資源簡介

第04講 復數
目錄
01 考情解碼 命題預警 1
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 復數的概念 4
知識點2 復數的運算 5
知識點3 復數的幾何意義 6
知識點4 復數的三角形式 7
題型破譯 7
題型1 復數的概念 8
題型2 復數的分類 11
題型3 共軛復數 14
題型4 復數的幾何意義 16
題型5 復數的四則運算 17
題型6 復數的高次方計算 19
題型7 與復數模相關的軌跡（圖形)問題 21
題型8 復數范圍內解方程 23
題型9 復數的三角表示* 25
04真題溯源·考向感知 27
05課本典例·高考素材 29
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）數系的擴充與復數的引入 （2）復數代數形式的四則運算 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷，第1題，5分； 全國二卷，第2題，5分； 北京卷，第2題，4分； 天津卷，第10題，5分； 新課標I卷，第2題，5分； 新課標II卷，第1題，5分； 甲卷理科，第1題，5分； 上海卷，第9題，5分； 天津卷，第10題，5分； 新課標I卷，第2題，5分； 新課標II卷，第1題，5分； 甲卷理科，第2題，5分； 甲卷理科，第1題，5分； 北京卷，第2題，5分； 天津卷，第10題，5分；
考情分析： 1.復數在高考中是每年必考內容，命題較為穩定，難度較低，主要以選擇題形式出現，通常位于前2題 2.復數的四則運算作為復數部分的核心內容，是考查的重點之一。主要考查學生對復數加、減、乘、除運算法則的掌握程度。
復習目標： 1.通過方程的解，認識復數； 2.理解復數代數表示及其幾何意義； 3.掌握復數的四則運算，了解加減法的幾何意義。
知識點1 復數的概念
1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，實部是，虛部是．
2、虛數單位：把平方等于－1的數用符號i表示，規定i2＝－1，我們把i叫作虛數單位．
3、復數集：①定義：全體復數所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．
4、復數的分類：任意一個復數都由它的實部與虛部唯一確定，虛部為0的復數實際上是一個實數．
（1）
（2）復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
5、復數相等：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d．
6、共軛復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共軛復數．
復數z的共軛復數用表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，＝a－bi．
自主檢測下列關于復數的說法，正確的是（ ）
A．復數的任何偶數次冪都不小于零
B．若實數，則是純虛數
C．在復平面內，虛軸上的點對應的復數均為純虛數
D．若復數滿足，則均為實數
【答案】D
【分析】根據復數的概念及分類，逐項判定，即可看求解.
【詳解】對于A中，由虛數單位，可得A錯誤；
對于B中，若，那么，所以B錯誤；
對于C中，虛軸上的點對應復數，所以C錯誤；
對于D中，若復數滿足，虛數不能比較大小，則均為實數，D正確.
故選：D.
知識點2 復數的運算
1、復數的運算法則
設， (a，b，c，d∈R)，則：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）除法：
2、復數運算的幾個重要結論
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z為虛數，則|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
3、虛數單位i的乘方
計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、復數方程的解
在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：①當時，；②當時，
（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為，
將此代入方程，化簡后利用復數相等的定義求解．
自主檢測若復數滿足（i是虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數除法運算即可求解.
【詳解】由題意.
故選：C.
知識點3 復數的幾何意義
1、復平面：當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
2、復數的幾何意義
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量是一一對應的．
【注意】實軸、虛軸上的點與復數的對應關系
實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
3、復數的模
（1）定義：向量的r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值．
（2）記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主檢測（多選）已知復數，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．復數對應的點位于復平面第四象限
C．
D．若復數滿足，則的最大值是
【答案】CD
【分析】對于AC，利用復數的四則運算和模長公式計算即可判斷；對于B，利用復數除法計算后根據復數的幾何意義即可判斷；對于D，利用復數的模的幾何意義數形結合即可計算判斷.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，其對應的點位于復平面第三象限，故B錯誤；
對于C，因，故，故C正確；
對于D，由可知，復數對應的點的軌跡為以點為圓心，半徑為5的圓，
而可理解為點到圓上的點的距離，如圖所示.
由圖知，當且僅當圓上的點在處(三點共線)時，距離最大，為，故D正確.
故選：CD.
