資源簡介

第03講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
目錄
01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02 體系構(gòu)建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 五點作圖法 3
知識點2 正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 4
知識點3 函數(shù)的有關(guān)概念 4
知識點4 三角函數(shù)的圖象變換 5
題型破譯 5
題型1 求三角函數(shù)的定義域、值域（最值） 5
【方法技巧 三角函數(shù)值域的兩種常見模型】
題型2 利用三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù) 6
題型3 三角函數(shù)的周期性 7
【方法技巧 三角函數(shù)周期的處理】
題型4 三角函數(shù)的單調(diào)性 8
【易錯分析 單調(diào)性的注意事項】
題型5 三角函數(shù)的奇偶性 8
題型6 三角函數(shù)的對稱性 9
題型7 三角函數(shù)的零點問題 10
題型8 三角函數(shù)的圖象變換 11
題型9 圖象變換中的最小平移 11
題型10 由圖象確定正（余）弦函數(shù)的解析式 12
【方法技巧 求解析式的常用方法】
題型11 三角函數(shù)的實際應(yīng)用 14
04 真題溯源·考向感知 16
05 課本典例·高考素材 18
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) （2）三角函數(shù)圖象的平移變換 （3）三角函數(shù)的實際應(yīng)用 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷T4（5分） 全國二卷T15（15分） 北京卷T8（5分） 全國甲卷（文）T13（5分） 全國 I卷T7（5分） 全國II卷T9（6分） 北京卷T6（5分） 天津卷T7（5分） 全國甲卷（文）T12（5分） 全國甲卷（理）T10（5分） 全國甲卷（文）T10（5分） 全國甲卷（理）T6（5分） 全國 I卷T15（5分） 全國 II卷T16（5分）
考情分析： 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)在高考中屬于高頻考點，考查形式靈活多樣。選擇題和填空題常單獨考查，涉及圖象的識別、變換（如平移、伸縮、對稱），以及單調(diào)性、周期性、奇偶性、最值等性質(zhì)的應(yīng)用，例如由函數(shù)解析式判斷圖象，或根據(jù)圖象特征求參數(shù)值，題目難度多為中等，側(cè)重基礎(chǔ)概念與基本技能的考查。 該考點也常與三角恒等變換、解三角形等知識結(jié)合，有時還會融入實際問題，考查學生建模能力和利用性質(zhì)分析問題的能力。這類題目綜合性稍強，但整體難度仍處于中等水平，強調(diào)對知識的綜合運用和邏輯推理能力的檢驗，是高考中得分的關(guān)鍵板塊之一。
復(fù)習目標： 1.能畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、的圖象. 2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì). 3.了解參數(shù)對函數(shù)圖象變化的影響. 4.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型
知識點1 五點作圖法
“五點法”作圖原理：
在正弦函數(shù)的圖象上，五個關(guān)鍵點是： ,
在余弦函數(shù)的圖象上，五個關(guān)鍵點是： ,
自主檢測用“五點法”畫的圖象時，下列哪個點不是關(guān)鍵點（ ）
A． B． C． D．
知識點2 正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
圖象
定義域
值域
最值 當時，； 當時， 當 時，； 當時，． 既無最大值，也無最小值
周期性 最小正周期為 最小正周期為 最小正周期為
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù)
單調(diào)性 在 上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)．
對稱性 對稱中心； 對稱軸， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. 對稱中心； 對稱軸 ， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. 對稱中心； 無對稱軸， 是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.
自主檢測下列函數(shù)中，以2為最小正周期且是偶函數(shù)的為（ ）
A． B．
C． D．
知識點3 函數(shù)的有關(guān)概念
振幅 周期 頻率 相位 初相
自主檢測函數(shù)的初始相位為 .
知識點4 三角函數(shù)的圖象變換
由函數(shù)的圖象通過變換得到的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
方法一：（先平移后伸縮）
的圖象的圖象的圖象的圖象
方法二：（先伸縮后平移）
的圖象的圖象的圖象的圖象
注意：無論哪種變換，每一個變換總是針對自變量而言的，即圖象變換要看“自變量”發(fā)生多大變化，而不是看“角”的變化．
自主檢測要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平行移動個單位 B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位 D．向右平行移動個單位
題型1 求三角函數(shù)的定義域、值域（最值）
例1-1函數(shù)的定義域為 ．
例1-2求下列函數(shù)的值域：
(1)；
(2)．
方法技巧 三角函數(shù)值域的兩種常見模型
（1）形如或型,可先由定義域求得的范圍,然后求得(或)的范圍,最后求得最值.
（2）形如型,可利用換元思想,設(shè),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,的范圍需要根據(jù)定義域來確定.
【變式1-1】函數(shù)的定義域為
【變式1-2】函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù)，且最小值為 B．偶函數(shù)，且最小值為
C．奇函數(shù)，且最小值為 D．偶函數(shù)，且最小值為
【變式1-3·變載體】在平面直角坐標系中，，與原點距離最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型2 利用三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)
例2-1若的最大值為3，最小值為1，則ab的值為（ ）
A．0 B． C．2 D．
例2-2已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（ 2025·上海閔行·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上既有最大值1又有最小值，則關(guān)于實數(shù)的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【變式2-2】若函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為 .
