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4.4利用三角形全等測距離(鞏固復習.培優卷.含解析)-2024-2025學年北師大版(2024)數學七年級下冊

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4.4利用三角形全等測距離(鞏固復習.培優卷.含解析)-2024-2025學年北師大版(2024)數學七年級下冊

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利用三角形全等測距離
一.選擇題(共10小題)
1.如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具?(  )
A.可以帶1號去 B.可以帶2號去
C.可以帶3號去 D.都不行
2.如圖,將兩根鋼條AA′、BB′的中點O連在一起,使AA′、BB′可以繞著點O自由旋轉,就做成了一個測量工件,則A′B′的長等于內槽寬AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(  )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
3.如圖,要測量池塘A,B兩端的距離,作線段AC與BD相交于點O.若AC=BD=8m,AO=DO,△COD的周長為14m,則A,B兩點間的距離為(  )
A.6m B.8m C.10m D.12m
4.如圖,小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了,需要重新配一塊,小明通過電話給玻璃店老板提供相關數據,為了方便表述,將該三角形記為△ABC,提供了下列各組元素的數據,配出來的玻璃不一定符合要求的是(  )
A.AB,BC,AC B.AB,BC,∠B C.AB,AC,∠B D.∠A,∠B,BC
5.如圖,為了測量出池塘A、B兩點之間的距離,小育在平地上選取了能夠直接到達點A和點B的一點C.他連接BC并延長,使CE=BC;又連接AC并延長,使CD=AC,連接DE.只要測量出DE的長度,也就得到了A、B兩點之間的距離,這樣測量的依據是(  )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
6.如圖,有兩個長度相同的滑梯靠在一面豎直墻上.已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,若DF=6m,DE=8m,AD=4m,則BF等于(  )
A.18m B.16m C.12m D.10m
7.如圖是雨傘在開合過程中某時刻的結構圖,AB、AC是傘骨,DM,EM是連接彈簧和傘骨的支架,已知點D,E分別是AB,AC的中點,AB=AC,DM=EM.彈簧M在向上滑動的過程中,總有△ADM≌△AEM,其判定依據是(  )
A.ASA B.AAS C.SSS D.HL
8.如圖,把兩根鋼條AA',BB'的中點連在一起,可以做成一個測量工作內槽寬的卡鉗,卡鉗的工作原理是全等三角形的判定定理,其依據是(  )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
9.如圖,張華同學用7塊高度都是4cm的相同長方體小木塊,壘了兩堵與地面垂直的木墻,木墻墻間剛好可以放進一個等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),點C在DE上,點A和B分別與木墻的頂端重合,則兩堵木墻之間的距離DE的長是(  )
A.12cm B.16cm C.24cm D.28cm
10.如圖所示小明設計了一種測工件內徑AB的卡鉗,問:在卡鉗的設計中,AO、BO、CO、DO應滿足下列的哪個條件?(  )
A.AO=CO B.BO=DO
C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
二.填空題(共6小題)
11.如圖,一塊三角形玻璃板破裂成①,②,③三塊,現需要買另一塊同樣大小的一塊三角形玻璃,為了方便,只需帶第    塊碎片比較好.
12.有一池塘,要測池塘兩端A、B兩點的距離,可先在平地上取一個點C,連接AC并延長AC到點D,使CD=CA,連結BC并延長BC到點E,使CE=CB,連接DE,那么量出DE的長就等于AB的長.這是因為判定△ABC≌△DEC的方法是    .
13.小明利用一根長3m的竿子CD來測量路燈桿AB的高度,方法如下:如圖,在地面上選一點P,使BP=3m,并測得∠APB=70°,然后把CD在BP的延長線上左右移動,使∠CPA=90°,此時測得BD=11.2m.
(1)此時∠C的度數為    ;
(2)路燈桿AB的高度為    m.
