資源簡介

(共53張PPT)
2
指數冪的運算性質　
(教學方式:深化學習課 梯度進階式教學)
課時目標
1.掌握指數冪的運算性質及應用.　
2.能準確熟練的進行根式、指數式的相互轉化.
3.能夠熟練地利用性質進行代數式的化簡與求值.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
對于任意正數a,b和實數α,β,實數指數冪均滿足下面的運算性質:
(1)aα·aβ=_______;(2)(aα)β=______;
(3)(ab)α=________.
aα+β
aαβ
aαbα
|微|點|助|解| 　
(1)除上述運算性質外,還有如下性質:
①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②=(a>0,b>0,r∈Q).
(2)有理數指數冪的幾個常見結論:
①當a>0時,ab>0;
②當a≠0時,a0=1,而當a=0時,a0無意義;
③若ar=as(a>0,且a≠1),則r=s;
④乘法公式仍適用于分數指數冪,如:(+)(-)=()2-()2=
a-b(a>0,b>0).
基礎落實訓練
1.下列運算結果中,正確的是(　 )
A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6
解析:a2·a3=a2+3=a5,故A正確;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D錯誤;當a=1時無意義,故C錯誤.
√
2.計算的結果是(　 )
A.π B.
C.-π D.
√
3.若10x=3,10y=4,則1=　　　　.
解析:∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y==.
課堂題點研究·遷移應用融通
題型(一)　利用指數冪的運算性質求值
[例1]　計算下列各式:
(1)3π×+(+=　　;
解析:原式=++1=1π+24+1=18.
18
(2)+22×-×=　　　　 ;
解析:原式=1+4×-×=1+6-×=7-=.
(3)=　　 　.
解析:原式==29×32=4 608.
4 608
|思|維|建|模|
指數冪運算的常用技巧
(1)有括號先算括號里的,無括號先進行指數運算.
(2)負指數冪化為正指數冪的倒數.
(3)底數是小數,先要化成分數;底數是帶分數,要先化成假分數,然后要盡可能用冪的形式表示,以便于運用指數冪的運算性質.
針對訓練
1.計算下列各式:
(1)+2-2×-(0.01)0.5;
解:原式=1+×-=1+-=.
(2)+0.1-2+-3π0+;
解:原式=++-3+
=+100+-3+=100.
(3)(0.064-++16-0.75+.
解:原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1
=-1+++=.
題型(二)　利用指數冪的運算性質化簡
[例2]　化簡:=　　 (a,b>0).
解析:原式=
====a-1=.
[例3]　化簡:2(-3)÷(-6)=　 　(x,y>0).
解析:原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.
x2y
|思|維|建|模|
指數式的化簡、求值問題的解題思路
(1)無論是化簡還是求值,一般的運算順序是先乘方,再乘除,最后加減.
(2)仔細觀察式子的結構特征,確定運算層次,避免運用運算性質時出錯.
針對訓練
2. 化簡(a,b為正數)的結果是(　 )
A. B.ab C. D.a2b
解析:原式==·=. 故選C.
√
3.化簡求值:÷ (a>0).
解:原式=[×]÷[×]=a0=1.
題型(三)　指數冪運算中的條件求值
[例4]　已知+=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
解:將+=3兩邊平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)a2+a-2;
解:將a+a-1=7兩邊平方,
可得a2+a-2+2=49,∴a2+a-2=47.
(3).
解:∵+=()3+()3
=(+)(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,
∴原式===3.
|思|維|建|模|
(1)對于條件求值問題,一般先化簡代數式,再將字母取值代入求值.但有時字母的取值不知道或不易求出,這時可將所求代數式進行適當變形,構造出能用已知條件表示的結構,從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值.
(2)利用“整體代入法”求值常用的變形公式(其中a>0,b>0):
①a±2+b=(±)2;
②(+)(-)=a-b;
③+=(+)(a-+b);
④-=(-)(a++b).
針對訓練
4.已知10m=2,10n=4,則1的值為(　 )
A.2 B.
C. D.2
解析:1====.
√
5.已知a2x=+1,則=(　 )
A.2-1 B.2-2
C.2+1 D.+1
解析:令ax=t,則t2=+1,所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.
√
課時跟蹤檢測
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A級——達標評價
1.若102x=25,則10-x=(　 )
A.- B.