【變式2-3】已知函數(shù)，若對任意在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型3 三角函數(shù)的周期性
例3-1下列函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，與的最小正周期分別是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 三角函數(shù)周期的處理
（1）對形如或的周期為，對形如的周期為；
（2）對形如或的周期為，對形如的周期為
【變式3-1】函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】求函數(shù)的最小正周期．
【變式3-3】求函數(shù)的最小正周期．
題型4 三角函數(shù)的單調(diào)性
例4-1下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B． C． D．
例4-2（ 2025·遼寧·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .
【變式4-2】已知當時，函數(shù)不單調(diào)，其中，則實數(shù)可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】若在上是減函數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
題型5 三角函數(shù)的奇偶性
例5-1函數(shù)是（ ）
A．最小正周期為的奇函數(shù)
B．最小正周期為的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)
D．最小正周期為的偶函數(shù)
例5-2（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
易錯分析 單調(diào)性的注意事項
在求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，
若①時,一般用誘導公式轉(zhuǎn)化為后求解;
②若,則單調(diào)性相反.
【變式5-1】函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】已知函數(shù)，若，則 ．
【變式5-3】已知常數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則 .
題型6 三角函數(shù)的對稱性
例6-1已知函數(shù)的最小正周期為，則圖象的對稱軸方程為（ ）
A． B．
C． D．
例6-2已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】若點是函數(shù)圖像的一個對稱中心，則的最小值為 .
【變式6-2】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且其圖像關(guān)于點對稱,則 ．
【變式6-3】函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，，則 .
【變式6-4】已知直線與點分別是函數(shù)的圖象在同一周期內(nèi)的對稱軸和對稱中心，則 .
題型7 三角函數(shù)的零點問題
例7-1已知函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例7-2已知函數(shù)，則的所有零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且存在零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有一個零點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式7-3】已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】函數(shù)在上的零點從小到大依次為，則的值為 .
題型8 三角函數(shù)的圖象變換
例8-1要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點（ ）
A．向左平移 個單位長度 B．向右平移 個單位長度
C．向左平移π/6個單位長度 D．向右平移 個單位長度
例8-2將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-1】（多選）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線軸對稱 D．在上單調(diào)遞增
【變式8-2】為了得到函數(shù)的圖像，只要把正弦函數(shù)上所有點（）
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【變式8-3】已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的，若是奇函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
題型9 圖象變換中的最小平移
例9-1（ 2025·天津·二模）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的一個對稱軸為，則的最小取值為（ ）
A． B． C． D．
例9-2（ 2025·安徽安慶·二模）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于原點成中心對稱，則的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】已知，，函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的對稱軸方程；
(2)將函數(shù)按照的方向平移后得到的函數(shù)是奇函數(shù)，求最小時的．
題型10 由圖象確定正（余）弦函數(shù)的解析式
例10-1（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
例10-2函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，為函數(shù)與軸的交點.圓與的圖象從左至右依次交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點，且在軸上，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 求解析式的常用方法
（1）如果從圖象可直接確定A和,則選取“五點法”中的“第一零點”的數(shù)據(jù)代入“”注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得或選取最值點代入公式,求.
（2）待定系數(shù)法:通過若干特殊點代入函數(shù)式,可以求得相關(guān)待定系數(shù)A,.這里需要注意的是,要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點,并能正確代入列式.
