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2024-2025學年新疆克拉瑪依十三中高一（下）期末數學試卷（B卷）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設復數，則的虛部為( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，若，則( )
A. B. C. D.
3.體育強則中國強，國運興則體育興為備戰年成都世運會，名運動員進行特訓，特訓的成績分別為，，，，，，，，，，則這組數據的( )
A. 眾數為 B. 平均數為
C. 中位數為 D. 第百分位數為
4.如圖幾何體中，棱柱有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
5.甲、乙、丙三位同學參加演講比賽，通過抽簽確定演講的順序，記錄抽簽的結果，則試驗的樣本空間中樣本點總個數為( )
A. B. C. D.
6.已知，，其中的夾角為，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，則的面積為( )
A. B. C. D.
8.已知，，是三條不重合的直線，，，是三個不重合的平面，則下列結論正確的是( )
A. 若，，則
B. 若，，，，則
C. 若，，則
D. 若，，，則
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.港珠澳大橋是中國境內一座連接中國香港、廣東珠海和中國澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術聞名世界，為內地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑某旅行社分年齡統計了大橋落地以后，由港珠澳大橋實現內地前往香港的老中青年旅客的比例為：：，現使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取名，若抽到青年旅客人，則( )
A. 抽到老年旅客人
B. 抽到中年旅客人
C.
D. 被抽到的老年旅客以及中年旅客人數之和不超過
10.已知復數滿足，以下說法正確的是( )
A. 復數的虛部是 B.
C. 在復平面內對應的點在第一象限 D.
11.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論正確的是( )
A. 圓柱的側面積為 B. 圓錐的表面積為
C. 圓柱的側面積與球的表面積相等 D. 圓柱、圓錐、球的體積之比為：：
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知事件和事件相互獨立，，，則 ______．
13.已知平面向量，，若，則 ______．
14.在中，若，，，的則角 的大小為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
計算：
；
；
；
．
16.本小題分
文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者，我市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將樣本的成績滿分分，成績均為不低于分的整數分成六段：，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
求頻率分布直方圖中的值；
求樣本成績的平均數和眾數；
樣本成績的第百分位數
17.本小題分
現有道題，其中道甲類題，，，道乙類題，．
若從這道題中任選道，求這道題至少有道題是乙類題的概率；
若從甲類題、乙類題中各選道題，求這道題包括但不包括的概率．
18.本小題分
如圖，在三棱錐中，底面，，，分別是，的中點求證：
平面；
平面．
19.本小題分
在中，角，，的對邊分別是，，且．
求角的大小；
若，的面積為，求的周長．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
；
；
．
16.根據題意可知，，
解得；
平均數為，
樣本成績的平均數為，
由頻率分布直方圖可知樣本成績的眾數為；
成績落在內的頻率為，
落在內的頻率為，
設第百分位數為，則，
由，解得，
第百分位數為．
17.解：將道甲類題依次編號為，，，
道乙類題依次編號為，，任取道題，基本事件為：
，，，，，，，，，共個，
而且這些基本事件的出現是等可能的．這道題至少有道題是乙類題的共個，
這道題至少有道題是乙類題的概率為，；
從甲類題、乙類題中各選道題，基本事件為，，，，，共個，
這道題包括但不包括基本事件，共個，
這道題包括但不包括的概率為．
18.證明：因為由題意，在三棱錐中，點、分別是棱、的中點，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面，得證；
因為底面，底面，
所以，
因為，，，平面，
所以平面，得證．
19.因為，
所以由余弦定理的得：，
又因為，所以；
因為的面積為，
所以，解得，
由余弦定理得，
解得，
所以得周長為．
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