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認識三角形
一．選擇題（共10小題）
1．下列三條線段的長度，能組成三角形的是（　?。?br/>A．3，3，6 B．5，6，12 C．2，5，7 D．6，7，8
2．已知三角形的兩條邊長分別為2和6，則第三邊的長可能是（　?。?br/>A．1 B．2 C．7 D．9
3．如圖，為估計池塘岸邊A，B的距離，小方在池塘的一側選取一點O，測得OA＝15米，OB＝10米，A、B間的距離不可能是（　　）
A．25米 B．15米 C．10米 D．6米
4．如圖，△ABC中，AD為△ABC的角平分線，BE為△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　?。?br/>A．59° B．60° C．56° D．22°
5．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（　?。?br/>A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形
C．直角三角形 D．周長相等的三角形
6．直角三角形兩個銳角平分線相交所成的鈍角的度數為（　　）
A．90° B．135° C．120° D．45°或135°
7．幼兒園的小朋友用木棒做拼圖形游戲，一個孩子手中有2根木棒長度分別為3cm和5cm，下列木棒不能使其能圍成一個三角形的是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線段AD應該是△ABC的（　?。?br/>A．角平分線 B．中線
C．高線 D．以上都不是
9．已知△ABC中，其中有兩邊長是2和5，且△ABC的第三邊長是偶數，則此三角形的周長為（　?。?br/>A．11 B．12 C．13 D．11或13
10．下列長度的三條線段能組成三角形的是（　?。?br/>A．1cm、2cm，3cm B．6cm、2cm，3cm
C．4cm、6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm
二．填空題（共6小題）
11．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，過點C的射線CE與AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，則∠ACE＝　 　°．
12．如圖，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分線，點D是△ABC內一點，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝　 　°．
13．如圖，BD是△ABC的中線，G是BD上的一點，且BG＝2GD，連接AG，若△ABC的面積為6，則圖中陰影部分的面積是 　 　．
14．如圖，點M，N分別在AB，AC上，MN∥BC，將△ABC沿MN折疊后，點A落在點A′處，若∠A′＝28°，∠B＝120°，則∠A′NC＝　 　°．
15．如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，若AB＝5，BC＝4，AC＝3，則高CD的長度為 　 ?。?br/>16．如圖，△ABC中AD，BE分別是△ABC的高和角平分線，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，則∠BAD＝　 　°．
三．解答題（共9小題）
17．如圖，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD與AE交于點F，求∠AFB．
18．已知三角形的兩邊長為5和7，第三邊的邊長a．
（1）求a的取值范圍；
（2）若a為整數，當a為何值時，組成的三角形的周長最大，最大值是多少？
19．將一副三角板的兩個頂點按圖所示重疊擺放在直線MN上，且三角板ADE始終擺放在直線MN下方，三角板ABC可繞點A任意旋轉．已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°．設∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150）．
（1）當m+n＝0時，求∠CAE的度數；
（2）當n＝2m（m≠0）時，求∠CAM與∠MAE的數量關系；
（3）當點C，A，E三點共線時，請通過畫圖探究說明m與n的數量關系．
20．如圖，在△ABC中，∠CAE＝20°，∠C＝40°，∠CBD＝30°，求∠AFB的度數．
21．如果一個三角形的一邊長為5cm，另一邊長為2cm，若第三邊長為x cm．
（1）第三邊x的范圍為 　 ?。?br/>（2）當第三邊長為奇數時，求出這個三角形的周長，并指出它是什么三角形（按邊分類）．
22．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F．
（1）求∠ABE的度數；
（2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，試說明DG∥BE．
23．如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊BC上的中線和高，AE＝2cm，S△ABD＝5cm2，求BC和DC的長．
24．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠B＝80°，求∠BEA的度數．
25．如圖，在△ABC中，∠B＝64°，∠C＝48°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數．
認識三角形
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【答案】D
【分析】在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形，由此即可判斷．
【解答】解：A、3+3＝6，長度是3、3、6的線段不能組成三角形，故A不符合題意；
B、5+6＜12，長度是5、6、12的線段不能組成三角形，故B不符合題意；
