4題)放射性元素在t=0時的原子核總數(shù)為，經過一年原子核總數(shù)衰變?yōu)?，常?shù)稱為年衰變率．考古學中常利用死亡的生物體中碳14元素穩(wěn)定持續(xù)衰變的現(xiàn)象測定遺址的年代．已知碳14的半衰期為5730年．
（1）碳14的年衰變率為多少（精確到）
（2）某動物標本中碳14含量為正常大氣中碳14含量的60%（即衰變了40%），該動物的死亡時間大約距今多少年？
【答案】（1）；（2）4221.
【詳解】(1)設生物體死亡時，體內每克組織中的碳14的含量為1，每年的衰變率為，n年后的殘留量為，則是一個等比數(shù)列．由碳14的半衰期為5730，則
，所以衰變率．
即碳14的年衰變率為；
(2)設動物約在距今n年前死亡，由，得
，
解得，所以動物約在距今4221年前死亡．
5．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第12題)已知數(shù)列為等差數(shù)列，其中，，前n項和為，數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列中的任意三項均不能構成等比數(shù)列.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，
因為，，所以，
所以，所以，所以
（2）設數(shù)列中任意三項，，
則，假設成等比數(shù)列，則
即
因為，所以，所以，即，與矛盾，
所以數(shù)列中的任意三項均不能構成等比數(shù)列．
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第03講 等比數(shù)列及其前n項和
目錄
01考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 等比數(shù)列的概念 3
知識點2等比數(shù)列的有關公式 4
知識點3 等比數(shù)列的性質 4
題型破譯 5
題型1 等比數(shù)列基本量計數(shù) 5
【方法技巧】等比數(shù)列基本量計算方法
題型2 等比數(shù)列的判斷與證明 5
【方法技巧】判斷與證明等比數(shù)列
題型3 等比數(shù)列角標和性質 6
【方法技巧】等比數(shù)列角標和性質
題型4 等比數(shù)列片段和性質 7
【方法技巧】等比數(shù)列片段和性質
題型5 奇數(shù)項與偶數(shù)項求和問題 7
【方法技巧】等比數(shù)列奇偶項和問題
題型6 等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合 8
題型7 等比數(shù)列實際應用 9
04真題溯源·考向感知 11
05課本典例·高考素材 12
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等比數(shù)列的有關概念 （2）等比數(shù)列的通項公式與求和公式 （3）等比數(shù)列的性質 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷T7，（5分） 全國一卷T13，（5分） 北京卷T5，（4分） 全國甲卷（文）T17（1），（5分） 全國甲卷（理）T5，（5分） 全國II卷T8，（5分） 2全國乙卷（理）T15，（5分） 天津卷T19（2），（10分） 天津卷T5，（5分）
考情分析：高考對等比數(shù)列的考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數(shù)列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等比數(shù)列的概念． （2）掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式． （3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．
知識點1 等比數(shù)列的概念
(1)等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母()表示．數(shù)學語言表達：，為常數(shù)，.
(2)等比中項
如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項 ，，成等比數(shù)列 .
自主檢測已知數(shù)列滿足，，（），則的前項和為 ．
知識點2等比數(shù)列的有關公式
1)若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；可推廣為.
(2)等比數(shù)列的前項和公式：當時，；當時，.
自主檢測（2025·陜西·模擬預測）已知是公比為2的等比數(shù)列，是公差為4的等差數(shù)列，若，則的通項公式為 ．
知識點3 等比數(shù)列的性質
設數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和．
(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．
(3)若數(shù)列，是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．
自主檢測等比數(shù)列中，是方程的兩個根，則（ ）
A．4 B． C．或4 D．
題型1 等比數(shù)列基本量計數(shù)
例1-1已知等比數(shù)列中，，則公比 .
例1-2已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，．求數(shù)列的通項公式.
方法技巧 等比數(shù)列基本量計算方法
方法總結解決等比數(shù)列基本量運算的思想方法
(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項和公比,通常利用已知條件及通項公式或前項和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
(3)分類討論思想:若題目中公比未知,則運用等比數(shù)列前項和公式時要對分和兩種情況進行討論.
【變式訓練1-1】已知遞增等比數(shù)列的前項和為，，則（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【變式訓練1-2】在等比數(shù)列中，已知，，，則 ．
【變式訓練1-3】數(shù)列成等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為Sn．若，，則 ．
題型2 等比數(shù)列的判斷與證明
例2-1（多選）若為數(shù)列的前項和，且，則下列說法中正確的是（ ）
A． B．
C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列
例2-2已知數(shù)列滿足．
(1)設，寫出；
(2)證明數(shù)列為等比數(shù)列；
方法技巧 判斷證明等比數(shù)列方法
證明是等比數(shù)列 定義法 () (或者）
等差中項法
判斷是等比數(shù)列 的通項關于的指數(shù)函數(shù) （，）
的前項和 （，，）
【變式訓練2-1】數(shù)列滿足，且其前項和為.若，則正整數(shù)（ ）
A．99 B．103 C．137 D．169
【變式訓練2-2】已知數(shù)列的前n項和為，若，則 ．
【變式訓練2-3】已知數(shù)列滿足：，（n≥2）．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式及其前n項和的表達式．
題型3 等比數(shù)列角標和性質
例3-1已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，和是方程的兩個根，則（ ）
A． B．4 C． D．5
例3-2已知數(shù)列為等比數(shù)列，其中，為方程的兩根．則（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 等比數(shù)列角標和性質
在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
【變式訓練3-1】在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】是等比數(shù)列，是方程的兩根，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】已知等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．9 B． C．81 D．
題型4 等比數(shù)列片段和性質
例4-1記等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．7 B．49 C． D．43
例4-2已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則 .
