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整式的除法
一．選擇題（共10小題）
1．下列運算正確的是（　　）
A．2a+5a＝7a2 B．（﹣2a）3＝8a3
C．﹣8a2÷2a＝﹣4a D．3a2 a3＝3a6
2．如圖1，以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩個正方形按圖2的方式放置在大正方形內，記四邊形ABCD的面積為S1，四邊形CDEG的面積為S2，四邊形GFKH的面積為S3，四邊形CGHP面積為S4，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
3．計算28x4y2÷7x3y的結果是（　　）
A．4xy B．﹣4xy C．4x2y D．4xy2
4．下列計算正確的是（　　）
A．b3 b3＝2b3 B．（a5）2＝a10
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構成，各部分的面積數據如圖所示．右邊場地為長方形，長為2（a+b），則寬為（　　）
A． B．1 C． D．a+b
6．下列運算結果正確的是（　　）
A．a2 a5＝a10 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．24a3b2÷3ab2＝8a2b D．a2+a3＝a5
7．下列計算正確的是（　　）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
B．（﹣x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．（2x﹣y）（x+2y）＝2x2﹣2y2
D．（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝x2﹣4y2
8．下列運算不正確的是（　　）
A．3x﹣2x＝x B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C．（2x2）3＝8x6 D．2x2÷x＝2x
9．下列計算中，正確的是（　　）
A．a3 a3＝a9 B．3a3÷2aa3
C．（a2）3＝a6 D．2a+3a2＝5a3
10．下列運算正確的是（　　）
A．5a2 a＝5a3
B．（a﹣1）2＝a2+1
C．
D．（4a+b）（b﹣4a）＝16a2﹣b2
二．填空題（共6小題）
11．若一個長方形的面積為4a3b4，其長為2a2b2，則寬為 　 　．
12．計算8x2y4÷（4xy2）＝　 　．
13．計算：　 　．
14．計算：（ab2）3÷（﹣ab）2＝　 　．
15．計算x3y4÷（﹣2xy3）的結果為 　 　．
16．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖1放置，其未重疊部分（陰影）面積為S1，若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b（2b＞a）的小正方形（如圖2），兩個小正方形重疊部分（陰影）面積為S2，則S1+S2可用含a，b的代數式表示為 　 　．
三．解答題（共8小題）
17．計算：（﹣a3）2+6a4 2a2﹣（2a3）4÷a6．
18．先化簡，再求值，其中．
19．計算：
（1）a2 a4+（﹣2a2）3+a8÷a2；
（2）y（3﹣4y）﹣（x+2y）（x﹣2y）．
20．對于兩數和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三個代數式：a±b、a2+b2和ab，若已知其中任意兩個代數式的值，則可求第三個代數式的值．由此解決下列問題：
（1）若（a+b）2＝20，ab＝4，則a﹣b＝　 　；
（2）若x滿足（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325，求（65﹣x）（x﹣50）的值；
（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝12，BC＝8，點E、F分別是邊AD、AB上的點，且DE＝BF＝a，分別以AE、AF為邊在長方形ABCD外側作正方形AEMN和正方形APQF，若長方形AFGE的面積為56，求圖中兩個正方形的面積之和．
21．先化簡，再求值：，其中x＝2，y＝﹣1．
22．將完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2進行適當的變形，可以解決很多數學問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因為a+b＝3，ab＝1，
所以（a+b）2＝9，2ab＝2．
所以a2+2ab+b2＝9，2ab＝2．
得a2+b2＝7．
根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝50，則xy的值為 　 　；
（2）①若（9﹣x）x＝14，則（9﹣x）2+x2＝　 　；
②若（5﹣x）（7+x）＝10，則（5﹣x）2+（7+x）2＝　 　；
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝21，求圖中陰影部分的面積．
23．如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示．
