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冪的乘除 同底數冪的除法
一．選擇題（共10小題）
1．利用細菌做生物殺蟲劑，可以減輕對環境的污染，蘇云金桿菌就是其中一種，其長度大約為0.0000046m，將0.0000046用科學記數法表示應為（　?。?br/>A．46×10﹣7 B．4.6×10﹣7 C．0.46×10﹣6 D．4.6×10﹣6
2．下列各式中，計算結果等于a6的是（　　）
A．a3 a3 B．（a2）4 C．a8﹣a2 D．a12÷a2
3．下列計算正確的是（　?。?br/>A．m3 m3＝2m3 B．m2+m6＝m8
C．（m2）3＝m5 D．m5÷m3＝m2（m≠0）
4．1張新版百元的人民幣厚約為0.00009米，數據“0.00009米”用科學記數法可表示為（　?。?br/>A．9×10﹣5米 B．9×10﹣4米
C．0.9×10﹣6米 D．90×10﹣3米
5．下列運算正確的是（　?。?br/>A．（a2）3＝a5 B．（ab）3＝a3b
C．（﹣a）3 （﹣a）＝a4 D．a6÷a3＝a2
6．某科學家研究發現人類頭發的直徑是0.0008分米．將0.0008用科學記數法表示為（　?。?br/>A．0.8×102 B．8×10﹣3 C．8×104 D．8×10﹣4
7．已知32m＝10，3n＝2，則92m﹣n的值為（　　）
A．25 B．96 C．5 D．3
8．若2x＝5，8y＝7，則2x﹣3y的值為（　?。?br/>A． B． C．35 D．﹣2
9．下列各式計算正確的是（　?。?br/>A．a2 a4＝a8 B．a8÷a2＝a4
C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（2ab）﹣2
10．下列運算正確的是（　　）
A．（﹣2023）0＝0 B．2023﹣1＝﹣2023
C． D．
二．填空題（共6小題）
11．某花粉粒子的直徑約為0.000015m，把數0.000015用科學記數法表示為 　 　．
12．數0.000301用科學記數法表示為　 ?。?br/>13．目前科學家發現一種新型病毒的直徑為0.0000251米，用科學記數法表示該病毒的直徑為　 　米．
14．﹣0.000000105用科學記數法表示為 　 ?。?br/>15．若xm＝3，xn＝2，則x2m﹣n的值為 　 　．
16．地球是人與自然共同生存的家園，在這個家園中還住著許多常常被人們忽略的微小生命，在冰島海岸的黃鐵礦粘液池中的古菌身上．科學家發現了基因片段，并提取出了小的生命體，它的直徑僅為0.0000002米．將數字0.0000002用科學記數法可表示為 　 　．
三．解答題（共8小題）
17．已知ax ay＝a5，ax÷ay＝a，求x2﹣y2的值．
18．計算：．
19．計算：（﹣2x2）3÷2x﹣（﹣x）4 x．
20．計算：a2 a3+（﹣a4）3÷a7．
21．計算：．
22．計算：a3 a+a6÷a2．
23．如圖，有4個小圓，自左向右分別標記為①、②、③、④，在每個小圓中分別填寫一個有理數，且后一個小圓中填寫的數是前一個小圓中填寫的數的．
（1）若第④個小圓中填寫的數是3240，請用科學記數法表示第①個小圓中所填寫的數．
（2）若第①個小圓中填寫的數是，請用科學記數法表示第④個小圓中所填寫的數．
24．（新定義）探究應用：用“∪”“∩”定義兩種新運算：對于兩個數a，b，規定a∪b＝10a×10b，a∩b＝10a÷10b．例如：3∪2＝103×102＝105；3∩2＝103÷102＝10．
（1）求（1040∪983）的值；
（2）求（2023∩2021）的值；
（3）當x為何值時，（x∪5）的值與（23∩17）的值相等．
冪的乘除 同底數冪的除法
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【答案】D
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.000 004 6＝4.6×10﹣6．
故選：D．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
2．【答案】A
【分析】根據同底數冪相乘，同底數冪相除，冪的乘方等法則依次判斷即可．
【解答】解：A、a3 a3＝a6，正確，符合題意；
B、（a2）4＝a8≠a6，不符合題意；
C、a8﹣a2不是同類項，不能合并，不符合題意；
D、a12÷a2＝a10≠a6，不符合題意，
故選：A．
【點評】本題主要考查的是同底數冪的乘除法，冪的乘方與積的乘方法則，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵．
3．【答案】D
【分析】A．根據同底數冪相乘法則進行計算，然后判斷即可；
B．先判斷m2，m6是不是同類項，然后判斷能否合并即可；
C．根據冪的乘方法則進行計算，然后判斷即可；
D．根據同底數冪的除法法則進行計算，然后判斷即可．
【解答】解：A．∵m3 m3＝m6，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；
B．∵m2，m6不是同類項，并能合并，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；
C．∵（m2）3＝m6，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；
D．∵m5÷m3＝m2（m≠0），∴此選項的計算正確，故此選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題主要考查了整式的有關運算，解題關鍵是熟練掌握同底數冪的乘除法則、冪的乘方法則和同類項的定義．
4．【答案】A
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.00009＝9×10﹣5，
故選：A．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
5．【答案】C
【分析】根據同底數冪的乘除法，冪的乘方和積的乘方計算出各個選項中式子的正確結果，即可判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故選項A錯誤，不符合題意；
B、（ab）3＝a3b3，故選項B錯誤，不符合題意；
C、（﹣a）3 （﹣a）＝（﹣a）4＝a4，故選項C正確，符合題意；
D、a6÷a3＝a3，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
6．【答案】D
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．
【解答】解：將0.0008用科學記數法表示為8×10﹣4．
故選：D．
【點評】此題主要考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
7．【答案】A
【分析】逆用同底數冪的除法法則把所求冪寫成兩個同底數冪相除的形式，然后再逆用冪的乘方法則把它們寫成底數分別是32m和3n的形式，再整體代入進行計算即可．
【解答】解：∵32m＝10，3n＝2，
∴92m﹣n
＝92m÷9n
＝（32）2m÷（32）n
＝34m÷32n
＝（32m）2÷（3n）2
