資源簡介

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乘法公式 平方差公式
一．選擇題（共10小題）
1．如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
2．若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，則a+b的值為（　　）
A．9 B．﹣9 C．27 D．﹣27
3．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，則a2﹣b2等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如圖，邊長為（m+n）的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后余下部分又剪開拼成個長方形（不重疊無縫隙），若拼成的長方形一邊長為n，則長方形的面積是（　　）
A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2
5．如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的有（　　）
A．圖1、圖2、圖3 B．圖2、圖3、圖4
C．圖1、圖2、圖4 D．圖1、圖3、圖4
6．已知a+b＝3，則a2﹣b2+6b的值為（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
7．如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，再將剩下的陰影部分剪開，拼成如圖的長方形，則可以驗證下列等式成立的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
8．下列多項式相乘，能用平方差公式計算的是（　　）
A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（3x﹣y）（3x+y）
C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（3x﹣y）（y﹣3x）
9．下列各式中能用平方差公式運算的是（　　）
A．（﹣a+b）（﹣a﹣b） B．（a﹣b）（b﹣a）
C．（2a﹣3b）（3a+2b） D．（a﹣b+c）（b﹣a﹣c）
10．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，c＝（）2022×（）2023，則a，b，c的大小關系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
二．填空題（共6小題）
11．計算：（1）×（1）×…×（1）＝　 　．
12．計算：（2x+y）（2x﹣y）＝　 　．
13．若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，則x+y＝　 　．
14．計算：20232﹣2022×2024＝　 　．
15．已知a2＝b2+3，則（a+b）（a﹣b）＝　 　．
16．如圖，從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪開后拼成一個長方形，上述操作能驗證的等式是 　 　．
三．解答題（共7小題）
17．計算：（a+b）（a﹣b）﹣（ab2）2÷（﹣ab）2．
18．化簡：x（2﹣x）+（x+y）（x﹣y）．
19．計算：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）．
20．計算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．
21．按要求解答：
①化簡（3a+1）（3a﹣1）﹣（1﹣a）（3a+2）；
②計算：．
22．實踐與探索
如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個長方形（如圖②所示）．
（1）上述操作能驗證的等式是 　 　．（請選擇正確的一個）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）請應用（1）中的等式完成下列各題：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝　 　；
②計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12；
③計算：（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）．
23．如圖，在一塊正方形的鋼板中挖去兩個邊長分別為a，b的小正方形．
（1）求剩余鋼板的面積；
（2）若原鋼板的周長是32，且a＝5，求剩余鋼板的面積．
乘法公式 平方差公式
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【答案】A
【分析】由大正方形的面積﹣小正方形的面積＝矩形的面積，進而可以證明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面積﹣小正方形的面積＝a2﹣b2，
矩形的面積＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故選：A．
【點評】本題主要考查平方差公式的幾何意義，用兩種方法表示陰影部分的面積是解題的關鍵．
2．【答案】A
【分析】第二個等式左邊利用平方差公式分解，將第一個等式代入計算即可求出a+b的值．
【解答】解：∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝72，
∴a+b＝9，
故選：A．
【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
3．【答案】C
【分析】根據平方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）
＝3×1
＝3．
故選：C．
【點評】本題考查了平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題的關鍵．
4．【答案】D
【分析】根據長方形的面積等于兩個正方形的面積差，列式計算即可．
【解答】解：由題意得，拼成的長方形的面積為：
S大正方形﹣S小正方形
＝（m+n）2﹣m2
＝2mn+n2，
故選：D．
【點評】本題考查列代數式，平方差公式，掌握拼圖前后面積之間的和差關系是正確解答的關鍵．
5．【答案】A
【分析】根據兩種方法，求出面積，列出等式，即可得出結論．
【解答】解：圖1可以驗證的公式為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，符合題意；
圖2可以驗證的公式為：a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），整理得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，符合題意；
圖3可以驗證的公式為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，符合題意；
圖4可以驗證的公式為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，不符合題意；
故能驗證平方差公式的是圖1、圖2、圖3．
故選：A．
【點評】本題考查平方差公式的幾何背景．正確的識圖，利用兩種方法，表示出面積，是解題的關鍵．
6．【答案】D
【分析】由a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b逐步代入可得答案．
【解答】解：∵a+b＝3，
∴a2﹣b2+6b
＝（a+b）（a﹣b）+6b
＝3（a﹣b）+6b＝3a+3b
＝3（a+b）
＝3×3
＝9．
故選：D．
【點評】本題考查的是代數式的求值，考查了用平方差公式分解因式，掌握整體代入的方法是解題的關鍵．
7．【答案】D
【分析】由大正方形的面積﹣小正方形的面積＝矩形的面積，進而可以證明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面積﹣小正方形的面積＝a2﹣b2，
矩形的面積＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故選：D．
【點評】本題主要考查平方差公式的幾何意義，用兩種方法表示陰影部分的面積是解題的關鍵．
8．【答案】B
【分析】根據平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的結構特征判斷即可．
