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3.2.2 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
(教學(xué)方式：拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))
[課時目標(biāo)]
1.進一步熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì).　　　　
2.能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較數(shù)的大小、解不等式.
3.會判斷指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、最值問題.
題型(一)　比較指數(shù)式大小
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　比較下列各題中兩個值的大小：
(1),;(2)1.70.3,0.93.1;
(3),;(4)0.20.3,0.30.2.
聽課記錄：
|思|維|建|模|
比較指數(shù)式大小的3種類型及處理方法
[針對訓(xùn)練]
1．已知a>b，比較a，b的大小．
2．比較(0.8)－2與－的大小．
題型(二)　簡單指數(shù)不等式的解法
　　　　　　
[例2]　(1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x的取值范圍．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，若底數(shù)不確定，就需要進行分類討論，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)[針對訓(xùn)練]
3．求滿足下列條件的x的取值范圍：
(1)3x－1>9x；
(2)0.2x<25；
(3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)．
題型(三)　指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問題
[例3]　判斷f(x)＝x2－2x的單調(diào)性，并求其值域．
聽課記錄：
[變式拓展]
1．把本例的函數(shù)改為“f(x)＝3”，求其單調(diào)區(qū)間．
2．若本例變?yōu)楹瘮?shù)f(x)＝在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍．
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(1)對于求形如f(x)＝ma2x＋max＋q(m≠0，a＞0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性，往往通過換元設(shè)t＝ax，然后結(jié)合二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進行判斷．
(2)對于求形如f(x)＝aφ(x)(a＞0，且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性，往往通過換元設(shè)t＝φ(x)，然后結(jié)合函數(shù)t＝φ(x)與指數(shù)函數(shù)y＝at(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性，進行判斷．
[針對訓(xùn)練]
4．(多選)對函數(shù)f(x)＝判斷正確的是(　 )
A．增區(qū)間為(0，＋∞) B．增區(qū)間為(－∞，0)
C．值域為 D．值域為
5．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　 )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
題型(四)　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合
[例4]　已知函數(shù)f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的奇偶性；
(3)證明：f(x)>0.
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解決指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點
(1)注意代數(shù)式的變形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧．
(2)解答函數(shù)問題注意應(yīng)在函數(shù)定義域內(nèi)進行．
(3)由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關(guān)，因此要注意是否需要討論．　　
[針對訓(xùn)練]
6．設(shè)a>0，函數(shù)f(x)＝＋是定義域為R的偶函數(shù)．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)求f(x)在[1,3]上的值域．
指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
[題型(一)]
[例1]　 解:(1)因為0<<1,所以函數(shù)y=在其定義域R上單調(diào)遞減.又-1.8>-2.5,所以<.
(2)因為1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1.
(3)因為y=在R上是減函數(shù),y=在R上為增函數(shù),且-<0,所以>1,<1,所以>.
(4)因為0<0.2<0.3<1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.2x與y=0.3x在定義域R上均是減函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上函數(shù)y=0.2x的圖象在函數(shù)y=0.3x的圖象的下方,所以0.20.2<0.30.2.
又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.2x在R上是減函數(shù),可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
[針對訓(xùn)練]
1．解:∵0<<1,∴y=在R上單調(diào)遞減.
又>,∴a2．解:先考察函數(shù)y=0.8x.
∵0<0.8<1,∴函數(shù)y=0.8x在(-∞,+∞)上是減函數(shù).又-2<0,∴0.8-2>0.80=1.
再考察函數(shù)y=.
∵>1,∴函數(shù)y=在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
又-<0,∴<=1.
綜上可知,0.8-2>.
[題型(二)]
[例2]　 (1)∵2=,∴原不等式可以轉(zhuǎn)化為≤.∵y=在R上是減函數(shù),
∴3x-1≥-1.∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)①當(dāng)0∴x2-3x+1>x+6.∴x2-4x-5>0.
解得x<-1或x>5;
②當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=ax在R上是增函數(shù),
∴x2-3x+1∴x2-4x-5<0.解得-1綜上所述,當(dāng)0x的取值范圍是{x|x<-1或x>5};
當(dāng)a>1時,x的取值范圍是{x|-1[針對訓(xùn)練]
3．解:(1)∵3x-1>9x,∴3x-1>32x.