知識點4 復數的三角形式
1、復數的三角形式：任何一個復數都可以表示成的形式，其中是復數的模，是復數的輻角．
【注意】復數的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連．
2、輻角主值
（1）輻角的定義：設復數的對應向量為，以軸的非負半軸為始邊，向量所在的射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．
（2）輻角的主值：根據輻角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．
規定：其中在范圍內的輻角的值為輻角的主值，通常記作．
【注意】因為復數0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輻角是任意的．
3、復數乘、除法的三角表示：已知，，
（1）乘法：，即模數相乘，輻角相加．
（2）除法：，即模數相除，輻角相減．
自主檢測復數的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據對應象限角的三角函數值及誘導公式，寫出復數的三角形式即可求解.
【詳解】∵，，
∴，，故選項A，C錯誤；
∵，，
∴，，故選項B正確，選項D錯誤.
故選：B.
題型1 復數的概念
例1-1（多選）已知，是復數，是的共軛復數，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則
B．若，則或
C．若是純虛數，則
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據復數知識和性質進行判斷即可.
【詳解】對于選項A：
假如，，此時，但，所以A錯誤；
對于選項B：
設，
所以.
所以，
若，即，方程組顯然成立；
若，即，方程組顯然成立；
若，將代入第二個式子中得.
由得，則，此時；
綜上，所以B正確；
對于選項C：
假設是純虛數，此時，C正確；
對于選項D：
設，所以，D正確.
故選：BCD.
例1-2（多選）下列有關復數的結論正確的是（ ）
A．
B．當時，復數是純虛數
C．是關于x的方程的一個根
D．若復數z滿足，則復數z對應的點所構成的圖形面積為
【答案】BCD
【分析】由復數的有關概念即可判斷A；由復數是純虛數可得，解之即可判斷B；由根據系數的關系結合一元二次方程的兩根互為共軛復數的結論即可得p，q的值，則C可判斷；由復數的幾何意義，結合數形結合的方法即可求得D.
【詳解】因為虛數不能比較大小，所以A錯誤；
因為，
所以復數，為純虛數，
所以當時，復數是純虛數，故B正確；
因為，
所以是關于x的方程的一個根，故C正確
若復數滿足，
由復數的幾何意義可知不等式表示的范圍為圓環，如下圖所示：
則復數對應的點所構成的圖形面積為，故D正確；
故選：BCD
方法技巧
判斷復數的實部、虛部的關鍵
（1）看形式：看復數的表示是否是的形式；
（2）看屬性：看，是否都是實數；
（3）看符號：復數的實部和虛部的符號是易錯點.
【變式訓練1-1】（多選）已知復數z滿足（其中i為虛數單位），則（ ）
A． B．
C．為純虛數 D．復數z的虛部為i
【答案】BC
【分析】根據復數的運算可得.對于A：根據共軛復數的定義判斷；對于B：根據模長公式分析判斷；對于C：求得，結合純虛數的定義判斷；對于D：根據虛部的定義判斷.
【詳解】因為，可得，即.
對于選項A：，故A錯誤；
對于選項B：，故B正確；
對于選項C：因為，所以為純虛數，故C正確；
對于選項D：復數的虛部為1，故D錯誤；
故選：BC．
【變式訓練1-2】（多選）已知i為虛數單位，則下列說法中正確的是（ ）
A．復數的虛部為 B．
C． D．若復數z滿足，則最小值為
【答案】AD
【分析】由復數的定義判斷A；由兩個復數不能比較大小，可判斷B；由復數的模及四則運算判斷C；由復數的幾何意義判斷D.
【詳解】解：對于A，由復數的定義可知復數的虛部為，故A正確；
對于B，因為兩個復數不能比較大小，故B錯誤；
對于C，設，則，而，
故只有當，即復數為實數時，成立，故C錯誤；
對于D，因為，所以復數所對應的點在以原點為圓心的單位圓上，
又因為，
所以表示點到單位圓上點的距離，
又因為點到原點的距離，
所以最小值為，故D正確.
故選：AD.
【變式訓練1-3】已知復數，．
(1)若z為實數，求x的值；
(2)若z為虛數，求x的取值范圍；
(3)若z為純虛數，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）（2）（3）利用復數有相關概念列式求解.
【詳解】（1）由z為實數，得，所以.
（2）由z為虛數，得，解得，
所以x的取值范圍為.
（3）由z為純虛數，得且，所以.
題型2 復數的分類
例2-1若復數 ，i為虛數單位）是純虛數，則實數a的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用復數的除法及純虛數的定義列式求解.
【詳解】依題意，，
則，解得，
所以實數a的值為.
故選：A
例2-2（多選）下列說法正確的是（ ）
A．復數的共軛復數的虛部為1
B．已知復數為純虛數，則
C．若復數在復平面內對應的點在第四象限，則
D．若，則
【答案】ABD
【分析】根據復數的分類以及復數的幾何意義逐一判斷即可.