方法技巧 等比數(shù)列片段和性質
為等比數(shù)列，公比為（當時，不為偶數(shù)）．
【變式訓練4-1】已知正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【變式訓練4-2】已知是等比數(shù)列的前項和，，則（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【變式訓練4-3】已知等比數(shù)列的前 項和 滿足 ，則 .
題型5 奇數(shù)項與偶數(shù)項求和問題
例5-1已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3倍，前2項之積為8，則（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
例5-2若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為 ．
方法技巧 等比數(shù)列奇偶項和性質
（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；
②若共有項，．
【變式訓練5-1】已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為1012，偶數(shù)項之和為2024，則這個數(shù)列的公比為（ ）
A．8 B． C．4 D．2
【變式訓練5-2】已知等比數(shù)列的前6項和為126，其中偶數(shù)項和是奇數(shù)項和的2倍，則 ．
【變式訓練5-3】若等比數(shù)列共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為 ，項數(shù)為 ．
題型6 等比數(shù)列與等差數(shù)列綜合
例6-1已知等比數(shù)列的公比.
(1)求；
(2)設，若，求.
例6-2已知等差數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，若，，求．
【變式訓練6-1】在等差數(shù)列中，，．
(1)求通項公式及其前項和的最小值；
(2)若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，求的前項和．
【變式訓練6-2】已知數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的前5項；
(2)若等差數(shù)列滿足，求的前n項和．
【變式訓練6-3】已知數(shù)列滿足：，．
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求的通項公式以及前n項和；
(2)若數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項公式．
題型7 等比數(shù)列實際應用
例7-1在國家開發(fā)西部的號召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設備更新．據(jù)預測，該企業(yè)設備更新后，第1個月收入為20萬元，在接下來的5個月中，每月收入都比上個月增長20%，從第7個月開始，每個月的收入都比前一個月增加2萬元．則從新設備使用開始計算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需 個月．（結果取整）
例7-2某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因為企業(yè)的設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降．若不進行技術改造，預測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進行技術改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術改造資金的情況下，預計2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．
(1)設從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術改造的年純利潤為萬元；進行技術改造后，在未扣除技術改造資金的情況下的年利潤為萬元，求和；
(2)設從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元，進行技術改造后的累計純利潤為萬元，依上述預測，從2024年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造的累計純利潤將超過不進行技術改造的累計純利潤？
【變式訓練7-1】漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡.對于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個月延遲1個月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對照表如下表所示：
出生時間 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 ……
改革后法定退休年齡 60歲+1個月 60歲+2個月 60歲+3個月 60歲+4個月 ……
那么1975年7月出生的男職工法定退休年齡為（ ）
A．62歲3個月 B．62歲5個月 C．62歲8個月 D．63歲
【變式訓練7-2】王先生為購房于2019年12月初向銀行貸款36萬元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進行還款，從2020年1月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為，現(xiàn)因資金充足準備向銀行申請?zhí)崆斑€款，銀行規(guī)定：提前還款除償還剩余本金外，另需收取違約金，貸款不滿一年提前還款收取提前還款額的百分之三作為違約金；貸款的時間在一年到兩年之間申請?zhí)崆斑€款收取提前還款額的百分之二作為違約金；滿兩年之后提前還款收取提前還款額的百分之一作為違約金.王先生計劃于2024年12月初將剩余貸款全部一次性還清，則他按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定的所有還款數(shù)額少（ ）
A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元
【變式訓練7-3】小琴3月8日用分期付款的方式購買一件商品，商品價格為2200元，購買當天支付200元，當年4月開始算分期付款的第一個月，月利率為個月還清．
（1）已知從當年4月開始，后面每月的8日都還款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，則購買這件商品實際付款 元；
（2）若從當年4月開始，后面每月的8日還款一次，每次還款數(shù)額相同，按復利計息，則每月還款金額為 元．（最后結果保留4位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：）
1．（2023·全國甲卷·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
4．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項的和為 ．
5．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
1．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第9題)在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要 輪感染？（結果取整數(shù)，初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人再分別傳染給個人為第二輪傳染……）
2．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第1題)已知數(shù)列是等比數(shù)列．
（1）若，，求q與；
（2）若，，求．
3．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第2題)已知是一個無窮等比數(shù)列，公比為q．
（1）將數(shù)列中的前k項去掉，剩余項組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？
（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？
（3）在數(shù)列中，每隔10項取出一項，組成一個新數(shù)列，這個新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結論作出關于等比數(shù)列的一個猜想嗎？
4．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第4題)放射性元素在t=0時的原子核總數(shù)為，經過一年原子核總數(shù)衰變?yōu)?，常?shù)稱為年衰變率．考古學中常利用死亡的生物體中碳14元素穩(wěn)定持續(xù)衰變的現(xiàn)象測定遺址的年代．已知碳14的半衰期為5730年．
（1）碳14的年衰變率為多少（精確到）
（2）某動物標本中碳14含量為正常大氣中碳14含量的60%（即衰變了40%），該動物的死亡時間大約距今多少年？
5．(人教A版選擇性必修第二冊習題4.3第12題)已知數(shù)列為等差數(shù)列，其中，，前n項和為，數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列中的任意三項均不能構成等比數(shù)列.
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