又y=3x在定義域R上是增函數(shù),
∴x-1>2x,∴x<-1.
即x的取值范圍是(-∞,-1).
(2)∵0<0.2<1,∴指數(shù)函數(shù)f(x)=0.2x在R上是減函數(shù).
又25=0.2-2,∴0.2x<25.即0.2x<0.2-2,
∴x>-2.即x的取值范圍是(-2,+∞).
(3)當(dāng)a>1時,∵a-5x>ax+7,∴-5x>x+7,解得x<-;當(dāng)0ax+7,∴-5x-.
綜上所述,當(dāng)a>1時,x的取值范圍是;當(dāng)0[題型(三)]
[例3]　 解:令u=x2-2x,則原函數(shù)變?yōu)閥=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又y=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,∴y=在(-∞,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞).
∴0<≤=3.∴原函數(shù)的值域為(0,3].
[變式拓展]
1．解：設(shè)t＝－x2－x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝3t.
當(dāng)x∈時，t＝－x2－x單調(diào)遞增，y＝3t單調(diào)遞增，因此f(x)＝3在上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈時，t＝－x2－x單調(diào)遞減，y＝3t單調(diào)遞增，因此f(x)＝3在上單調(diào)遞減．
因此函數(shù)f(x)＝3的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
2．解：由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得，y＝2x2＋mx－3在(－1,1)上嚴格單調(diào)遞增，即－≤－1，解得m≥4.所以m的取值范圍是[4，＋∞)．
[針對訓(xùn)練]
4．選BD　根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，y＝x在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝x2＋1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)；y＝x2＋1的值域為[1，＋∞)，而y＝x在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)＝的值域為.故選B、D.
5．選D　由題意得y＝x(x－a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，所以x＝≥1，解得a≥2.故選D.
[題型(四)]
[例4]　 解:(1)由題意得2x-1≠0,即x≠0,
∴f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由(1)知,f(x)的定義域關(guān)于原點對稱.
令g(x)=+=,φ(x)=x3,
則f(x)=g(x)·φ(x).
∵g(-x)===-g(x),
φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x),
∴f(-x)=g(-x)·φ(-x)
=[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x).
∴f(x)=·x3為偶函數(shù).
(3)證明:當(dāng)x>0時,2x>1,∴2x-1>0,
∴+>0.
∵x3>0,∴f(x)>0.
由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,知當(dāng)x<0時,f(x)>0也成立.
故對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.
[針對訓(xùn)練]
6．解:(1)由f(x)=f(-x),得+=+.
即4x+=0,
所以=0.
根據(jù)題意,可得-a=0,
又a>0,所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+,
設(shè)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=+-=().
因為0又x1+x2>0,所以>1.所以1->0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值為
f(3)=43+=;
最小值為f(1)=4+=.
故f(x)在[1,3]上的值域為.
1 / 4(共63張PPT)
指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用　
(教學(xué)方式:拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))
3.2.2
課時目標(biāo)
1.進一步熟練掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì).　　　　
2.能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較數(shù)的大小、解不等式.
3.會判斷指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、最值問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　比較指數(shù)式大小
題型(二)　簡單指數(shù)不等式的解法
題型(三)　指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問題
4
題型(四)　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合
5
課時跟蹤檢測
題型(一)　比較指數(shù)式大小
01
[例1]　比較下列各題中兩個值的大小:
(1),;
解:因為0<<1,所以函數(shù)y=在其定義域R上單調(diào)遞減.又-1.8>-2.5,所以<.
(2)1.70.3,0.93.1;
解:因為1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1.
(3),;
解:因為y=在R上是減函數(shù),y=在R上為增函數(shù),且-<0,所以>1,<1,所以>.
(4)0.20.3,0.30.2.
解:因為0<0.2<0.3<1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.2x與y=0.3x在定義域R上均是減函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上函數(shù)y=0.2x的圖象在函數(shù)y=0.3x的圖象的下方,所以0.20.2<0.30.2.
又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.2x在R上是減函數(shù),可得0.20.3<0.20.2,所以0.20.3<0.30.2.
|思|維|建|模|
比較指數(shù)式大小的3種類型及處理方法
1.已知>,比較a,b的大小.
解:∵0<<1,∴y=在R上單調(diào)遞減.
又>,∴a針對訓(xùn)練
2.比較(0.8)-2與的大小.