【變式10-1】已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值及對應(yīng)的的取值；
(3)當時，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【變式10-2】如圖，函數(shù)有三個相鄰的零點，，，且，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【變式10-3】（多選）函數(shù)的部分圖象如圖所示，的圖象與y軸交于M點，與x軸交于C點，點N在圖象上，點M、N關(guān)于點C對稱，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)在單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)
題型11 三角函數(shù)的實際應(yīng)用
例11-1時鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國云南部分地區(qū)有引進栽培．時鐘花的花開花謝非常有規(guī)律，其開花時間與氣溫密切相關(guān)，開花時所需氣溫約為，氣溫上升到約開始閉合，在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．某景區(qū)種有時鐘花，該景區(qū)6時~16時的氣溫隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數(shù)，則在6時~16時中，賞花的最佳時段大致為（ ）
A．7.3時~11.3時 B．8.7時~11.3時 C．7.3時~12.7時 D．8.7時~12.7時
例11-2已知摩天輪的半徑為60m，其中心距離地面70m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處．則在時刻t（min）時，點P離地面的高度h為（ ）
A． B．
C． D．
【變式11-1】聲音是由物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是有純音合成的，純音的數(shù)學模型是函數(shù)．技術(shù)人員獲取了某種聲波，其數(shù)學模型記為，部分圖像如圖所示，圖像過點．對該聲波進行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由兩種不同的純音合成的，滿足函數(shù)，其中，則 ．
【變式11-2】（多選）三相交流電是發(fā)電、輸電和配電中常用的一種交流電類型，三相交流電插座上有四個插孔，其中中性線（零線）電壓為，三根相線（火線）電壓分別為，，，其中（單位：），（單位：）．三根相線間的電壓叫線電壓，記，，，線電壓的最大值分別為，，，有效值分別為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．三根相線電壓的頻率均為50（單位：）
B．
C．當某一線電壓達到最大值時，另兩個線電壓均取得最小值
D．線電壓的有效值（單位：）
【變式11-3】（多選）中國古代的記里鼓車通過多重齒輪的設(shè)計，將小齒輪走過的距離與大齒輪對應(yīng)，從而達到記錄里程的目的．如圖1所示，可以理解為將一個立輪的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為三個平輪的轉(zhuǎn)動．忽略齒輪對半徑的影響，簡化后如圖2，記初始時，在小平輪上，與中平輪的切點為點A，大平輪上最高點為點B，大、中、小平輪和立輪的半徑分別為．隨著轉(zhuǎn)動，以下說法正確的是（ ）
A．小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪轉(zhuǎn)1圈
B．AB兩點距離最大為18
C．AB兩點距離最小為10
D．若立輪與小平輪相互咬合，忽略齒輪對半徑的影響，則小平輪與立輪上的點的最大距離為
1．（2023·全國甲卷·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2025·全國一卷·高考真題）若點是函數(shù)的圖像的一個對稱中心，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
6．（2023·上海·高考真題）已知，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，在區(qū)間上的最小值為變化時，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
7．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

8．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
9．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．
1．函數(shù)的簡圖為（ ）
A． B．
C． D．
2．在內(nèi)，下列區(qū)間中使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)，若，，且的最小正周期大于等于，則（ ）
A． B． C． D．
4．關(guān)于的兩個函數(shù)與有以下命題：
①不存在，使得既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
②對任意的都不是奇函數(shù)；
③對于任意的，存在，使得與有相同的最小正周期；
④對于任意的，存在，使得的最小正周期大于的最小正周期．
其中真命題的序號是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫胶瘮?shù)的圖象，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上每一點橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄傧蜃笃揭苽€單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最大值為（ ）
A．16 B． C． D．8
7．函數(shù)的值域為 ．
8．已知函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則的值為 ．
9．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的定義域及最小正周期；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．
10．已知交流電的電壓（單位：V）隨時間（單位：s）的變化可用表示，其部分圖象如下所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)如果電壓在一段時間內(nèi)至少達到一次最大值和一次最小值，那么的最小值是多少？
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02 體系構(gòu)建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點1 五點作圖法 3
知識點2 正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 4
知識點3 函數(shù)的有關(guān)概念 5
知識點4 三角函數(shù)的圖象變換 5
題型破譯 3
題型1 求三角函數(shù)的定義域、值域（最值） 6
【方法技巧 三角函數(shù)值域的兩種常見模型】
題型2 利用三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù) 8
題型3 三角函數(shù)的周期性 11
【方法技巧 三角函數(shù)周期的處理】
題型4 三角函數(shù)的單調(diào)性 13
【易錯分析 單調(diào)性的注意事項】
題型5 三角函數(shù)的奇偶性 16
題型6 三角函數(shù)的對稱性 18
題型7 三角函數(shù)的零點問題 21
題型8 三角函數(shù)的圖象變換 25
題型9 圖象變換中的最小平移 27
題型10 由圖象確定正（余）弦函數(shù)的解析式 29
【方法技巧 求解析式的常用方法】
題型11 三角函數(shù)的實際應(yīng)用 33
04 真題溯源·考向感知 38
05 課本典例·高考素材 44
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) （2）三角函數(shù)圖象的平移變換 （3）三角函數(shù)的實際應(yīng)用 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷T4（5分） 全國二卷T15（15分） 北京卷T8（5分） 全國甲卷（文）T13（5分） 全國 I卷T7（5分） 全國II卷T9（6分） 北京卷T6（5分） 天津卷T7（5分） 全國甲卷（文）T12（5分） 全國甲卷（理）T10（5分） 全國甲卷（文）T10（5分） 全國甲卷（理）T6（5分） 全國 I卷T15（5分） 全國 II卷T16（5分）
考情分析： 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)在高考中屬于高頻考點，考查形式靈活多樣。選擇題和填空題常單獨考查，涉及圖象的識別、變換（如平移、伸縮、對稱），以及單調(diào)性、周期性、奇偶性、最值等性質(zhì)的應(yīng)用，例如由函數(shù)解析式判斷圖象，或根據(jù)圖象特征求參數(shù)值，題目難度多為中等，側(cè)重基礎(chǔ)概念與基本技能的考查。 該考點也常與三角恒等變換、解三角形等知識結(jié)合，有時還會融入實際問題，考查學生建模能力和利用性質(zhì)分析問題的能力。這類題目綜合性稍強，但整體難度仍處于中等水平，強調(diào)對知識的綜合運用和邏輯推理能力的檢驗，是高考中得分的關(guān)鍵板塊之一。
復(fù)習目標： 1.能畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、的圖象. 2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì). 3.了解參數(shù)對函數(shù)圖象變化的影響. 4.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型
知識點1 五點作圖法
“五點法”作圖原理：
在正弦函數(shù)的圖象上，五個關(guān)鍵點是：,
在余弦函數(shù)的圖象上，五個關(guān)鍵點是：，,
自主檢測用“五點法”畫的圖象時，下列哪個點不是關(guān)鍵點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】五點作圖法在內(nèi)的五個關(guān)鍵點為
，可知不是關(guān)鍵點．
故選：A
知識點2 正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
圖象
定義域
值域
最值 當時，； 當時， 當時，； 當時，． 既無最大值，也無最小值
周期性 最小正周期為 最小正周期為 最小正周期為
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào)性 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)．
對稱性 對稱中心； 對稱軸， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. 對稱中心； 對稱軸， 既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形. 對稱中心； 無對稱軸， 是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.