C. D.
解析:102x=(10x)2=25,∵10x>0,∴10x=5,10-x==.
√
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2.設a>0,則下列運算正確的是 (　 )
A.=a B.=0
C.a÷= D.=a
解析:易知A正確;對于選項B,=a0=1,B錯誤;對于選項C,a÷=,C錯誤;對于選項D,==,D錯誤.
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3.設2a=5b=m,且+=2,則m=(　 )
A. B.10
C.20 D.100
解析:∵2a=m,5b=m,∴2=,5=,∴2×5=·=.又+=2,∴m2=10,∴m=或m=-(舍去).
√
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4.(多選)下列式子中,正確的是 (　 )
A.(27a3÷0.3a-1=10a2 B.(-)÷(+)=-
C.[(2+3)2(2-3)2=-1 D.=
√
√
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解析:對于A,原式=3a÷0.3a-1==10a2,A正確;對于B,原式=
=-,B正確;對于C,原式=[(3+2)2(3-2)2=(3+2)(3-2)=1.這里注意3>2,(a≥0)是正數,C錯誤;對于D,原式= = ==,
D正確.
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5.若00,且ab+a-b=2,則ab-a-b等于(　 )
A. B.2或-2
C.-2 D.2
解析:由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=
a2b+a-2b-2=4.由題意得01,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故選C.
√
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6.設α,β是方程5x2+10x+1=0的兩個根,則2α·2β=　　　,(2α)β=　　.
解析:利用一元二次方程根與系數的關系,得α+β=-2,αβ=.則2α·2β==2-2=,(2α)β=2αβ=.
　
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7.計算:(0.008 1-×-10×=　 .
解析:原式=-3×-3=-.
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8.碳14是一種著名的放射性物質,像鈾235、鍶90、碘131、銫137、鐳226等也都是放射性物質.放射性物質是指那些能自然地向外輻射能量,發出射線的物質.在一個給定的單位時間內,放射性物質的質量會按某個衰減率衰減.一般是用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況,這個時間被稱做半衰期.則在連續兩個半衰期里,放射性物質將衰減為原有物質的　　　　.
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解析:根據題意可知,一個半衰期里放射性物質衰減為原來的,則連續兩個半衰期里,放射性物質將衰減為原來的=.
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9.(8分)計算下列各式的值:
(1)(a>0);
解:原式==a0=1.
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(2);
解:原式===π.
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(3)(-3)(4)÷(-2);
解:原式=[-3×4÷(-2)]×·=6a0b0=6.
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(4)(+)(-)(+).
解:原式=[()2-()2](+)=(-)(+)=(-)(+)=()2-()2=x-y.
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10.(10分)(1)化簡:--π0;
解:原式=(0.064-0.5--1=--1=0.
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(2)已知x-=1,且x>0,求--的值.
解:由x-=1,且x>0,可得x2=x+1,則--=--=(x+)--=x-==1.
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B級——重點培優
11.,,這三個數的大小關系為　(　 )
A.<< B.<<
C.<< D.<<
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解析:===,===,=.因為<<,所以<<.
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12.已知正數a,b滿足×=3,則3a+2b的最小值為(　 )
A.10 B.12 C.18 D.24
解析:因為×=×==3,所以+=1.因為a,b為正數,所以3a+2b=(3a+2b)·=12++≥12+2=24,當且僅當=時,即a=4,b=6時,等號成立.所以3a+2b的最小值為24.
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13.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),則a4m+n的值為　　.
解析:因為 所以①×②得a3m=26.所以am=22.將am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=
22=4.
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14.(14分)對于正整數a,b,c(a≤b≤c)和非零實數x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值.
解:∵ax=70ω,且x,ω為非零實數,∴=7.
同理可得=,=.
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∴··=7··7,即=7.
又++=,a,b,c為正整數,
∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7.§2　指數冪的運算性質　(教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．掌握指數冪的運算性質及應用．　
2.能準確熟練的進行根式、指數式的相互轉化．
3．能夠熟練地利用性質進行代數式的化簡與求值．
對于任意正數a，b和實數α，β，實數指數冪均滿足下面的運算性質：
(1)aα·aβ＝________；
(2)(aα)β＝________；
(3)(ab)α＝________.
|微|點|助|解|　
(1)除上述運算性質外，還有如下性質：
①ar÷as＝ar－s(a＞0，r，s∈Q)；②r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(2)有理數指數冪的幾個常見結論：
①當a＞0時，ab＞0；
②當a≠0時，a0＝1，而當a＝0時，a0無意義；③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，則r＝s；
④乘法公式仍適用于分數指數冪,如:(+)(-)=()2-()2=a-b(a>0,b>0).
