資源簡介

第03講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
目錄
01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02體系構(gòu)建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念 4
知識點2 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 4
知識點3 平面向量數(shù)量積的運算律 5
知識點4 平面幾何中的向量方法 5
題型破譯 5
題型1 平面向量數(shù)量積的定義 5
題型2 平面向量數(shù)量積的運算 6
題型3 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 7
題型4 投影向量 8
題型5 向量在幾何中的應(yīng)用 8
題型6 向量在物理中的應(yīng)用 9
題型7 向量新定義 10
04真題溯源·考向感知 12
05課本典例·高考素材 12
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算. 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題. 6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題. 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷，第12題，5分 上海卷，第12題，5分 天津卷，第14題，5分 新課標(biāo)I卷，第3題，5分 新課標(biāo)II卷，第3題，5分 全國甲卷，第9題，5分 天津卷，第14題，5分 北京卷，第5題，4分 新課標(biāo)I卷，第3題，5分 新課標(biāo)II卷，第13題，5分 全國甲卷，第4題，5分 全國乙卷，第12題，5分 天津卷，14題，5分
考情分析：平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視． 預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義． 2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義． 3.了解平面向量基本定理及其意義 4.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算
知識點1 平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝ .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則 就是向量a在向量b上的投影向量.
設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cos θ e.
自主檢測（多選）關(guān)于平面向量，，，下列說法不正確的是（ ）
A． B．
C．若，且，則 D．
知識點2 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝ .
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 .
(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
自主檢測（多選）若，，則（ ）
A． B．
C．與的夾角為 D．在方向上的投影向量為
知識點3 平面向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝ (交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
自主檢測（多選）已知是三個向量，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
知識點4 平面幾何中的向量方法
(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
自主檢測已知非零平面向量、、，滿足，，若與的夾角為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型1 平面向量數(shù)量積的定義
例1-1一蜂巢的精密結(jié)構(gòu)由7個邊長均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中A，B，P為三個固定頂點，則（ ）
A．12 B．16 C． D．
例1-2已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時，它是負數(shù)；當(dāng)為直角時，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
【變式訓(xùn)練1-1】已知向量，且向量與向量的夾角為，則 ．
【變式訓(xùn)練1-2】已知邊長為4的菱形的一個內(nèi)角為，則 ．
題型2 平面向量數(shù)量積的運算
例2-1已知向量與的夾角為，，，則（ ）
A．1 B． C． D．
例2-2已知平面向量，，均為單位向量，若與的夾角為60°，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
例2-3已知，若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
方法技巧
平面向量數(shù)量積的兩種運算方法
(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；
(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.
【變式訓(xùn)練2-1】已知是兩個垂直的單位向量．若，設(shè)向量的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2·變考法】已知，則 .
題型3 數(shù)量積的坐標(biāo)表示
例3-1已知向量，則 .
例3-2已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為 .
例3-3已知向量，，若，的夾角為銳角，則的取值范圍是 ．
方法技巧 坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，
即若，，則；
（2）適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。
【變式訓(xùn)練3-1】已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量的模為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-2】平面向量，滿足，，與的夾角為，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
題型4 投影向量
例4-1已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
例4-2設(shè)向量滿足且，則向量在向量方向上的投影是 .
方法技巧
設(shè)向量是向量在向量上的投影向量，則有，則
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在中，，于，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-2·變載體】已知，.
(1)若，求的值；
(2)若且，求在方向上的投影數(shù)量.
題型5 向量在幾何中的應(yīng)用
例5-1已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
方法技巧 用向量方法解決實際問題的步驟
【變式訓(xùn)練5-1】已知平面向量、、，，，的面積為，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式訓(xùn)練5-2】已知，則的最大值為 ．
【變式訓(xùn)練5-3】在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD上靠近C的三等分點，，則 ，F(xiàn)為線段BE上的動點，G為AF中點，則的最小值為 .