解:先考察函數(shù)y=0.8x.
∵0<0.8<1,∴函數(shù)y=0.8x在(-∞,+∞)上是減函數(shù).又-2<0,∴0.8-2>0.80=1.
再考察函數(shù)y=.
∵>1,∴函數(shù)y=在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
又-<0,∴<=1.
綜上可知,0.8-2>.
題型(二)　簡單指數(shù)不等式的解法
02
[例2]　(1)解不等式≤2;
解:∵2=,∴原不等式可以轉(zhuǎn)化為≤.∵y=在R上是減函數(shù),
∴3x-1≥-1.∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)已知<(a>0,且a≠1),求x的取值范圍.
解:①當(dāng)0∴x2-3x+1>x+6.∴x2-4x-5>0.
解得x<-1或x>5;
②當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=ax在R上是增函數(shù),
∴x2-3x+1∴x2-4x-5<0.解得-1綜上所述,當(dāng)0x的取值范圍是{x|x<-1或x>5};
當(dāng)a>1時,x的取值范圍是{x|-1|思|維|建|模|
(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式,需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式.
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性,要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣,若底數(shù)不確定,就需要進行分類討論,即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)針對訓(xùn)練
3.求滿足下列條件的x的取值范圍:
(1)3x-1>9x;
解:∵3x-1>9x,∴3x-1>32x.
又y=3x在定義域R上是增函數(shù),
∴x-1>2x,∴x<-1.
即x的取值范圍是(-∞,-1).
(2)0.2x<25;
解:∵0<0.2<1,∴指數(shù)函數(shù)f(x)=0.2x在R上是減函數(shù).
又25=0.2-2,∴0.2x<25.即0.2x<0.2-2,
∴x>-2.即x的取值范圍是(-2,+∞).
(3)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1).
解:當(dāng)a>1時,∵a-5x>ax+7,∴-5x>x+7,解得x<-;當(dāng)0ax+7,∴-5x-.
綜上所述,當(dāng)a>1時,x的取值范圍是;當(dāng)0題型(三)　指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問題
03
[例3]　判斷f(x)=的單調(diào)性,并求其值域.
解:令u=x2-2x,則原函數(shù)變?yōu)閥=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又y=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,
∴y=在(-∞,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞).
∴0<≤=3.∴原函數(shù)的值域為(0,3].
變式拓展
1.把本例的函數(shù)改為“f(x)=”,求其單調(diào)區(qū)間.
解:設(shè)t=-x2-x,則原函數(shù)變?yōu)閥=3t.
當(dāng)x∈時,t=-x2-x單調(diào)遞增,y=3t單調(diào)遞增,
因此f(x)=在上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時,t=-x2-x單調(diào)遞減,y=3t單調(diào)遞增,因此f(x)=在上單調(diào)遞減.
因此函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
2.若本例變?yōu)楹瘮?shù)f(x)=在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,求實數(shù)m的取值范圍.
解:由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得,y=2x2+mx-3在(-1,1)上嚴格單調(diào)遞增,即-≤-1,
解得m≥4.
所以m的取值范圍是[4,+∞).
|思|維|建|模|
(1)對于求形如f(x)=ma2x+max+q(m≠0,a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性,往往通過換元設(shè)t=ax,然后結(jié)合二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,進行判斷.
(2)對于求形如f(x)=aφ(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性,往往通過換元設(shè)t=φ(x),然后結(jié)合函數(shù)t=φ(x)與指數(shù)函數(shù)y=at(a>0,且a≠1)的單調(diào)性,進行判斷.
針對訓(xùn)練
4.(多選)對函數(shù)f(x)=判斷正確的是(　 )
A.增區(qū)間為(0,+∞) B.增區(qū)間為(-∞,0)
C.值域為 D.值域為
√
√
解析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì),y=在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,而y=x2+1在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0);
y=x2+1的值域為[1,+∞),而y=在[1,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)=的值域為.故選B、D.
5.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
解析:由題意得y=x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,所以x=≥1,解得a≥2.故選D.
√
題型(四)　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合
04
[例4]　已知函數(shù)f(x)=·x3.
(1)求f(x)的定義域;
解:由題意得2x-1≠0,即x≠0,
∴f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)討論f(x)的奇偶性;
解:由(1)知,f(x)的定義域關(guān)于原點對稱.