基礎落實訓練
1.下列運算結果中，正確的是(　 )
A．a2·a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
2．計算的結果是(　 )
A．π B.
C．－π D.
3．若10x＝3,10y＝4，則102x－y＝________.
題型(一)　利用指數冪的運算性質求值
[例1]　計算下列各式：
(1)3π×+(+=　　　　　;
(2)+22×-×=　　　　;　　　　
(3)=　　　.
聽課記錄：
|思|維|建|模|
指數冪運算的常用技巧
(1)有括號先算括號里的，無括號先進行指數運算．
(2)負指數冪化為正指數冪的倒數．
(3)底數是小數，先要化成分數；底數是帶分數，要先化成假分數，然后要盡可能用冪的形式表示，以便于運用指數冪的運算性質．
[針對訓練]
1．計算下列各式：
(1)+2-2×-(0.01)0.5;
(2)+0.1-2+-3π0+;
(3)(0.064-++16-0.75+.
題型(二)　利用指數冪的運算性質化簡
[例2]　化簡：:＝________(a，b＞0)．
聽課記錄：
[例3]　 化簡:2(-3)÷(-6)=　　　　(x,y>0).
聽課記錄：
|思|維|建|模|
指數式的化簡、求值問題的解題思路
(1)無論是化簡還是求值，一般的運算順序是先乘方，再乘除，最后加減．
(2)仔細觀察式子的結構特征，確定運算層次，避免運用運算性質時出錯．
[針對訓練]
2. 化簡 (a，b為正數)的結果是(　 )
A. B．ab
C. D．a2b
3．化簡求值：÷ (a>0)．
題型(三)　指數冪運算中的條件求值
[例4]　已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
聽課記錄：
|思|維|建|模|
(1)對于條件求值問題，一般先化簡代數式，再將字母取值代入求值．但有時字母的取值不知道或不易求出，這時可將所求代數式進行適當變形，構造出能用已知條件表示的結構，從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值．
(2)利用“整體代入法”求值常用的變形公式(其中a＞0，b＞0)：
①a±2+b=(±)2;
②(+)(-)=a-b;
③+=(+)(a-+b);
④-=(-)(a++b).
[針對訓練]
4．已知10m＝2,10n＝4，則1的值為(　 )
A．2 B.
C. D．2
5．已知a2x＝＋1，則= (　 )
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D.＋1
指數冪的運算性質
課前預知教材
(1)aα＋β　(2)aα β　(3)aαbα
[基礎落實訓練]　1.A　2.D　3.
課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　 解析:(1)原式=++1=1π+24+1=18.
(2)原式=1+4×-×=1+6-×=7-=.
(3)原式==29×32=4 608.
答案:(1)18　(2)　(3)4 608
[針對訓練]
1．解:(1)原式=1+×-=1+-=.
(2)原式=++-3+=+100+-3+=100.
(3)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.
[題型(二)]
[例2]　 解析:原式=
====a-1=.
答案:
[例3]　解析：原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.
答案:x2y
[針對訓練]
2．選C　原式==·=. 故選C.
3．解：原式=[×]÷[×]=a0=1.
[題型(三)]
[例4]　 解:(1)將+=3兩邊平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)將a+a-1=7兩邊平方,
可得a2+a-2+2=49,∴a2+a-2=47.
(3)∵+=()3+()3
=(+)(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,
∴原式===3.
[針對訓練]
4．選B　1====.
5．選A　令ax=t,則t2=+1,所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.
1 / 5課時跟蹤檢測(二十六)　指數冪的運算性質
(滿分90分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．若102x＝25，則10－x＝(　　)
A．－ B.
C. D.
2．設a>0，則下列運算正確的是(　　)
A.4＝a B．aa－＝0
C．a÷a＝a D．aa＝a
3．設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝(　　)
A. B．10
C．20 D．100
4．(多選)下列式子中，正確的是(　　)
A．(27a3)÷0.3a－1＝10a2
B．(a－b)÷(a＋b)＝a－b
C．[(2＋3)2(2－3)2]＝－1
D.＝
5．若0＜a＜1，b＞0，且ab＋a－b＝2，則ab－a－b等于(　　)
A. B．2或－2
C．－2 D．2
6．設α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的兩個根，則2α·2β＝______，(2α)β＝______.
