資源簡介

(共21張PPT)
14.2 三角形全等的判定
第4課時 尺規作圖
第十四章 全等三角形
人教版(新教材)數學八年級上冊
能用尺規作圖：作一個角等于已知角；過直線外一點作這條直線的平行線；已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形.
經歷尺規作圖的過程，體會轉化思想（平行線→等角）和類比思想（已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形）.
在作圖過程中培養邏輯推理能力，逐步建立幾何直觀和空間觀念.在解決綜合作圖問題時，培養數學建模意識和應用意識.
核
心
素
養
目
標
目錄
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
鞏固練習
4
歸納總結
5
感受中考
6
小結梳理
7
布置作業
8
復習引入
全等三角形
定義
性質
判定
對應邊相等
對應角相等
兩邊一夾角（SAS）
兩角一夾邊（ASA）
兩角一對邊（AAS）
三邊（SSS）
利用三角形全等的判定方法，可以幫助我們解決一些尺規作圖問題.
合作探究
思考 線段和角都是基本的幾何圖形，也是構成其他幾何圖形的元素，我們已經學習了作一條線段等于已知線段的尺規作圖，如何用直尺和圓規作一個角等于已知角呢
將∠AOB放在某個三角形中.
作出與這個三角形全等的三角形.
合作探究
探究 作一個角∠A'O'B'等于已知角∠AOB .
作法: 如圖.
(1)以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點C，D；
(2)作一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC為半徑作弧，交O' A'于點C'；
(3)以點C'為圓心，CD為半徑作弧，與上一步作的弧相交于點D'；
(4)過點D'作射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB.
為什么∠A'O'B'=∠AOB？
合作探究
證明: 連接C'D'.
由尺規作圖得：O'C'=O'D'=OC=OD，C'D'=CD.
在△C'O'D'和△COD中，
∴ △C'O'D'≌△COD(SSS).
∴ ∠A'O'B'=∠AOB.
基本尺規作圖
分析 我們知道，同位角相等，兩直線平行，可以利用這個結論，過點C作直線AB 的平行線CD.為此需要先作出截線，再作出相等的同位角.
典例分析
例4 如圖，已知直線 AB 及直線AB 外一點C.利用直尺和圓規過點C作直線 AB 的平行線 CD.
典例分析
作法：如圖.
(1)過點C作一條直線，與直線AB相交于點E；
(2)在點C處作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB；
(3)反向延長 CD，得直線 CD，則直線 CD//AB.
典例分析
例5 如圖，已知線段a，b和∠α，求作△ABC，使 AB=a，AC=b，∠A=∠α.
作法：如圖.
(1)作∠DAE=∠α；
(2)在射線AD上作AB=a，在射線AE上作AC=b；
(3)連接BC，則△ABC就是所求作的三角形.
鞏固練習
1.如圖，△ABC 中，AB>AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則下列結論錯誤的是( )
A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C C.AE∥BC D.∠DAE=∠EAC
D
作法: 如圖.(1)作射線BA；
(2)作∠DAF=∠ABC；
(3)反向延長 AF，則直線 AF即為所求作.
2. 如圖，用直尺和圓規作一條直線，使這條直線過△ABC的頂點A，并且與邊BC平行.
鞏固練習
鞏固練習
3. 如圖，用直尺和圓規作一個三角形，使這個三角形的兩角分別等于∠α，∠β，這兩角的夾邊等于線段a.
△ABC即為所求作.
歸納總結
基本尺規作圖：作一個角等于已知角 作法 (1)以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點C，D；
(2)作一條射線O'A'，以 為圓心， 為半徑作弧，交O' A'于點C'；
(3)以 為圓心， 為半徑作弧，與上一步作的弧相交于點D'；
(4)過點D'作射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB.
圖示
點O'
OC
點C'
CD
歸納總結
基本尺規作圖：作一個角等于已知角 應用 過直線外一點作 這條直線的 . 已知 . 作三角形 已知 .
作三角形
圖示
平行線
兩角及其夾邊
兩邊及其夾角
1.（2024·北京）如圖是“作一個角使其等于∠AOB”的尺規作圖方法.該方法通過判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依據是（ ）
A．三邊分別相等的兩個三角形全等
B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三
角形全等
C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三
角形全等
D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等
感受中考
A
感受中考
2.（2020·陜西）如圖，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.請用尺規作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC=45°.(保留作圖痕跡，不寫作法)
點P即為所求作.
小結梳理
尺規作圖
基本尺規作圖
綜合尺規作圖
作一條線段等于已知線段
作一個角等于已知角
... ...
已知三邊作三角形
過直線外一點作這條直線的平行線
已知兩邊及其夾角作三角形
已知兩角及其夾邊作三角形
布置作業
必做題：習題14.2 第9，10題.
1
探究性作業：
查閱資料，了解尺規作圖的起源、發展及作用.
推薦書籍或網站：
①《幾何原本》.
②百度百科、數站.
