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冪的乘除 同底數冪的乘法
一．選擇題（共10小題）
1．計算x3 x3的結果是（　?。?br/>A．2x3 B．x6 C．2x6 D．x9
2．若xm＝2，xm+n＝6，則xn＝（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
3．計算x3 （﹣x2）的結果是（　?。?br/>A．x5 B．﹣x5 C．x6 D．﹣x6
4．計算a3 a4的結果是（　?。?br/>A．a6 B．a7 C．a8 D．a12
5．計算：﹣x4 （﹣x5）的結果是（　?。?br/>A．x9 B．﹣x9 C．x20 D．﹣x20
6．若a×am×a3m+1＝a10，則m的值為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列各式中，計算結果等于a9的是（　　）
A．a3+a6 B．a10﹣a C．a3 a6 D．a18+a2
8．若2a＝3，2b＝4，則2a+b等于（　?。?br/>A．7 B．12 C．48 D．32
9．下列計算錯誤的是（　?。?br/>A．x+x+x+x＝4x B．x﹣x﹣x﹣x＝﹣2x
C．x x x x＝x4 D．x÷x÷x÷x＝1
10．計算 a3 a2 的結果是（　?。?br/>A．a B．a5 C．a6 D．a9
二．填空題（共6小題）
11．若5m＝8，5n＝4，則5m+n＝　 ?。?br/>12．ax＝2，ay＝3，則ax+y的值為 　 ?。?br/>13．若am＝﹣3，an＝5，則am+n＝　 　．
14．若5a+5a+5a+5a+5a＝510，則a＝　 ?。?br/>15．若3m＝5，3n＝6，則3m+n的值是 　 ?。?br/>16．若3a＝6，3b＝2，則3a+b＝　 　．
三．解答題（共9小題）
17．已知4x＝8，4y＝2，求x+y的值．
18．先閱讀下列材料，再解答后面的問題：
材料：一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab＝n）．如34＝81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381＝4）．
問題：（1）計算：log216＝　 　，（log39）281＝　 ?。?br/>（2）log55、log525、log5125之間滿足怎樣的關系式，請說明理由．
（3）由（2）的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？
logaM+logaN＝　 　（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）．
根據冪的運算法則：an am＝an+m以及對數的含義證明上述結論．
19．閱讀下列材料：一般地，n個相同的因數a相乘，記為an．如2×2×2＝23＝8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log28（即log28＝3）．
一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab＝n）．如34＝81，
則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381＝4）．
（1）計算以下各對數的值：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 ?。?br/>（2）寫出（1）log24、log216、log264之間滿足的關系式 　 　；
（3）由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：logaM+logaN＝　 　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
20．若“*”是我們定義的一種新的運算符號，且規定a*b＝2a×2b．
（1）求2*3的值；
（2）若2*（x+1）＝16，求x的值．
21．規定兩數a，b之間的一種運算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根據上述規定，填空：
（5，125）＝　 　，（﹣2，4）＝　 　，（﹣2，1）＝　 　；
（2）小明在研究這種運算時發現一個現象：（3n，4n）＝（3，4），他給出了如下的證明：
設（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
∴3x＝4，即（3，4）＝x，
∴（3n，4n）＝（3，4）．
請你嘗試運用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由．
（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
