資源簡介

(共24張PPT)
14.2 三角形全等的判定
（第5課時(shí) HL）
第十四章 全等三角形
人教版(新教材)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.
經(jīng)歷HL的探究過程，體會(huì)從一般到特殊的研究方法；應(yīng)用HL判定直角三角形全等，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，提高有條理地思考和表達(dá)的能力.
在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升邏輯推理能力.在解決實(shí)際問題的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).
核
心
素
養(yǎng)
目
標(biāo)
目錄
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
鞏固練習(xí)
4
歸納總結(jié)
5
感受中考
6
小結(jié)梳理
7
布置作業(yè)
8
復(fù)習(xí)引入
全等三角形
定義
性質(zhì)
判定
對(duì)應(yīng)邊相等
對(duì)應(yīng)角相等
兩邊一夾角（SAS）
兩角一夾邊（ASA）
兩角一對(duì)邊（AAS）
三邊 （SSS）
復(fù)習(xí)引入
兩邊一夾角（SAS）
兩角一夾邊（ASA）
兩角一對(duì)邊（AAS）
三邊 （SSS）
兩直角邊分別相等
問題 SAS、ASA、AAS、SSS適用于任意三角形全等的判定.直角三角形作為一種特殊的三角形，“直角”這個(gè)特征會(huì)不會(huì)給它帶來獨(dú)特的全等判定方法呢？
一直角邊和它相鄰的銳角分別相等
一直角邊和它相對(duì)的銳角分別相等
斜邊和一銳角分別相等
如果滿足斜邊和一直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？
合作探究
探究5 如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.這兩個(gè)三角形全等嗎
（B'）
（C'）
點(diǎn)A'與點(diǎn)A是否重合？
A'
信息技術(shù)驗(yàn)證
（A'）
合作探究
判定直角三角形全等的方法
斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.
(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)
在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B′C′(HL).
在今后的學(xué)習(xí)中，我們將用勾股定理證明這個(gè)判定方法．
分析 如果能證明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由題意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具備“斜邊、直角邊”的條件.
典例分析
例6 如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證 BC=AD.
證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
鞏固練習(xí)
1. 如圖，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，要證明△ADC≌△BDF需要的判定方法是( )
A.HL B.SSS C.AAS D. ASA
A
鞏固練習(xí)
2. 如圖，用三角尺可以畫角平分線:如圖所示，在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn) M，N，使OM=ON，再過點(diǎn)M畫OA的垂線，過點(diǎn)N畫OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P，那么射線OP就是∠AOB的平分線.小明發(fā)現(xiàn)說明此畫法的合理性時(shí)需要證明△POM與△PON全等，其依據(jù)是( )
A.SAS B.SSS C.AAS D.HL
D
鞏固練習(xí)
3. 下列條件，能判定兩個(gè)直角三角形全等的有（ ）
①兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等
②兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等
④一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等
⑤一銳角和一直角邊對(duì)應(yīng)相等
A．5 B．4 C．3 D．2
B
鞏固練習(xí)
4. 在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC上，DE⊥BC于點(diǎn)E，且DE=DA，連接DB.若∠C=20°，則∠DBE的度數(shù)為 .
35°
鞏固練習(xí)
5.如圖，C是路段AB的中點(diǎn)，兩人從C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)D，E兩地，且DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距離相等嗎 為什么
解：D，E到路段AB的距離相等，理由如下：
由題意得：CD=CE.
∵C是路段AB的中點(diǎn)，
∴AC=BC.
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴AD=BE，即D，E到路段AB的距離相等.
鞏固練習(xí)
證明：∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠CFD=∠BEA=90°.
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA(HL).
∴AE=DF.
鞏固練習(xí)
6.如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE=BF.
求證 AE=DF.
歸納總結(jié)
全等三角形的判定（HL） 斜邊 直角邊（HL） 和 分別相等的兩個(gè)直角三角形全等. 圖示 符號(hào)語言
斜邊
一直角邊
在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B′C′(HL).