＝102÷22
＝100÷4
＝25，
故選：A．
【點評】此題主要考查了合并同類項以及積的乘方運算、同底數冪的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
8．【答案】B
【分析】由題意易得23y＝7，然后根據同底數冪除法的逆用可進行求解．
【解答】解：∵2x＝5，8y＝23y＝7，
∴．
故選：B．
【點評】本題主要考查同底數冪除法，熟練掌握同底數冪除法的逆用是解題的關鍵．
9．【答案】D
【分析】直接利用同底數冪的乘除運算法則、積的乘方運算法則、負整數指數冪的性質分別化簡，進而得出答案．
【解答】解：A．a2 a4＝a6，故此選項不合題意；
B．a8÷a2＝a6，故此選項不合題意；
C．（﹣3a3）2＝9a6，故此選項不合題意；
D．（2ab）﹣2，故此選項符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了同底數冪的乘除運算、積的乘方運算、負整數指數冪的性質，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
10．【答案】D
【分析】根據負整數指數冪，零指數冪進行計算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、（﹣2023）0＝1，故A不符合題意；
B、2023﹣1，故B不符合題意；
C、（﹣2）﹣2，故C不符合題意；
D、（﹣2）﹣3，故D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了負整數指數冪，零指數冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
二．填空題（共6小題）
11．【答案】1.5×10﹣5．
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5．
故答案為：1.5×10﹣5．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
12．【答案】見試題解答內容
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.000301＝3.01×10﹣4．
故答案為：3.01×10﹣4
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
13．【答案】見試題解答內容
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.0000251＝2.51×10﹣5．
故答案為：2.51×10﹣5．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
14．【答案】1.05×10﹣7．
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【解答】解：﹣0.000000105用科學記數法表示為1.05×10﹣7，
故答案為：1.05×10﹣7．
【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
15．【答案】．
【分析】根據同底數冪的除法法則和冪的乘方與積的乘方法則進行解題即可．
【解答】解：x2m﹣n＝x2m÷xn＝（xm）2÷xn＝9÷2．
故答案為：．
【點評】本題考查同底數冪的除法和冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
16．【答案】2×10﹣7．
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．
【解答】解：將數字0.0000002用科學記數法可表示為2×10﹣7．
故答案為：2×10﹣7．
【點評】此題主要考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
三．解答題（共8小題）
17．【答案】見試題解答內容
【分析】根據冪的運算法則即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：ax+y＝a5；
ax﹣y＝a，
∴x﹣y＝1，x+y＝5
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5；
【點評】本題考查冪的運算法則，解題的關鍵是熟練運用冪的運算法則，本題屬于基礎題型．
18．【答案】4．
【分析】根據零指數冪，負整數指數冪，有理數的乘方運算求解即可．
【解答】解：
＝﹣1+1+4
＝4．
【點評】本題考查了零指數冪，負整數指數冪，有理數的乘方，有理數的混合運算，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
19．【答案】﹣5x5．
【分析】根據積的乘方，同底數冪的除法，單項式除以單項式進行計算，最后合并同類項，即可求解．
【解答】解：（﹣2x2）3÷2x﹣（﹣x）4 x
＝﹣8x6÷2x﹣x5
＝﹣5x5．
【點評】本題考查了積的乘方，同底數冪的除法，單項式除以單項式，熟練掌握冪的運算法則是解題的關鍵．
20．【答案】0．
【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則以及積的乘方運算法則、同底數冪的除法運算法則分別化簡，進而得出答案．
【解答】解：原式＝a5+（﹣a12）÷a7
＝a5+（﹣a5）
＝0．
【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法運算以及積的乘方運算、同底數冪的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
21．【答案】6．
【分析】直接利用零指數冪的性質以及負整數指數冪的性質、絕對值的性質等分別化簡得出答案．
【解答】解：
＝1﹣1+8﹣2
＝6．
【點評】本題主要考查了零指數冪的性質以及負整數指數冪的性質、絕對值的性質等知識，正確化簡各數是解題關鍵．
22．【答案】2a4．
【分析】先算同底數冪的乘法，同底數冪的除法，再合并同類項即可．
【解答】解：a3 a+a6÷a2
＝a4+a4
＝2a4．
【點評】本題主要考查同底數冪的除法，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
23．【答案】（1）3.24×106；（2）2×10﹣6．
【分析】（1）先列算式，再根據科學記數法求解；
（2）先列算式，再根據科學記數法求解．
【解答】解：（1）由題意得：第①個小圓中所填寫的數為：3240×10×10×10＝3240000＝3.24×106；
（2）由題意得：第④個小圓中所填寫的數為：．
【點評】本題主要考查科學記數法，掌握科學記數法的定義是關鍵．
24．【答案】（1）102023；（2）100；（3）x＝1．
【分析】（1）根據新定義的運算，把相應的值代入式子中，再利用同底數冪的乘法的法則進行運算即可；
（2）根據新定義的運算，把相應的值代入式子中，再利用同底數冪的除法的法則進行運算即可；
（3）根據題意列出相應的式子進行運算即可．
【解答】解：（1）（1040∪983）
＝101040×10983
＝102023；