22．規定m*n＝3m×3n，求：
（1）1*2；
（2）如果2*（x﹣1）＝81，求x的值．
23．已知（a+b）a （b+a）b＝（a+b）5，且（a﹣b）a+4 （a﹣b）4﹣b＝（a﹣b）7，求aabb的值．
24．（1）若2x＝3，2y＝5，則2x+y＝　 　．
（2）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知x2a+b x3a﹣b xa＝x12，求﹣a100+2101的值．
25．材料：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，比如指數式23＝8可以轉化為對數式3＝log28，對數式2＝log636可以轉化為指數式62＝36．
根據以上材料，解決下列問題：
（1）計算：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　；
（2）觀察（1）中的三個數，猜測：logaM+logaN＝　 ?。╝＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并加以證明這個結論；
（3）已知：loga3＝5，求loga9和loga27的值（a＞0且a≠1）．
冪的乘除 同底數冪的乘法
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【答案】B
【分析】根據同底數冪的運算法則計算．
【解答】解：x3 x3＝x6，
故選：B．
【點評】本題考查了同底數冪的運算，掌握運算法則是解題的關鍵．
2．【答案】B
【分析】根據同底數冪除法的計算法則進行求解即可．
【解答】解：∵xm＝2，xm+n＝6，
∴xn＝xm+n÷xm＝6÷2＝3，
故選：B．
【點評】本題主要考查了同底數冪除法，熟知同底數冪除法的計算法則是解題的關鍵，注意同底數冪除法指數是相減．
3．【答案】B
【分析】利用同底數冪的乘法的法則對式子進行運算即可．
【解答】解：x3 （﹣x2）＝﹣x5．
故選：B．
【點評】本題主要考查同底數冪的乘法，解答的關鍵是熟記同底數冪的乘法的法則．
4．【答案】B
【分析】根據同底數冪的乘法法則am an＝am+n（m與n為整數）解決此題．
【解答】解：a3 a4＝a7．
故選：B．
【點評】本題主要考查同底數冪的乘法，熟練掌握同底數冪的乘法法則是解決本題的關鍵．
5．【答案】A
【分析】利用同底數冪的乘法的法則進行運算即可．
【解答】解：﹣x4 （﹣x5）
＝x4+5
＝x9．
故選：A．
【點評】本題主要考查同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
6．【答案】B
【分析】先利用同底數冪的乘法法則計算a×am×a3m+1，再根據值相等得關于m的方程，求解即可．
【解答】解：∵a×am×a3m+1
＝a1+m+3m+1
＝a4m+2
＝a10，
∴4m+2＝10．
∴m＝2．
故選：B．
【點評】本題主要考查了整式的運算，掌握同底數冪的乘法法則是解決本題的關鍵．
7．【答案】C
【分析】A．應用整式加減法則進行求解即可得出答案；
B．應用整式加減法則進行求解即可得出答案；
C．應用整式乘法法則進行求解即可出答案；
D．應用整式加減法則進行求解即可出答案．
【解答】解：A．因為a3與a6不是同類項，所以不能合并，故A選項不符合題意；
B．因為a10﹣a＝a（a9﹣1），所以B選項結果等于a（a9﹣1），故B選項符合題意；
C．a3 a6＝a9，計算結果等于a9，故C選項符合題意；
D．因為a18+a2＝a2（a16+1），所以D選項結果不等于a9，故D選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查了同底數冪乘除法，整式加減，熟練掌握同底數冪乘除法，整式加減運算法則進行求解是解決本題的關鍵．
8．【答案】B
【分析】根據同底數冪的乘法法則進行解題即可．
【解答】解：2a+b＝2a×2b＝3×4＝12．
故選：B．
【點評】本題考查同底數冪的乘法，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵．
9．【答案】D
【分析】根據合并同類項，同底數冪相乘，同底數冪相除，逐項判斷即可求解．
【解答】解：A、x+x+x+x＝4x，故本選項正確，不符合題意；
B、x﹣x﹣x﹣x＝﹣2x，故本選項正確，不符合題意；
C、x x x x＝x4，故本選項正確，不符合題意；
D、x÷x÷x÷x＝1÷x÷x，故本選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了合并同類項，同底數冪相乘，同底數冪相除，熟練掌握合并同類項，同底數冪相乘，同底數冪相除法則是解題的關鍵．
10．【答案】B
【分析】根據同底數冪的乘法法則計算即可．
【解答】解：a3 a2＝a5，
故選：B．
【點評】本題考查了同底數冪的乘法，熟記法則是解題的關鍵，即同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