【詳解】復數的共軛復數為，其虛部為1，所以A正確；
由且，得，所以B正確；
由且，得，所以C錯誤；
設，則，所以z在復平面內對應的點到點的距離為3，
所以z在復平面內對應的點到點的距離范圍為，D正確．
故選：ABD
方法技巧 復數的分類：對于復數a＋bi，
（1）當且僅當b＝0時，它是實數；
（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；
（3）當b≠0時，叫做虛數；
（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．
【變式訓練2-1】已知，若復數是純虛數，則 ．
【答案】3
【分析】利用純虛數的定義求出，進而求得答案.
【詳解】由是純虛數，得，解得，，
所以.
故答案為：3
【變式訓練2-2·變考法】已知i是虛數單位，復數．
(1)當時，求z的共軛復數；
(2)若z是純虛數，求m的值：
(3)若z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入，根據共軛復數的概念求解即可；
（2）根據純虛數的充要條件列方程求解即可；
（3）根據復數對應的點第四象限實部為正，虛部為負可得的不等式，求解即可.
【詳解】（1）當時，，
所以共軛復數
（2），
因為復數z是純虛數，所以，
解得，
所以；
（3）因為復數z在復平面內對應的點位于第四象限
所以，即，
即，所以，
所以，實數m的取值范圍是.
【變式訓練2-3·變載體】復數z滿足
(1)若復數z為實數，求m的值；
(2)若復數z為純虛數，求m的值；
(3)設復數，若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由復數z為實數，則虛部為0可解；
（2）由復數z為純虛數，則實部為0，且虛部不為0；
（3）由復數相等的條件，可得，然后利用二次函數性質求值域即可.
【詳解】（1）復數z為實數，所以.
（2）復數z為純虛數，
所以，解得.
（3），
，
即，
又，所以時，，時，，
所以的取值范圍為.
題型3 共軛復數
例3-1復數z滿足（為虛數單位），則的虛部為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的運算法則，化簡得到，得到，結合復數的概念，即可求解.
【詳解】由復數滿足，可得，
則，所以復數的虛部為.
故選：A.
例3-2已知復數，，復數，則的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用復數的加法運算及共軛運算，再利用復數的幾何意義即可得選項.
【詳解】由，
則對應的點為位于第一象限，所以A正確，
故選：A.
例3-3設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據共軛復數的概念及復平面內點的位置判斷.
【詳解】因為，
所以，
所以在復平面內對應的點為在第一象限.
故選：A.
方法技巧 實部相等，虛部互為相反數
【變式訓練3-1】（多選）已知為復數，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BC
【分析】對AD，舉反例說明；對B，由共軛復數的定義可判斷；對C，根據共軛復數的定義結合復數的乘法運算可判斷.
【詳解】對于A，，此時，故A錯誤；
對于B，若，由共軛復數的定義可得，故B正確；
對于C，設，由，則，
所以，故C正確；
對于D，如，，滿足，但，故D錯誤.
故選：BC.
【變式訓練3-2】（多選）已知虛數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則為純虛數
C．若，則或 D．若，則
【答案】BCD
【分析】設，根據虛數不能比較大小可判斷A；根據可得可判斷B；由得可判斷C；利用復數相等求出可判斷D.
【詳解】設，
對于A，若，則，
因為虛數不能比較大小，故A錯誤；
對于B，若，即，可得，
則為純虛數，故B正確；
對于C，若，則，可得，或
即，或，故C正確；
對于D，若，則，
即，解得，或，
可得，或，
所以，故D正確.
故選：BCD.
題型4 復數的幾何意義
例4-1在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的乘法運算、除法運算及復數的幾何意義即可求解.
【詳解】∵，∴對應的點為，∴對應的點位于第二象限.
故選：B.
例4-2已知復數.
(1)當時，求；
(2)設，在復平面內對應的點分別為，，若，求的值.
【答案】(1)1
(2)1或
【分析】（1）根據共軛復數的定義及復數除法運算，復數模公式求解；
（2）由題，利用復數的幾何意義求得，，利用兩向量垂直的坐標關系求解.
【詳解】（1）當時，，則，
，
.
（2）由題，，所以，，
則，
由，則，解得或.
方法技巧
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量是一一對應的．
【變式訓練4-1】已知復數z與在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用復數的除法運算法則化簡，再根據對稱性求解即可.
【詳解】，
因為z與在復平面內對應的點關于虛軸對稱，
所以．
故選：B.
【變式訓練4-2·變載體】已知，，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數的加法運算和復數的幾何意義即可得到判斷.