C、2+5＝7，長度是2、5、7的線段不能組成三角形，故C不符合題意；
D、6+7＞8，長度是6、7、8的線段能組成三角形，故D符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．
2．【答案】C
【分析】根據在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊；可求第三邊長的范圍，再選出答案．
【解答】解：設第三邊長為x，由三角形三邊關系定理得6﹣2＜x＜6+2，即4＜x＜8．
觀察選項，只有選項C符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了三角形三邊關系，此題實際上就是根據三角形三邊關系定理列出不等式組，然后解不等式組即可．
3．【答案】A
【分析】利用三角形的三邊關系進行分析即可．
【解答】解：∵OA＝15米，OB＝10米，
∴15﹣10＜AB＜15+10，
即：5＜AB＜25，
故選：A．
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．
4．【答案】A
【分析】根據高線的定義可得∠AEC＝90°，然后根據∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根據角平分線的定義求出∠1，然后利用三角形的內角和等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∵BE為△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分線，
∴∠1∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故選：A．
【點評】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，高線的定義，熟記概念與定理并準確識圖是解題的關鍵．
5．【答案】B
【分析】根據三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分成了等底同高的兩個三角形，所以它們的面積相等．
【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形．
故選：B．
【點評】考查了三角形的中線的概念．構造面積相等的兩個三角形時，注意考慮三角形的中線．
6．【答案】B
【分析】本題可根據直角三角形內角的性質和三角形內角和為180°進行求解．
【解答】解：如圖：∵AE、BD是直角三角形中兩銳角平分線，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
兩角平分線組成的角有兩個：∠BOE與∠EOD這兩個角互補，
根據三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故選：B．
【點評】本題考查的是直角三角形的性質，熟知直角三角形的性質是解答此題的關鍵．
7．【答案】A
【分析】三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，由此即可解決問題．
【解答】解：設第3根木棒的長度是x cm，
∴5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
∴不能圍成一個三角形的是長為2cm木棒．
故選：A．
【點評】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．
8．【答案】B
【分析】根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答．
【解答】解：由三角形的面積公式可知，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分，
∴他所作的線段AD應該是△ABC的中線，
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關鍵．
9．【答案】D
【分析】三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，設第三邊長x，得到3＜x＜7，由△ABC的第三邊長是偶數，得到x＝4或6，于是得到此三角形的周長．
【解答】解：設第三邊長x，
∴5﹣2＜x＜5+2，
∴3＜x＜7，
∵△ABC的第三邊長是偶數，
∴x＝4或6，
∴此三角形的周長為2+5+4＝11或2+5+6＝13．
故選：D．
【點評】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．
10．【答案】C
【分析】三角形兩邊之和大于第三邊，在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
【解答】解：A．由1cm、2cm，3cm，可得1+2＝3，故不能組成三角形，不符合題意；
B．由6cm、2cm，3cm，可得2+3＜6，故不能組成三角形，不符合題意；
C．由4cm、6cm，8cm，可得4+6＞8，故能組成三角形，符合題意；
D．由5cm，6cm，12cm，可得5+6＜12，故不能組成三角形，不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查了三角形三邊關系，判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．
二．填空題（共6小題）
11．【答案】45．
【分析】先由三角形的內角和定理求得∠BAC的度數，由角平分線的定義得出∠CAD的度數，再由平行線性質可得∠ACE的度數．
【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD∠BAC90°＝45°，
∵CE∥AD，
∴∠ACE＝∠CAD＝45°．
故答案為：45．
【點評】此題主要是考查了平行線的性質，三角形的內角的定理，角平分線定義，能夠熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解答此題的關鍵．
12．【答案】58．
【分析】先根據AD⊥BD得出∠ADB＝90°，故可得出∠BAD+∠ABD＝90°，再由三角形內角和定理得出∠DBC的度數，由角平分線的定義得出∠ABC的度數，進而得出∠BAD的度數．