二．填空題（共6小題）
11．【答案】32．
【分析】把5m+n化為5m 5n，然后把已知條件代入計算即可．
【解答】解：∵5m＝8，5n＝4，
∴5m+n＝5m 5n＝8×4＝32，
故答案為：32．
【點評】本題考查了同底數冪的乘法，熟知同底數冪相乘，底數不變，指數相加是解題的關鍵．
12．【答案】6．
【分析】根據冪的乘方和同底數冪的乘法法則計算即可．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax+y＝ax ay，
＝ax ay，
＝2×3，
＝6．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查了冪的有關運算．冪的乘方法則：底數不變指數相乘．同底數冪的乘法法則：底數不變指數相加．
13．【答案】﹣15．
【分析】根據同底數冪的乘法，可得答案．
【解答】解：∵am＝﹣3，an＝5，
∴am+n＝am an＝﹣15，
故答案為：﹣15．
【點評】本題考查了同底數冪的乘法，熟記法則并根據法則計算是解題關鍵．
14．【答案】9．
【分析】先利用合并同類項法則計算，再利用同底數冪相乘法則進行計算即可．
【解答】解：∵5a+5a+5a+5a+5a＝510，
∴5×5a＝510，
51+a＝510，
∴1+a＝10，a＝9，
故答案為：9．
【點評】本題主要考查了同底數冪的乘法，解題關鍵是熟練掌握合并同類項法則和同底數冪相乘法則．
15．【答案】見試題解答內容
【分析】逆向運用同底數冪的乘法法則計算即可．
【解答】解：∵3m＝5，3n＝6，
∴3m+n＝3m×3n＝5×6＝30．
故答案為：30．
【點評】本題主要考查了同底數冪的乘法，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．
16．【答案】12．
【分析】根據同底數冪的乘法運算法則即可求出答案．
【解答】解：∵3a＝6，3b＝2，
∴原式＝3a 3b
＝6×2
＝12．
故答案為：12．
【點評】本題考查同底數冪的乘法，解題的關鍵是熟練運用同底數冪的乘法，本題屬于基礎題型．
三．解答題（共9小題）
17．【答案】見試題解答內容
【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則計算得出答案．
【解答】解：∵4x＝8，4y＝2，
∴4x×4y＝8×2＝16＝42，
∴x+y＝2．
【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．
18．【答案】（1）4；；（2）log55+log525＝log5125，證明見解答；（3）loga（MN），證明見解答．
【分析】（1）根據對數的概念，結合有理數的乘方運算法則進行分析計算；
（2）根據對數的概念，結合有理數的乘方運算法則進行分析計算；
（3）根據對數的概念，結合同底數冪的乘方運算法則進行分析推理．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴log216＝4，
∵32＝9，34＝81，
∴log39＝2，log381＝4，
∴（log39）281
＝224
＝4
，
故答案為：4；；
（2）log55+log525＝log5125，理由如下：
根據題意，log55＝1，log525＝2，log5125＝3，
∴log55+log525＝log5125；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），證明如下：
設logaM＝b1，logaN＝b2
則，，
∴，
又∵an am＝an+m，
∴，
即logaM+logaN＝loga（MN），
故答案為：loga（MN）．
【點評】本題屬于新定義內容，理解有理數乘方的運算法則，應用同底數冪的乘法運算法則是解題關鍵．
19．【答案】（1）2，4，6；
（2）log24+log216＝log264；
（3）loga（MN）．
【分析】（1）根據對數的定義求解；
（2）認真觀察，即可找到規律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出結論：logaM+logaN＝loga（MN）．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6，
故答案為：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，log24＝2，log216＝4，log264＝6，
∴log24+log216＝log264，
故答案為：log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝loga（MN），
故答案為：loga（MN）．