題型6 向量在物理中的應(yīng)用
例6-1共點力，作用在物體上，產(chǎn)生位移，則共點力對物體做的功為（ ）
A． B． C． D．
例6-2如圖所示，支座A受，兩個力的作用，已知，與水平線成角，，沿水平方向，兩個力的合力F的大小，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，一條河某一段的寬度為8km，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度大小為5km/h，水流速度的大小為3km/h，當(dāng)航程最短時，預(yù)計這艘船行駛到河對岸需要時間為 h.
【變式訓(xùn)練6-2】如圖所示，支座受兩個力的作用，已知，與水平線成角，，沿水平方向，兩個力的合力的大小，則 .
題型7 向量新定義
例7-1已知，，定義新運算，記，，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
例7-2）我們可以把平面向量坐標(biāo)的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對視為一個向量，記作．類比平面向量的線性運算可以定義復(fù)向量的線性運算；兩個復(fù)向量，的數(shù)量積記作，定義為；復(fù)向量的模定義為．
(1)設(shè)，，求復(fù)向量與的模；
(2)已知對任意的實向量與，都有，當(dāng)且僅當(dāng)與平行時取等號；
①求證：對任意實數(shù)，，，，不等式成立，并寫出此不等式的取等條件；
②求證：對任意兩個復(fù)向量與，不等式仍然成立；
(3)當(dāng)時，稱復(fù)向量與平行．設(shè)，，，若復(fù)向量與平行，求復(fù)數(shù)的值．
【變式訓(xùn)練7-1】定義：若不相等的兩個向量，滿足條件：且，，，均為整數(shù)，則稱向量，互為“等模整向量”，則與向量互為“等模整向量”的向量個數(shù)有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，在中，，，，，，設(shè)與交于點，且．
(1)求的值；
(2)定義平面非零向量之間的一種運算“”：（其中是兩非零向量和的夾角）．
（ⅰ）若為的中點，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
【變式訓(xùn)練7-3】已知向量，且，定義向量的新運算：．
(1)若向量，且，求；
(2)證明：是的充要條件，
1．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·北京·高考真題）設(shè) ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
6．（2023·上海·高考真題）已知,，求
7．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則
8．（2025·天津·高考真題）中，D為AB邊中點，，則 （用，表示），若，，則
1.若向量，滿足，且，，則（ ）．
A．2 B． C．1 D．
2.若，是單位向量，且，則與的夾角是 .
3.已知點，，，求證：．
4.一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功 J．
5.已知，．若存在向量，使得，，試求向量的坐標(biāo)．
6.一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移．
7.已知，，與的夾角為，計算下列各式：
(1)；
(2)．
8.已知點O為所在平面內(nèi)一點，且滿足．求證：點O是三條高線的交點．
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第03講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
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01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02體系構(gòu)建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念 4
知識點2 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 4
知識點3 平面向量數(shù)量積的運算律 5
知識點4 平面幾何中的向量方法 6
題型破譯 7
題型1 平面向量數(shù)量積的定義 7
題型2 平面向量數(shù)量積的運算 9
題型3 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 11
題型4 投影向量 12
題型5 向量在幾何中的應(yīng)用 15
題型6 向量在物理中的應(yīng)用 20
題型7 向量新定義 21
04真題溯源·考向感知 27
05課本典例·高考素材 31
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算. 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題. 6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題. 單選題 多選題 填空題 解答題 全國二卷，第12題，5分 上海卷，第12題，5分 天津卷，第14題，5分 新課標(biāo)I卷，第3題，5分 新課標(biāo)II卷，第3題，5分 全國甲卷，第9題，5分 天津卷，第14題，5分 北京卷，第5題，4分 新課標(biāo)I卷，第3題，5分 新課標(biāo)II卷，第13題，5分 全國甲卷，第4題，5分 全國乙卷，第12題，5分 天津卷，14題，5分
考情分析：平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視． 預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義． 2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義． 3.了解平面向量基本定理及其意義 4.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算
知識點1 平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關(guān)系為＝|a|cos θ e.
自主檢測（多選）關(guān)于平面向量，，，下列說法不正確的是（ ）
A． B．
C．若，且，則 D．
【答案】CD
【分析】利用數(shù)量積的運算律判斷AB；利用數(shù)量積推理判斷C；由共線向量的意義判斷D.
