資源簡介

第03講 等式與不等式的性質
目錄
01 考情解碼 命題預警 2
02 體系構建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 兩個實數大小的比較 3
知識點2 不等式的性質 4
題型破譯 5
題型1 作差法、作商法比較兩數（式）的大小 5
題型2 利用不等式的性質判斷命題真假 6
【方法技巧】利用不等式判斷正誤的方法
題型3 利用不等式的性質證明不等式 8
題型4 利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍 10
【易錯分析】利用同向相加求范圍出錯
題型5 不等式的綜合 12
04 真題溯源·考向感知 14
05 課本典例·高考素材 15
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據 （2）理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用. 單選題 多選題 填空題 解答題 / / /
考情分析： 近三年考情顯示，高考對不等式性質的考查雖單獨命題頻率較低，但相關知識貫穿各類題型，是進行不等式變形、證明及解題的核心工具。其重要性體現在：作為數學邏輯的基礎支撐，不等式性質為函數、數列、幾何等模塊的解題提供理論依據；同時，其應用能力直接影響考生對復雜問題的轉化與分析能力，成為高考數學考查邏輯思維與運算素養的關鍵載體。因此，掌握不等式性質不僅是應對單一題型的需要，更是提升整體數學能力的必備基礎。
復習目標： 1.梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質 2.能夠利用不等式的性質比較不等式的大小關系 3.能夠利用不等式的關系表示不等式的范圍
知識點1 兩個實數大小的比較
作差法：
如果是正數,那么;如果等于零,那么;如果是負數,那么.反過來也對.
這個基本事實可以表示為: _______.
作商法：
任意兩個值為_______的代數式、，可以作商后比較與_______的關系，進一步比較與的大?。?br/>則有；；．
自主檢測已知，，設，，則與的大小關系為 ．
知識點2 不等式的性質
性質 性質內容 注意
對稱性
傳遞性
_______
可乘性 的符號
_______
同向可加性 _______
同向同正可乘性
可乘方性 同正
自主檢測（多選）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若且，則
D．若，則
題型1 作差法、作商法比較兩數（式）的大小
例1-1設，則P，Q，R的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
例1-2如果，比較與的大小并證明．
【變式1-1】設，，則 （填入“＞”或“＜”）．
【變式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假設全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為一個不等式（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3·變載體】若，則與的大小關系是 ．（用“>”連接）
題型2 利用不等式的性質判斷命題真假
例2-1（多選）對于實數、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
例2-2已知x，y是實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
方法技巧 利用不等式判斷正誤的方法
①直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．
【變式2-1】設，若，則下列不等式中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（多選）設，則下列選項中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式2-3】下列說法中正確的是（ ）
A．“”是“”的充分條件
B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件
D．“”是“”的必要條件
題型3 利用不等式的性質證明不等式
例3-1若，，證明：．
例3-2已知，．
(1)求證：；
(2)求證：．
【變式3-1】已知，，求證．
【變式3-2】設，求證.
【變式3-3】（1）設，求證：，
（2）設，求證：，
題型4 利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍
例4-1已知，若，則的取值范圍是 ；若，且，則的取值范圍是 ．
例4-2已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
易錯分析 利用同向相加求范圍出錯
在多次運用不等式性質時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式
【變式4-1】如果，，則的取值范圍是 .
【變式4-2】已知，，，則的取值范圍是 .
【變式4-3】已知，．
(1)求，的取值范圍；
(2)求，的取值范圍．
題型5 不等式的綜合
例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】設為實數，滿足，則的最大值是 ．
【變式5-2】（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知正數x，y，z滿足或，記（M為x，y，z中最大者），則M的最小值為 ．
【變式5-3】（1）已知，且，請證明：.
（2）已知，，且，請證明：與至少有一個大于.
1．（2017·北京·高考真題）能夠說明“設是任意實數,若,則”是假命題的一組整數的值依次為 .
2．（2019·全國II卷·高考真題）若a>b，則
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
1．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
2．用不等號“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么 ;
(2)如果,,那么 ;
(3)如果,那么 ;
(4)如果,那么 .
3．比較下列各組中兩個代數式的大?。?br/>（1）與；
（2）與；
（3）當時，與；
（4）與.
4．已知，，，求證：
5．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.
6．已知，，求的范圍.