自主檢測下列函數(shù)中，以2為最小正周期且是偶函數(shù)的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對于A，因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A不符題意；
對于B，函數(shù)的最小正周期，
因為，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；
對于C，因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C不符題意；
對于D，函數(shù)的最小正周期，故D不符題意.
故選：B.
知識點3 函數(shù)的有關(guān)概念
振幅 周期 頻率 相位 初相
自主檢測函數(shù)的初始相位為 .
【答案】
【詳解】因為函數(shù)為，所以初始相位為.
故答案為：.
知識點4 三角函數(shù)的圖象變換
由函數(shù)的圖象通過變換得到的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
方法一：（先平移后伸縮）
的圖象的圖象的圖象的圖象
方法二：（先伸縮后平移）
的圖象的圖象的圖象的圖象
注意：無論哪種變換，每一個變換總是針對自變量而言的，即圖象變換要看“自變量”發(fā)生多大變化，而不是看“角”的變化．
自主檢測要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平行移動個單位 B．向左平行移動個單位
C．向右平行移動個單位 D．向右平行移動個單位
【答案】B
【詳解】要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象向左平行移動個單位,
故選：B
題型1 求三角函數(shù)的定義域、值域（最值）
例1-1函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【詳解】由，則，
化簡可得，解得.
故答案為：.
例1-2求下列函數(shù)的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，，
所以函數(shù)最小值為0，最大值為1；所以函數(shù)的值域為；
（2），
因為，所以當時，函數(shù)取最大值0；
當時，函數(shù)取得最小值-4，
所以函數(shù)的值域為．
方法技巧 三角函數(shù)值域的兩種常見模型
（1）形如或型,可先由定義域求得的范圍,然后求得(或)的范圍,最后求得最值.
（2）形如型,可利用換元思想,設(shè),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,的范圍需要根據(jù)定義域來確定.
【變式1-1】函數(shù)的定義域為
【答案】
【詳解】由，得，
則，即．
所以函數(shù)的定義域為．
故答案為：.
【變式1-2】函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù)，且最小值為 B．偶函數(shù)，且最小值為
C．奇函數(shù)，且最小值為 D．偶函數(shù)，且最小值為
【答案】B
【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，
則，
故函數(shù)為偶函數(shù)，
因為，
且，
所以當時，函數(shù)的最小值為.
故選：B.
【變式1-3】在平面直角坐標系中，，與原點距離最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由已知得點到原點的距離為
因為，所以，即，
所以點到原點的距離的最大值為，
故選：.
題型2 利用三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)
例2-1若的最大值為3，最小值為1，則ab的值為（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】D
【詳解】當時，則得
此時；
當時，得
此時；
綜上所述，，
故選：D
例2-2已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，函數(shù)，既有最小值也有最大值，
①當函數(shù)最值取得1，最小值為時，
結(jié)合函數(shù)圖象可得，即；
②當取得最大值為，最小值為－1時，
結(jié)合函數(shù)圖象可得，
解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或．
故選：D.
【變式2-1】（ 2025·上海閔行·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上既有最大值1又有最小值，則關(guān)于實數(shù)的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【詳解】由題意可得函數(shù)的周期為，
最大值點滿足，解得，
最小值點滿足，解得，
因為函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，區(qū)間的長度為9，
對于A，若，當時，最大值點為，最小值點為2032，此時位于區(qū)間內(nèi)，故A正確；
對于B，若，當時，最大值點為，最小值點為2032，此時位于區(qū)間內(nèi)，故B正確；
對于C，若，當時，最大值點為，最小值點為2032，此時位于區(qū)間內(nèi)，故C正確；
對于D，若，當時，最大值點為，當時，最大值點為2038，此時不位于區(qū)間內(nèi)，故D錯誤.
故選：D
【變式2-2】若函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】由，則，
的值域為，則，解得.
故答案為：.
【變式2-3】已知函數(shù)，若對任意在區(qū)間上的值域均為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為
，
又，所以，
因為對任意在區(qū)間上的值域均為，
所以區(qū)間長度必須大于一個周期，即，解得，
即的取值范圍為.