令g(x)=+=,φ(x)=x3,
則f(x)=g(x)·φ(x).
∵g(-x)===-g(x),
φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x),
∴f(-x)=g(-x)·φ(-x)
=[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x).
∴f(x)=·x3為偶函數(shù).
(3)證明:f(x)>0.
解:證明:當(dāng)x>0時,2x>1,∴2x-1>0,
∴+>0.
∵x3>0,∴f(x)>0.
由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,知當(dāng)x<0時,f(x)>0也成立.
故對于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.
|思|維|建|模|
解決指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的注意點
(1)注意代數(shù)式的變形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧.
(2)解答函數(shù)問題注意應(yīng)在函數(shù)定義域內(nèi)進行.
(3)由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關(guān),因此要注意是否需要討論.
6.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=+是定義域為R的偶函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
解:由f(x)=f(-x),得+=+.
即4x+=0,所以=0.
根據(jù)題意,可得-a=0,又a>0,所以a=1.
針對訓(xùn)練
(2)求f(x)在[1,3]上的值域.
解:由(1)可知f(x)=4x+,
設(shè)任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=+-=().
因為0又x1+x2>0,所以>1.所以1->0.
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值為f(3)=43+=;
最小值為f(1)=4+=.
故f(x)在[1,3]上的值域為.
課時跟蹤檢測
05
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
A級——達標(biāo)評價
1.設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是(　 )
A.aC.b解析:因為函數(shù)y=0.6x在R上單調(diào)遞減,所以b=0.61.5又c=1.50.6>1,所以b16
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2.設(shè)<<1,則(　 )
A.aC.a>b>0 D.a解析:因為<<,所以a>b>0.
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3.函數(shù)y=的值域為(　 )
A. B. C.(-∞,2] D.(0,2)
解析:因為-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,且y=在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則≥,故選A.
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4.已知函數(shù)f(x)=2x-,則函數(shù)f(x)(　 )
A.是奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增
B.是奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞減
C.是偶函數(shù),且在R上單調(diào)遞增
D.是偶函數(shù),且在R上單調(diào)遞減
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解析:由題意,函數(shù)f(x)=2x-2-x的定義域為R,關(guān)于原點對稱.因為f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).又由f(x)=2x-2-x=2x-=
2x+,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得函數(shù)y=2x和y=-都是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=2x-2-x是增函數(shù).故選A.
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5.不等式>3-2x的解集是(　 )
A.{x|-2C.{x|x<4} D.{x|x>-2}
解析:由>3-2x,得>3-2x,∴8-x2>-2x.即x2-2x-8<0,解得-23-2x的解集是{x|-216
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6.函數(shù)y=的定義域是　　　　.
解析:由題意得-8≥0,即≥8=23,∴x-1≥3.解得x≥4.
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[4,+∞)
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7.已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=　 .
解析:設(shè)g(x)=a·2x-2-x.因為f(x)為偶函數(shù),所以g(x)是奇函數(shù),所以g(0)=0,解得a=1.
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8.已知函數(shù)f(x)=,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.
解析:法一:由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y=在定義域上為減函數(shù),故要求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,只需求y=|x-1|的單調(diào)遞減區(qū)間.又y=|x-1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1],所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1].
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(-∞,1]
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法二:f(x)==可畫出f(x)的圖象(圖略),得其單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1].
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9.(11分)設(shè)函數(shù)f(x)=,a是不為零的常數(shù).
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范圍;
解:由f(3)=得a=3.則不等式f(x)≥4可化為23x-10≥22,解得x≥4.故x的取值范圍是[4,+∞).
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(2)當(dāng)x∈[-1,2]時,f(x)的最大值是16,求a的值.
解:當(dāng)a>0時,f(x)=2ax-10是增函數(shù),
則22a-10=16,所以a=7.
當(dāng)a<0時,f(x)=2ax-10是減函數(shù),
則2-a-10=16,所以a=-14.
綜上,a=-14或a=7.
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10.(12分)已知函數(shù)f(x)=4x-2·-6中x∈[0,3].
(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;
解:由已知,得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).
令t=2x,因為0≤x≤3,所以1≤t≤8.
令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8).
當(dāng)t∈[1,2]時,h(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(2,8]時,h(t)單調(diào)遞增.