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01 考情解碼 命題預警 2
02 體系構建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 兩個實數大小的比較 3
知識點2 不等式的性質 4
題型破譯 5
題型1 作差法、作商法比較兩數（式）的大小 5
題型2 利用不等式的性質判斷命題真假 6
【方法技巧】利用不等式判斷正誤的方法
題型3 利用不等式的性質證明不等式 8
題型4 利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍 10
【易錯分析】利用同向相加求范圍出錯
題型5 不等式的綜合 12
04 真題溯源·考向感知 14
05 課本典例·高考素材 15
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據 （2）理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用. 單選題 多選題 填空題 解答題 / / /
考情分析： 近三年考情顯示，高考對不等式性質的考查雖單獨命題頻率較低，但相關知識貫穿各類題型，是進行不等式變形、證明及解題的核心工具。其重要性體現在：作為數學邏輯的基礎支撐，不等式性質為函數、數列、幾何等模塊的解題提供理論依據；同時，其應用能力直接影響考生對復雜問題的轉化與分析能力，成為高考數學考查邏輯思維與運算素養的關鍵載體。因此，掌握不等式性質不僅是應對單一題型的需要，更是提升整體數學能力的必備基礎。
復習目標： 1.梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質 2.能夠利用不等式的性質比較不等式的大小關系 3.能夠利用不等式的關系表示不等式的范圍
知識點1 兩個實數大小的比較
作差法：
如果是正數,那么;如果等于零,那么;如果是負數,那么.反過來也對.
這個基本事實可以表示為: .
作商法：
任意兩個值為正的代數式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小．
則有；；．
自主檢測已知，，設，，則與的大小關系為 ．
【答案】
【詳解】．因為，，所以，，，所以，所以．
知識點2 不等式的性質
性質 性質內容 注意
對稱性
傳遞性
可加性
可乘性 的符號
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 同正
自主檢測（多選）下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．若且，則
D．若，則
【答案】BC
【詳解】對于A選項，若，，則，A錯誤；
對于B選項，若，，則，，B正確；
對于C選項，若且，則，
即，C正確；
對于D選項，若，取，，，
則，，此時，D錯誤.
故選：BC.
題型1 作差法、作商法比較兩數（式）的大小
例1-1設，則P，Q，R的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以．
因為，
又，所以，所以．
例1-2如果，比較與的大小并證明．
【詳解】，理由如下：
，
當時等號成立，所以.
【變式1-1】設，，則 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【詳解】∵，即.
又，
.
故答案為：>.
【變式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假設全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為一個不等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】這一事實表示為一個不等式為．
證明：，
又，，
，即，
即.
故選：
【變式1-3·變載體】若，則與的大小關系是 ．（用“>”連接）
【答案】
【詳解】方法一（作商法）：因為，
所以，
所以．
方法二（作差法）：，即．
故答案為：
題型2 利用不等式的性質判斷命題真假
例2-1（多選）對于實數、、，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【詳解】對于A選項，因為，則，故，A錯；
對于B選項，若，則，由不等式的基本性質可得，B對；
對于C選項，若，由不等式的基本性質可得，C對；
對于D選項，若，則，
所以，D對.
故選：BCD.
例2-2已知x，y是實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【詳解】若，滿足，此時，所以不是的充分條件，
反過來，若，滿足，此時，所以也不是的必要條件，所以”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D
方法技巧 利用不等式判斷正誤的方法
①直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．
【變式2-1】設，若，則下列不等式中不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，則，則，A選項正確；
因為，則，則，B選項正確；
因為，則，則，C選項正確；
取，所以，D選項錯誤；
故選：D.
【變式2-2】（多選）設，則下列選項中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】ACD
【詳解】對于A，由，得，A正確；
對于B，取滿足，而不成立，B錯誤；
對于C，由，得，則，C正確；
對于D，由，得，則，D正確.
故選：ACD
【變式2-3】下列說法中正確的是（ ）
A．“”是“”的充分條件
B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件
D．“”是“”的必要條件
【答案】B
【詳解】項，若，，此時，但不滿足，故A項錯誤；
B項，根據不等式性質，可由推導出，故是的必要條件，故B項正確；
C項，若，，此時，但不滿足，故C項錯誤；
D項，若，，此時，但是不滿足，故D項錯誤．
故選：B
題型3 利用不等式的性質證明不等式
例3-1若，，證明：．
【詳解】∵，∴，
又∵，∴，
∴，則有：，
又∵，
∴．
例3-2已知，．
(1)求證：；
(2)求證：．
【詳解】（1）由，則，故，
由，則，故，
所以，得證.