【詳解】已知，，則,
所以在復平面內對應的點是，即該點位于第四象限，
故選：D
題型5 復數的四則運算
例5-1已知復數滿足，則（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】設，，根據共軛復數的定義、復數運算法則及復數相等的概念，即可求解復數，根據復數的模長公式即可求解.
【詳解】設，，由，
∴，解得，
∴，∴.
故選：D.
例5-2計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據復數的加減運算法則化簡即可；
（2）根據復數的乘法運算法則化簡即可；
（3）根據平面向量的加減運算法則化簡即可；
（4）根據平面向量的加減運算法則化簡即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
方法技巧
1、復數的加減法：實部與虛部相加減，虛部與虛部相加減分別作為結果的實部與虛部。把i看作字母，類比多項式加減法中的合并同類項；
2、復數的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結果中要將換成，并將實部、虛部分別合并. 多項式展開中的一些重要公式仍適用于復數，常用公式有，，.
2、復數的除法法則在實際操作中不方便適用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算．
【變式訓練5-1】“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】，利用共軛復數的定義、復數相等以及復數的概念、充分條件和必要條件的定義判斷即可得出結論.
【詳解】設，則，故，
故，則，故“”“”；
若，則，則，故“”“”.
綜上所述，“”是“”的充要條件.
故選：C.
【變式訓練5-2】若，則 .
【答案】
【分析】先化簡得出復數，再應用加法運算結合模長公式計算求解.
【詳解】因為，則，
則.
故答案為：.
題型6 復數的高次方計算
例6-1若復數，則 .
【答案】
【分析】利用復數的乘方運算求得，進而可求.
【詳解】因為，所以.
故答案為：.
例6-2已知復數滿足，則的最小值是 .
【答案】
【分析】
利用復數模的三角不等式可求得的最小值.
【詳解】因為，則
，
當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.
故答案為：.
方法技巧
計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．．
【變式訓練6-1】（多選）設復數在復平面內對應的點為，為虛數單位，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則點的集合所構成的圖形的面積為π
C．
D．若是實系數方程的一個根，則
【答案】BC
【分析】根據特例，可判定A不正確；根據復數的幾何意義，得到表示的軌跡，結合圓的面積公式，可判定B正確；根據虛數的運算性質，可判定C正確；根據實系數方程的性質，結合韋達定理，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，例如：復數，可得，所以A不正確；
對于B中，由復數的幾何意義，可得是以半徑為和半徑為的圓構成的圓環，
其中圓環的面積為，所以B正確；
對于C中，由虛數的運算性質：，
可得，所以C正確；
對于D中，由復數是實系數方程的一個根，
可得復數是實系數方程的另一個根，
則且，即，
所以，所以D不正確.
故選：BC.
【變式訓練6-2】若復數，則的虛部為 .
【答案】
【分析】根據復數的乘方化簡復數z，即可判斷其虛部.
【詳解】因為，，
故復數，故的虛部為，
故答案為：
題型7 與復數模相關的軌跡（圖形)問題
例7-1（多選）已知為復數，為虛數單位，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則為純虛數
D．若，則的最小值為1
【答案】ABD
【分析】選項A，根據復數除法運算，求得，再根據模長運算即可求解；選項B，令，分別計算和，即可判斷；選項C，設，由得，可解得，但要注意的取值；選項D，根據復數模長的幾何意義即可判斷.
【詳解】對于A，根據復數除法，，
則，所以A正確；
對于B，令，則，
所以，，所以，故B正確；
對于C，設，則，，
所以，，
因為，即，解得，，
所以當，，不是純虛數，故C錯誤；
對于D，當，復數對應的點在單位圓上，即，
表示復數對應的點到點的距離，最小值為圓心到點的距離減去半徑，即最小值為，故D正確.
故選：ABD.
例7-2若復數z滿足（為虛數單位），則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】根據可得z的軌跡為以為圓心，以3為半徑的圓，表示點到的距離，結合幾何意義可得結果.
【詳解】設，因為即，
所以z的軌跡為以為圓心，以3為半徑的圓，
所以，其表示上述圓上的點到點的距離，
所以其最大值為到的距離加半徑，為.
故答案為：.
方法技巧
1、求復數在復平面內對應點的集合表示的圖形時，常用的方法是通過化簡得到關于復數模的最簡等式或不等式，然后根據復數的模的幾何意義直接判斷圖形的形狀．
2、復數的幾何意義是復平面內兩點之間的距離公式，若，則表示復平面內點與點之間的距離，則表示以為圓心，以r為半徑的圓上的點．
【變式訓練7-1】（多選）已知復數滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．在復平面內對應的點可能是
B．
C．的實部與虛部之積小于等于3
D．復數，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】根據復數的幾何意義，可知在復平面對應的點為以原點為中心，半徑為的圓上，從而判斷AB；利用基本不等式判斷C；由復數減法的幾何意義判斷D.
