資源簡介

第04講 基本不等式及其應(yīng)用
目錄
01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02 體系構(gòu)建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點(diǎn)1 基本不等式 3
題型破譯 4
題型1 直接法求最值 4
題型2 配湊法求最值 5
題型3 二次與二次（一次）的商式求最值 5
【方法技巧】形如的分式函數(shù)求最值
題型4 “1”的代換求最值 5
【方法技巧】形如分式相加模型求最值
題型5 雙換元法求最值 6
【方法技巧】求兩個分式的最值問題
題型6 條件等式有和有積求最值 6
【方法技巧】等式有和有積求最值
題型7 消元法求最值 7
題型8 多次使用基本不等式求最值 7
【易錯分析】注意“三相等”的條件
題型9 利用基本不等式解決實(shí)際問題 8
題型10 利用基本不等式在恒成立問題求參數(shù) 9
題型11 基本不等式與對勾函數(shù) 10
【方法技巧】對勾函數(shù)圖象
題型12 多元均值不等式 11
【方法技巧】多元均值不等式公式
題型13 基本不等式多選題的綜合 11
04 真題溯源·考向感知 12
05 課本典例·高考素材 13
考點(diǎn)要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）了解基本不等式的證明過程； （2）能用基本不等式解決簡單的最值問題； （3）掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用； 單選題 多選題 填空題 解答題 北京卷T6（5分） 上海卷T8（5分） 北京卷T9（5分） 天津卷T14（5分）
考情分析： 近三年考情顯示，高考對基本不等式的考查雖單獨(dú)命題頻率較低，但相關(guān)知識貫穿各類題型，是進(jìn)行求最值的常用工具，難度不定，分值一般在5分左右。
復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”； 2.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值； 3.能正確處理常數(shù)“1”求最值； 4.能夠在基本不等式與其他知識點(diǎn)結(jié)合時，靈活運(yùn)用基本不等式的解題方法
知識點(diǎn)1 基本不等式
1.基本不等式
1、如果，那么_______（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.
2、如果，,則或_______（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.
（1）基本不等式成立的條件：.（2）等號成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)_______時取等號．
注：（1）在利用基本不等式求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．
其中，“一正”是說每個項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說各個項(xiàng)的_______必須為定值，“三相等”是說各項(xiàng)的值相等時，等號成立．
（2）多次使用均值不等式解決同一問題時，要保持每次_______的一致性和不等號方向的一致性．
2.幾個重要不等式
1. 2.
3. 4.
5. _______.
3.最值定理
（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，x＋y有最小值是.(簡記：_______)
（2）如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，xy有最大值是.(簡記：_______)
4.常用方法
（1）拼湊法：拼湊法即將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成_______為定值或_______為定值的形式
（2）常數(shù)替代法：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值；②把確定的定值變形為_______;
③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；
④利用基本不等式求解最值.
（3）消元法：通常是考慮利用已知條件消去部分_______后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”
自主檢測已知，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
題型1 直接法求最值
【例1】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【例2】已知且，則 的最小值為
【變式1-1】已知，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不確定
【變式1-2】已知函數(shù)，則的最小值為 ．
【變式1-3】若當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，則實(shí)數(shù)的值為 .
題型2 配湊法求最值
【例3】已知，則的最小值是（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【例4】已知，則取得最大值時x的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【變式2-2】當(dāng)時，則函數(shù)的最大值為 ．
題型3 二次與二次（一次）的商式求最值
【例5】若，則的最小值是 .
【例6】函數(shù)的最小值是，則當(dāng)時，a的值為 ，當(dāng)時，a的值為
方法技巧 形如的分式函數(shù)求最值
通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開即化為，再利用不等式求最值。
【變式3-1】已知，則的最小值為 .
【變式3-2】已知平面向量，，且，則的最小值為 ．
【變式3-3】已知，則的最小值為 .