【解答】解：∵AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，即∠BAD+∠DAC+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，
∴（∠BAD+∠ABD）+∠DAC+∠C+∠DBC＝180°，即90°+20°+38°+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝32°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠DBC＝32°，
∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°．
故答案為：58．
【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解題的關鍵．
13．【答案】見試題解答內容
【分析】根據BD是△ABC的中線，可得，再由BG＝2GD，可得，即可求解．
【解答】解：∵BD是△ABC的中線，△ABC的面積為6，
∴，
∵BG＝2GD，
∴，
∴，
即圖中陰影部分的面積是2．
故答案為：2．
【點評】本題考查三角形的面積問題．其中根據三角形的中線的性質進行解答是解決本題的關鍵．
14．【答案】116．
【分析】由圖形可知∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，故應設法求出∠MNC、∠A′NM的度數．由折疊的性質和三角形的內角和為180°，可以求出∠C的度數；然后再根據由MN∥BC得到∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°，從而求出∠ANM和∠MNC的度數．由折疊的性質可知∠A′NM＝∠ANM，進而解答題目．
【解答】解：根據折疊的性質可得∠A＝∠A′＝28°，∠A′NM＝∠ANM．
∵∠A＝28°，∠B＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝32°．
∵MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°．
∴∠CNM＝180°﹣∠C＝148°．
∵∠A′NM＝∠ANM，∠ANM＝∠C，
∴∠A′NM＝∠C＝32°．
∴∠A′NC＝∠CNM﹣∠A′NM＝148°﹣32°＝116°．
故答案為：116．
【點評】本題考查三角形內角和定理，需要掌握平行線的性質和折疊的性質找出角之間的數量關系．
15．【答案】2.4．
【分析】根據直角三角形的面積公式計算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，
∴，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝3，
∴5CD＝3×4，
∴CD＝2.4，
故答案為：2.4．
【點評】本題考查了直角三角形的面積，觀察圖形得出是解題的關鍵．
16．【答案】見試題解答內容
【分析】由平角的定義可求解∠BEC的度數，根據三角形的內角和定理可求解∠CBE的度數，結合角平分線的定義求得∠ABC的度數，再根據高線的定義可得∠ADB＝90°，然后利用三角形的內角和等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∵∠AEB＝95°，
∴∠BEC＝180°﹣95°＝85°，
∵∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∠C＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣85°＝25°，
∵BE是∠ABC平分線，
∴∠ABC＝2∠CBE＝50°，
∵AD是高線，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案為：40．
【點評】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，高線的定義，熟記概念與定理并準確識圖是解題的關鍵．
三．解答題（共9小題）
17．【答案】110°
【分析】首先利用三角形的內角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分線的性質求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角與內角的關系及垂直的定義即可求解．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案為：110°．
【點評】本題考查了三角形的內角和等于180°求解，是基礎題，準確識別圖形是解題的關鍵．
18．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據三角形的第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和，即可解決問題；
（2）根據取值范圍確定第三邊，然后求得答案即可．
【解答】解：（1）∵三角形的第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和，
∴三角形的兩邊長分別是5、7，
則第三邊長a的取值范圍是2＜a＜12；
（2）∵a為整數，
∴當a＝11時，組成的三角形的周長最大，
最大值是5+7+11＝23．
【點評】本題考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是了解兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
19．【答案】（1）∠CAE的度數為120°；
（2）∠MAE＝2∠CAM﹣30°；
（3）m+n＝60°．
【分析】（1）已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°，∠BAN＝m°，∠DAN＝n°，當m+n＝0時，因為∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD，所以可以直接計算出∠CAE的度數；