感受中考
1.(2025·山西)如圖，小誼將兩根長度不等的木條AC，BD的中點(diǎn)連在一起,記中點(diǎn)為O，即AO =CO，BO=DO.測得C，D兩點(diǎn)之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上A，B兩點(diǎn)之間的距離·圖中△AOB與△COD全等的依據(jù)是( )
A.SSS
B. SAS
C.ASA
D.HL
B
鞏固練習(xí)
2. （2022·株洲）如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上(其中∠ABC=
30°)，OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM=ON，則∠ABO= 度.
15
感受中考
3.（2023·南通）如圖，點(diǎn)D，E分別在 AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB=OC.求證:∠1=∠2.
小虎同學(xué)的證明過程如下:
(1)小虎同學(xué)的證明過程中，
第 步出現(xiàn)錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)寫出正確的證明過程
二
(2)證明:∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC(AAS)
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1=∠2.
感受中考
小結(jié)梳理
全等三角形
定義
性質(zhì)
判定
對(duì)應(yīng)邊相等
對(duì)應(yīng)角相等
兩邊一夾角（SAS）
兩角一夾邊（ASA）
兩角一對(duì)邊（AAS）
三邊（SSS）
斜邊直角邊（HL）
適用于任意三角形
適用于直角三角形
布置作業(yè)
必做題：習(xí)題14.2 第11，12題.
1
探究性作業(yè)：習(xí)題14.2 第18題.
2
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14.2 三角形全等的判定(第5課時(shí) HL)教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
本節(jié)課聚焦直角三角形全等的特殊判定方法“HL”。內(nèi)容上，先通過復(fù)習(xí)一般三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS），引導(dǎo)學(xué)生將其遷移到直角三角形中，推導(dǎo)出直角三角形可直接應(yīng)用的判定思路，進(jìn)而提出核心問題：“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形是否全等？”隨后通過合作探究、幾何畫板驗(yàn)證等方式確認(rèn)HL的正確性，明確其文字語言、圖形語言和符號(hào)語言，并結(jié)合典例、練習(xí)、中考題應(yīng)用強(qiáng)化理解，最終梳理出適用于任意三角形的4種判定方法和僅適用于直角三角形的HL，形成完整的知識(shí)體系。
2. 內(nèi)容分析
本節(jié)課是三角形全等判定的延伸與深化，既建立在一般三角形判定方法的基礎(chǔ)上，又通過直角三角形的特殊性提煉出專屬判定方法，體現(xiàn)了“從一般到特殊”的邏輯關(guān)系。HL的探究過程融合了直觀操作與理性證明，不僅豐富了全等判定的方法庫，更培養(yǎng)了學(xué)生針對(duì)特殊圖形優(yōu)化解決策略的思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)直角三角形的其他性質(zhì)和幾何證明奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)中考題的引入強(qiáng)化了知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1. 目標(biāo)
（1）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理。能運(yùn)用HL判定兩個(gè)直角三角形全等。
（2）經(jīng)歷HL的探究過程，體會(huì)從一般到特殊的研究方法；應(yīng)用HL判定直角三角形全等，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，提高有條理地思考和表達(dá)的能力。
（3）在探究和證明的過程中，發(fā)展直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升邏輯推理能力。在解決實(shí)際問題的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。
2. 目標(biāo)解析
（1）通過復(fù)習(xí)一般三角形的判定方法，學(xué)生可遷移得出直角三角形的部分判定思路，進(jìn)而在探究中突破“斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等”這一特殊情況，最終達(dá)成對(duì)HL的完整認(rèn)知。學(xué)生不僅能獨(dú)立闡述其內(nèi)涵，還能在具體問題中準(zhǔn)確選擇HL進(jìn)行推理，實(shí)現(xiàn)知識(shí)從理解到應(yīng)用的轉(zhuǎn)化。