題型4 “1”的代換求最值
【例7】（2025·河南·三模）若，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．9
方法技巧 形如分式相加模型求最值
①根據(jù)已知條件或者利用分母得到“1”的表達(dá)式；
②把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘，進(jìn)而構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求解最值．
【變式4-1】已知0＜x＜1，則的最小值是（ ）
A．16 B．25 C．27 D．34
【變式4-2】已知，，且，則的最小值是 .
【變式4-3】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
題型5 雙換元法求最值
【例9】（2025·福建泉州·二模）若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例10】已知x，y都是正數(shù)．若，且，則的最小值為 ．
方法技巧 求兩個分式的最值問題
可把兩個分母看做一個整體進(jìn)行換元，然后利用新元整理成基本不等式題型求解
【變式5-1】已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【變式5-2】已知，，且，則的最小值為 ．
【變式5-3】已知，且，則的最小值是 .
題型6 條件等式有和有積求最值
【例11】若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【例12】若，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
方法技巧 等式有和有積求最值
（1）有和有積無常數(shù)可以同除“積”，得到“1”的代換型；
（2）尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有所求代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值
【變式6-1】設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是 ．
【變式6-2】已知，，且，則的最小值為（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【變式6-3】已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型7 消元法求最值
【例13】已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例14】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】已知，，，則的最小值為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【變式7-3】已知均為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為 .
【變式7-4】若則的最小值為
題型8 多次使用基本不等式求最值
【例15】函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例16】已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
易錯分析 注意“三相等”的條件
運(yùn)用多次基本不等式時，要注意多次“三相等”不矛盾
【變式8-1】已知，則的最小值為 .
【變式8-2】已知，，且，則的最小值為 ．
題型9 利用基本不等式解決實(shí)際問題
【例17】某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛）與車流速度（假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：）及平均車長（單位：）的值有關(guān)，其公式為．若不限定車型，，則最大車流量為（ ）
A．1000輛 B．1200輛 C．1500輛 D．1900輛
【例18】如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計劃在一塊直角三角形空地中建一個內(nèi)接矩形健身廣場（陰影部分），則健身廣場的最大面積為 ．
【變式9-1】某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室．由于此保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元．設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為．
(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？
(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造亮標(biāo)，其給出的整體報價為元．若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求a的取值范圍．
【變式9-2】發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強(qiáng)國的必由之路，是推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略措施，某汽車工業(yè)園區(qū)正在不斷建設(shè)，計劃在園區(qū)建造一個高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長方體形狀的儲物室，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報價方案：
方案一：儲物室的墻面報價為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，總計報價記為；
方案二：其給出的整體報價為元，
(1)當(dāng)寬度為8米時，方案二的報價為29700元，求的值；
(2)求的函數(shù)解析式，并求報價的最小值；
(3)若對任意的時，方案二都比方案一省錢，求的取值范圍.
【變式9-3】某廠家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元滿足(為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）.
(1)求的值；
(2)將2024年該產(chǎn)品的利潤萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；
(3)該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
題型10 利用基本不等式在恒成立問題求參數(shù)
【例19】對一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3個答案都不對
【例20】（2025·吉林延邊·一模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】已知，，且.若不等式恒成立，則的最大值為 .
【變式10-2】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．12 B．24 C． D．
【變式10-3】已知，且恒成立，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型11 基本不等式與對勾函數(shù)
【例21】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例22】函數(shù) 在 上的最大值為 ；最小值為 ．
方法技巧 對勾函數(shù)圖象
當(dāng)同號時，對勾函數(shù)的圖象形狀酷似雙勾，如圖所示.
【變式11-1·變載體】已知等比數(shù)列的公比，存在，滿足，則的最小值為 ．
【變式11-2】已知函數(shù)＝，求的最小值，并求此時x的值.
【變式11-3·變載體】若，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．5
題型12 多元均值不等式
【例23】已知，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【例24】若，，求 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 多元均值不等式公式
均值不等式公式：，為正數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號
【變式12-1】函數(shù)的最小值為 .