（1）請直接寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關系 　 　．
（2）若xy＝﹣3，x﹣y＝4，求x+y的值．
（3）如圖3，線段AB＝10，C點是AB上的一點，分別以AC、BC為邊長在AB的異側作正方形ACDE和正方形CBGF，連接AF；若兩個正方形的面積S1+S2＝32，求陰影部分△ACF面積．
24．先化簡，再求值：m（m+2n）﹣（m+1）2+2m，其中，．
整式的除法
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【答案】C
【分析】根據合并同類項法則、積的乘方與冪的乘方、單項式除單項式、單項式乘單項式法則逐項判斷即可．
【解答】解：2a+5a＝7a，故A不正確，不符合題意；
（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不正確，不符合題意；
﹣8a2÷2a＝﹣4a，故C正確，符合題意；
3a2 a3＝3a5，故D不正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查整式運算，解題的關鍵是掌握合并同類項法則、積的乘方與冪的乘方、單項式除單項式、單項式乘單項式法則．
2．【答案】B
【分析】設大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，如圖2，S1+S陰影b，S1+S2（c﹣a），把b＝c﹣a代入即可得到結論．
【解答】解：設大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，
如圖2，∵S1+S陰影b，S1+S2（c﹣a），
∵a+b＝c，
∴b＝c﹣a，
∴S1+S陰影＝S1+S2，
∴S2＝S陰影，
∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出S2，
故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理，整式的混合運算，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
3．【答案】A
【分析】利用單項式除以單項式法則計算即可求出值．
【解答】解：原式＝4xy，
故選：A．
【點評】此題考查了整式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
4．【答案】B
【分析】根據同底數冪的乘法可以判斷A；根據冪的乘方可以判斷B；根據平方差公式可以判斷C；根據完全平方公式可以判斷D．
【解答】解：b3 b3＝b6，故選項A錯誤，不符合題意；
（a5）2＝a10，故選項B正確，符合題意；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故選項C錯誤，不符合題意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
5．【答案】C
【分析】求出左邊場地的面積為a2+b2+2ab，由題意可求右邊場地的寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）．
【解答】解：左邊場地面積＝a2+b2+2ab，
∵左邊場地的面積與右邊場地的面積相等，
∴寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b），
故選：C．
【點評】本題考查整式的除法；熟練掌握整式的除法運算法則，準確計算是解題的關鍵．
6．【答案】B
【分析】根據整式的乘除運算法則、合并同類項法則以及積的乘方運算即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a7，故A不符合題意．
B、原式＝﹣8a6，故B符合題意．
C、原式＝8a2，故C不符合題意．
D、a2與a3不是同類項，故D不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查整式的乘除運算法則、合并同類項法則以及積的乘方運算，本題屬于基礎題型．
7．【答案】D
【分析】根據多項式乘多項式法則一一計算即可判斷．
【解答】解：A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，本選項錯誤，不符合題意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，本選項錯誤，不符合題意；
C、（2x﹣y）（x+2y）＝2x2+3xy﹣2y2，本選項錯誤，不符合題意；
D、（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝（﹣x）2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，必須執行正確，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式是混合運算法則．
8．【答案】B
【分析】根據合并同類項的法則，完全平方公式、積的乘方和單項式除以單項式可以計算出各個選項中式子的正確結果，再進行判斷即可．
【解答】解：A．3x﹣2x＝x，故選項A計算正確，不符合題意；
B．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故選項B計算錯誤，符合題意；
C．（2x2）3＝8x6，故選項C計算正確，不符合題意；