故選：A
題型3 三角函數(shù)的周期性
例3-1下列函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對于選項A，利用定義法，
，故A不符合題意．
對于選項B，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，
函數(shù)的最小正周期為，故選項B符合題意．
對于選項C，根據(jù)公式法，的最小正周期為，故選項C不符合題意．
對于選項D，依題可得函數(shù)，其圖象如圖所示．
由圖可知，函數(shù)不是周期函數(shù)，故選項D不符合題意．
故選：B
例3-2已知函數(shù)，，與的最小正周期分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】令，則，最小正周期為，故AB錯誤，
，若其周期為，由，，
則，故C錯誤，D正確.
故選：D
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，考查了特殊值法的應(yīng)用，屬于中檔題.
方法技巧 三角函數(shù)周期的處理
（1）對形如或的周期為，對形如的周期為；
（2）對形如或的周期為，對形如的周期為
【變式3-1】函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，相鄰兩條對稱軸之間的距離即為半個周期，而，
所以函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
故選：A．
【變式3-2】求函數(shù)的最小正周期．
【答案】
【詳解】化簡函數(shù)，
由公式得：的最小正周期，
的圖象為的圖象位于軸下方部分向上進行翻折，故周期減半，
∴的最小正周期為．
【變式3-3】求函數(shù)的最小正周期．
【答案】
【詳解】法一：函數(shù)的圖象如下：
由圖可知：函數(shù)的最小正周期為；
法二：，
且其他比小的正值均不滿足，
故函數(shù)的最小正周期為；
題型4 三角函數(shù)的單調(diào)性
例4-1下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】對于A，將函數(shù)圖象上的每一個點，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，可得的函數(shù)圖象，如圖：
由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，但其最小正周期為，故A錯誤；
對于B，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，且其最小正周期為，故B錯誤；
對于C，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；
對于D，將正弦函數(shù)圖象位于軸以下的部分翻折至軸以上，可得出的函數(shù)圖象，
如圖：
由圖可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且其最小正周期為，故D錯誤.
故選：C.
例4-2（ 2025·遼寧·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題可知的最小正周期為，因為在區(qū)間上單調(diào)，
所以，則，解得，
當時，，
且，，
所以，解得，結(jié)合，得的取值范圍為．
故選：D．
【變式4-1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 .
【答案】
【詳解】函數(shù)，即，
則，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：
【變式4-2】已知當時，函數(shù)不單調(diào)，其中，則實數(shù)可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
當時，，
當時，，
當時，，單調(diào)遞增，
且函數(shù)不單調(diào)，結(jié)合,
，，
故選：D
【變式4-3】若在上是減函數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】；
令，解得：，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，
，，，
的最大值為.
故選：B.
【變式4-4】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】令，因為，所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
根據(jù)余弦函數(shù)在上是單調(diào)遞減的。
則有，解得，所以的最大值為．
故選：A.
題型5 三角函數(shù)的奇偶性
例5-1函數(shù)是（ ）
A．最小正周期為的奇函數(shù)
B．最小正周期為的偶函數(shù)
C．最小正周期為的奇函數(shù)
D．最小正周期為的偶函數(shù)
【答案】D
【詳解】，
所以函數(shù)的最小正周期為，
又，所以為偶函數(shù).
故選：D.
例5-2（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】由題意知
，
所以，又函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，，即，，
所以當時，；當時，.
故選:BD.
易錯分析 單調(diào)性的注意事項
在求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，
若①時,一般用誘導公式轉(zhuǎn)化為后求解;
②若,則單調(diào)性相反.
【變式5-1】函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)的定義域為，
，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除BC選項，
由可得或，解得，
故函數(shù)有無數(shù)個零點，排除A選項.
故選：D.
【變式5-2】已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】
【詳解】因為，且，所以，
所以，所以，
所以
.
故答案為：.
【變式5-3】已知常數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則 .
【答案】
【詳解】函數(shù)的定義域為R，由函數(shù)為偶函數(shù)，
得，恒成立，
整理得，而不恒為0，則，
所以.
故答案為：
題型6 三角函數(shù)的對稱性
例6-1已知函數(shù)的最小正周期為，則圖象的對稱軸方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】已知,則，可得，
根據(jù)余弦函數(shù)對稱軸方程得，解得得．
故選：B.
例6-2已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可得，
則，解得.
因為，所以時，取得最小值.
故選：D.
【變式6-1】若點是函數(shù)圖像的一個對稱中心，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】是圖象的一個對稱中心，
，
，
，
，
當時，，
故答案為：
【變式6-2】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且其圖像關(guān)于點對稱,則 ．
【答案】/0.5
【詳解】在上單調(diào)遞增
又關(guān)于點對稱
,
當時,,
故答案為：
【變式6-3】函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，，則 .
【答案】2或
【詳解】令，
若，由，則，
因為函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，
所以，
又，
所以，
所以.