【變式12-2】已知pq為實(shí)數(shù)，且滿足，那么的最大值為 ．
題型13 基本不等式多選題的綜合
【例25】（多選）下列說法正確的有（ ）
A．的最小值為
B．已知，則的取值范圍是
C．已知，則的最小值為4
D．已知，則最小值為2
【例26】（多選）已知正數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式13-1】（多選）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式13-2】（2025·遼寧·三模）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最大值為
C．若，則的最小值為1
D．若，則的最大值為
【變式13-3】（多選）已知，，且，則（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C． D．的最小值為
1．（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
1．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
2．已知，滿足，求范圍.
3．已知、、都是正數(shù)，求證：.
4．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側(cè)面每平方米的造價為元，屋頂?shù)脑靸r為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
5．一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，這家公司應(yīng)該把倉建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小？
6．已知一個矩形的周長為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．當(dāng)矩形的邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？
7．設(shè)矩形的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn).設(shè)，求的最大面積及相應(yīng)的值.
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目錄
01 考情解碼 命題預(yù)警 2
02 體系構(gòu)建·思維可視 3
03 核心突破·靶向攻堅 3
知能解碼 3
知識點(diǎn)1 基本不等式 3
題型破譯 4
題型1 直接法求最值 4
題型2 配湊法求最值 5
題型3 二次與二次（一次）的商式求最值 7
【方法技巧】形如的分式函數(shù)求最值
題型4 “1”的代換求最值 9
【方法技巧】形如分式相加模型求最值
題型5 雙換元法求最值 11
【方法技巧】求兩個分式的最值問題
題型6 條件等式有和有積求最值 13
【方法技巧】等式有和有積求最值
題型7 消元法求最值 15
題型8 多次使用基本不等式求最值 18
【易錯分析】注意“三相等”的條件
題型9 利用基本不等式解決實(shí)際問題 19
題型10 利用基本不等式在恒成立問題求參數(shù) 23
題型11 基本不等式與對勾函數(shù) 24
【方法技巧】對勾函數(shù)圖象
題型12 多元均值不等式 27
【方法技巧】多元均值不等式公式
題型13 基本不等式多選題的綜合 28
04 真題溯源·考向感知 32
05 課本典例·高考素材 33
考點(diǎn)要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）了解基本不等式的證明過程； （2）能用基本不等式解決簡單的最值問題； （3）掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用； 單選題 多選題 填空題 解答題 北京卷T6（5分） 上海卷T8（5分） 北京卷T9（5分） 天津卷T14（5分）
考情分析： 近三年考情顯示，高考對基本不等式的考查雖單獨(dú)命題頻率較低，但相關(guān)知識貫穿各類題型，是進(jìn)行求最值的常用工具，難度不定，分值一般在5分左右。
復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”； 2.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值； 3.能正確處理常數(shù)“1”求最值； 4.能夠在基本不等式與其他知識點(diǎn)結(jié)合時，靈活運(yùn)用基本不等式的解題方法
知識點(diǎn)1 基本不等式
1.基本不等式
1、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.
2、如果，,則或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）.
（1）基本不等式成立的條件：.（2）等號成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
注：（1）在利用基本不等式求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．
其中，“一正”是說每個項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說各個項(xiàng)的和(或積)必須為定值，“三相等”是說各項(xiàng)的值相等時，等號成立．
（2）多次使用均值不等式解決同一問題時，要保持每次等號成立條件的一致性和不等號方向的一致性．
2.幾個重要不等式
1. 2.
3. 4.
5. .
3.最值定理
（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，x＋y有最小值是.(簡記：積定和最小)
（2）如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
4.常用方法
（1）拼湊法：拼湊法即將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式
（2）常數(shù)替代法：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值；②把確定的定值變形為1;
③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；
④利用基本不等式求解最值.
（3）消元法：通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”
自主檢測已知，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br/>根據(jù)基本不等式可得，所以.
當(dāng)時，取最大值.