（2）從一般三角形全等的判定方法出發(fā)，探索發(fā)現(xiàn)直角三角形特殊的判定方法，深入理解各種判定方法之間的關(guān)系；在解決幾何問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注線段和角的等量轉(zhuǎn)化，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，同時(shí)在證明過程中，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚囵B(yǎng)邏輯思維能力。
（3）在探索判定方法的過程中，通過觀察圖形、動(dòng)手操作等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀；在證明三角形全等的過程中，要求學(xué)生依據(jù)已知條件，按照嚴(yán)格的邏輯順序進(jìn)行推理，逐步得出結(jié)論，從而提升邏輯推理素養(yǎng)；通過引入實(shí)際問題情境或中考真題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在解決問題中的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。
三、教學(xué)問題診斷分析
1. 問題分析
（1）關(guān)于HL適用范圍的理解偏差
學(xué)生在學(xué)習(xí)HL前已掌握適用于任意三角形的四種判定方法，可能因思維慣性忽略HL的“直角”前提，導(dǎo)致判定方法使用錯(cuò)誤。
（2）關(guān)于HL與SSA的混淆
學(xué)生易將HL誤等同于SSA。從形式上看，HL的“斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)相等”與SSA的“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”相似，但SSA在一般三角形中不能判定全等。學(xué)生可能因表面形式的相似性，在書寫時(shí)直接寫成“SSA”，忽略兩者的本質(zhì)區(qū)別。
（3）關(guān)于HL書寫過程的不規(guī)范
HL的符號(hào)語言需明確體現(xiàn)“直角三角形”“斜邊”“直角邊”三個(gè)關(guān)鍵要素，與其他判定方法的書寫存在差異。學(xué)生可能會(huì)沿用SAS、SSS等的書寫習(xí)慣，導(dǎo)致推理過程缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。
2. 解決策略
（1）針對(duì)適用范圍問題
設(shè)計(jì)對(duì)比性例題，呈現(xiàn)“兩邊對(duì)應(yīng)相等”的直角三角形與非直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生嘗試判定。通過非直角三角形中“斜邊不存在”的討論，明確HL必須以“直角三角形”為前提。
（2）針對(duì)HL與SSA的混淆
通過幾何畫板演示“SSA”的反例，讓學(xué)生直觀對(duì)比兩者的差異；同時(shí)要求學(xué)生在書寫時(shí)先注明“在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中”，強(qiáng)化“直角”前提的重要性。
（3）針對(duì)書寫不規(guī)范問題
板書示范HL的完整書寫過程，用彩色筆突出“Rt△”“斜邊”等關(guān)鍵詞；設(shè)計(jì)糾錯(cuò)練習(xí)，給出錯(cuò)誤案例，讓學(xué)生修正，強(qiáng)化規(guī)范意識(shí)。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：能熟練應(yīng)用HL判定直角三角形全等。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）復(fù)習(xí)引入
同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形的哪些判定方法？你能說說具體內(nèi)容嗎？
問題 SAS、ASA、AAS、SSS適用于任意三角形全等的判定.直角三角形作為一種特殊的三角形，“直角”這個(gè)特征會(huì)不會(huì)給它帶來獨(dú)特的全等判定方法呢？
追問 如果滿足斜邊和一直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？
設(shè)計(jì)意圖：通過提問回顧全等三角形已學(xué)判定方法，建立新舊知識(shí)聯(lián)系，點(diǎn)明本節(jié)課從“斜邊和一直角邊”的角度探索直角三角形的特殊判定方法，清晰呈現(xiàn)教學(xué)推進(jìn)方向，讓學(xué)生知曉學(xué)習(xí)任務(wù)，帶著目標(biāo)開啟新知探究，提升學(xué)習(xí)針對(duì)性與主動(dòng)性。
（二）合作探究
探究5 如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.這兩個(gè)三角形全等嗎
如圖，由∠C'=∠C=90°可知，如果使點(diǎn)C'與點(diǎn)C重合，并且使射線CB'與射線CB重合，那么射線CA'與射線CA重合，再由B'C'=BC，可知點(diǎn)B'與點(diǎn)B重合.