（2）由，而，
所以，即，得證.
【變式3-1】已知，，求證．
【詳解】根據不等式的性質利用綜合法即可證明．
因為，所以，
又因為，所以，
所以，所以，
所以，
所以．
【變式3-2】設，求證.
【詳解】由，
因為，可得，
所以，即，所以.
【變式3-3】（1）設，求證：，
（2）設，求證：，
【詳解】（1）方法一：，，
，
．
方法二：，
．
（2）方法一：，
，
，
．
，
.
題型4 利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍
例4-1已知，若，則的取值范圍是 ；若，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】若，則，而，所以有．設，則解得若，，則有，所以，即．
易錯警示：題中的第二空易錯誤的利用如下解法：先由條件得出a，b的范圍，再由此得出的范圍，即得出的錯誤結果（其取值范圍擴大了）.
例4-2已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，即，
所以，則，
所以.故選：D.
易錯分析 利用同向相加求范圍出錯
在多次運用不等式性質時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式
【變式4-1】如果，，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】,
,
又,
,
兩式相加得,
故答案為:.
【變式4-2】已知，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】令，則，即，
由，即，可得，則.
故答案為：.
【變式4-3】已知，．
(1)求，的取值范圍；
(2)求，的取值范圍．
【詳解】（1）因為，
所以，，所以．
又因為，所以.
（2）由題意得，則， 得，
又因為，則，得.
題型5 不等式的綜合
例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，且可得，即，
則，
又，即，化簡可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
綜上所述，.
故選：A
例5-2已知，，，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為
，
若，且，則，，
可得，即；
若，且，則，，
可得，即；
若，則，即；
綜上可知，對于，，，都有.
故選：C.
【變式5-1】設為實數，滿足，則的最大值是 ．
【答案】32
【詳解】由題設，則，
所以的最大值是32.
故答案為：32
【變式5-2】（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知正數x，y，z滿足或，記（M為x，y，z中最大者），則M的最小值為 ．
【答案】
【詳解】若，由，可得，
所以，即，
若，則有，所以，即，
故的最小值為．
故答案為：
【變式5-3】（1）已知，且，請證明：.
（2）已知，，且，請證明：與至少有一個大于.
【詳解】（1）證明：若，則，，不合題意，.
要證，只需證，
又，只需證，
即，只需證，只需證，
成立，原式成立.
（2）證明：假設，，，
，與矛盾，
假設不成立，與至少有一個大于.
1．（2017·北京·高考真題）能夠說明“設是任意實數,若,則”是假命題的一組整數的值依次為 .
【答案】
【詳解】試題分析：，矛盾，所以 1， 2， 3可驗證該命題是假命題.
2．（2019·全國II卷·高考真題）若a>b，則
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數是增函數，，所以，故選C．
3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
1．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【詳解】對于A,當時，顯然不成立，故A錯誤；
對于B，由，利用不等式的性質易得，故B正確；
對于C，當時，取，則，故C錯誤；
對于D，當時，，由不等式的性質，可得，故D錯誤.
故選：B.
2．用不等號“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么 ;
(2)如果,,那么 ;
(3)如果,那么 ;
(4)如果,那么 .
【答案】 > < < <
【解析】根據不等式的性質依次填寫即可
【詳解】解析:(1),.,.
(2),.,,.
(3),,,,,
,即.
(4),所以,.于是,即,即.
,.
故答案為:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<
【點睛】本題考查利用不等式性質判斷不等關系,熟練掌握不等式性質是解題關鍵
3．比較下列各組中兩個代數式的大?。?br/>（1）與；
（2）與；
（3）當時，與；
（4）與.
【詳解】解：（1）因為，所以.
（2）因為，所以.
（3）因為，所以當時，.
（4）因為，所以.
【點睛】本題主要考查了利用作差法比較大小，屬于基礎題.
4．已知，，，求證：
【詳解】∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴.
5．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.
【解析】根據添加后的濃度大于之前的濃度，得出，利用作差法證明不等式成立即可.
【詳解】解：時，.
證明如下：
，
.
【點睛】本題主要考查了利用不等式表示不等關系以及作差法證明不等式，屬于中檔題.
6．已知，，求的范圍.
【詳解】解：，
，又，
.
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