D．2x2÷x＝2x，故選項D計算正確，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．
9．【答案】C
【分析】根據同底數冪的乘除法則、冪的乘方及合并同類項解答即可．
【解答】解：A、a3 a3＝a6，錯誤；
B、3a3÷2aa2，錯誤；
C、（a2）3＝a6，正確；
D、2a與3a2不是同類項，不能合并，錯誤；
故選：C．
【點評】本題考查了同底數冪的乘除法則、冪的乘方，解答本題的關鍵是掌握各部分的運算法則．
10．【答案】A
【分析】利用單項式乘單項式的法則，完全平方公式，冪的混合運算，平方差公式對各項進行運算即可．
【解答】解：A．5a2 a＝5a3，故該選項正確，符合題意；
B． （a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故該選項錯誤，不符合題意；
C． ，故該選項錯誤，不符合題意；
D． （4a+b）（b﹣4a）＝b2﹣16a2，故該選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了整式的混合運算，利用單項式乘單項式的法則，完全平方公式，冪的混合運算，平方差公式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
二．填空題（共6小題）
11．【答案】2ab2．
【分析】根據整式的除法運算即可求出答案．
【解答】解：寬為4a3b4÷2a2b2＝2ab2．
故答案為：2ab2．
【點評】本題考查整式的除法運算，解題的關鍵是熟練運用整式的除法運算法則，本題屬于基礎題型．
12．【答案】2xy2．
【分析】根據整式的除法進行計算即可．
【解答】解：原式＝2xy2，
故答案為：2xy2．
【點評】本題考查了整式的除法，單項式除以單項式，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式．
13．【答案】24+20x﹣16x2．
【分析】根據整式的混合運算法則計算即可．
【解答】解：
＝24+20x﹣16x2，
故答案為：24+20x﹣16x2．
【點評】本題考查了整式的除法，熟練掌握整式的除法法則是解題的關鍵．
14．【答案】見試題解答內容
【分析】先進行積的乘方，然后進行整式除法運算即可．
【解答】解：原式＝a3b6÷a2b2
＝ab4．
故答案為：ab4．
【點評】本題考查了積的乘方，單項式除單項式，解答本題的關鍵是熟練掌握運算法則．
15．【答案】．
【分析】根據同底數冪，單項式的乘法的運算法則進行計算．
【解答】解：．
故答案為：．
【點評】本題考查了同底數冪，單項式的乘法的運算，熟練掌握運算法則是解決本題的關鍵．
16．【答案】a2﹣ab+b2．
【分析】分別用含a，b的式子表示S1，S2，即可得到答案．
【解答】解：如圖1，，
圖2：，
∴．
故答案為：a2﹣ab+b2．
【點評】本題主要考查乘法公式與幾何圖形的結合，掌握數形結合的思想．分別用含a，b的式子表示S1，S2是關鍵．
三．解答題（共8小題）
17．【答案】﹣3a6．
【分析】先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答．
【解答】解：（﹣a3）2+6a4 2a2﹣（2a3）4÷a6
＝a6+12a6﹣16a12÷a6
＝a6+12a6﹣16a6
＝﹣3a6．
【點評】本題考查了整式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
18．【答案】﹣2a﹣16b+2，原式＝﹣4．
【分析】先利用完全平方公式，多項式乘多項式計算括號里，再算括號外，然后把a，b的值代入化簡后的式子進行計算即可解答．
【解答】解：
＝（4a2+4ab+b2﹣3a2+4ab﹣b2﹣a）÷（a）
＝（a2+8ab﹣a）÷（a）
＝﹣2a﹣16b+2，
當時，原式＝﹣2×（﹣1）﹣162
＝2﹣8+2
＝﹣4．
【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
19．【答案】（1）﹣6a6；（2）3y﹣x2．
【分析】（1）利用積的乘方、同底數冪的乘除法法則計算即可；
（2）利用單項式乘多項式法則、乘法的平方差公式計算即可．
【解答】解：（1）a2 a4+（﹣2a2）3+a8÷a2
＝a6﹣8a6+a6
＝﹣6a6；
（2）y（3﹣4y）﹣（x+2y）（x﹣2y）
＝3y﹣4y2﹣（x2﹣4y2）
＝3y﹣4y2﹣x2+4y2
＝3y﹣x2．
【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握整式的運算法則、運算順序是解決本題的關鍵．
20．【答案】（1）±2；
（2）﹣50；
（3）圖中兩個正方形的面積之和為128．
【分析】（1）根據（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，進行計算即可解答；
（2）設65﹣x＝a，x﹣50＝b，則a+b＝15，a2+b2＝325，然后利用完全平方公式進行計算，即可解答；
（3）根據題意可得：AE＝8﹣a，AF＝12﹣a，然后設8﹣a＝m，12﹣a＝n，則n﹣m＝4，再根據已知可得：AE AF＝56，從而可得mn＝56，最后根據完全平方公式進行計算，即可解答．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝20，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝20﹣4×4
