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2024-2025學年云南師大附屬鎮雄中學教研聯盟高一（下）期末
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，則( )
A. B. C. D.
3.函數在區間上的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.抗生素主要有抑菌與殺菌的作用，但抗生素的大量使用容易導致其通過直接或間接的途徑進入環境，進而造成環境污染、危害生物體健康已知水中某生物體內抗生素的殘留量單位：與時間單位：年近似滿足關系式，，其中為抗生素的殘留系數，當時，，則的值約為參考值：( )
A. B. C. D.
6.已知一個正方體和一個圓臺，其中圓臺下底面圓是正方體下底面正方形的外接圓，圓臺的上底面圓是正方體上底面正方形的內切圓，則圓臺與正方體的體積之比等于( )
A. B. C. D.
7.要得到函數的圖象，只需將的圖象向左平移個單位，則( )
A. B. C. D.
8.已知函數的定義域為，且，若，則( )
A. B. C. 為增函數 D. 為奇函數
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，在復平面內對應的點分別為和，則下列結論正確的是( )
A. 點的坐標為 B.
C. 若，則 D.
10.在正方體中，下列結論正確的是( )
A. 與所成的角為
B. 與所成的角為
C. 與平面所成的角為
D. 與平面所成的角為
11.已知，，且，則下列結論正確的是( )
A. 的最大值為 B.
C. 的最小值為 D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數為奇函數，則 ______．
13.在中，為的中點，設，，且，則______．
14.已知，，且，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知向量，，函數．
求函數的最小正周期；
若，求的取值集合；
當，求的取值范圍．
16.本小題分
圖是由正方形和等邊組成的平面圖形，將沿折起．
折起時點與點重合，且平面平面，如圖，、分別是、的中點．
證明：，，，四點共面；
證明：平面平面；
折起時點與點重合，且，如圖，求點到平面的距離．
17.本小題分
在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，的平分線交于點．
若，求；
若的面積是面積的倍，求的面積．
18.本小題分
用不共線的兩個向量，，求解三角形面積問題．
若，，求的面積；
用，，，表示的面積；
若，，且，求面積的最大值．
19.本小題分
已知函數的定義域為，滿足的函數稱為“勾函數”．
證明：為“勾函數”；
設為“勾函數”，若，，證明：在區間上為增函數；
已知在區間上為增函數，當時，恒成立，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，，
，
所以．
由已知得，所以或，
所以或，
即或；
因為，所以，
則，故，
所以的取值范圍是．
16.證明：、分別是、的中點，
則，又，所以，所以，，，四點共面．
因為平面平面，而，
所以平面．
又因為平面，
所以．
為等邊三角形，是的中點，所以，因為，且兩直線在平面內，
所以平面，而平面，
所以平面平面．
連接，交于點，連接，
因為，，為的中點，
所以，故
所以，所以且，，平面，
所以平面，
設點到平面的距離為，
而，
即，
所以，
解得．
所以點到平面的距離為．
17.解：因為，
可得為銳角，
又，
可得，
在中，可得，解得，
由正弦定理得，
又因為，可得，
又是的平分線，
可得；
由于，可得，
解得，
因為，可得，
整理可得，
解得或舍去，
可得．
18.由已知得，，，
則，
可知為銳角，，
所以．
由題意得，
結合，可得
，
所以
由的結論得，
令，，可得．
將，代入，可得，
結合，可得，
當且僅當，即時取得等號，
所以面積的最大值為．
19.證明：因為的定義域為，
所以，
而，
所以為“勾函數”．
為“勾函數”，
則，，
故，
所以，
即，
令，，，
故，
而，
所以在區間上為增函數；
在區間上為增函數，
則；
當時，恒成立；
當時，，
在區間上為增函數，
所以，故恒成立，
而，
所以，
所以的取值范圍為．
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