所以f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26.
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(2)若實數(shù)a滿足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范圍.
解:因為f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,
所以a≤f(x)min恒成立.
由(1)知f(x)min=-10,所以a≤-10.
故a的取值范圍為(-∞,-10].
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B級——重點培優(yōu)
11.已知x,y∈R,且2-x+3-y>2y+3x,則下列各式正確的是(　 )
A.x-y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x+y>0
解析:將不等式變形為2-x-3x>2y-3-y,令F(x)=2-x-3x,則F(x)為減函數(shù).又F(x)>F(-y),∴x<-y.∴x+y<0.故選B.
√
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12.(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=.記a=f,b=f,c=f,則(　 )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
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解析:函數(shù)f(x)=是由函數(shù)y=eu和u=-(x-1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),
y=eu為R上的增函數(shù),u=-(x-1)2在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.易知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以c=f=f,又<2-<<1,所以fc>a,故選A.
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13.若函數(shù)f(x)=在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增,則關(guān)于x的不等式ax-1>1的解集為　　　　.
解析:y=2x2-3x+1的對稱軸是x=,開口向上,故函數(shù)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增,而f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增.根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,得a>1,則ax-1>1=a0,故x-1>0,解得x>1.
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{x|x>1}
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14.寫出一個同時具有以下三個性質(zhì)的函數(shù)f(x)=　　 　　.
①函數(shù)g(x)=f(x)-1為指數(shù)函數(shù);
②f(x)是增函數(shù);
③f(1)>3.
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3x+1(答案不唯一)
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解析:因為函數(shù)g(x)為指數(shù)函數(shù),
所以令g(x)=ax(a>0,且a≠1).于是f(x)=g(x)+1=ax+1.
由于f(x)是增函數(shù),則a>1,又f(1)=a+1>3,解得a>2.取a=3,則f(x)=3x+1.
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15.(13分)已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(1)及函數(shù)f(x)的值域;
解:由已知,得f(1)==.令y=,
則y·3x+y=3x,3x=>0,
∴016
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(2)指出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性(只需寫出結(jié)論,不需要證明);
解:f(x)在R上單調(diào)遞增.
(3)應(yīng)用(2)的結(jié)論,解關(guān)于x的不等式f[ax2+(2a-1)x-1]≥.
解:由(1)可知f(1)=,
∵f[ax2+(2a-1)x-1]≥,
∴f[ax2+(2a-1)x-1]≥f(1).
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由(2)知f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),∴ax2+(2a-1)x-1≥1,即ax2+(2a-1)x-2≥0.
當(dāng)a=0時,-x-2≥0,解得{x|x≤-2};當(dāng)a>0時,(ax-1)(x+2)≥0,解得;當(dāng)a<-時,不等式的解集為;當(dāng)a=-時,不等式的解集為{x|x=-2};當(dāng)-0時,;當(dāng)a<-時,;當(dāng)a=-時,{x|x=-2};當(dāng)-16課時跟蹤檢測(二十九)　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標(biāo)評價
1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)C．b2．設(shè)aA．a(chǎn)C．a(chǎn)>b>0 D．a(chǎn)3．函數(shù)y＝－x2＋2x的值域為(　　)
A. B.
C．(－∞，2] D．(0,2)
4．已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，則函數(shù)f(x)(　　)
A．是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增
B．是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增
D．是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減
5．不等式x2－8>3－2x的解集是(　　)
A．{x|－2C．{x|x<4} D．{x|x>－2}
6．函數(shù)y＝的定義域是________．
7．已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.
8．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
9．(11分)設(shè)函數(shù)f(x)＝10－ax，a是不為零的常數(shù)．
(1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)的最大值是16，求a的值．
10．(12分)已知函數(shù)f(x)＝4x－2·2x＋1－6中x∈[0,3]．
(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；
(2)若實數(shù)a滿足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范圍．
B級——重點培優(yōu)
11．已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，則下列各式正確的是(　　)
A．x－y>0 B．x＋y<0
C．x－y<0 D．x＋y>0
12．(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2.記a＝f，b＝f，c＝f，則(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
13．若函數(shù)f(x)＝a2x2－3x＋1在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式ax－1＞1的解集為________．
14．寫出一個同時具有以下三個性質(zhì)的函數(shù)f(x)＝________.