若，則，
由函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，
所以，又，
.
綜上，或.
故答案為：或.
【變式6-4】已知直線與點分別是函數(shù)的圖象在同一周期內(nèi)的對稱軸和對稱中心，則 .
【答案】
【詳解】依題意，，或，
或，或，
解得或或或，，
而，則，，所以.
故答案為：
題型7 三角函數(shù)的零點問題
例7-1已知函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，即．因為，所以，因此本題即求有兩個實數(shù)根時a的取值范圍．由與的圖象（如圖）知．
例7-2已知函數(shù)，則的所有零點之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由于，故，
故由題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，
令，則在上有兩個不相等的實數(shù)根，
故，則函數(shù)與在上有兩個不同的交點，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于對稱，則，解得，
故，即，所以的所有零點之和為.
故選：A.
【變式7-1】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且存在零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，所以．
令，則當時，．
則在區(qū)間上單調(diào)遞增且存在零點等價于在上單調(diào)遞增且存在零點，
所以，解得，
又，當時，得；時，得，其他值，均不合要求，
所以或，所以的取值范圍是.
故選：C.
【變式7-2】設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有一個零點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】由函數(shù)，
可得，
則，
所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，
因為函數(shù)在上有且僅有一個零點，所以，即，解得．
故選：D．
【變式7-3】已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對進行化簡：
令，即，則．
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，所以或，解得或．
因為且，
當時，，；
當時，，．
如圖函數(shù)和大致圖像，
由于函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個零點，則需滿足，解不等式組得到可得．
所以實數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
【變式7-4】函數(shù)在上的零點從小到大依次為，則的值為 .
【答案】
【詳解】令，則，
當時，，
由題意，函數(shù)在上的零點從小到大依次為，
則轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上的交點問題，
且交點的橫坐標從小到大依次為，
畫出函數(shù)與在上的大致圖象，

由圖象可知，函數(shù)與有4個交點，即，
又，，，
則，，，
則.
故答案為：.
題型8 三角函數(shù)的圖象變換
例8-1要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點（ ）
A．向左平移 個單位長度 B．向右平移 個單位長度
C．向左平移π/6個單位長度 D．向右平移 個單位長度
【答案】A
【詳解】因為，所以要得到函數(shù)的圖象，只需由圖象上所有點的橫坐標向左平移個單位長度，
故選：A
例8-2將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象；
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，可得的圖象.
故選：B.
【變式8-1】（多選）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線軸對稱 D．在上單調(diào)遞增
【答案】AD
【詳解】A選項，，
故的最小正周期為，A正確；
B選項，，故不是偶函數(shù)，B錯誤；
C選項，，故不是的對稱軸，C錯誤；
D選項，時，，
由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，D正確.
故選：AD
【變式8-2】為了得到函數(shù)的圖像，只要把正弦函數(shù)上所有點（）
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】C
【詳解】，
只要把上所有點向左平移即可得到
故選：C
【變式8-3】已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的，若是奇函數(shù)，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到
，
又是奇函數(shù)，所以，
得，，當時，.
故選：D.
題型9 圖象變換中的最小平移
例9-1（ 2025·天津·二模）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的一個對稱軸為，則的最小取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】將向左平移個單位長度得到，
又函數(shù)的一個對稱軸為，所以，
解得，當時，所以的最小取值為.
故選：B
例9-2（ 2025·安徽安慶·二模）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于原點成中心對稱，則的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
將函數(shù)的圖象向右平移個單位得
，
由該函數(shù)為奇函數(shù)可知，
即，所以的最小正值為.
故選：A
【變式9-1】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
故圖象向右平移個單位長度得到，
又，
令，，解得，，
當時，取得最小正值，最小正值為.
故選：A
【變式9-2】若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，其圖象與函數(shù)的圖象重合，則的最小正數(shù)值為 ．
【答案】/
【詳解】因為，
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度
得到的圖象，
依題意得，所以，
所以的最小正數(shù)值為.
故答案為：
【變式9-3】已知，，函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的對稱軸方程；
(2)將函數(shù)按照的方向平移后得到的函數(shù)是奇函數(shù)，求最小時的．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）， ；
對稱軸為 ，即 ；
（2）先將向下平移2個單位，得到，再將向左平移個單位得到奇函數(shù) ，
，欲使得最小，則，即；
綜上，得對稱軸方程為 ，.
題型10 由圖象確定正（余）弦函數(shù)的解析式
例10-1（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】BD
【詳解】由圖象可知，則，
則，．
又，則，故A正確；
又，故B錯誤；
因為，故C正確；
因為，故D錯誤；
故選：BD．
例10-2函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，為函數(shù)與軸的交點.圓與的圖象從左至右依次交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點，且在軸上，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)的圖象以及圓的對稱性，可得A，F(xiàn)關(guān)于對稱，且AF為圓的直徑，
，故A正確；
同理B，E關(guān)于對稱，，
故C正確；
，故D正確.