【詳解】對于A，由向量的運算法則，得A正確；
對于B，向量數(shù)量積滿足分配律，B正確；
對于C，由，得，當(dāng)時，滿足題設(shè)，C錯誤；
對于D，是與共線的向量，是與共線的向量，而與無任何關(guān)系，D錯誤.
故選：CD
知識點2 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
自主檢測（多選）若，，則（ ）
A． B．
C．與的夾角為 D．在方向上的投影向量為
【答案】AC
【分析】選項A：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進行計算即可；選項B：根據(jù)向量加減法的坐標(biāo)表示計算出和，再結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積為0判斷即可；選項C：根據(jù)向量夾角的公式進行計算即可；選項D：根據(jù)向量的投影向量公式計算即可.
【詳解】對于選項A，，故選項A正確；
對于選項B，，，，故選項B錯誤；
對于選項C，，結(jié)合與的夾角范圍為，故與的夾角為，選項C正確；
對于選項D，在方向上的投影向量為，故選項D錯誤.
故答案為：AC.
知識點3 平面向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
自主檢測（多選）已知是三個向量，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，以及向量的數(shù)量積的運算律，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由數(shù)量積的運算公式，可得，
所以，所以A正確；
對于B中，由向量數(shù)量積的運算律，可得，所以B正確；
對于C中，，，
所以與不一定相等，所以C錯誤；
對于D中，由，若向量，此時，而與不一定相等，所以D錯誤.
故選：AB.
知識點4 平面幾何中的向量方法
(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
自主檢測已知非零平面向量、、，滿足，，若與的夾角為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】明確的幾何意義，根據(jù)圓外的點到圓上的點的距離的取值范圍求解.
【詳解】如圖：
令，，.
則，.
又，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上.
所以的最小值為：.
又，，所以當(dāng)時，取得最小值為.
所以的最小值為：.
即的最小值為.
故選：A.
題型1 平面向量數(shù)量積的定義
例1-1一蜂巢的精密結(jié)構(gòu)由7個邊長均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中A，B，P為三個固定頂點，則（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】B
【分析】利用數(shù)量積的定義運算即可求解.
【詳解】由題可知，，，，
所以.
故選：B.
例1-2已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律將展開，再結(jié)合向量數(shù)量積公式求出的值，最后根據(jù)夾角的取值范圍確定夾角.
【詳解】由，可得
又
所以解得：
所以
又所以
所以與的夾角為．
故選：C.
方法技巧
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時，它是負數(shù)；當(dāng)為直角時，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
【變式訓(xùn)練1-1】已知向量，且向量與向量的夾角為，則 ．
【答案】6
【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算即可求解.
【詳解】向量，且與的夾角為，
則，
.
故答案為：6
【變式訓(xùn)練1-2】已知邊長為4的菱形的一個內(nèi)角為，則 ．
【答案】或
【分析】由平面向量數(shù)量積的定義即可求解．
【詳解】由題可知，或，
若，則，
若，則，
故答案為：或．
題型2 平面向量數(shù)量積的運算
例2-1已知向量與的夾角為，，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求，再根據(jù)模長的平方關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.
【詳解】因為向量與的夾角為，，，則，
可得，所以.
故選：D.
例2-2已知平面向量，，均為單位向量，若與的夾角為60°，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)，把問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，進一步轉(zhuǎn)化為求的值，利用向量的數(shù)量積的運算法則求解即可.
【詳解】由題意：，.
因為.
又，
當(dāng)時取“”.
又，所以.
所以.
故選：C
例2-3已知，若，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】，
因為，
所以，解得.
故選：.
方法技巧
平面向量數(shù)量積的兩種運算方法
(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；
(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.
【變式訓(xùn)練2-1】已知是兩個垂直的單位向量．若，設(shè)向量的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出向量的數(shù)量積，然后求出向量的模，最后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出答案.
【詳解】因為是兩個垂直的單位向量，所以.
因為，
所以.
而，.
所以.
故選：D.
【變式訓(xùn)練2-2·變考法】已知，則 .
【答案】
【分析】利用數(shù)量積的運算律求得，然后利用數(shù)量積的運算律求解模即可.