【詳解】，則在復平面對應的點為以原點為中心，半徑為的圓上，
復平面的點，其模為正確；
錯誤；
令，則有，所以實部與虛部之積，C正確；
，則，D正確.
故選：ACD.
【變式訓練7-2】（多選）已知為虛數單位，以下四個說法中正確的是（ ）
A．
B．若，則復平面內對應的點位于第二象限
C．復數，
D．若復數滿足，則的最大值為6
【答案】AD
【分析】對于A，利用虛數單位的計算即得；對于B，利用復數的四則運算與復數的幾何意義即可判斷；對于C，利用復數的四則運算化簡復數，求其模長即可；對于D，利用復數的幾何意義數形結合即可得到.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，由，則，
則復平面內對應的點位于第三象限，故B錯誤；
對于C，因，則，故C錯誤；
對于D，由可知復數對應的點表示以原點為圓心，半徑為1的單位圓，
而則可以理解為點到該圓上的點的距離，
故該距離最大值為.故D正確.
故選：AD.
題型8 復數范圍內解方程
例8-1已知復數是關于的方程的根，則 .
【答案】26
【分析】依據題意可知也是方程的根，然后利用韋達定理可知.
【詳解】由題可知：復數是關于的方程的根，
則也是方程的根，
所以.
故答案為：26
例8-2已知是關于的方程的一個根，其中，.
(1)求、的值；
(2)在復數范圍內，求該方程的另一根.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，化簡得到，列出方程組，即可求解；
（2）由（1）得，原方程為，化簡得到，進而求得原方程的另一根.
【詳解】（1）解：因為為方程的一個根，可得，
整理得，所以，
解得.
（2）解：由（1）得，原方程為，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根為.
方法技巧
在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
①當時，；②當時，
（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為，
將此代入方程，化簡后利用復數相等的定義求解．
【變式訓練8-1】若為的復數根，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據復數的三次方結合已知條件計算求解.
【詳解】因為為的復數根，則，即得，
則.
故選：A.
【變式訓練8-2·變考法】方程的復數根為，則 ，使得為純虛數的實數的值為 .
【答案】
【分析】在復數范圍內求解二次方程的根，結合復數的運算法則進行運算.
【詳解】由，得，則.
若，則，所以，解得.
若，則，所以，解得.
故答案為：①；②.
題型9 復數的三角表示
例9-1已知復數（為虛數單位），則等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復數的三角形式的運算法則，準確運算，即可求解.
【詳解】因為復數，
根據復數的運算法則，可得.
故選：C.
例9-2（多選）任何一個復數都可以表示為，且可以表示為三角形式代表復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角.著名數學家棣莫弗就此進行了深度探究，發現，該公式稱為棣莫弗公式.根據上面的知識，若復數滿足，則可能的取值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】根據棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案.
【分析】設，其中，則，
所以，而，則，
故即，故，
故B，D正確，A，C錯誤.
故選：BD.
【變式訓練9-1】歐拉公式：是虛數單位，是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它非常巧妙地將三角函數與復指數函數關聯了起來.若復數，復數滿足，則的最大值為（ ）.
A．0 B．
C．1 D．2
【答案】D
【分析】由題設新定義得，再應用乘方運算得，且，即可得.
【詳解】由題設，則，
所以，
由，則，故時的最大值為2.
故選：D
【變式訓練9-2】毆拉（1707-1783）是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數之間的關系，請你根據歐拉公式將復數表示成（，i為虛數單位）的形式 ．
【答案】
【分析】根據歐拉公式可得，結合復數的加法可得.
【詳解】，，所以．
故答案為：.
1．（2025·全國一卷·高考真題）的虛部為（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根據復數代數形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.
【詳解】因為，所以其虛部為1，
故選：C.
2．（2025·全國二卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由復數除法即可求解.
【詳解】因為，所以.
故選：A.
3．（2024·北京·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根據復數乘法即可得到答案.
【詳解】由題意得.
故選：C.
4．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數單位，則 ．
【答案】
【分析】先由復數除法運算化簡，再由復數模長公式即可計算求解.
【詳解】先由題得，所以.
故答案為：
5．（2024·上海·高考真題）已知虛數，其實部為1，且，則實數為 ．
【答案】2
【分析】設且，直接根據復數的除法運算，再根據復數分類即可得到答案.