由題意可得A，F(xiàn)關(guān)于對稱，B，E關(guān)于對稱，所以為圓的直徑，
而，，故，
若，則，故，
而，故，
故，而，故，故矛盾，故不垂直于，
故，故B錯誤.
故選：B.
方法技巧 求解析式的常用方法
（1）如果從圖象可直接確定A和,則選取“五點法”中的“第一零點”的數(shù)據(jù)代入“”注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得或選取最值點代入公式,求.
（2）待定系數(shù)法:通過若干特殊點代入函數(shù)式,可以求得相關(guān)待定系數(shù)A,.這里需要注意的是,要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點,并能正確代入列式.
【變式10-1】已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值及對應(yīng)的的取值；
(3)當時，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)
(2)的最大值為，此時，的小值為，此時
(3)
【詳解】（1）由圖可知或，，
又、，則，，
則有，解得，
又，則，故；
（2）當時，，
則，故，
即函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，
此時有，即；
函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
此時有，即；
（3）當時，，
則當，即時，單調(diào)遞增，
即當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【變式10-2】如圖，函數(shù)有三個相鄰的零點，，，且，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】令，則，，
，，
，，
又，，，，
，．
故選：B.
【變式10-3】（多選）函數(shù)的部分圖象如圖所示，的圖象與y軸交于M點，與x軸交于C點，點N在圖象上，點M、N關(guān)于點C對稱，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．函數(shù)在單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)
【答案】ABD
【詳解】對A：由點M、N關(guān)于點C對稱，則，故A正確；
對B：，又，則，
，則，
又，則，故，
當時，，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；
對C：當時，，
由不在上單調(diào)遞增，
故不在上單調(diào)遞增，故C錯誤；
對D：，
定義域為，且，
故為奇函數(shù)，故D正確.
故選：ABD.
題型11 三角函數(shù)的實際應(yīng)用
例11-1時鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國云南部分地區(qū)有引進栽培．時鐘花的花開花謝非常有規(guī)律，其開花時間與氣溫密切相關(guān)，開花時所需氣溫約為，氣溫上升到約開始閉合，在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次．某景區(qū)種有時鐘花，該景區(qū)6時~16時的氣溫隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數(shù)，則在6時~16時中，賞花的最佳時段大致為（ ）
A．7.3時~11.3時 B．8.7時~11.3時 C．7.3時~12.7時 D．8.7時~12.7時
【答案】B
【詳解】當時，，由，得，所以（時）．由，得，所以（時）．故在6時~16時中，觀花的最佳時段約為8.7時~11.3時．
例11-2已知摩天輪的半徑為60m，其中心距離地面70m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每30min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處．則在時刻t（min）時，點P離地面的高度h為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】點的初始位置在最低點，設(shè)點從最低點沿逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，
在內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度為，則以為始邊，為終邊的角為，
因此點的縱坐標，
所以點離地面的高度.
故選：B
【變式11-1】聲音是由物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是有純音合成的，純音的數(shù)學模型是函數(shù)．技術(shù)人員獲取了某種聲波，其數(shù)學模型記為，部分圖像如圖所示，圖像過點．對該聲波進行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由兩種不同的純音合成的，滿足函數(shù)，其中，則 ．
【答案】
【詳解】由函數(shù)，
因為，可得，
所以，可得，
所以，即，
又由函數(shù)的圖象過點，可得，
即，可得，即，即，
因為，所以為的倍數(shù)，所以或，
當時，可得，
則，
此時是函數(shù)的一個周期，不符合圖象；
當時，可得，
則
此時是函數(shù)的一個周期，符合函數(shù)的圖象，所以.
故答案為：.
【變式11-2】（多選）三相交流電是發(fā)電、輸電和配電中常用的一種交流電類型，三相交流電插座上有四個插孔，其中中性線（零線）電壓為，三根相線（火線）電壓分別為，，，其中（單位：），（單位：）．三根相線間的電壓叫線電壓，記，，，線電壓的最大值分別為，，，有效值分別為，，，則下列說法正確的是（ ）
A．三根相線電壓的頻率均為50（單位：）
B．
C．當某一線電壓達到最大值時，另兩個線電壓均取得最小值
D．線電壓的有效值（單位：）
【答案】ABD
【詳解】選項A： 頻率 與角頻率 的關(guān)系是 .
給定 ，所以，
所有相線電壓的角頻率相同，只是相位不同，所以頻率都是50 Hz，故A正確；
選項B：計算三個電壓的和
計算括號內(nèi)的部分.
設(shè) ，則
，
∴，故B正確；
選項C： ，
所以 ，同理計算，，
假設(shè) 達到最大值，即 ，設(shè) ，則當 時，（最大值），，
此時，均不是取得最小值，故C錯誤；
選項D：由上可知，線電壓的最大值分別為，，，都等于，
有效值，，都等于，故D正確.
故選：ABD.