14.如圖,有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,若∠CBA=32°,則∠EFD=   .
15.如圖,要測量池塘兩岸相對的兩點A,B的距離,可以在池塘外的點B處沿著與AB垂直的方向向東走50米,到C處立一根標桿,然后方向不變繼續向東走50米到D處,在D處沿著與BD垂直的方向再向南走27米,到達E處,使E與A,C在同一直線上,這時測得AB的距離為    米.
16.如圖所示,A、B在一水池放入兩側,若BE=DE,∠B=∠D=90°,CD=10m,則水池寬AB=   m.
三.解答題(共9小題)
17.如圖,CD⊥DB,AB⊥BD,為了測量教學樓的高度,在旗桿CD與教學樓之間選定一點P,使得測旗桿頂C的視線PC與測樓頂A的視線PA的夾角∠APC=90°,測得點P到樓底的距離PB與旗桿CD的高度都等于9米,又測得旗桿與樓之間距離DB=27米,求這幢教學樓的高度多少米?
18.如圖,某游樂園有兩個長度相等的滑梯BC與EF,滑梯BC的高AC與滑梯EF水平方向DF的長度相等,∠DEF=30°.國家部門針對滑梯類兒童游樂設備進行了安全范圍內的考量,并作出了嚴格的安全界限:在滑行方向上,要求整體滑行區與水平面的夾角應不大于40°.請問滑梯BC與滑梯EF是否符合國家規定?請說明理由.
19.如圖,點B、F、C、E在直線l上(F、C之間不能直接測量),點A、D在l異側,測得AC=DF,AB∥DE,∠A=∠D.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=16m,BF=5m,求FC的長度.
20.如圖②,是小朋友蕩秋千的側面示意圖,靜止時秋千位于鉛垂線BD上,轉軸B到地面的距離BD=2.5m.樂樂在蕩秋千過程中,當秋千擺動到最高點A時,測得點A到BD的距離AC=1.5m,點A到地面的距離AE=1.5m,當他從A處擺動到A'處時,若A'B⊥AB,求A'到BD的距離.
21.如圖,兩根旗桿相距12m,某人從B點沿BA走向A點,一段時間后他到達點M,此時他仰望旗桿的頂點C和D,兩次視線的夾角為90°,且CM=DM,已知旗桿AC的高為3m,該人的運動速度為1m/s,求:這個人從B點到M點運動了多長時間?
22.小亮想測量屋前池塘的寬度,他結合所學的數學知識,設計了如圖1的測量方案:先在池塘外的空地上任取一點O,連接AO,CO,并分別延長至點B,點D,使OB=OA,OD=OC,連接BD,
(1)如圖1,求證:AC=BD;
(2)如圖2,但在實際測量中,受地形條件的影響,于是小亮采取以下措施:延長CO至點D,使OC=OD,過點D作AC的平行線DE,延長AO至點F,連接EF,測得∠DEF=120°,∠OFE=90°,DE=5m,EF=9m,請求出池塘寬度AC.
23.如圖,A,B兩點位于高墻外,不能直接到達.為在該高樓的樓頂上搭建一個支架,需要在地面測量出A,B間的距離.學習了三角形全等知識后,小明給出了如下的方案:先在地面上取一點可以直接到達A點和B點的點O,連接AO并延長到C,使OC=OA;連接BO并延長到D,使OD=OB,連接CD并測量出CD的長度,CD的長度就是A,B間的距離.請根據以上的信息,說明AB=CD.
24.(1)蕭縣某中學計劃為學生暑期軍訓配備如圖(1)所示的折疊凳,這樣設計的折疊凳坐著舒適、穩定.這種設計所運用的數學原理是    ;
(2)圖(2)是折疊凳撐開后的側面示意圖(木條等材料寬度忽略不計),其中凳腿AB和CD的長度相等,交點O是它們的中點,為了使折疊凳坐著舒適,廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設計為38cm,則由以上信息可推得CB的長度是多少?請說明理由.
25.如圖是一個工業開發區局部的設計圖,河的同一側有兩個工廠A和B,AD、BC的長表示兩個工廠到河岸的距離,其中E是進水口,D、C為兩個排污口.已知AE=BE,∠AEB=90°,AD⊥DC,BC⊥DC,點D、E、C在同一直線上,AD=150米,BC=350米,求兩個排污口之間的水平距離DC.
利用三角形全等測距離
參考答案與試題解析
一.選擇題(共10小題)
1.【答案】A
【分析】根據全等三角形的判定方法結合圖形判斷出帶1號去.
【解答】解:由圖形可知,1號有完整的兩角與夾邊,根據“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形,
所以,最省事的做法是帶1號去.
故選:A.
【點評】本題考查了全等三角形的應用,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.
2.【答案】B
【分析】由已知O是AA′、BB′的中點,再加上對頂角相等即可證明△OAB≌△OA′B′,利用SAS證明全等.
【解答】解:∵將兩根鋼條AA′、BB′的中點O連在一起,
∴OA=OA′,OB=OB′,
在△AOB和△A′OB′中,