【詳解】設，且.
則，
，，解得，
故答案為：2.
6．（2025·上海·高考真題）已知復數z滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】先設，利用復數的乘方運算及概念確定，再根據復數的幾何意義數形結合計算即可.
【詳解】設，
由題意可知，則，
又，由復數的幾何意義知在復平面內對應的點在單位圓內部（含邊界）的坐標軸上運動，如圖所示即線段上運動，
設，則，由圖象可知，
所以.
故答案為：
1.在復數范圍內解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根據題意，由一元二次方程的解法結合復數的運算，即可得到結果.
【詳解】（1）將方程的二次項系數化為1，
得
得，即
所以原方程的根為
（2）方程的二次項系數為1，
配方，得由，
知可得
所以原方程的根為.
2.計算的5次方根．
【答案】
【分析】把復數化成三角形式，利用復數的開方運算法則直接求5次方根.
【詳解】設的5次方根為，
所以，
即，
所以，得，
所以的5次方根是5個復數，記為.
3.在復平面內，將與復數對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉60°，求與所得的向量對應的復數，寫出你的思考過程．
【答案】
【分析】將與復數對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉60°，可得所求復數為，代入三角函數值，再由復數代數形式的乘法運算化簡得答案.
【詳解】根據復數乘法的幾何意義，所求的復數是，
即.
故與所得的向量對應的復數是.
4.如圖，向量與復數對應，把繞原點O按逆時針方向旋轉得到，求對應的復數（用代數形式表示），寫出你的思考過程．

【答案】
【分析】由復數代數表示法及其幾何意義可知，把繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到后所對應的復數為，再由復數乘法即可求解.
【詳解】因為向量與復數對應，若把繞原點O按逆時針方向旋轉得到，
則由復數代數表示法及其幾何意義可知，
所對應的復數為，
而，
因此所對應的復數為.
5.判斷下列復數是不是復數的三角形式，并說明理由.
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是，理由見解析；
(2)不是，理由見解析；
【分析】根據復數的三角形式即可判斷.
【詳解】（1）括號內兩項中間不是加號，故不是復數的三角形式，
其三角形式為.
（2）不滿足復數的模大于等于0，故不是復數的三角形式，
其三角形式為.
6.設復數，若復數的虛部減去其實部的差等于，求復數．
【答案】.
【分析】先化簡復數，再化簡復數，再由的虛部減去其實部，即可求得，再將代入求解即可.
【詳解】由已知，，
∴
∴復數的實部為，虛部為，
由已知，
∵，∴解得.
∴復數的實部為，虛部為，
∴復數.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 復數
目錄
01 考情解碼 命題預警 2
02體系構建·思維可視 3
03核心突破·靶向攻堅 4
知能解碼 4
知識點1 復數的概念 4
知識點2 復數的運算 4
知識點3 復數的幾何意義 5
知識點4 復數的三角形式 6
題型破譯 6
題型1 復數的概念 7
題型2 復數的分類 8
題型3 共軛復數 9
題型4 復數的幾何意義 9
題型5 復數的四則運算 10
題型6 復數的高次方計算 11
題型7 與復數模相關的軌跡（圖形)問題 11
題型8 復數范圍內解方程 12
題型9 復數的三角表示* 13
04真題溯源·考向感知 13
05課本典例·高考素材 14
考點要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）數系的擴充與復數的引入 （2）復數代數形式的四則運算 單選題 多選題 填空題 解答題 全國一卷，第1題，5分； 全國二卷，第2題，5分； 北京卷，第2題，4分； 天津卷，第10題，5分； 新課標I卷，第2題，5分； 新課標II卷，第1題，5分； 甲卷理科，第1題，5分； 上海卷，第9題，5分； 天津卷，第10題，5分； 新課標I卷，第2題，5分； 新課標II卷，第1題，5分； 甲卷理科，第2題，5分； 甲卷理科，第1題，5分； 北京卷，第2題，5分； 天津卷，第10題，5分；
考情分析： 1.復數在高考中是每年必考內容，命題較為穩定，難度較低，主要以選擇題形式出現，通常位于前2題 2.復數的四則運算作為復數部分的核心內容，是考查的重點之一。主要考查學生對復數加、減、乘、除運算法則的掌握程度。
復習目標： 1.通過方程的解，認識復數； 2.理解復數代數表示及其幾何意義； 3.掌握復數的四則運算，了解加減法的幾何意義。
知識點1 復數的概念
1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，實部是 ，虛部是 ．
2、虛數單位：把平方等于－1的數用符號i表示，規定i2＝ ，我們把i叫作虛數單位．
3、復數集：①定義：全體復數所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．
4、復數的分類：任意一個復數都由它的實部與虛部唯一確定，虛部為0的復數實際上是一個實數．
（1）
（2）復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
5、復數相等：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d．
6、共軛復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共軛復數．
復數z的共軛復數用表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，＝ ．
自主檢測下列關于復數的說法，正確的是（ ）
A．復數的任何偶數次冪都不小于零
B．若實數，則是純虛數
C．在復平面內，虛軸上的點對應的復數均為純虛數
D．若復數滿足，則均為實數
知識點2 復數的運算
1、復數的運算法則
設， (a，b，c，d∈R)，則：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
（2）減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；
