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2024-2025學年上海市楊浦區控江中學高一(下)期末數學試卷(含答案)

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  1. 二一教育資源

2024-2025學年上海市楊浦區控江中學高一(下)期末數學試卷(含答案)

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2024-2025學年上海市楊浦區控江中學高一(下)期末數學試卷
一、單選題:本題共4小題,共18分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.如圖,在長方體中,、分別為矩形、矩形對角線的交點,則平面與平面的交線為( )
A. 直線
B. 直線
C. 直線
D. 直線
2.把函數的圖像向右平移個單位得到曲線,再把曲線上的所有點縱坐標不變,橫坐標變為原來的倍得到曲線,則曲線相應的函數解析式可以是( )
A. B. C. D.
3.已知常數,有窮數列共有項,其通項公式為,對于任意滿足的正整數,記為,,,中正數的個數,則下列情形不可能成立的是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
4.已知為原點,坐標平面上兩兩不同的個點,,,滿足,,,中的任意點不共線,,,對于命題:存在,,,,使得個向量中的任意個都不平行;在這個數中,一定存在相等的個數,下列判斷正確的是( )
A. 和均為真命題 B. 和均為假命題
C. 為真命題,為假命題 D. 為假命題,為真命題
二、填空題:本題共12小題,共54分。
5.若,則______.
6.函數的最小正周期是______.
7.在等比數列中,,,則______.
8.若復數為虛數單位,則______.
9.已知等差數列的公差為,前項和為,則 ______.
10.已知坐標平面上的三點,,,則在方向上的數量投影為______.
11.我國古代數學名著算法統宗中有如下記載:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,”,意思是:有一個人要走里路,第天健步行走,從第天起因為腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了天后到達目的地由此可得,該人第天走了______里路.
12.設復數滿足,則為虛數單位的最大值為______.
13.函數的嚴格減區間為______.
14.已知常數,函數為偶函數,則______.
15.已知數列滿足,且對任意正整數,恒有,則所有可能值的個數為______.
16.在同一平面上,已知兩圓,的圓心均為,半徑分別為,,常數若在圓上存在定點以及在圓上存在定點,使得對該平面上的任意一個單位向量,恒有,則的最小值為______.
三、解答題:本題共5小題,共78分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17.本小題分
已知常數,,關于的方程在復數集中有兩個虛根.
若,求的取值范圍;
若其中一個虛根為為虛數單位,求,的值.
18.本小題分
在中,,.
若,求的長;
若,求的面積.
19.本小題分
某果園有兩種水果種植方案方案一:第年種植蘋果,預計收獲量為噸,以后每年的收獲量比上一年增加噸;方案二:第年種植梨,預計收獲量為噸,以后每年的收獲量在上一年的基礎上增加果農小張在第年初分別采用兩種方案開始種植蘋果和梨,設第為正整數年蘋果的收獲量為,梨的收獲量為單位:噸,可知,.
求數列,的通項公式;
求數列最大項的值精確到以及相應項的序數,并說明其實際意義.
20.本小題分
在平面直角坐標系中,,,,以為直徑在軸上方作半圓,為的上的動點,為軸上的動點.
求的單位向量的坐標;
若的坐標為設與的夾角為,,用表示,并求的最大值;
若四邊形為平行四邊形,為線段上靠近的三等分點,求的最大值.
21.本小題分
對于函數,若數列使得數列是公比為的等比數列,則稱數列是函數的“關聯數列”,且“關聯常數”為.
設無窮數列的通項公式為,判斷數列是否為函數的“關聯數列”,并說明理由;
已知,有窮數列共有項,滿足,,,若數列是函數的“關聯數列”,且“關聯常數”為,求,的值;
設定義域為的函數同時滿足:函數是以為周期的周期函數;對任意,恒有問:是否存在公差大于的無窮等差數列,使得數列是函數的“關聯數列”,且“關聯常數”為?若存在,求的公差;若不存在,說明理由.
參考答案
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10.
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13.
14.
15.
16.
17.若,則方程化為,
因為方程在復數集中有兩個虛根,
則,
解得,
所以的取值范圍為;
若其中一個虛根為為虛數單位,則另一個虛根為,
由韋達定理可得,,
解得.
18.由余弦定理,
故;

由,則,
若鈍角,則:,
但是三角形內角,必為正數,此結果矛盾,故不成立,
則,故,
根據正弦定理,則,即,
..
19.因為為以為首項,以為公差的等差數列,
所以,
因為為以為首項,以為公比的等比數列,
所以;


,即時,;
當,即,即時,;
所以當時,取得最大值,所以數列最大項的值為,
相應項的序數是,實際意義是第年蘋果的收獲量比梨的收獲量多的最大.
20.因為,,所以,
所以的單位向量的坐標或者;
設與的夾角為,設,
又因為,所以,
所以,,所以,
所以,
所以當時,的最大值為;
設,因為,,則
中點為,為線段上靠近的三等分點,則,
,,
,,

當且僅當,時,取得最大值.
21.不是,理由如下:由,函數,令,
則,,,
故,所以不是函數的“關聯數列”.
根據題意,,
即,
整理得,
整理得,
所以,解得或或,
,,,,所以.
函數是以為周期的周期函數,,

即,又數列是公差大于的無窮等差數列,
且數列是函數的“關聯數列”,“關聯常數”為,
所以可設數列首項為,公差為,
則,,,,且是關于的一次函數,單調遞增,
又,
即是線性增長,而是指數增長,矛盾,所以不存在.
第1頁,共1頁

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