故選：A.
題型1 直接法求最值
【例1】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最大值為.
故選：A
【例2】已知且，則 的最小值為
【答案】4
【詳解】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為4.
故答案為：4.
【變式1-1】已知，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不確定
【答案】A
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.
【變式1-2】已知函數(shù)，則的最小值為 ．
【答案】2
【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)取等號，
則的最小值為.
故答案為：2.
【變式1-3】若當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】16
【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.依題意得，所以.
題型2 配湊法求最值
【例3】已知，則的最小值是（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】A
【詳解】由，得，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是.
故選：A
【例4】已知，則取得最大值時x的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
則由基本不等式得，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故取得最大值時x的值為
故選：
【變式2-1】已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】由題設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故函數(shù)最小值為.
故選：A
【變式2-2】當(dāng)時，則函數(shù)的最大值為 ．
【答案】/
【詳解】由，則，，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
即最大值為，
故答案為：.
題型3 二次與二次（一次）的商式求最值
【例5】若，則的最小值是 .
【答案】/
【詳解】因?yàn)? ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時取等號，
故答案為：
【例6】函數(shù)的最小值是，則當(dāng)時，a的值為 ，當(dāng)時，a的值為
【答案】
【詳解】當(dāng)時，
當(dāng)時：，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號；
此時.
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號；此時.
綜上：
若，則，由題，所以.
若，則，由題，所以.
故答案為：1； 1.
方法技巧 形如的分式函數(shù)求最值
通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開即化為，再利用不等式求最值。
【變式3-1】已知，則的最小值為 .
【答案】16
【詳解】由，則，
而，故當(dāng)時，目標(biāo)式最小值為16.
故答案為：16
【變式3-2】已知平面向量，，且，則的最小值為 ．
【答案】/
【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚遥瑒t，即，
所以，，若取最小值，必有，此時，，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
故當(dāng)時，，故的最小值為.
故答案為：.
【變式3-3】已知，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】，令，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
所以的最小值為.
故答案為：.
題型4 “1”的代換求最值
【例7】（2025·河南·三模）若，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋遥?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，時等號成立，
所以的最大值為．
故選：A.
【例8】已知，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．9
【答案】C
【詳解】由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號得出最小值4，
故選：C.
方法技巧 形如分式相加模型求最值
①根據(jù)已知條件或者利用分母得到“1”的表達(dá)式；
②把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘，進(jìn)而構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求解最值．
【變式4-1】已知0＜x＜1，則的最小值是（ ）
A．16 B．25 C．27 D．34
【答案】B
【詳解】由，得
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以當(dāng)時，取得最小值25．
故選：B.
【變式4-2】已知，，且，則的最小值是 .
【答案】
【詳解】由題意可得，，
等號成立時，即.
故的最小值是.
故答案為：
【變式4-3】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【詳解】由題意，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
故選：B.
題型5 雙換元法求最值
【例9】（2025·福建泉州·二模）若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋瑒t，，由題意可知，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值是.故選：B.
【例10】已知x，y都是正數(shù)．若，且，則的最小值為 ．
【答案】2
【詳解】由，得，而，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為2.
故答案為：2
方法技巧 求兩個分式的最值問題
可把兩個分母看做一個整體進(jìn)行換元，然后利用新元整理成基本不等式題型求解
【變式5-1】已知正數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【答案】/0.5
【詳解】由得，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
所以的最小值為．
故答案為：
【變式5-2】已知，，且，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)? ，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：
【變式5-3】已知，且，則的最小值是 .
【答案】
【詳解】設(shè)，由對應(yīng)系數(shù)相等得，
解得
所以，整理得，
即，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
題型6 條件等式有和有積求最值
【例11】若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．
故選：A.
【例12】若，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋矗矗?br/>且，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B
方法技巧 等式有和有積求最值
（1）有和有積無常數(shù)可以同除“積”，得到“1”的代換型；
（2）尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有所求代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值
【變式6-1】設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是 ．
【答案】/
【詳解】方法一：令，則，代入，整理得，其，
解得，當(dāng)時，.
