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2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市東北師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)( )
A. B. C. D.
2.下列敘述正確的是( )
A. 以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱
B. 以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐
C. 以直角梯形的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓臺(tái)
D. 半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球
3.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則( )
A. B. C. D.
4.已知，，是不同的直線，，是不同的平面，則下面命題正確的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，， D. ，，
5.從裝有個(gè)紅球和個(gè)黃球的口袋內(nèi)任取個(gè)球，那么“至少有個(gè)紅球”的對(duì)立事件是( )
A. 至少有個(gè)紅球 B. 至少有個(gè)黃球 C. 都是黃球 D. 至多個(gè)紅球
6.在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
7.已知一組數(shù)據(jù)：，，，，，，，則下列敘述正確的是( )
A. 極差是 B. 平均數(shù)是 C. 方差是 D. 下四分位數(shù)為
8.如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，折起，使，，三點(diǎn)重合成點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的為( )
A.
B. 二面角的正切值為
C. 點(diǎn)在平面上的射影是的垂心
D. 三棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)，則( )
A. B. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
C. 的虛部為 D. 和都是方程的解
10.在空間中，下面敘述正確的是( )
A. 若兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
B. 若兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
C. 若兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)
D. 若兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)
11.如圖，已知正三棱臺(tái)是由一個(gè)平面截棱長(zhǎng)為的正四面體所得，其中，以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為曲線，為上一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A. 點(diǎn)到平面的距離為 B. 曲線的長(zhǎng)度為
C. 的最小值為 D. 所有線段所形成的曲面的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分。
12.某市有大型超市家、中型超市家、小型超市家．為掌握各類(lèi)超市的營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，應(yīng)抽取中型超市______家．
13.從，，，四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)相差為的概率是 ．
14.一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體容器容器壁厚度忽略不計(jì)內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共58分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在三棱錐中，底面，，，，．
求的大小；
求三棱錐的體積．
16.本小題分
某所學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)第二次模擬考試情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，滿分分，將所有數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖頻率分布直方圖：
求的值；
求這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)；
根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這所學(xué)校高三學(xué)生第二次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．
17.本小題分
特別提醒：本題不能用空間向量解答，否則不給分
如圖，在矩形中，，，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面上的射影恰好落在上．
求證：平面；
求直線與平面所成的角．
18.本小題分
如圖，在正三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，且．
若平面，求值；
若平面與平面的夾角銳二面角的正切值為，求值．
19.本小題分
如圖所示，在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，設(shè)的面積為，為的角平分線，且．
求；
求值；
點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，線段交于，且的面積為的一半，求的取值范圍．
參考答案
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15.在中，已知，，，
根據(jù)余弦定理，
因?yàn)椋裕?br/>由知，
所以，
因?yàn)榈酌妫遥裕?br/>所以三棱錐的體積為．
16.由圖可得，解得．
因?yàn)椋?br/>，
所以第百分位數(shù)位于區(qū)間上，設(shè)為，
所以，解得．
估計(jì)這所學(xué)校高三學(xué)生第二次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為：
．
17.證明：因?yàn)樵谄矫嫔系纳溆扒『寐湓冢?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)檎郫B后，且，，平面，
所以平面，又因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
因?yàn)樵诰匦沃校?br/>所以折疊后，而，，平面，
所以平面；
因?yàn)槠矫妫?br/>所以直線與平面所成的角為，
由知平面，平面，
所以，
在直角三角形中，，，
所以，
所以，
即直線與平面所成的角為．
18.如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，顯然為的中點(diǎn)，
因?yàn)椋謩e是的中點(diǎn)，且，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，，
又因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫裕?br/>所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，故．
如圖：延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作垂直于，垂足為，連結(jié)，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>故為二面角的平面角，
由題意可知：，，
所以，，因?yàn)椋?br/>，
所以，
，
在三角形中運(yùn)用正弦定理得：
，
因?yàn)椋浴祝裕?br/>又因?yàn)椋裕剩?br/>19.根據(jù)題意可知，，根據(jù)余弦定理，
代入左邊得，
因此原等式變?yōu)椋海?jiǎn)得，，得，解得；
是的角平分線，長(zhǎng)度公式為，則，
由半角公式，得，
則，
三角形面積公式；
設(shè)，，
由的面積為，結(jié)合面積公式：，
建立坐標(biāo)系：設(shè)，，，
為角平分線，由角平分線定理，分比為：：，得，
參數(shù)化，：設(shè)，因，得，，
求交點(diǎn)：的參數(shù)方程為，的直線方程與聯(lián)立，
解得，
計(jì)算向量點(diǎn)積：，，
點(diǎn)積為：，令，
化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，故取值范圍為．
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