∴△AOB≌△A′OB′(SAS),
故選:B.
【點評】本題考查了三角形全等的判定方法,認真觀察圖形,選擇合適的方法是解此題的關鍵.
3.【答案】A
【分析】證明△COD≌△BOA(SAS),則AB=CD,由△COD的周長為14m,可得OC+OD+CD=14,即AC+CD=14,計算求出CD的長,進而可得結果.
【解答】解:∵AC=BD,AO=DO,
∴AC﹣AO=BD﹣DO,即OC=OB,
∵OC=OB,∠COD=∠BOA,OD=OA,
∴△COD≌△BOA(SAS),
∴AB=CD,
∵△COD的周長為14m,
∴OC+OD+CD=14m,即AC+CD=14m,
∴CD=6m,
∴AB=6m,
故選:A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質.熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.
4.【答案】C
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.
【解答】解:A.利用三角形三邊對應相等,兩三角形全等,三角形形狀確定,故此選項不合題意;
B.利用三角形兩邊、且夾角對應相等,兩三角形全等,三角形形狀確定,故此選項不合題意;
C.AB,AC,∠B,無法確定三角形的形狀,故此選項符合題意;
D.根據∠A,∠B,BC,三角形形狀確定,故此選項不合題意;
故選:C.
【點評】此題主要考查了全等三角形的應用,正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.
5.【答案】B
【分析】利用“邊角邊”證明△ABC和△DEC全等,再根據全等三角形對應邊相等解答.
【解答】解:在△ABC和△DEC中,

∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴AB=DE.
故選:B.
【點評】本題考查了全等三角形的應用,把實際問題先轉化為數學問題是解決問題的關鍵.
6.【答案】A
【分析】先根據“HL“定理判斷出Rt△ABC≌Rt△DEF,再根據全等三角形的性質求出AB,即可求出BF.
【解答】解:由題意知,滑梯、墻、地面正好構成直角三角形,
在Rt△ABC和Rt△DEF中,

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴AB=DE=8m,
∴BF=AB+AD+DF=8+4+6=18(m).
故選:A.
【點評】本題考查的是全等三角形的判定及性質,熟練掌握直角三角形全等的判定是解決問題的關鍵.
7.【答案】C
【分析】根據全等三角形判定的“SSS”定理即可證得△ADM≌△AEM.
【解答】解:∵AB=AC,點D,E分別是AB,AC的中點,
∴AD=AE,
在△ADM和△AEM中,

∴△ADM≌△AEM(SSS),
故選:C.
【點評】此題主要考查了全等三角形的應用,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.
8.【答案】B
【分析】卡鉗的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS,因為AA',BB'的中點O連在一起,因此OA=OA′,OB=OB′,還有對頂角相等,所以用的判定定理是邊角邊.
【解答】解:卡鉗的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS,理由如下:
∵O是AA',BB'的中點,
∴OA=OA′,OB=OB′,
又∵∠AOB=∠A'OB',
∴△AOB≌△A′OB′(SAS),
∴A′B′=AB,
∴只要量出A′B′的長度,就可以知道工作的內徑AB是否符合標準.
故選:B.
【點評】本題考查全等三角形的應用.在實際生活中,對于難以實地測量的線段,常常通過兩個全等三角形,轉化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來,從而求解.
9.【答案】D
【分析】根據題意可得AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,進而得到∠ADC=∠CEB=90°,再根據等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC,再證明△ADC≌△CEB即可,利用全等三角形的性質進行解答.
【解答】解:由題意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS);
由題意得:AD=EC=16cm,DC=BE=12cm,
∴DE=DC+CE=28(cm),
即兩堵木墻之間的距離為28cm.
故選:D.
【點評】此題主要考查了全等三角形的應用,關鍵是正確找出證明三角形全等的條件.
10.【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定定理進行推理.
【解答】解:如圖,連接CD,
已知對頂角∠AOB=∠COD,所以根據全等三角形的判定定理SAS可以判定△AOB≌△COD,由此推斷AB=CD.
故選:D.
【點評】本題考查全等三角形的應用,根據已知條件可用邊角邊定理判斷出全等.
二.填空題(共6小題)
11.【答案】③.
【分析】根據全等三角形的判定方法ASA即可判定.
【解答】解:只需帶上③即可,因為③中,可以測量出三角形的兩角以及夾邊的大小,三角形的形狀和大小是確定的,
故答案為:③.
【點評】本題主要考查了全等三角形的應用,靈活運用所學知識是解題的關鍵.
12.【答案】SAS.
【分析】利用“邊角邊”證明△ABC和△DEC全等,再根據全等三角形對應邊相等解答.
【解答】解:這是因為判定△ABC≌△DEC的方法是 SAS.故答案為:SAS.
【點評】本題考查了全等三角形的應用,熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵.
13.【答案】(1)70°;(2)8.2.
【分析】(1)找準對應角即可求得答案;
(2)根據題意可得△CPD≌△PAB(ASA),進而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可.
【解答】解:(1)∵∠CPD=20°,∠APB=70°,∠CDP=∠ABP=90°,
∴∠C=∠APB=70°.
故答案為:70°;
(2)在△CPD和△PAB中,