故的最大值是．
方法二：由
，即，
當(dāng)時，.
故的最大值是．
故答案為：
【變式6-2】已知，，且，則的最小值為（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以的最小值為8.
故選：C
【變式6-3】已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】對于A：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，解得，即，故A不正確；
對于B：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，解得，或（舍去），故B錯誤；
對于C：，
令，，即，故C正確；
對于D，，令，，即，故D不正確，
故選：C．
題型7 消元法求最值
【例13】已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由可得，，即，
于是，
當(dāng)，即時取得等號，
即，時，的最小值為.
故選：C
【例14】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.
故選：C.
【變式7-1】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，，可得，
則，
設(shè)，則，原式為，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故選：C.
【變式7-2】已知，，，則的最小值為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【詳解】由題設(shè)，又，，故，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
所以的最小值為8.
故選：D
【變式7-3】已知均為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為 .
【答案】25
【詳解】由可得，代入中，可得，
設(shè)，則，
于是，
因，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即時，取得最小值25.
故答案為：25.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于通過代入消元后，需要將所得的分式的分子進(jìn)行換元處理，即可利用基本不等式求其最值.
【變式7-4】若則的最小值為
【答案】
【詳解】由，得，
則，由，得，
因此
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號.
故答案為：
題型8 多次使用基本不等式求最值
【例15】函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）.
兩個等號可以同時成立，的最小值為.
故選：C.
【例16】已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，，，均為正實(shí)數(shù)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，
則的最大值為．
故選：B．
易錯分析 注意“三相等”的條件
運(yùn)用多次基本不等式時，要注意多次“三相等”不矛盾
【變式8-1】已知，則的最小值為 .
【答案】12
【詳解】根據(jù)題意，由可得，所以利用基本不等式可得：
當(dāng)且僅當(dāng)，時取“=”，即，時“=”成立，
所以的最小值為12.
故答案為：12.
【變式8-2】已知，，且，則的最小值為 ．
【答案】64
【詳解】法一：因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．
所以的最小值為64．
法二：因?yàn)椋?br/>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以的最小值為64．
故答案為：64.
題型9 利用基本不等式解決實(shí)際問題
【例17】某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛）與車流速度（假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：）及平均車長（單位：）的值有關(guān)，其公式為．若不限定車型，，則最大車流量為（ ）
A．1000輛 B．1200輛 C．1500輛 D．1900輛
【答案】D
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時車流量最大為1900輛．
【例18】如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計劃在一塊直角三角形空地中建一個內(nèi)接矩形健身廣場（陰影部分），則健身廣場的最大面積為 ．
【答案】37.5/70/2
【詳解】設(shè)矩形廣場的長為，寬為，且，，由三角形相似得，化簡得，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，故健身廣場的最大面積為．
【變式9-1】某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室．由于此保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元．設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為．
(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？
(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造亮標(biāo)，其給出的整體報價為元．若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求a的取值范圍．
【答案】(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為時，甲工程隊報價最低
(2)
【詳解】解：（1）因?yàn)槲葑拥淖笥覂蓚?cè)墻的長度均為，底面積為，所以屋子的前面墻的長度為．
設(shè)甲工程隊報價為y元，所以．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以當(dāng)左右兩面墻的長度為時，甲工程隊報價最低，為14400元．
（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以．
故當(dāng)時，無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功．
【變式9-2】發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強(qiáng)國的必由之路，是推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略措施，某汽車工業(yè)園區(qū)正在不斷建設(shè)，計劃在園區(qū)建造一個高為3米，寬度為（單位：米），地面面積為81平方米的長方體形狀的儲物室，經(jīng)過談判，工程施工單位給出兩種報價方案：
方案一：儲物室的墻面報價為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，總計報價記為；
方案二：其給出的整體報價為元，
(1)當(dāng)寬度為8米時，方案二的報價為29700元，求的值；
(2)求的函數(shù)解析式，并求報價的最小值；
(3)若對任意的時，方案二都比方案一省錢，求的取值范圍.
