資源簡介

4　事件的獨立性　(教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1.結合有限樣本空間,了解兩個隨機事件獨立性的含義.　
2.結合古典概型,利用獨立性計算概率.
1．相互獨立事件
相互獨立事件 相關內容
定義 事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率____________，這樣的兩個事件叫作相互獨立事件
概率公式 兩個相互獨立事件同時發生的概率公式為P(AB)＝__________
性質 若事件A與B相互獨立，那么____與，與____，與也都相互獨立
2．相互獨立事件與互斥事件的關系
A，B關系 概率記法 A，B互斥 A，B相互獨立
至少一個發生 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
同時發生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不發生 P( ) 1－[P(A) ＋P(B)] P()P()
恰有一個發生 P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
至多一個發生 P(B＋A＋ ) 1 1－P(A)P(B)
|微|點|助|解|　
(1)事件A與B相互獨立就是事件A的發生不影響事件B發生的概率，事件B的發生不影響事件A發生的概率．
(2)相互獨立事件同時發生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，就是說，兩個相互獨立事件同時發生的概率等于這兩個事件發生的概率的積．
(3)由兩個事件相互獨立的定義，容易驗證必然事件Ω，不可能事件 都與任意事件相互獨立，這是因為必然事件Ω總會發生，不會受任何事件是否發生的影響；同樣，不可能事件 總不會發生，也不受任何事件是否發生的影響．當然，它們也不影響其他事件是否發生．
基礎落實訓練
1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，則事件A與B的關系是(　 )
A．事件A與B互斥
B．事件A與B對立
C．事件A與B相互獨立
D．事件A與B既互斥又相互獨立
2．周老師上數學課時，給班里學生出了兩道選擇題，她預估做對第一道題的概率為0.80，做對兩道題的概率為0.60，則預估做對第二道題的概率是(　 )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
題型(一)　相互獨立事件的判斷
[例1]　(多選)下列事件中，A，B是相互獨立事件的是(　 )
A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”
B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．擲一枚骰子，A＝“出現點數為奇數”，B＝“出現點數為3或4”
D．擲一枚骰子，A＝“出現點數為奇數”，B＝“出現點數為偶數”
聽課記錄：
|思|維|建|模|
判斷兩個事件相互獨立的方法
(1)定義法：如果事件A，B同時發生的概率等于事件A發生的概率與事件B發生的概率的乘積，則事件A，B為相互獨立事件．這是用定量計算的方法進行判斷．
(2)直接法：看一個事件的發生對另一個事件的發生是否有影響，沒有影響就是相互獨立事件，有影響就不是相互獨立事件．這是從定性的角度進行判斷．　
[針對訓練]
1．一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1,2,3,4,5,6六個數字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數字之和是8”，則(　 )
A．C與D相互獨立 B．A與D相互獨立
C．B與D相互獨立 D．A與C相互獨立
題型(二)　相互獨立事件的概率
[例2]　某大學的入學面試中有4道難度相當的題目，王寧答對每道題目的概率都是0.6，若每位面試者共有4次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止．用Y表示答對題目，用N表示沒有答對題目，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的，那么
(1)求王寧第3次答題通過面試的概率；
(2)求王寧最終通過面試的概率．
聽課記錄：
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(1)求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的；
②確定這些事件可以同時發生；
③求出每個事件的概率，再求積．
(2)使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件——各個事件是相互獨立的，而且它們同時發生．　
[針對訓練]
2．在某道路的A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在1分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒，35秒，45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則在這三處都不停車的概率為(　 )
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
3．甲、乙兩班各有36名同學，甲班有9名三好學生，乙班有6名三好學生，兩班各派1名同學參加演講活動，兩班各自派出代表相互獨立，則派出的恰好都是三好學生的概率是(　 )