∴△CPD≌△PAB(ASA).
∴DP=AB.
∵BD=11.2m,BP=3m,
∴DP=BD﹣BP=8.2m,即AB=8.2m.
故答案為:8.2.
【點評】此題主要考查了全等三角形的應用,根據題意得出△CPD≌△PAB是解題關鍵.
14.【答案】見試題解答內容
【分析】利用“HL”證明△ABC和△DEF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠EFD=∠BCA,再根據直角三角形兩銳角互余求出∠BCA,即可得解.
【解答】解:∵兩個滑梯的長度相同,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(HL),
∴∠EFD=∠BCA,
∵∠CBA=32°,
∴∠BCA=90°﹣32°=58°,
∴∠EFD=58°.
故答案為:58°.
【點評】本題考查了全等三角形的應用,直角三角形兩銳角互余的性質,熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵.
15.【答案】27.
【分析】利用ASA定理證明△ABC≌△EDC,根據全等三角形的對應邊相等解答即可.
【解答】解:由題意得:CB=CD,∠ABC=∠EDC=90°,
在△ABC和△EDC中,

∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=DE=27米,
故答案為:27.
【點評】本題考查的是全等三角形的應用,掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.
16.【答案】見試題解答內容
【分析】利用ASA得出△ABE≌△CDE(ASA),進而求出CD=AB即可得出答案.
【解答】解:在△ABE和△CDE中

∴△ABE≌△CDE(ASA),
∴CD=AB=10m.
故答案為:10.
【點評】此題主要考查了全等三角形的應用,根據題意熟練應用全等三角形的判定方法是解題關鍵.
三.解答題(共9小題)
17.【答案】18米.
【分析】根據AAS證明△DPC≌△BAP,從而利用全等三角形的性質可得AB=DP=18米.
【解答】解:∵CD⊥DB,AB⊥DB,
∴∠CDP=∠ABP=90°,
∵∠APC=90°,
∴∠CPD+∠APB=90°,∠PAB+∠APB=90°,
∴∠CPD=∠PAB,
∵DB=27米,PB=9米,
∴DP=BD﹣BP=18米,
在△DPC和△BAP中,

∴△DPC≌△BAP(AAS),
∴AB=DP=18米.
答:這幢教學樓的高度18米.
【點評】本題考查全等三角形的應用,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.
18.【答案】滑梯BC符合國家規定,滑梯EF不符合國家規定,理由見解析.
【分析】利用“HL”證明Rt△ABC和Rt△DEF全等,根據全等三角形對應角相等可得∠DEF=∠ABC=30°,再根據直角三角形兩銳角互余求出∠DFE=60°,再根據題意判斷即可得解.
【解答】解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴∠DEF=∠ABC=30°,
∴∠DFE=90°﹣30°=60°.
∵∠ABC<40°,∠DFE>40°,
∴滑梯BC符合國家規定,滑梯EF不符合國家規定.
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定,直角三角形兩銳角互余的性質,準確識圖判斷出全等三角形是解題的關鍵.
19.【答案】(1)見解析;(2)6m.
【分析】(1)先證明∠ABC=∠DEF,再根據ASA即可證明.
(2)根據全等三角形的性質即可解答.
【解答】(1)證明:∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF,
在△ABC與△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(AAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BF+FC=EC+FC,
∴BF=EC,
∵BE=16m,BF=5m,
∴FC=16﹣5﹣5=6(m).
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的判定等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形的條件,記住平行線的判定方法,屬于基礎題,中考常考題型.
20.【答案】A'到BD的距離是1m.
【分析】作A'F⊥BD,垂足為F,根據全等三角形的判定和性質解答即可.
【解答】解:如圖2,作A'F⊥BD,垂足為F.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=∠A'FB=90°;
在Rt△A'FB中,∠1+∠3=90°;
又∵A'B⊥AB,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3;
在△ACB和△BFA'中,