【變式11-3】（多選）中國古代的記里鼓車通過多重齒輪的設(shè)計，將小齒輪走過的距離與大齒輪對應(yīng)，從而達到記錄里程的目的．如圖1所示，可以理解為將一個立輪的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為三個平輪的轉(zhuǎn)動．忽略齒輪對半徑的影響，簡化后如圖2，記初始時，在小平輪上，與中平輪的切點為點A，大平輪上最高點為點B，大、中、小平輪和立輪的半徑分別為．隨著轉(zhuǎn)動，以下說法正確的是（ ）
A．小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪轉(zhuǎn)1圈
B．AB兩點距離最大為18
C．AB兩點距離最小為10
D．若立輪與小平輪相互咬合，忽略齒輪對半徑的影響，則小平輪與立輪上的點的最大距離為
【答案】ABD
【詳解】對于A，單位時間內(nèi)，三個平輪的弧長滿足，
而大、中、小平輪和立輪的半徑分別為，
因為小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪轉(zhuǎn)1圈的弧長分別為，
滿足，所以小平輪轉(zhuǎn)2圈，大平輪正好轉(zhuǎn)1圈，故A正確；
建立如圖所示平面直角坐標系，
利用半徑是倍關(guān)系，則轉(zhuǎn)過的角度是一半的關(guān)系，
可設(shè)，則，
即，
，
令，，
當時，取得最小值，
當時，取得最大值為，
當時，取值為，不為最小值，故B正確．C錯誤；
對于D．立輪直徑為2，小平輪直徑為4．所以最大值為，故D正確．
故選：ABD．
1．（2023·全國甲卷·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.
故選：C.
2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
3．（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，則，所以，
即，當時，，
所以當，即時，
故選：D
4．（2025·全國一卷·高考真題）若點是函數(shù)的圖像的一個對稱中心，則a的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標滿足，
即的對稱中心是，
即，
又，則時最小，最小值是，
即.
故選：B
5．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
6．（2023·上海·高考真題）已知，函數(shù)在區(qū)間上最小值為，在區(qū)間上的最小值為變化時，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，因此只需考查離原點最近的右側(cè)一個周期內(nèi)的區(qū)間即可，
當時，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
當時，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
當時，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
對于C，若，則，
若，則區(qū)間的長度，并且且，
即且與矛盾，所以C不可能.
故選：C
【點睛】結(jié)論點睛：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既有最大值，又有最小值.
7．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則 ．

【答案】
【詳解】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因為，所以，即，．
所以，
所以或，
又因為，所以，．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
8．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1).
(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【詳解】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
9．（2025·全國二卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）由題意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函數(shù)的值域為，
令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
1．函數(shù)的簡圖為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為當時，，
所以排除B，C，D，
故選：A．
2．在內(nèi)，下列區(qū)間中使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖畫出函數(shù)在內(nèi)的圖象，
因為，
結(jié)合圖象可知，在內(nèi)，不等式的解集為.
故選：B．
3．已知函數(shù)，若，，且的最小正周期大于等于，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，
由題意，又，
可知直線為函數(shù)的一條對稱軸，點為函數(shù)的一個對稱中心，
又最小正周期大于等于，即，
又，故，所以，
則，
故，又，
則有，解得，
又，則．
故選：B.
4．關(guān)于的兩個函數(shù)與有以下命題：
①不存在，使得既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
②對任意的都不是奇函數(shù)；
③對于任意的，存在，使得與有相同的最小正周期；
④對于任意的，存在，使得的最小正周期大于的最小正周期．
其中真命題的序號是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【詳解】①由三角函數(shù)的奇偶性可知，不存在，使得既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，①正確；
②當時，為奇函數(shù)，②錯誤；
③當時，與有相同的最小正周期，③正確；
當④時，的最小正周期為，顯然大于的最小正周期，④錯誤，
故真命題的序號是①③.
故選：A
5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫胶瘮?shù)的圖象，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】由函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫降茫?br/>由可得，，得或，
解得或，又，所以，則．
故選：B.
6．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上每一點橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄傧蜃笃揭苽€單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的最大值為（ ）
A．16 B． C． D．8
【答案】B
【詳解】將函數(shù)的圖象上每一點橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>此時函數(shù)解析式為，
再向左平移個單位長度，得，
則，
所以的最大值為．
故選：B.
7．函數(shù)的值域為 ．
【答案】
【詳解】令，可得，則，．
由于在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，故函數(shù)的值域為．
故答案為：.
8．已知函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則的值為 ．
【答案】
【詳解】，，
因為，
所以，，
要想在內(nèi)單調(diào)遞減，
則且，
解得，故．
故答案為：
9．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的定義域及最小正周期；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）當時，，則函數(shù)的最小正周期；
由，解得，
所以函數(shù)的定義域為．
（2）由，得，
由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，得，解得，又，
所以的取值范圍為．
10．已知交流電的電壓（單位：V）隨時間（單位：s）的變化可用表示，其部分圖象如下所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)如果電壓在一段時間內(nèi)至少達到一次最大值和一次最小值，那么的最小值是多少？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由圖象知，最小正周期，
所以，則，
結(jié)合圖象可得時，則，
即，解得，
因為，所以，所以．
（2），所以．
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