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2024-2025學年廣東省茂名市高一（下）期末考試
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數與復數互為共軛復數其中為虛數單位，則( )
A. B. C. D.
2.下列函數中，最小正周期為的奇函數是( )
A. B. C. D.
3.已知，是同一平面內兩個不共線的向量，則的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知復數是純虛數，則為( )
A. B. C. D.
5.將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，則( )
A. B.
C. D.
6.已知圓錐的底面半徑為，且圓錐的底面積是側面積的一半，則圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
7.已知，則( )
A. B. C. D.
8.任意復數可以寫成，其中是復數的模，是復數的輻角以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角，我們稱為復數的三角形式利用復數的三角形式可進行復數的乘方等運算，即，已知復數，則，，，中不同的數的個數為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若，，則( )
A. B.
C. 與的夾角為 D. 在方向上的投影向量為
10.已知函數的部分圖象如圖所示，則( )
A.
B. 若函數在上單調遞增，則
C. 的圖象關于點中心對稱
D. 若，則
11.正方體的棱長為，為底面內一動點，則下列說法正確的是( )
A. 當為正方形的中心時，三棱錐外接球的表面積為
B. 當在線段上時，的最小值為
C. 滿足直線與上底面所成角為的點的軌跡長度為
D. 當為中點時，過，，三點作正方體的截面，為截面上一點，則線段長度的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.復數范圍內方程的根為______．
13.已知三棱柱中，，分別為棱，的中點，過，，作三棱柱的截面交于點，且，則 ______．
14.如圖，為的內心，，、、的面積分別為、、，且，若，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點．
證明：平面；
求直線與直線所成角的余弦值．
16.本小題分
已知函數．
當時，求函數的取值范圍；
在中，角、、的對邊分別是、、，若，，且的面積為，求的周長．
17.本小題分
已知是邊長為的等邊三角形，是上靠近的三等分點，點在邊上．
用、表示；
若，求的值；
設與交于點，且，求．
18.本小題分
如圖，在梯形中，，，，把沿翻折，使得二面角的大小為，，分別是和中點．
求證：平面平面；
若，求點到平面的距離；
若二面角的余弦值為，求．
19.本小題分
在中，、、分別為角、、的對邊，．
求；
記的面積為，內一點滿足；
若，求證：；
若，，求的值．
參考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.證明：連接，設與的交點為，連接，
在直三棱柱中，側面為矩形，
故是的中點，
又是的中點，可得，
因為平面，平面，
所以平面；
解：由知，故直線與所成的角等于與所成的角或其補角，
只需在平面圖形中求的余弦值，
直三棱柱底面中，，為中點，
所以，
是的中位線，，
故，
側面為矩形，是中點，
在中，，
故，
則，
在中，由余弦定理：，
故直線與直線所成角的余弦值為．
16.，
當時，，
所以，則．
，則，
又，所以，即，
因為，所以，
由余弦定理得，，
因為，所以，
所以周長為．
17.解：由是上靠近的三等分點，可得，
則；
因為，
故，
所以
；
由，，三點共線，可設，
由是上靠近的三等分點，
可得，
所以，解得，
所以，
又，
所以
．
18.證明：如圖：
圖中，因為，，．
四邊形為正方形，所以．
把沿翻折，如圖：則，，
又，平面，，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
因為，，
所以即為二面角的平面角．
所以．
過點作于．
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又，所以．
所以．
在中，，，
所以．
又，
所以．
設到平面的距離為，
則，
所以，
解得．
即到平面的距離為．
因為，
所以
．
又因為，
所以，
即，
所以，
解得．
19.根據題意可知，，
，
即，
根據正弦定理得，
；
證明：，
，
，
根據余弦定理得，
，
，
三式相加得：，
；
，又，，
，解得，，
，
，
∽，，
設，，，
根據余弦定理得，
即，解得，
．
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