①函數(shù)g(x)＝f(x)－1為指數(shù)函數(shù)；
②f(x)是增函數(shù)；
③f(1)>3.
15．(13分)已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求f(1)及函數(shù)f(x)的值域；
(2)指出函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性(只需寫出結(jié)論，不需要證明)；
(3)應(yīng)用(2)的結(jié)論，解關(guān)于x的不等式f[ax2＋(2a－1)x－1]≥.
課時跟蹤檢測(二十九)
1．選C　因為函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減，所以b＝0.61.51，所以b2．選C　因為ab>0.
3．選A　因為－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝－x2＋2x在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則－x2＋2x≥，故選A.
4．選A　由題意，函數(shù)f(x)＝2x－2－x的定義域為R，關(guān)于原點對稱．因為f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．又由f(x)＝2x－2－x＝2x－x＝2x＋，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)y＝2x和y＝－x都是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝2x－2－x是增函數(shù)．故選A.
5．選A　由x2－8>3－2x，得38－x2>3－2x，∴8－x2>－2x.即x2－2x－8<0，解得－23－2x的解集是{x|－26．解析：由題意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，∴x－1≥3.解得x≥4.
答案：[4，＋∞)
7．解析：設(shè)g(x)＝a·2x－2－x.因為f(x)為偶函數(shù)，所以g(x)是奇函數(shù)，所以g(0)＝0，解得a＝1.
答案：1
8．解析：法一：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y＝x在定義域上為減函數(shù)，故要求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求y＝|x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間．又y＝|x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1]．
法二：f(x)＝|x－1|＝可畫出f(x)的圖象(圖略)，得其單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．解：(1)由f(3)＝得a＝3.則不等式f(x)≥4可化為23x－10≥22，解得x≥4.故x的取值范圍是[4，＋∞)．
(2)當(dāng)a＞0時，f(x)＝2ax－10是增函數(shù)，
則22a－10＝16，所以a＝7.
當(dāng)a＜0時，f(x)＝2ax－10是減函數(shù)，
則2－a－10＝16，所以a＝－14.
綜上，a＝－14或a＝7.
10．解：(1)由已知，得f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．
令t＝2x，因為0≤x≤3，所以1≤t≤8.
令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．
當(dāng)t∈[1,2]時，h(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(2,8]時，h(t)單調(diào)遞增．
所以f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.
(2)因為f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，所以a≤f(x)min恒成立．
由(1)知f(x)min＝－10，所以a≤－10.
故a的取值范圍為(－∞，－10]．
11．選B　將不等式變形為2－x－3x>2y－3－y，令F(x)＝2－x－3x，則F(x)為減函數(shù)．又F(x)>F(－y)，∴x<－y.
∴x＋y<0.故選B.
12．選A　函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2是由函數(shù)y＝eu和u＝－(x－1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．易知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以c＝f＝f，又<2－<<1，所以fc>a，故選A.
13．解析：y＝2x2－3x＋1的對稱軸是x＝，開口向上，故函數(shù)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增，而f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增．根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，得a＞1，則ax－1＞1＝a0，故x－1＞0，解得x＞1.
答案：{x|x＞1}
14．解析：因為函數(shù)g(x)為指數(shù)函數(shù)，
所以令g(x)＝ax(a>0，且a≠1)．
于是f(x)＝g(x)＋1＝ax＋1.
由于f(x)是增函數(shù)，則a>1，又f(1)＝a＋1>3，解得a>2.取a＝3，則f(x)＝3x＋1.
答案：3x＋1(答案不唯一)
15．解：(1)由已知，得f(1)＝＝.
令y＝，
則y·3x＋y＝3x,3x＝>0，
∴0(2)f(x)在R上單調(diào)遞增．
(3)由(1)可知f(1)＝，
∵f[ax2＋(2a－1)x－1]≥，
∴f[ax2＋(2a－1)x－1]≥f(1)．
由(2)知f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴ax2＋(2a－1)x－1≥1，即ax2＋(2a－1)x－2≥0.
當(dāng)a＝0時，－x－2≥0，解得{x|x≤－2}；當(dāng)a>0時，(ax－1)(x＋2)≥0，解得；當(dāng)a<－時，不等式的解集為；當(dāng)a＝－時，不等式的解集為{x|x＝－2}；當(dāng)－1 / 2

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