追問 點(diǎn)A'與點(diǎn)A是否重合？
信息技術(shù)驗(yàn)證
拖動(dòng)點(diǎn)A'，觀察AB和A'B的長度，發(fā)現(xiàn)只有點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合時(shí)，才有A'B=AB.
判定直角三角形全等的方法：斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.
(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)
在今后的學(xué)習(xí)中，我們將用勾股定理證明這個(gè)判定方法．
設(shè)計(jì)意圖：借助探究5，通過觀察、操作與信息技術(shù)驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)直角三角形全等，得出 “HL” 判定。既讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，體會(huì)從操作到歸納的方法，又為后續(xù)用勾股定理證明埋下伏筆。
（三）典例分析
例6 如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證 BC=AD.
分析 如果能證明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由題意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具備“斜邊、直角邊”的條件.
證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
設(shè)計(jì)意圖：通過例6鞏固對(duì)HL判定方法的理解與掌握，強(qiáng)化全等三角形的判定與性質(zhì)在幾何證明中的應(yīng)用。規(guī)范學(xué)生幾何證明的書寫步驟，讓學(xué)生學(xué)會(huì)清晰表述 “找條件— 證全等— 得結(jié)論”的邏輯鏈條，提升幾何證明的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
（四）鞏固練習(xí)
1．如圖，為的高，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F，且有，，要證明需要的判定方法是（ A ）
A． B． C． D．
2．用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使，再過點(diǎn)畫的垂線，過點(diǎn)畫的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，那么射線就是的平分線．小明發(fā)現(xiàn)說明此畫法的合理性時(shí)需要證明與全等，其依據(jù)是（ D ）
A． B． C． D．
第1題圖 第2題圖 第3題圖
3．下列條件，能判定兩個(gè)直角三角形全等的有（ B ）
①兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 ②兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 ③斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等
④一銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等 ⑤一銳角和一直角邊對(duì)應(yīng)相等
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在中，，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E，且，連接．若，則的度數(shù)為 35° ．
5.如圖，C是路段AB的中點(diǎn)，兩人從C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時(shí)到達(dá)D，E兩地，且DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距離相等嗎 為什么
解：D，E到路段AB的距離相等，理由如下：
由題意得：CD=CE.
∵C是路段AB的中點(diǎn)，
∴AC=BC.
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴AD=BE，即D，E到路段AB的距離相等.
6.如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，CE=BF.求證 AE=DF.
證明：∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠CFD=∠BEA=90°.
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA(HL).
∴AE=DF.
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。
歸納總結(jié)
感受中考
1．（2025 山西）如圖，小誼將兩根長度不等的木條的中點(diǎn)連在一起，記中點(diǎn)為，即．測得兩點(diǎn)之間的距離后，利用全等三角形的性質(zhì)，可得花瓶內(nèi)壁上兩點(diǎn)之間的距離．圖中與全等的依據(jù)是（ B ）
A． B． C． D．
2．（2022 株洲）如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM＝ON，則∠ABO＝　15　 度．
第1題圖 第2題圖
3．（2023 南通）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．
小虎同學(xué)的證明過程如下：
證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步
（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第 　二　 步出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)寫出正確的證明過程．
（2）證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠1＝∠2.
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。
（七）小結(jié)梳理
設(shè)計(jì)意圖：用思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生梳理全等三角形的定義、性質(zhì)和判定，同時(shí)展示HL與其他判定方法的區(qū)別，將零散知識(shí)串聯(lián)，構(gòu)建清晰、完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化對(duì)全等三角形知識(shí)的整體認(rèn)知。
（八）布置作業(yè)
1.必做題：習(xí)題14.2 第11，12題.
2.探究性作業(yè)：習(xí)題14.2 第18題.
五、教學(xué)反思
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