7．計算：(0.008 1)－－×－－10×＝________.
8．碳14是一種著名的放射性物質，像鈾235、鍶90、碘131、銫137、鐳226等也都是放射性物質．放射性物質是指那些能自然地向外輻射能量，發出射線的物質．在一個給定的單位時間內，放射性物質的質量會按某個衰減率衰減．一般是用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期．則在連續兩個半衰期里，放射性物質將衰減為原有物質的________．
9．(8分)計算下列各式的值：
(1)aaa－(a>0)；
(2)；
(3)(－3ab－)(4a－b)÷(－2a－b)；
(4)(x＋y)(x－y)(＋)．
10．(10分)(1)化簡：－－π0；
(2)已知x－＝1，且x>0，求－x－的值．
B級——重點培優
11．2，3，6這三個數的大小關系為　(　　)
A．6<3<2 B．6<2<3
C．2<3<6 D．3<2<6
12．已知正數a，b滿足×＝3，則3a＋2b的最小值為(　　)
A．10 B．12
C．18 D．24
13．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a＞0，且a≠1)，則a4m＋n的值為________．
14．(14分)對于正整數a，b，c(a≤b≤c)和非零實數x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．
課時跟蹤檢測(二十六)
1．選B　102x＝(10x)2＝25，∵10x>0，∴10x＝5,10－x＝＝.
2．選A　易知A正確；對于選項B，aa－＝a0＝1，B錯誤；對于選項C，a÷a＝a，C錯誤；對于選項D，aa＝a＋＝a，D錯誤．
3．選A　∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m，5＝m，∴2×5＝m·m＝m＋.
又＋＝2，∴m2＝10，
∴m＝或m＝－(舍去)．
4．選ABD　對于A，原式＝3a÷0.3a－1＝＝10a2，A正確；對于B，原式＝＝a－b，B正確；對于C，原式＝[(3＋2)2(3－2)2]＝(3＋2)(3－2)＝1.這里注意3＞2，a(a≥0)是正數，C錯誤；對于D，原式＝ ＝ ＝a＝，D正確．
5．選C　由ab＋a－b＝2，得(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8.因此a2b＋a－2b＝6，所以(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.由題意得0＜ab＜1，a－b＞1，故ab－a－b＜0，所以ab－a－b＝－2.故選C.
6．解析：利用一元二次方程根與系數的關系，得α＋β＝－2，αβ＝.則2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案：　2
7．解析：原式＝－3×－－3＝－.
答案：－
8．解析：根據題意可知，一個半衰期里放射性物質衰減為原來的，則連續兩個半衰期里，放射性物質將衰減為原來的2＝.
答案：
9．解：(1)原式＝a＋－＝a0＝1.
(2)原式＝＝＝π.
(3)原式＝[－3×4÷(－2)]×a－＋·b－＋－＝6a0b0＝6.
(4)原式＝[(x)2－(y)2](＋)
＝(x－y)(＋)
＝(－)(＋)
＝()2－()2＝x－y.
10．解：(1)原式＝(0.064－0.5)－－1＝－－1＝0.
(2)由x－＝1，且x>0，可得x2＝x＋1，
則－x－＝－x－＝(x＋x)－x－＝x－＝＝1.
11．選B　2＝2＝＝，3＝3＝＝，6＝.因為<<，所以6<2<3.
12．選D　因為×＝3×3＝3＋＝3，所以＋＝1.因為a，b為正數，所以3a＋2b＝(3a＋2b)·＝12＋＋≥12＋2＝24，當且僅當＝時，即a＝4，b＝6時，等號成立．所以3a＋2b的最小值為24.
13．解析：因為所以①×②得a3m＝26.所以am＝22.將am＝22代入②得22·a－n＝28，所以an＝2－6.所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4.
答案：4
14．解：∵ax＝70ω，且x，ω為非零實數，∴a＝70.
同理可得b＝70，c＝70.
∴a·b·c＝70·70·70，
即(abc)＝70＋＋.
又＋＋＝，a，b，c為正整數，
∴abc＝70＝2×5×7.
∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.
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