2
謝謝觀看！
人教版八年級上冊/ 讓教學更有效 高效備課 | 數學學科
14.2 三角形全等的判定(第4課時 尺規作圖)
教學設計
一、內容和內容解析
1. 內容
本節課是在學生已掌握SAS、ASA、AAS、SSS等全等三角形的判定方法基礎上，以SSS為引入點，展開尺規作圖專題教學，具體包括“作一個角等于已知角”這一基本尺規作圖及其證明，以及以此為基礎的過直線外一點作已知直線的平行線、已知兩邊及其夾角作三角形、已知兩角及其夾邊作三角形等內容；同時通過例題分析、鞏固練習和中考題強化知識的感知理解，最后梳理基本尺規作圖與綜合尺規作圖的內容與關聯。
2. 內容分析
本節課是在學生已掌握全等三角形判定方法的基礎上，將全等判定與尺規作圖結合的專題課。“作一個角等于已知角”是基本尺規作圖，其原理基于SSS的全等判定方法，后續的平行線作圖、三角形作圖均以此為基礎，形成“基本作圖→綜合應用”的遞進關系。通過證明作圖的正確性，強化“操作有依據”的嚴謹性，而例題、練習和中考題則側重培養學生將復雜問題拆解為基本作圖的能力，體現了全等判定在幾何作圖中的重要作用。
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：能用尺規作圖：作一個角等于已知角。
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）能用尺規作圖：作一個角等于已知角；過直線外一點作這條直線的平行線；已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形。
（2）經歷尺規作圖的過程，體會轉化思想（平行線→等角）和類比思想（已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形）。
（3）在作圖過程中培養邏輯推理能力，逐步建立幾何直觀和空間觀念.在解決綜合作圖問題時，培養數學建模意識和應用意識。
2. 目標解析
（1）學生需要熟練掌握“作一個角等于已知角”的步驟，理解作圖的原理。學生不僅要能獨立完成作圖，還要能解釋每一步操作的依據，知曉為何這樣操作能保證角的相等，從而從直觀操作上升到對邏輯依據的理解。“過直線外一點作這條直線的平行線”不僅涉及基本尺規作圖，還關聯到平行線的判定。“已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形”是對三角形作圖的具體要求，對應全等三角形的判定方法（SAS 和 ASA）。學生要能根據不同的已知條件選擇合適的作圖順序，理解每一步操作如何保證三角形的唯一性，并能驗證所作三角形是否符合已知條件，確保作圖的準確性和規范性。
（2）在“過直線外一點作平行線”的過程中，轉化思想體現得尤為明顯。平行線是一種位置關系，而角的相等是數量關系，作圖時將 “作平行線” 這一位置關系的問題，轉化為 “作一個角等于已知角” 這一數量關系的問題，可以幫助學生認識到，復雜的幾何問題往往可以通過轉化為已知的、簡單的問題來解決，培養其將未知轉化為已知的思維習慣。“已知兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形”，這兩個作三角形的問題在思路上具有相似性，學生通過類比，能發現它們在操作步驟上的共性和差異，從而加深對全等三角形判定條件的理解，培養舉一反三的能力。
（3）尺規作圖的每一步操作都有嚴格的邏輯依據。學生在描述作圖步驟、解釋作圖合理性的過程中，需要運用幾何知識進行推理，明確 “因為… 所以…” 的邏輯鏈條。這種推理不僅是對操作的驗證，更是邏輯思維的訓練。學生在親手繪制圖形的過程中，能直觀感受圖形的構成要素及其相互關系。這種作圖實踐能讓學生對幾何圖形形成清晰的視覺表征，能通過圖形直觀地理解幾何概念和定理。同時，空間觀念也得到發展。綜合作圖問題往往需要結合多個基本作圖和幾何知識，學生需要明確問題中的已知條件和所作目標，再運用尺規作圖解決。在此過程中，充分發展了學生的模型意識和應用意識。
三、教學問題診斷分析
1. 問題分析
（1）操作技能薄弱：學生在作圖時，可能存在工具使用不規范的問題，可能遺漏畫弧步驟或弧長選取不當。
（2）邏輯推理能力不足：學生不能清晰闡述每一步作圖的依據。在面對綜合問題時，數學建模意識欠缺，對復雜圖形的分解能力較弱，難以將問題轉化為尺規作圖模型。
2. 解決策略
（1）夯實操作基礎：教師示范尺規作圖的過程，對易出錯的步驟進行詳細指導。針對具體作圖，制作步驟分解動畫，標注關鍵弧長和交點。設計 “作圖糾錯” 練習，展示錯誤案例，讓學生找出問題并修正。
（2）提升邏輯推理能力：作圖時，要求學生用 “因為… 所以…” 句式闡述每一步的依據。對于較復雜的綜合問題，引導學生分析如何從題目中識別作圖要素，總結解題技巧，通過分層練習逐步提升能力。
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：能用基本尺規作圖解決綜合作圖問題。
四、教學過程設計
（一）復習引入
1.同學們，我們學習了全等三角形的哪些判定方法？
2.利用三角形全等的判定方法，可以幫助我們解決一些尺規作圖問題.