【詳解】因為，所以，
所以.
故答案為：
題型3 數(shù)量積的坐標(biāo)表示
例3-1已知向量，則 .
【答案】
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.
【詳解】.
故答案為：
例3-2已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)求得數(shù)量積以及模長，利用投影向量的計算，可得答案.
【詳解】由，則，，
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故答案為：.
例3-3已知向量，，若，的夾角為銳角，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】，的夾角為銳角的充要條件是，的數(shù)量積大于0且不共線，由此列不等式求解即可.
【詳解】因為，，，的夾角為銳角，
所以且，解得且，
即的取值范圍是.
故答案為：.
方法技巧 坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，
即若，，則；
（2）適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。
【變式訓(xùn)練3-1】已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量的模為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】因為向量，向量，所以
向量在向量上的投影向量的模為，
故選：B.
【變式訓(xùn)練3-2】平面向量，滿足，，與的夾角為，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】只需求出，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.
【詳解】由題意，，與的夾角為，
所以，
在方向上的投影向量為.
故選：A.
題型4 投影向量
例4-1已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件作圖，可得為等邊三角形，為等腰三角形，為直角三角形，即，，再根據(jù)投影向量的概念求解即可.
【詳解】如圖，由，可得為的中點，
又因為為的外接圓圓心，所以，
又因為，所以，
所以為等邊三角形，即，
為等腰三角形，即，
為直角三角形，，
所以向量在向量上的投影向量為
.
故選：D.

例4-2設(shè)向量滿足且，則向量在向量方向上的投影是 .
【答案】
【分析】利用向量投影的計算公式，即可求解.
【詳解】向量、滿足，，且，
向量在向量方向上的投影，
故答案為：.
方法技巧
設(shè)向量是向量在向量上的投影向量，則有，則
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在中，，于，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知及余弦定理得，再由投影向量的求法求在上的投影向量.
【詳解】由題設(shè)，，則，，
故，
所以，
所以在上的投影向量為.
故選：A.
【變式訓(xùn)練4-2·變載體】已知，.
(1)若，求的值；
(2)若且，求在方向上的投影數(shù)量.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到方程，求出或；
（2），根據(jù)向量模長得到方程，求出，利用投影向量的公式得到答案.
【詳解】（1）因為，，
由于，所以，
所以或.
（2）因為，，則，
若且，則，解得，
則，，可得，
所以在方向上的投影數(shù)量.
題型5 向量在幾何中的應(yīng)用
例5-1已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，并利用位置關(guān)系求得，設(shè),，結(jié)合平面向量線性運算以及余弦定理可求得當(dāng)、、三點共線時取得最小值．
【詳解】由已知，
設(shè),，
則，
作關(guān)于直線的對稱點，連接、、、，
則，，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時等號成立，
所以的最小值為．
故選：C．
例5-2已知是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，可得，則與垂直，設(shè)共起點，數(shù)形結(jié)合畫出相應(yīng)圖象，結(jié)合向量減法的幾何意義計算即可得解.
【詳解】設(shè)共起點，由，可得，
所以與垂直，如圖，
由向量減法的幾何意義可知，向量的終點落在圖中的圓上，
由題意可知的終點在圖中所示的射線上，
所以是從圓上的點到射線上的點形成的向量，
要求的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑，
故的最小值為．
故選：A．
方法技巧 用向量方法解決實際問題的步驟
【變式訓(xùn)練5-1】已知平面向量、、，，，的面積為，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】通過平方，求得，結(jié)合余弦定理求得，再結(jié)合面積公式求得點D到的距離，進而可求解.
【詳解】已知，，
對平方得.
因為，，
設(shè)，，則，
所以，即，解得，有.
在中，由余弦定理有，可得，
設(shè)點到的距離為，有.
已知，設(shè)點D到的距離為，
由，解得，
則的最小值為.
故選：C
【變式訓(xùn)練5-2】已知，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)，
滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點在圓上面運動，其中點為圓心，為半徑，
又，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，
故只需求的最大值即可，
因為點在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)，
所以，
所以當(dāng)且三點共線時，
有最大值.
