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2024-2025學(xué)年遼寧省錦州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( )
A. B. C. D.
2.下列四個(gè)命題正確的是( )
A. ，， B. ，，
C. ， D. ，，
3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，則向量在上的投影的數(shù)量為( )
A. B. C. D.
5.如圖，攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱為攢尖，通常有圓形攢尖、三角形攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分多見于亭閣式建筑，某個(gè)園林建筑為六角攢尖，它的頂部的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，若此正六棱錐高為且側(cè)棱長為，則棱錐側(cè)面積為( )
A.
B.
C.
D.
6.中，，是邊上一點(diǎn)，，，，則的長為( )
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說法正確的有( )
A.
B. 函數(shù)在上為減函數(shù)
C. 直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心
8.在正三棱柱中，，外接球表面積為，為的中點(diǎn)，為側(cè)面內(nèi)含邊界一點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則( )
A. 的共軛復(fù)數(shù)為
B.
C.
D. 若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為
10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則( )
A. 的最小正周期為
B. 時(shí)，的最大值是
C. 的圖象向右平移個(gè)單位后為奇函數(shù)
D. 與有相同的零點(diǎn)
11.如圖，線段為圓的直徑，點(diǎn)，在圓上，，矩形所在平面和圓所在平面垂直，且，，則下述正確的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 點(diǎn)到平面的距離為
D. 三棱錐外接球的體積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.化簡： ．
13.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于______．
14.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知向量．
若，求的坐標(biāo)；
若，求與的夾角．
16.本小題分
如圖，直三棱柱中，，若，分別是，的中點(diǎn)．
求證：平面；
求證：平面平面；
設(shè)是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．
17.本小題分
已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，向量，，．
求；
若，求的面積．
18.本小題分
如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．
證明：；
若是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．
19.本小題分
已知中，角，，所對的邊分別為，，，其中．
若，求的值；
當(dāng)取最大值時(shí)，記，求；
在的條件下設(shè)，若時(shí)，對于任意的均有恒成立，求的取值范圍．
參考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由題意，設(shè)，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以或．
因?yàn)椋?br/>所以，所以，
即，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以，所以與的夾角．
16.證明：法一：取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋謩e為，和中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)椋瑥亩?br/>平面，平面，
所以平面，
同理可證得平面，
而平面，平面，
且，
所以平面平面，
而平面，
所以平；
法二：連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，可得為中點(diǎn)，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面；
證明：在直棱柱中，平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>設(shè)，因?yàn)椋?br/>可得，，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面；
解：連接，，
因?yàn)槠矫妫灾本€為直線在平面內(nèi)的射影，
可得是與平面所成的角，
在中，，
，
故．
17.解：根據(jù)，，可得，
結(jié)合題意，化簡得，
根據(jù)正弦定理得，
因?yàn)橹校?br/>所以，整理得．
結(jié)合中，，化簡得，即，
在中，，所以，；
由，可得，化簡得，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，整理得，解得舍負(fù)．
所以．
18.解：證明：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
方法一：
取的中點(diǎn)，因?yàn)闉檎切危裕?br/>過作與交于點(diǎn)，則，
所以，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，
設(shè)，則，
因?yàn)槠矫妫势矫娴囊粋€(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
又，
所以由，得，
令，則，，故，
因?yàn)槎娼堑拇笮椋?br/>所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
過作，交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連結(jié)，
由題意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
則為二面角的平面角，即，
又，
所以，則，
故，
所以，
因?yàn)椋?br/>則，
所以，則，
所以，則，
所以．
19.因?yàn)椋?br/>所以，即，
在中，由正弦定理得，，
則，
所以，即，
由正弦定理得
又，由余弦定理得，；
由得為銳角，則當(dāng)最大時(shí)最小，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最小值，此時(shí)，
所以；
，則，恒成立，
因?yàn)椋裕愠闪ⅲ?br/>設(shè)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，
則，
又，設(shè)，則，解得，
所以，因?yàn)椋裕吹娜≈捣秶牵?br/>第1頁，共1頁

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