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2024-2025學(xué)年山東省臨沂市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則( )
A. B. C. D.
2.已知，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，則( )
A. B. C. D.
4.直線，平行的一個(gè)充分條件是( )
A. ，都垂直于同一個(gè)平面 B. ，與同一個(gè)平面所成的角相等
C. ，都平行于同一個(gè)平面 D. ，都垂直于同一條直線
5.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于”，“至少有一顆骰子的點(diǎn)數(shù)為”，則( )
A. B. C. D.
6.如圖是一個(gè)在圓柱頂部挖去一個(gè)與該圓柱同底面的圓錐的幾何模型，已知圓柱的底面半徑為，圓錐的高為，若該幾何模型的體積為，則其表面積為( )
A.
B.
C.
D.
7.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A. 函數(shù)是奇函數(shù) B. 在上單調(diào)遞增
C. 的圖象關(guān)于直線對稱 D. 在上的值域?yàn)?br/>8.已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，外接球的球心為，若點(diǎn)是正四棱錐的表面上的一點(diǎn)，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，則該組數(shù)據(jù)( )
A. 極差是 B. 眾數(shù)不等于平均數(shù) C. 分位數(shù)是 D. 方差是
10.已知，為銳角，，則( )
A. B.
C. D.
11.在棱長為的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則( )
A. 過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是梯形
B. 異面直線和所成的角可以為
C. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，二面角的正切值為
D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則______．
13.已知兩個(gè)非零向量與的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即若，，則的最小值為______．
14.在中，，記，，，則______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
猜燈謎是元宵節(jié)特色活動(dòng)之一甲、乙兩人獨(dú)立地參加了今年的元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)，已知甲猜對的概率為，乙猜對的概率為，甲、乙都猜不對的概率為，活動(dòng)中，甲和乙猜對與否互不影響．
求；
求甲、乙恰有一人猜對燈謎的概率．
16.本小題分
已知是銳角三角形，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
求；
若，求面積的取值范圍．
17.本小題分
某校為了解高一學(xué)生在學(xué)業(yè)水平模擬考試中數(shù)學(xué)成績的情況，從全年級(jí)的成績中隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，其中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有人．
求，的值；
學(xué)校準(zhǔn)備按成績從高到低抽取前的學(xué)生進(jìn)行表彰，用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)受表彰學(xué)生的最低分是多少？
若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取人查看他們的答題情況，再從這人中選取人進(jìn)行個(gè)案分析，求這人中恰有人成績在內(nèi)的概率．
18.本小題分
如圖，四棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，直線和直線相交．
求證：；
若．
證明：平面；
求直線與平面所成的角．
19.本小題分
已知函數(shù)．
求的最小正周期；
若為偶函數(shù)，且，對于任意的，至少存在個(gè)整數(shù)，使恒成立，求的取值范圍；
若的最大值為，對于任意的，存在，使等式成立，求的取值范圍．
參考答案
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4.
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8.
9.
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14.
15.設(shè)事件為“甲能猜對燈謎”，事件為“乙能猜對燈謎”，
由題意得，與相互獨(dú)立，且，，
故甲、乙都猜不對的概率：，
故；
甲、乙恰有一人猜對燈謎的事件為，
且，
故甲、乙恰有一人猜對燈謎的概率．
16.根據(jù)題意可知，，
故，即，
故，
且，故；
由正弦定理得，
，
因?yàn)槭卿J角三角形，
故，即，
所以，故，
且，
故面積的取值范圍為．
17.由題意得，
由圖可得：，解得；
設(shè)受表彰的學(xué)生的最低分是，
頻率為，
頻率為，
故，且，
解得，故受表彰的學(xué)生的最低分是；
由分?jǐn)?shù)在和內(nèi)的頻率之比為：，
故從成績在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取人，
則在內(nèi)抽取人，記為，在內(nèi)抽取人，記為，，，，
再從這人中選取人進(jìn)行個(gè)案分析，
抽取的樣本空間為：，共個(gè)樣本點(diǎn)，
這人中恰有人成績在內(nèi)的有：，共個(gè)樣本點(diǎn)，
故這人中恰有人成績在內(nèi)的概率為．
18.證明：因?yàn)橹本€和直線相交，且，
平面，平面，平面平面，
所以，
所以；
證明：由題意可得，，
可得，
可得，則，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又因?yàn)椋?br/>可得平面；
解：由可得為與平面所成的角，
且，而，
可得．
19.
，
故的最小正周期：；
為偶函數(shù)，且，
故，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
若恒成立，即恒成立，
所以，
故，
又因?yàn)橹辽俅嬖趥€(gè)整數(shù)，
故，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)至少有，，，這個(gè)解，
故的取值范圍為；
的最大值為，
故，解得，
所以，
令，
因?yàn)?br/>，
故，
又，
故，
所以，
即．
又任意的，存在，使等式成立，
所以，
故，
即，
當(dāng)時(shí)，，
故，
解得，
故的取值范圍為．
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