故答案為：
【變式訓(xùn)練5-3】在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD上靠近C的三等分點，，則 ，F(xiàn)為線段BE上的動點，G為AF中點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由向量對應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用表示出，即可得參數(shù)值，令，，根據(jù)已知得并應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求最值.
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，
，
令，，則
，
所以
，
當(dāng)時，的最小值為.
故答案為：，
題型6 向量在物理中的應(yīng)用
例6-1共點力，作用在物體上，產(chǎn)生位移，則共點力對物體做的功為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出合力的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出共點力對物體做的功.
【詳解】根據(jù)題意得：共點力的合力是，
對物體做的功為.
故選：D.
例6-2如圖所示，支座A受，兩個力的作用，已知，與水平線成角，，沿水平方向，兩個力的合力F的大小，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行四邊形法則及向量夾角公式求解.
【詳解】依題意，，則，
即，所以.
故選：D
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，一條河某一段的寬度為8km，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度大小為5km/h，水流速度的大小為3km/h，當(dāng)航程最短時，預(yù)計這艘船行駛到河對岸需要時間為 h.
【答案】2
【分析】當(dāng)實際速度垂直于河岸航程最短，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則求解即可.
【詳解】當(dāng)實際速度垂直于河岸，船的航程最短，
設(shè)實際速度、船速、水流速度分別為、、，
如圖，，已知，
則，河寬，
所以，船的航行時間，
所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要.
故答案為：2.
【變式訓(xùn)練6-2】如圖所示，支座受兩個力的作用，已知，與水平線成角，，沿水平方向，兩個力的合力的大小，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)向量的加法法則、向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合題中條件即可求解.
【詳解】依題意，，則，
即，解得.
故答案為：.
題型7 向量新定義
例7-1已知，，定義新運算，記，，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題中定義、誘導(dǎo)公式以及二倍角的正弦公式化簡可得出的取值范圍.
【詳解】因為，，
根據(jù)題中定義可得
，故.
故選：A.
例7-2）我們可以把平面向量坐標(biāo)的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對視為一個向量，記作．類比平面向量的線性運算可以定義復(fù)向量的線性運算；兩個復(fù)向量，的數(shù)量積記作，定義為；復(fù)向量的模定義為．
(1)設(shè)，，求復(fù)向量與的模；
(2)已知對任意的實向量與，都有，當(dāng)且僅當(dāng)與平行時取等號；
①求證：對任意實數(shù)，，，，不等式成立，并寫出此不等式的取等條件；
②求證：對任意兩個復(fù)向量與，不等式仍然成立；
(3)當(dāng)時，稱復(fù)向量與平行．設(shè)，，，若復(fù)向量與平行，求復(fù)數(shù)的值．
【答案】(1)10；；
(2)①證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ虎谧C明見解析；
(3)
【分析】（1）代入“復(fù)向量”和模的新定義，即可求解兩個向量的模；
（2）①首先設(shè)實向量，，再分別計算和，再結(jié)合公式，即可證明；
②首先設(shè)復(fù)向量，，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角不等式，以及實系數(shù)向量不等式，即可證明；
（3）根據(jù)等號成立的條件，再結(jié)合復(fù)數(shù)的三角不等式，即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以的模為10；
因為，所以，
可得的模為；
（2）①設(shè)實向量，，
則，，，而，
根據(jù)已知，當(dāng)且僅當(dāng)與平行時取等號，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
②因為，，所以，
由復(fù)數(shù)的三角不等式，
，由，
得，所以，
所以，
綜上所知，．
（3）②中考慮①中等號成立的條件知，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角不等式，
復(fù)向量各分量均不為零時，其等號成立的條件是存在非負實數(shù)，使得，
根據(jù)題意，若復(fù)向量與平行，
則，
根據(jù)中等號成立的條件，
應(yīng)有，則，
又，則，解得，
所以，所以．
【變式訓(xùn)練7-1】定義：若不相等的兩個向量，滿足條件：且，，，均為整數(shù)，則稱向量，互為“等模整向量”，則與向量互為“等模整向量”的向量個數(shù)有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】設(shè)與互為“等模整向量”的向量，根據(jù)定義求解即可.