（2）（2023∩2021）
＝102023÷102021
＝102
＝100；
（3）由題意得：（x∪5）＝（23∩17），
則10x×105＝1023÷1017，
∴105+x＝106，
即5+x＝6，
解得：x＝1．
【點評】本題主要考查同底數冪的除法，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．
考點卡片
1．有理數的加減混合運算
（1）有理數加減混合運算的方法：有理數加減法統一成加法．
（2）方法指引：
①在一個式子里，有加法也有減法，根據有理數減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括號的和的形式．
②轉化成省略括號的代數和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化．
2．有理數的乘方
（1）有理數乘方的定義：求n個相同因數積的運算，叫做乘方．
乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數，n叫做指數．an讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．）
（2）乘方的法則：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何正整數次冪都是0．
（3）方法指引：
①有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；
②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減．
3．有理數的混合運算
（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．
（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
【規律方法】有理數混合運算的四種運算技巧
1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．
2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．
3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算．
4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．
4．科學記數法—表示較大的數
（1）科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．【科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．】
（2）規律方法總結：
①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規律為關鍵，由于10的指數比原來的整數位數少1；按此規律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數n．
②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．
5．科學記數法—表示較小的數
用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【規律方法】用科學記數法表示有理數x的規律
x的取值范圍 表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n 1≤|a| ＜10 整數的位數﹣1
|x|＜1
a×10﹣n 第一位非零數字前所有0的個數（含小數點前的0）
6．合并同類項
（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．
（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．
（3）合并同類項時要注意以下三點：
①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；字母和字母指數；
②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化簡多項式的目的；
③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變．
7．同底數冪的乘法
（1）同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
am an＝a m+n（m，n是正整數）
（2）推廣：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整數）
在應用同底數冪的乘法法則時，應注意：①底數必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項式，也可以是多項式；③按照運算性質，只有相乘時才是底數不變，指數相加．
（3）概括整合：同底數冪的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵．在運用時要抓住“同底數”這一關鍵點，同時注意，有的底數可能并不相同，這時可以適當變形為同底數冪．
8．冪的乘方與積的乘方
（1）冪的乘方法則：底數不變，指數相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整數）
注意：①冪的乘方的底數指的是冪的底數；②性質中“指數相乘”指的是冪的指數與乘方的指數相乘，這里注意與同底數冪的乘法中“指數相加”的區別．
（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整數）
注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數字因數的乘方應根據乘方的意義，計算出最后的結果．
9．同底數冪的除法
同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整數，m＞n）
①底數a≠0，因為0不能做除數；
②單獨的一個字母，其指數是1，而不是0；
③應用同底數冪除法的法則時，底數a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數是什么，指數是什么．
10．零指數冪
零指數冪：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．負整數指數冪
負整數指數冪：a﹣p（a≠0，p為正整數）
注意：①a≠0；
②計算負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算，避免出現（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．
③當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數．
④在混合運算中，始終要注意運算的順序．
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