（2）根據三角形的余角和補角之間的關系，利用已知條件，可以得出∠CAM與∠MAE的數量關系；
（3）當點C，A，E三點共線時，此時∠CAE＝180°，利用已知條件，可以探究出m與n的數量關系．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°，∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150），
又∵∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD，
∴當m+n＝0時，
∴∠CAE＝90°+30°＝120°，
答：∠CAE的度數為120°；
（2）∵MN是直線，∠CAB＝∠AED＝90°，∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150），
∴∠CAM＝180°﹣90°﹣m°＝90°﹣m°，
∴∠MAE＝180°﹣30°﹣n°＝150°﹣n°，
∵n＝2m（m≠0），
∴∠MAE＝2∠CAM﹣30°，
答：∠CAM與∠MAE的數量關系為：∠MAE＝2∠CAM﹣30°；
（3）當點C，A，E三點共線時，
∵點C，A，E三點共線，
∴∠CAE＝180°，
∵∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD，
∴180°＝90°+30°+m+n，
∴m+n＝60°，
答：m+n＝60°．
【點評】考查重點是熟練掌握三角形的余角，補角的定義，學會利用三角形余角和補角之間的關系，進行綜合運算．
20．【答案】見試題解答內容
【分析】根據三角形的內角和即可得到結論．
【解答】解：∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝40°，∠CAE＝20°，
∴∠AEB＝60°．
∵∠CBD＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝90°．
【點評】本題考查了三角形的內角和，熟練掌握三角形的內角和是解題的關鍵．
21．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，據此可求得答案．
（2）先求得第三邊的長度，然后計算三角形的周長并按邊的相等關系分類即可．
【解答】解：（1）根據三角形兩邊的和大于第三邊，則
x＜5+2．
即x＜7．
根據三角形兩邊的差小于第三邊，則
5﹣2＜x．
即3＜x．
綜上所述
3＜x＜7．
故答案為：3＜x＜7．
（2）∵第三邊的長為奇數，
∴第三邊的長為5cm．
∴三角形的周長＝5+5+2＝12（cm）．
∵兩條邊的長為5cm，另外一條邊的長為2cm，
∴這個三角形是底邊和腰不相等的等腰三角形．
【點評】本題主要考查三角形三邊之間的大小關系以及三角形按邊的相等關系分類，牢記三角形三邊之間的大小關系（三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊）和三角形按邊的相等關系分類是解題的關鍵．
22．【答案】（1）10°；（2）見解析．
【分析】（1）根據三角形內角和定理可得∠BAC的度數，再由垂直的定義及作角性質可得答案；
（2）由角平分線的定義和三角形內角和定理可得∠GDC＝∠EBC．再根據平行線的判定方法可得結論．
【解答】解：（1）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
∵AC⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+40°＝100°．
∵DG平分∠ADC，
∴．
∵∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣10°＝50°，
∴∠EBC＝∠GDC．
∴DG∥BE．
【點評】此題考查的是平行線的判定和三角形內角和定理，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
23．【答案】DC＝5cm，BC＝10cm．
【分析】利用得出BD的長，由AD是邊BC上的中線即可得出BC和DC的長．
【解答】解：∵AE是△ABC中BC邊上的高，且，
∴，
∵AE＝2cm，
∴BD＝5cm，
∵AD是△ABC中BC邊上的中線，
∴DC＝BD＝5cm，BC＝2BD＝10cm．
【點評】此題主要考查了三角形的面積以及三角形中線以及高線的性質，解題的關鍵是掌握三角形的中線平分三角形的面積．
24．【答案】50°．
【分析】根據平行線的性質及角平分線的性質求得∠BAD的度數，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，∠B＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，
∴∠BAE∠BAD＝50°，
∴∠BEA＝180°﹣80°﹣50°＝50°．
【點評】本題考查平行線性質，角平分線定義及三角形的內角和，結合已知條件求得∠BAE的度數是解題的關鍵．
25．【答案】∠DAE＝8°．
【分析】根據三角形內角和定理求得∠BAC的度數，則∠EAC可求，然后在△ACD中，利用三角形內角和定理求得∠DAC的度數，根據∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝64°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣64°﹣48°＝68°，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴，
在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣48°＝42°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝42°﹣34°＝8°．
【點評】本題考查了三角形的內角和定理以及角平分線的定義，熟知三角形內角和是180°是解題的關鍵．
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