＝20﹣16
＝4，
∴a﹣b＝±2，
故答案為：±2；
（2）設65﹣x＝a，x﹣50＝b，
∴a+b＝65﹣x+x﹣50＝15，
∵（65﹣x）2+（x﹣50）2＝325，
∴a2+b2＝325，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝152﹣325，
＝225﹣325
＝﹣100，
∴ab＝﹣50，
∴（65﹣x）（x﹣50）＝﹣50；
（3）∵AB＝12，BC＝8，DE＝BF＝a，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝8﹣a，AF＝AB﹣BF＝12﹣a，
設8﹣a＝m，12﹣a＝n，
∴n﹣m＝12﹣a﹣（8﹣a）＝4，
∵長方形AFGE的面積為56，
∴AE AF＝（8﹣a）（12﹣a）＝56，
∴mn＝56，
∴圖中兩個正方形的面積之和＝AE2+AF2
＝（8﹣a）2+（12﹣a）2
＝m2+n2
＝（n﹣m）2+2mn
＝42+2×56
＝16+112
＝128，
∴圖中兩個正方形的面積之和為128．
【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，完全平方公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
21．【答案】﹣2．
【分析】根據整式的混合運算法則化簡，然后將x與y的值代入原式即可得出答案．
【解答】解：原式＝2x2yx2y2﹣2x2y+1
x2y2+1
當x＝2，y＝﹣1時，
原式22×（﹣1）2
＝﹣2×1
＝﹣2．
【點評】本題主要考查整式混合運算法則運算，熟練運用整式的混合運算法則是解題的關鍵．
22．【答案】（1）7；
（2）①53；
②124；
（3）．
【分析】（1）（2）三個小題均根據已知例子的解題思路和方法，利用完全平方公式進行解答即可；
（3）設兩個正方形邊長AC＝x，BC＝y，然后根據已知例子的解題思路和方法，利用完全平方公式求出xy，再利用三角形面積公式求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝8，x2+y2＝50，
∴（x+y）2＝64，
x2+y2+2xy＝64，
2xy＝64﹣50，
2xy＝14，
xy＝7，
故答案為：7；
（2）①∵（9﹣x）x＝14，
∴2x（9﹣x）＝28，
∵[（9﹣x）+x]2
＝（9﹣x+x）2
＝92
＝81，
∴（9﹣x）2+x2+2x（9﹣x）＝81，
（9﹣x）2+x2＝81﹣2x（9﹣x），
（9﹣x）2+x2＝81﹣28＝53，
故答案為：53；
②∵（5﹣x）（7﹣x）＝10，
∴2（5﹣x）（7﹣x）＝20，
∵[（5﹣x）+（7+x）]2
＝（5﹣x+7+x）2
＝122
＝144，
∴（5﹣x）2+（7+x）2+2（5﹣x）（7+x）＝144，
（5﹣x）2+（7+x）2＝144﹣20，
（5﹣x）2+（7+x）2＝124，
（3）設AC＝x，BC＝y，
∵，
∴x2+y2＝21，
∵AB＝AC+BC＝6，
∴x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
x2+y2+2xy＝36，
21+2xy＝36，
2xy＝36﹣21，
2xy＝15，
，
∴陰影部分的面積為：．
【點評】本題主要考查了整式的化簡求值和完全平方公式的應用，解題關鍵是熟練掌握完全平方公式并能靈活應用．
23．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）±2；
（3）17．
【分析】（1）根據面積法進行計算，即可解答；
（2）利用（1）的結論進行計算，即可解答；
（3）設AC＝a，BC＝b，則a+b＝10，a2+b2＝32，然后利用完全平方公式進行計算，即可解答．
【解答】解：（1）由題意得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）∵xy＝﹣3，x﹣y＝4，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy
＝42+4×（﹣3）
＝16+（﹣12）
＝4，
∴x+y＝±2；
（3）設AC＝a，BC＝b，
∵AB＝10，
∴AC+BC＝10，
∴a+b＝10，
∵S1+S2＝32，
∴a2+b2＝32，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝102﹣32
＝100﹣32
＝68，
∴ab＝34，
∴陰影部分△ACF面積AC CF
AC BC
ab
34
＝17，
∴陰影部分△ACF面積為17．
【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，完全平方公式的幾何背景，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
24．【答案】2mn﹣1，1．
【分析】先根據單項式乘以多項式和完全平方公式計算，再合并同類項，最后將，代入原式計算即可．
【解答】解：m（m+2n）﹣（m+1）2+2m
＝m2+2mn﹣m2﹣2m﹣1+2m
＝2mn﹣1，
∵，，
∴原式．
【點評】本題考查了整式的混合運算以及整式的化簡求值，熟練掌握運算順序及乘法公式是解答本題的關鍵．
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