【詳解】設(shè)與互為“等模整向量”的向量，
則，所以，令，則，則（舍去），
令，則，則或，
令，則，則，
故與向量互為“等模整向量”的向量個數(shù)有3個.
故選：B.
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，在中，，，，，，設(shè)與交于點，且．
(1)求的值；
(2)定義平面非零向量之間的一種運算“”：（其中是兩非零向量和的夾角）．
（ⅰ）若為的中點，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算可得，進而結(jié)合三點共線的推論求解即可；
（2）（ⅰ）由為的中點，易得為的重心，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)定義及平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示求解即可；
（ⅱ）建立平面直角坐標(biāo)系，據(jù)題設(shè)定義及平面向量數(shù)量積的運算律列方程求解即可.
【詳解】（1）因為，，
所以
，
又三點共線，
所以，即.
（2）（ⅰ）因為為的中點，所以，
由（1）知，，則，即為的重心．
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，
所以，
所以，
所以，
所以.
（ⅱ）建立與（ⅰ）相同的平面直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以，
則，
所以
，
即，所以，即或，
因為，所以，又因為，
所以，則．
【變式訓(xùn)練7-3】已知向量，且，定義向量的新運算：．
(1)若向量，且，求；
(2)證明：是的充要條件，
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用向量垂直求得，進而利用定義計算即可；
（2）利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合向量共線的性質(zhì)及定義向量的新運算可證明.
【詳解】（1）因為，且，所以，
解得，則，
所以．
（2）證明：若，則．
又，所以，即，
所以．
故是的充分條件．
若，則，
整理得，所以．
故是的必要條件．
綜上所述，是的充要條件．
1．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當(dāng)時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當(dāng)時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
2．（2024·北京·高考真題）設(shè) ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“或”的必要不充分條件.
故選：B.
3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.
【詳解】因為，所以，即，
又因為，
所以，
從而.
故選：B.
4．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
5．（2023·全國乙卷·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
6．（2023·上海·高考真題）已知,，求
【答案】4
【分析】
由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.
【詳解】由題意得
故答案為：4
7．（2025·全國二卷·高考真題）已知平面向量若，則
【答案】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.
【詳解】，因為，則，
則，解得.
則，則.
故答案為：.
8．（2025·天津·高考真題）中，D為AB邊中點，，則 （用，表示），若，，則
【答案】 ；
【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運算律計算求解空二.
【詳解】如圖，
因為，所以，所以．
因為D為線段的中點，所以；
又因為，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案為：；.
1.若向量，滿足，且，，則（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知化簡即可得出，，進而得出答案.
【詳解】設(shè)，
由已知可得，，
所以.
又，
所以，解得（舍去負值），
所以，.
故選：D.
2.若，是單位向量，且，則與的夾角是 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知即可求出，結(jié)合向量夾角的范圍，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，.
又，所以.
故答案為：.
3.已知點，，，求證：．
【答案】證明見詳解
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示分析證明.
【詳解】由題意可得：，
因為，
所以，即.
4.一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生大小為100m的位移s，且力F與s的夾角為，則力F所做的功 J．
【答案】300
【分析】利用向量數(shù)量積公式進行求解.
【詳解】J.
故答案為：300
5.已知，．若存在向量，使得，，試求向量的坐標(biāo)．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)已知列出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】設(shè)，
則由已知可得，，
解得，，
所以，.
6.一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移．
【答案】飛機從B地到C地的位移：南偏西且距離為 km.
【分析】由題設(shè)有，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求即可.
【詳解】如下圖，，
則，
所以km.
又，即，結(jié)合圖易知：在南偏西方位，
綜上，飛機從B地到C地的位移：南偏西且距離為 km.

7.已知，，與的夾角為，計算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】（1）因為，，
所以.
（2）因為，，與的夾角為，
所以，
所以.
8.已知點O為所在平面內(nèi)一點，且滿足．求證：點O是三條高線的交點．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)題意，把用表示，代入已知向量等式計算，即可證明,
【詳解】因為，，，
由可得，
，
所以，
則，
，
。
所以點O是三條高線的交點.
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