【答案】(1)18
(2)
(3)
【詳解】（1）寬度為8米時，方案二的報價為29700元，
，
所以的值為18.
（2）設(shè)底面長為，，
所以墻面面積為，
，，當(dāng)時取等，
所以，最小值為.
（3）對任意的時，方案二都比方案一省錢，
即時，恒成立，
整理得，
因?yàn)椋?br/>設(shè)，則，
又由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在在上單調(diào)遞增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省錢，的取值范圍為.
【變式9-3】某廠家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元滿足(為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）.
(1)求的值；
(2)將2024年該產(chǎn)品的利潤萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；
(3)該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【答案】(1)
(2)
(3)3萬元
【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時，（萬件），
則，解得；
（2）由（1）可得.
所以每件產(chǎn)品的銷售價格為（元），
2024年的利潤.
（3）當(dāng)時，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即萬元時，（萬元）.
故該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元.
題型10 利用基本不等式在恒成立問題求參數(shù)
【例19】對一切x，，都有，則實(shí)數(shù)a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3個答案都不對
【答案】B
【詳解】因?yàn)閤，，所以，所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以，
所以實(shí)數(shù)a的最小值是.
故選：B.
【例20】（2025·吉林延邊·一模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù),滿足，所以，
則：，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ裕?br/>故選：B．
【變式10-1】已知，，且.若不等式恒成立，則的最大值為 .
【答案】6
【詳解】要使不等式恒成立，只需要.因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的最小值為6，即，故的最大值為6.
【變式10-2】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【詳解】由，變形可得，，
令，，
則轉(zhuǎn)化為，即，
其中，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
所以不等式恒成立，只需，
故選：B
【變式10-3】已知，且恒成立，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋瑒t，又恒成立，
即恒成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，
故選：B.
題型11 基本不等式與對勾函數(shù)
【例21】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時，均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞減，則，
故選：C
【例22】函數(shù) 在 上的最大值為 ；最小值為 ．
【答案】 /
【詳解】令，則，∵，∴，
∴，
令，，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
∵，，
∴，，
∴函數(shù)在 上的最大值和最小值分別為和．
故答案為：；.
方法技巧 對勾函數(shù)圖象
當(dāng)同號時，對勾函數(shù)的圖象形狀酷似雙勾，如圖所示.
【變式11-1·變載體】已知等比數(shù)列的公比，存在，滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】在等比數(shù)列中，由，得，即，
則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，而，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，又，
所以當(dāng)時，取得最小值為.
故答案為：
【變式11-2】已知函數(shù)＝，求的最小值，并求此時x的值.
【答案】；
【詳解】＝＝＝＋
令，則
∵在單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，
此時，，.
綜上，的最小值為，此時x的值為0.
【變式11-3·變載體】若，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋睿瑒t，
由于在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故在單調(diào)遞減，所以，
故的最小值為5.
故選：D
題型12 多元均值不等式
【例23】已知，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【詳解】因?yàn)?且,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號，因此的最小值為6．
故選：B.
【例24】若，，求 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，，
,
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
的最小值為．
故選：．
方法技巧 多元均值不等式公式
均值不等式公式：，為正數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號
【變式12-1】函數(shù)的最小值為 .
【答案】/
【詳解】，所以
,
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
的最小值為．
故答案為：
【變式12-2】已知pq為實(shí)數(shù)，且滿足，那么的最大值為 ．
【答案】2
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：2
題型13 基本不等式多選題的綜合
【例25】（多選）下列說法正確的有（ ）
A．的最小值為
B．已知，則的取值范圍是
C．已知，則的最小值為4
D．已知，則最小值為2
【答案】BD
【詳解】A：顯然當(dāng)時，，最小值不可能為2，錯；
B：由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的取值范圍是，對；
C：由，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為5，錯；
D：令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故最小值為2，對.