【點評】本題是開放性的題目，難度較大．借考查同底數冪的乘法，對數，實際考查學生對指數的理解、掌握的程度；要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數應有的性質．
20．【答案】（1）32；
（2）x＝1．
【分析】（1）根據新定義的運算，把相應的值代入運算即可；
（2）把相應的值代入運算即可．
【解答】解：（1）2*3＝22×23＝4×8＝32；
（2）∵2*（x+1）＝16，
∴22×2x+1＝16，
22+x+1＝24，
∴2+x+1＝4，
解得：x＝1．
【點評】本題主要考查同底數冪的乘法，有理數的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．
21．【答案】（1）3；2；0；（2）理由見解答．
【分析】（1）根據新定義運算結合有理數乘方運算法則進行分析求解；
（2）根據新定義運算，結合同底數冪的乘法運算法則進行分析計算．
【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）2＝4，（﹣2）0＝1，
∴（5，125）＝3，（﹣2，4）＝2，（﹣2，1）＝0，
故答案為：3、2、0；
（2）設（4，7）＝x，（4，8）＝y，
∴4x＝7，4y＝8，
∴4x 4y＝7×8＝56，
∵4x 4y＝4x+y，
∴4x+y＝56，
∴（4，56）＝x+y，
即（4，7）+（4，8）＝（4，56）．
∴等式成立．
【點評】本題考查有理數的乘方運算，同底數冪的乘法，理解同底數冪的乘法運算法則（底數不變，指數相加）是解題關鍵．
22．【答案】（1）27；
（2）3．
【分析】（1）根據定義新運算法則，同底數冪乘法法則即可求解；
（2）根據定義新運算法則，同底數冪乘法法則，解方程的方法即可求解．
【解答】解：（1）∵m*n＝3m×3n，
∴1*2＝3×32＝3×9＝27．
（2）根據定義新運算的規則可得，在2*（x﹣1）＝81中，2*（x﹣1）＝32×3x﹣1＝32+x﹣1＝3x+1，81＝34，
∴x+1＝4，解得x＝3，
∴x的值為3．
【點評】本題主要考查定義新運算與同底數冪的乘法的綜合，理解定義新運算的規則，掌握同底數冪的運算法則，求方程的解是解題的關鍵．
23．【答案】見試題解答內容
【分析】已知等式利用同底數冪的乘法法則變形，列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，代入原式計算即可得到結果．
【解答】解：已知等式整理得：（a+b）a+b＝（a+b）5，且（a﹣b）a﹣b+8＝（a﹣b）7，
∴，
解得：a＝2，b＝3，
則原式＝4×27＝108．
【點評】此題考查了同底數冪的乘法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
24．【答案】（1）15．
（2）10．
（3）2100．
【分析】（1）根據同底數冪的乘法法則解決此題．
（2）根據同底數冪的乘法法則解決此題．
（3）根據同底數冪的乘法法則解決此題．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x 2y＝3×5＝15．
故答案為：15．
（2）∵ax＝5，
∴ax+y＝ax ay＝5ay＝25．
∴ay＝5．
∴ax+ay＝5+5＝10．
（3）∵x2a+b x3a﹣b xa＝x12，
∴x6a＝x12．
∴6a＝12．
∴a＝2．
∴﹣a100+2101＝﹣2100+2101＝﹣2100+2×2100＝2100．
【點評】本題主要考查同底數冪的乘法，熟練掌握同底數冪的乘法法則是解決本題的關鍵．
25．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據22＝4，24＝16，26＝64寫成對數式；
（2）設logaM＝x，logaN＝y，根據對數的定義可表示為指數式為：ax＝M，ay＝N，據此計算即可；
（3）由loga3＝5，得a5＝3，再根據同底數冪的乘法法則計算即可．
【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，
∴log24＝2；log216＝4；log264＝6
故答案為：2；4；6；
（2）設logaM＝x，logaN＝y，
則ax＝M，ay＝N，
∴M N＝ax ay＝ax+y，
根據對數的定義，x+y＝logaMN，
即logaM+logaN＝logaMN；
故答案為：logaMN．
（3）由loga3＝5，得a5＝3，
∵9＝3×3＝a5 a5＝a10，27＝3×3×3＝a5 a5 a5＝a15
∴根據對數的定義，loga9＝10，loga27＝15．
【點評】本題考查整式的混合運算、對數與指數之間的關系與相互轉化的關系，解題的關鍵是明確新定義，明白指數與對數之間的關系與相互轉化關系．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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