∴△ACB≌△BFA'(AAS);
∴A'F=BC
∵AC∥DE且CD⊥AC,AE⊥DE,
∴CD=AE=1.5m;
∴BC=BD﹣CD=2.5﹣1.5=1(m),
∴A'F=1(m),
即A'到BD的距離是1m.
【點評】本題考查全等三角形的應用,解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件,靈活運用所學知識解決問題,屬于中考常考題型.
21.【答案】這個人從B點到M點運動了3s.
【分析】根據∠CMD=90°,利用互余關系可以得出:∠ACM=∠DMB,證明三角形全等的另外兩個條件容易看出.利用全等的性質可求得AC=BM=3,從而求得運動時間.
【解答】解:∵∠CMD=90°,
∴∠CMA+∠DMB=90°,
又∵∠CAM=90°
∴∠CMA+∠ACM=90°,
∴∠ACM=∠DMB,
在△ACM和△BMD中,

∴△ACM≌△BMD(AAS),
∴AC=BM=3m,
∴他到達點M時,運動時間為3÷1=3(s).
答:這個人從B點到M點運動了3s.
【點評】本題考查了全等三角形的應用;解答本題的關鍵是利用互余關系找三角形全等的條件,對應角相等,并巧妙地借助兩個三角形全等,尋找所求線段與已知線段之間的等量關系.本題的關鍵是求得Rt△ACM≌Rt△BMD.
22.【答案】(1)見解答;
(2)23m.
【分析】(1)利用SAS證明△OAC≌△OBD即可;
(2)延長DE,AF交于點B,利用ASA證明出△OAC≌△OBD,得到AC=BD,由已知條件可以得到△BEF是含30°角的直角三角形,從而求出BE的長,進而求出BD的長,從而得到池塘寬度AC.
【解答】(1)證明:在△OAC和△OBD中,

∴△OAC≌△OBD(SAS),
∴AC=BD;
(2)解:延長DE,AF交于點B,
∵DE∥AC,
∴∠C=∠D,
在△OAC和△OBD中,

∴△OAC≌△OBD(ASA),
∴AC=BD,
∵∠DEF=120°,∠OFE=90°,
∴∠BFE=90°,∠BEF=60°,∠B=30°,
∵EF=9m,
∴BE=2EF=18m,
∵DE=5m,
∴BD=BE+DE=23m,
∴AC=23m,
答:池塘寬度AC為23m.
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質,含30°角直角三角形的性質,掌握全等三角形的判定方法,構造全等三角形是解題的關鍵.
23.【答案】答案見解答部分.
【分析】利用SAS證得△AOB≌△COD,則其對應邊相等.
【解答】解:在△AOB與△COD中,

則△AOB≌△COD(SAS).
所以AB=CD.
【點評】本題考查全等三角形的應用.在實際生活中,對于難以實地測量的線段,常常通過兩個全等三角形,轉化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來,從而求解.
24.【答案】(1)三角形具有穩定性.
(2)BC=38cm,理由見解答.
【分析】(1)根據三角形的穩定性進行解答即可;
(2)證明△AOD≌△BOC(SAS),得BC=AD,結合已知條件則可知BC的長度
【解答】解:(1)由題意得,這種設計所運用的數學原理是三角形具有穩定性;
故答案為:三角形具有穩定性.
(2)CB=38cm.
理由如下:∵O是AB和CD的中點,
∴AO=BO,CO=DO,
在△AOD和△BOC中,

∴△AOD≌△BOC(SAS),
又∵AD=38cm,
∴BC=AD=38cm.
【點評】本題考查了三角形的穩定性,三角形全等的性質與判定,證明△AOD≌△BOC是解題的關鍵.
25.【答案】兩個排污口之間的水平距離DC為500米.
【分析】根據ASA證明△ADE與△ECB全等,再利用全等三角形的性質解答即可.
【解答】解:∵∠AEB=90°,AD⊥DC,BC⊥DC,
∴∠AEB=∠ADE=∠BCE=90°,
∴∠AED+∠DAE=90°,∠AED+∠BEC=90°,∠BEC+∠EBC=90°,
∴∠DAE=∠CEB,∠AED=∠EBC,
又∵AE=BE,
∴△ADE≌△ECB(ASA),
∴AD=CE,DE=BC,
又∵AD=150米,BC=350米,
∴DC=DE+CE=BC+AD=350+150=500(米).
答:兩個排污口之間的水平距離DC為500米.
【點評】此題考查全等三角形的應用,關鍵是根據ASA證明△ADE與△ECB全等.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 (共 2 頁)
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