故選：BD
【例26】（多選）已知正數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】對于A，分離變量可得，解得，故A錯誤；
對于B，分離變量可得，解得，故B正確；
對于C，由基本不等式可得，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故C正確；
對于D，由得，
由基本不等式可得，得，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號，故D正確.
故選：BCD.
【變式13-1】（多選）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【詳解】對于A，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；
對于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；
對于C，，得
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時陬等號，C正確；
對于D，由，得，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，而，因此，D正確.
故選：BCD
【變式13-2】（2025·遼寧·三模）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則的最大值為
C．若，則的最小值為1
D．若，則的最大值為
【答案】BCD
【詳解】由題意得，A項(xiàng)錯誤；
，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），B項(xiàng)正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C項(xiàng)正確；
，
又因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最大值為，D項(xiàng)正確．
故選:BCD．
【變式13-3】（多選）已知，，且，則（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為
C． D．的最小值為
【答案】ACD
【詳解】由得，，
由得，，整理得，
解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為，選項(xiàng)A正確.
由得，，即，
解得（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為，選項(xiàng)B錯誤.
由得，，所以，解得，選項(xiàng)C正確.
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決選項(xiàng)D的關(guān)鍵是根據(jù)把代數(shù)式等價變形為，利用基本不等式可得結(jié)果.
1．（2020·山東·高考真題）（多選）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【詳解】對于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；
對于B，，所以，故B正確；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；
對于D，因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
故選：ABD
2．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；
因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此
，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
1．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1），，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時等號成立，的最小值為；
（2）由知.
當(dāng)或時，；
當(dāng)時，，由基本不等式可得.
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時等號成立.
綜上，的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型，基本不等式求最值的方法需記住“一正，二定，三相等的原則”.
2．已知，滿足，求范圍.
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕矗?br/>所以或(舍)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時等號成立.
即的取值范圍為.
3．已知、、都是正數(shù)，求證：.
【答案】見解析
【解析】由基本不等式可得出，，，然后利用不等式的性質(zhì)可得出結(jié)論.
【詳解】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性質(zhì)可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式證明不等式，涉及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
4．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價為元，房屋側(cè)面每平方米的造價為元，屋頂?shù)脑靸r為元，如果墻高為，且不計房屋背面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最低總造價是多少？
【答案】當(dāng)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時，房屋總造價最低，為元.
【解析】設(shè)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為，總造價為元，由題意得出，然后根據(jù)題意得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式可求出的最小值，利用等號求出對應(yīng)的值，綜合可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為，總造價為元，則，即，
.
當(dāng)時，即當(dāng)時，有最小值，最低總造價為元.
答：當(dāng)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時，房屋總造價最低，為元.
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式時，要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
5．一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，這家公司應(yīng)該把倉建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小？
【答案】
【解析】設(shè)，，根據(jù)題中信息求出和的值，進(jìn)而可得出兩項(xiàng)費(fèi)用之和關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求出的最小值，由等號成立求出對應(yīng)的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)，，當(dāng)時，，，，，
，，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為.
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時等號成立.
即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為萬元.
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在運(yùn)用基本不等式求最值時，充分利用“積定和最小，和定積最大”的思想求解，同時也要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6．已知一個矩形的周長為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．當(dāng)矩形的邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？
【答案】矩形的長、寬均為9cm時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.
【詳解】設(shè)矩形的長為，寬為，
∵矩形的周長為36，∴，∴，
而旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
∴當(dāng)矩形的長、寬均為9時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.
答：矩形的長、寬均為9cm時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.
7．設(shè)矩形的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn).設(shè)，求的最大面積及相應(yīng)的值.
【答案】時的最大面積為
【詳解】由題意可知，矩形的周長為，，即，
設(shè)，則，，而為直角三角形，
∴，∴，∴，
∴.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時滿足，
即時的最大面積為.
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