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的結構特征，不能用平方差公式計算，故此選項不符合題意；
B、（3x﹣y）（3x+y），符合平方差公式的結構特征，能用平方差公式計算，故此選項符合題意；
C、（﹣x+y）（x﹣y），不符合平方差公式的結構特征，不能用平方差公式計算，故此選項不符合題意；
D、（3x﹣y）（y﹣3x），不符合平方差公式的結構特征，不能用平方差公式計算，故此選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結構特征是解題的關鍵．
9．【答案】A
【分析】根據兩數的和乘以這兩個數的差等于這兩個數的平方差，可得答案．
【解答】解：A、兩數的和乘以這兩個數的差等于這兩個數的平方差，故A正確；
B、不是兩數的和乘以這兩個數的差等于這兩個數的平方差，故B錯誤；
C、不是兩數的和乘以這兩個數的差等于這兩個數的平方差，故C錯誤；
D、不是兩數的和乘以這兩個數的差等于這兩個數的平方差，故D錯誤；
故選：A．
【點評】本題考查了平方差公式，平方差公式是兩數和乘以這兩個數的差．
10．【答案】B
【分析】將各數進行計算后比較大小即可．
【解答】解：a＝20220＝1；
b＝2021×2023﹣20222
＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1；
c＝（）2022×（）2023
＝（）2022×（）2022
＝（）2022
＝（﹣1）2022
；
∵﹣1＜1，
∴b＜a＜c，
故選：B．
【點評】本題考查有理數的大小比較，平方差公式，積的乘方，零指數冪，將各數進行計算求得正確的結果是解題的關鍵．
二．填空題（共6小題）
11．【答案】．
【分析】根據平方差公式轉化為幾個因式積的形式即可簡便運算．
【解答】解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）
，
故答案為：．
【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確應用的前提，將原式轉化為幾個因式積的形式是解決問題的關鍵．
12．【答案】見試題解答內容
【分析】此題符合平方差公式的特征：（1）兩個二項式相乘；（2）有一項相同，另一項互為相反數．直接利用平方差公式計算．
【解答】解：（2x+y）（2x﹣y），
＝（2x）2﹣y2，
＝4x2﹣y2；
故填4x2﹣y2．
【點評】本題主要考查平方差公式，運用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．
13．【答案】6．
【分析】根據平方差公式進行計算即可求解．
【解答】解：∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝2，
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12，
∴x﹣y＝12÷2＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了平方差公式因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
14．【答案】1．
【分析】運用平方差公式進行簡便運算．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解決本題的關鍵．
15．【答案】3．
【分析】已知等式移項后，利用平方差公式分解，計算即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵a2＝b2+3，
∴a2﹣b2＝3，
則（a+b）（a﹣b）＝3．
故答案為：3．
【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
16．【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【分析】將“剩余部分”的面積通過“算兩遍”的方法用代數式表示其面積即可．
【解答】解：從邊長為a的正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，剩余部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，
將剩余部分可以拼成長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【點評】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵．
三．解答題（共7小題）
17．【答案】a2﹣2b2．
【分析】根據平方差公式、積的乘方和單項式除以單項式法則計算即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）﹣（ab2）2÷（﹣ab）2
＝a2﹣b2﹣a2b4÷a2b2
＝a2﹣b2﹣b2
＝a2﹣2b2．
【點評】本題考查了平方差公式、積的乘方、單項式除法，解本題的關鍵在熟練掌握相關的運算法則．
18．【答案】2x﹣y2．
【分析】根據單項式乘以單項式，平方差公式進行計算即可求解．
【解答】解：x（2﹣x）+（x+y）（x﹣y）＝
2x﹣x2+x2﹣y2
＝2x﹣y2．
【點評】本題考查了單項式乘以單項式，平方差公式，掌握整式的乘法運算法則以及平方差公式是解題的關鍵．
19．【答案】4x+4．
【分析】先根據多項式乘多項式公式和平方差公式計算，再合并同類項即可．
【解答】解：（x+5）（x﹣1）﹣（x+3）（x﹣3）
＝x2+4x﹣5﹣x2+9
＝4x+4．
【點評】此題主要考查了多項式乘多項式和平方差公式，正確掌握多項式乘法公式和平方差公式是解題關鍵．
20．【答案】x2﹣3y．
【分析】利用平方差公式及單項式乘多項式法則進行計算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）
＝x2﹣4y2﹣3y+4y2
＝x2﹣3y．
【點評】本題考查整式的混合運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
21．【答案】①12a2﹣a﹣3；
②﹣1.25．
【分析】①利用平方差公式和多項式乘多項式的法則化簡后合并同類項即可；
②由冪的乘方及積的乘方法則可得出答案．
【解答】解：①原式＝（9a2﹣1）﹣（3a+2﹣3a2﹣2a）
＝9a2﹣1﹣3a﹣2+3a2+2a
＝12a2﹣a﹣3．
②原式
＝﹣1.25．
【點評】本題主要考查了冪的乘方及積的乘方，平多項式乘多項式，正確利用上述法則進行運算是解題的關鍵．
22．【答案】（1）A；（2）①4；②5050；③．
【分析】（1）分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積即可得出答案；
（2）①利用平方差公式將4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入計算即可；
②利用平方差公式將原式轉化為1+2+3+…+99+100即可．
③利用平方差公式將解答即可．
【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，
圖2中的陰影部分是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案為：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案為：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
③（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）
＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…×（1）（1）（1）（1）
．
【點評】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的結構特征是正確應用的前提．
23．【答案】（1）2ab；
（2）30．
【分析】（1）直接利用大正方形面積減去兩個小正方形面積即可；
（2）先利用周長求出b，再代入（1）中結果進行計算即可．
【解答】解：（1）由題意可知：面積＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
（2）∵周長是32，
∴a+b＝8．
∵a＝5，
∴b＝8﹣a＝3．
∴剩余鋼板的面積＝2×5×3＝30．
【點評】本題考查了列代數式和求值，解題關鍵是正確列出代數式，并且能夠將字母的值代入計算．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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