設計意圖：通過提問回顧全等三角形的判定方法，建立新舊知識聯系，點明本節課將利用 “SSS” 解決尺規作圖問題，清晰呈現教學推進方向，讓學生知曉學習任務，帶著目標開啟新知探究，提升學習針對性與主動性。
（二）合作探究
思考 線段和角都是基本的幾何圖形，也是構成其他幾何圖形的元素，我們已經學習了作一條線段等于已知線段的尺規作圖，如何用直尺和圓規作一個角等于已知角呢
已知∠AOB，要用直尺和圓規作一個角與其相等，關鍵是能用直尺和圓規確定∠AOB 的大小.
對于一個三角形，其三條邊、三個角是確定的.如果能將∠AOB“放在”某個三角形中，作為其一個角，而我們又能用直尺和圓規作出這個三角形，那么就說明可以用直尺和圓規確定∠AOB.進而再作出與這個三角形全等的三角形，根據全等三角形的性質，∠AOB的對應角就是要求作的角.
探究 作一個角∠A'O'B'等于已知角∠AOB .
作法: 如圖.
(1)以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA，OB于點C，D；
(2)作一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC為半徑作弧，交O' A'于點C'；
(3)以點C'為圓心，CD為半徑作弧，與上一步作的弧相交于點D'；
(4)過點D'作射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB.
追問 為什么∠A'O'B'=∠AOB？
證明: 連接C'D'.
由尺規作圖得：O'C'=O'D'=OC=OD，C'D'=CD.
在△C'O'D'和△COD中，
∴ △C'O'D'≌△COD(SSS).
∴ ∠A'O'B'=∠AOB.
“作一個角等于已知角”是一種基本尺規作圖.
設計意圖：借助已學“作一條線段等于已知線段”的尺規作圖經驗，引導學生思考“作一個角等于已知角”，實現幾何作圖知識的自然延伸，逐步構建完整的尺規作圖知識框架。讓學生經歷“發現問題（如何作等角）— 分析問題（借助三角形全等轉化）— 解決問題（推導作圖步驟）”過程，深度理解作圖原理。在探究中，鍛煉學生的邏輯推理能力，從理論層面明白作圖操作的依據，提升數學思維的嚴謹性與深刻性。
（三）典例分析
例4 如圖，已知直線 AB 及直線AB 外一點C.利用直尺和圓規過點C作直線 AB 的平行線 CD.
分析 我們知道，同位角相等，兩直線平行，可以利用這個結論，過點C作直線AB 的平行線CD.為此需要先作出截線，再作出相等的同位角.
作法：如圖.
(1)過點C作一條直線，與直線AB相交于點E；
(2)在點C處作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB；
(3)反向延長 CD，得直線 CD，則直線 CD//AB.
例5 如圖，已知線段a，b和∠α，求作△ABC，使 AB=a，AC=b，∠A=∠α.
作法：如圖.
(1)作∠DAE=∠α；
(2)在射線AD上作AB=a，在射線AE上作AC=b；
(3)連接BC，則△ABC就是所求作的三角形.
設計意圖：例4借助“同位角相等，兩直線平行”的判定方法，讓學生運用已學“作一個角等于已知角”的尺規作圖方法，解決“過直線外一點作已知直線平行線”的問題，實現幾何知識與作圖操作的融合，深化尺規作圖技能的應用場景，提升知識的綜合運用能力。例5圍繞“已知兩邊及夾角作三角形”，整合了“作一個角等于已知角”“作一條線段等于已知線段”的基本尺規作圖，讓學生經歷按給定條件構建三角形的過程，強化對三角形基本作圖的掌握，同時鞏固全等三角形的判定方法(SAS)。
（四）鞏固練習
1．如圖，△ABC中，AB>AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則下列結論錯誤的是（ D ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
2. 如圖，用直尺和圓規作一條直線，使這條直線過△ABC的頂點A，并且與邊BC平行.
作法: 如圖.
(1)作射線BA；
(2)作∠DAF=∠ABC；
(3)反向延長 AF，則直線 AF即為所求作.
3. 如圖，用直尺和圓規作一個三角形，使這個三角形的兩角分別等于∠α，∠β，這兩角的夾邊等于線段a.
△ABC即為所求作.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略。練習3圍繞“已知兩角及夾邊作三角形”，強化對三角形基本作圖的掌握，同時鞏固全等三角形的判定方法(ASA)。
歸納總結
感受中考
1．（2024·北京）如圖是“作一個角使其等于”的尺規作圖方法.該方法通過判定得到，其中判定的依據是（ A ）
A．三邊分別相等的兩個三角形全等
B．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
C．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等
2．（2020·陜西）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）
點P即為所求作.
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。
（七）小結梳理
設計意圖：用思維導圖幫助學生梳理基本尺規作圖和綜合尺規作圖的內容和聯系，將零散知識串聯，構建清晰、完整的知識網絡，強化對尺規作圖知識的整體認知。
（八）布置作業
1.必做題：習題14.2 第9，10題.
2.探究性作業：查閱資料，了解尺規作圖的起源、發展及作用.
推薦書籍或網站：①《幾何原本》.②百度百科、數站.
五、教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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