（4）除法：
2、復數運算的幾個重要結論
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z為虛數，則|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
3、虛數單位i的乘方
計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、復數方程的解
在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：①當時，；②當時，
（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為，
將此代入方程，化簡后利用復數相等的定義求解．
自主檢測若復數滿足（i是虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
知識點3 復數的幾何意義
1、復平面：當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
2、復數的幾何意義
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z 是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量是一一對應的．
【注意】實軸、虛軸上的點與復數的對應關系
實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
3、復數的模
（1）定義：向量的r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值．
（2）記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主檢測（多選）已知復數，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．復數對應的點位于復平面第四象限
C．
D．若復數滿足，則的最大值是
知識點4 復數的三角形式
1、復數的三角形式：任何一個復數都可以表示成的形式，其中是復數的模，是復數的輻角．
【注意】復數的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連．
2、輻角主值
（1）輻角的定義：設復數的對應向量為，以軸的非負半軸為始邊，向量所在的射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．
（2）輻角的主值：根據輻角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復數輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．
規定：其中在范圍內的輻角的值為輻角的主值，通常記作．
【注意】因為復數0對應零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輻角是任意的．
3、復數乘、除法的三角表示：已知，，
（1）乘法：，即模數相乘，輻角相加．
（2）除法：，即模數相除，輻角相減．
自主檢測復數的三角形式為（ ）
A． B．
C． D．
題型1 復數的概念
例1-1（多選）已知，是復數，是的共軛復數，下列說法正確的是（ ）.
A．若，則
B．若，則或
C．若是純虛數，則
D．若，則
例1-2（多選）下列有關復數的結論正確的是（ ）
A．
B．當時，復數是純虛數
C．是關于x的方程的一個根
D．若復數z滿足，則復數z對應的點所構成的圖形面積為
方法技巧
判斷復數的實部、虛部的關鍵
（1）看形式：看復數的表示是否是的形式；
（2）看屬性：看，是否都是實數；
（3）看符號：復數的實部和虛部的符號是易錯點.
【變式訓練1-1】（多選）已知復數z滿足（其中i為虛數單位），則（ ）
A． B．
C．為純虛數 D．復數z的虛部為i
【變式訓練1-2】（多選）已知i為虛數單位，則下列說法中正確的是（ ）
A．復數的虛部為 B．
C． D．若復數z滿足，則最小值為
【變式訓練1-3】已知復數，．
(1)若z為實數，求x的值；
(2)若z為虛數，求x的取值范圍；
(3)若z為純虛數，求x的值．
題型2 復數的分類
例2-1若復數 ，i為虛數單位）是純虛數，則實數a的值為（ ）
A． B． C． D．3
例2-2（多選）下列說法正確的是（ ）
A．復數的共軛復數的虛部為1
B．已知復數為純虛數，則
C．若復數在復平面內對應的點在第四象限，則
D．若，則
方法技巧 復數的分類：對于復數a＋bi，
（1）當且僅當b＝0時，它是實數；
（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；
（3）當b≠0時，叫做虛數；
（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．
【變式訓練2-1】已知，若復數是純虛數，則 ．
【變式訓練2-2·變考法】已知i是虛數單位，復數．
(1)當時，求z的共軛復數；
(2)若z是純虛數，求m的值：
(3)若z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍，
【變式訓練2-3·變載體】復數z滿足
(1)若復數z為實數，求m的值；
(2)若復數z為純虛數，求m的值；
(3)設復數，若，求的取值范圍．
題型3 共軛復數
例3-1復數z滿足（為虛數單位），則的虛部為（ ）
A． B．1 C． D．
例3-2已知復數，，復數，則的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例3-3設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
方法技巧 實部相等，虛部互為相反數
【變式訓練3-1】（多選）已知為復數，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式訓練3-2】（多選）已知虛數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則為純虛數
C．若，則或 D．若，則
題型4 復數的幾何意義
例4-1在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例4-2已知復數.
(1)當時，求；
(2)設，在復平面內對應的點分別為，，若，求的值.
方法技巧
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量是一一對應的．
【變式訓練4-1】已知復數z與在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2·變載體】已知，，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
題型5 復數的四則運算
例5-1已知復數滿足，則（ ）
A．3 B． C．2 D．
例5-2計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
方法技巧
1、復數的加減法：實部與虛部相加減，虛部與虛部相加減分別作為結果的實部與虛部。把i看作字母，類比多項式加減法中的合并同類項；
2、復數的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結果中要將換成，并將實部、虛部分別合并. 多項式展開中的一些重要公式仍適用于復數，常用公式有，，.
2、復數的除法法則在實際操作中不方便適用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復數，使分母成為實數，再計算．
【變式訓練5-1】“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式訓練5-2】若，則 .
題型6 復數的高次方計算
例6-1若復數，則 .
例6-2已知復數滿足，則的最小值是 .
方法技巧
計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，in有如下性質：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
從而對于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可進一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．．
【變式訓練6-1】（多選）設復數在復平面內對應的點為，為虛數單位，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若，則點的集合所構成的圖形的面積為π
C．
D．若是實系數方程的一個根，則
【變式訓練6-2】若復數，則的虛部為 .
題型7 與復數模相關的軌跡（圖形)問題
例7-1（多選）已知為復數，為虛數單位，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若，則為純虛數
D．若，則的最小值為1
例7-2若復數z滿足（為虛數單位），則的最大值為 ．
方法技巧 1、求復數在復平面內對應點的集合表示的圖形時，常用的方法是通過化簡得到關于復數模的最簡等式或不等式，然后根據復數的模的幾何意義直接判斷圖形的形狀．
2、復數的幾何意義是復平面內兩點之間的距離公式，若，則表示復平面內點與點之間的距離，則表示以為圓心，以r為半徑的圓上的點．
【變式訓練7-1】（多選）已知復數滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．在復平面內對應的點可能是
B．
C．的實部與虛部之積小于等于3
D．復數，則的最大值為
【變式訓練7-2】（多選）已知為虛數單位，以下四個說法中正確的是（ ）
A．
B．若，則復平面內對應的點位于第二象限
C．復數，
D．若復數滿足，則的最大值為6
題型8 復數范圍內解方程
例8-1已知復數是關于的方程的根，則 .
例8-2已知是關于的方程的一個根，其中，.
(1)求、的值；
(2)在復數范圍內，求該方程的另一根.
方法技巧
在復數范圍內，實系數一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
①當時，；②當時，
（2）利用復數相等的定義求解，設方程的根為，
將此代入方程，化簡后利用復數相等的定義求解．
【變式訓練8-1】若為的復數根，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練8-2·變考法】方程的復數根為，則 ，使得為純虛數的實數的值為 .
題型9 復數的三角表示
例9-1已知復數（為虛數單位），則等于（ ）
A．1 B． C． D．
例9-2（多選）任何一個復數都可以表示為，且可以表示為三角形式代表復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角.著名數學家棣莫弗就此進行了深度探究，發現，該公式稱為棣莫弗公式.根據上面的知識，若復數滿足，則可能的取值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練9-1】歐拉公式：是虛數單位，是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它非常巧妙地將三角函數與復指數函數關聯了起來.若復數，復數滿足，則的最大值為（ ）.
A．0 B．
C．1 D．2
【變式訓練9-2】毆拉（1707-1783）是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數之間的關系，請你根據歐拉公式將復數表示成（，i為虛數單位）的形式 ．
1．（2025·全國一卷·高考真題）的虛部為（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．（2025·全國二卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·北京·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數單位，則 ．
5．（2024·上海·高考真題）已知虛數，其實部為1，且，則實數為 ．
6．（2025·上海·高考真題）已知復數z滿足，則的最小值是 ．
1.在復數范圍內解下列方程
(1)
(2)
2.計算的5次方根．
3.在復平面內，將與復數對應的向量繞原點O按順時針方向旋轉60°，求與所得的向量對應的復數，寫出你的思考過程．
4.如圖，向量與復數對應，把繞原點O按逆時針方向旋轉得到，求對應的復數（用代數形式表示），寫出你的思考過程．

5.判斷下列復數是不是復數的三角形式，并說明理由.
(1)；
(2)．
6.設復數，若復數的虛部減去其實部的差等于，求復數．
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