A. B.
C. D.
題型(三)　相互獨立事件的綜合問題
[例3]　為了解某市今年初二年級男生的身體素質狀況，從該市初二年級男生中抽取了一部分學生進行“擲實心球”的項目測試．經統計，成績均在2米到12米之間，把獲得的所有數據平均分成[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]五組，得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)如果有4名學生的成績在10米到12米之間，求參加“擲實心球”項目測試的人數；
(2)若測試數據與成績之間的關系如下表：
測試數據(單位：米) (0,6) [6,8) [8,12]
成績 不合格 及格 優秀
根據此次測試成績的結果，試估計從該市初二年級男生中任意選取一人，“擲實心球”成績為優秀的概率；
(3)在(2)的條件下，從該市初二年級男生中任意選取兩人，假定兩人的成績是否優秀之間沒有影響，求兩人中恰有一人“擲實心球”成績為優秀的概率．
聽課記錄：
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相互獨立事件的綜合問題的解題策略
(1)正難則反．靈活應用對立事件的概率關系(P(A)＋P()＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法．
(2)化繁為簡．將復雜事件的概率轉化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關系：“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉化為相互獨立事件)．　
[針對訓練]
4．女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局(第五局)采用15分制，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方2分為勝．在每局比賽中，發球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發球權，否則交換發球權，并且對方得1分．現有甲、乙兩隊進行排球比賽．
(1)若前三局比賽中甲已經贏兩局，乙贏一局．接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為，求甲隊最后贏得整場比賽的概率；
(2)若前四局比賽中甲、乙兩隊已經各贏兩局比賽．在決勝局(第五局)中，兩隊當前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發球權．若甲發球時甲贏1分的概率為，乙發球時甲贏
1分的概率為，得分者獲得下一個球的發球權．求兩隊打了X(X≤4)個球后，甲隊贏得整場比賽的概率．
事件的獨立性
?課前預知教材
1．沒有影響　P(A)P(B)　A　B
[基礎落實訓練]　1.C　2.B
課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　選AC　把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后次序的影響，故A中A，B事件是相互獨立事件；B中A，B事件是不放回地摸球，顯然不是相互獨立事件；對于C，A事件為出現1,3,5點，B事件為出現3,4點，則P(A)＝，P(B)＝，又事件AB為出現3點，從而P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互獨立；D中兩事件是互斥事件，不是相互獨立事件．
[針對訓練]
1．選D　由題意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，
P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C與D不相互獨立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A與D不相互獨立，P(BD)＝≠P(B)P(D)，所以B與D不相互獨立，
P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A與C相互獨立．
[題型(二)]
[例2]　解：(1)因為P(Y)＝0.6，
所以P(N)＝1－0.6＝0.4，
于是王寧第三次通過面試的概率為P(NNY)＝0.4×0.4×0.6＝0.096.
(2)王寧未通過面試的概率為P(NNNN)＝0.4×0.4×0.4×0.4＝0.025 6，
所以王寧最終通過面試的概率為1－P(NNNN)＝1－0.025 6＝0.974 4.
[針對訓練]
2．選C　由題意可知汽車在這三處都不停車的概率為××＝.
3．選C　設事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學生，則事件AB為兩班派出的都是三好學生，由題意知，P(A)＝，P(B)＝，因為兩班各自派出代表是相互獨立事件，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
[題型(三)]
[例3]　解：(1)由題意可知(0.2＋0.15＋0.075＋a＋0.025)×2＝1，解得a＝0.050.
所以＝40.
故此次參加“擲實心球”項目測試的人數為40.
(2)設“從該市初二年級男生中任意選取一人，‘擲實心球’成績為優秀”為事件A.
由頻率分布直方圖可知，參加此次“擲實心球”的項目測試的初二男生，成績優秀的頻率為(0.15＋0.05)×2＝0.4，
由頻率分布估計概率得P(A)＝0.4.
(3)記事件Ai：第i名男生成績優秀，其中i＝1,2.兩人中恰有一人成績優秀可以表示為A12＋A21，由(2)知，P(A1)＝P(A2)＝0.4，則P(1)＝P(2)＝0.6，
因為A1，2相互獨立，A2，1相互獨立，
所以P(A12)＝P(A1)P(2)＝0.24，P(A21)＝P(A2)P(1)＝0.24，
又因為A12，A21互斥，
所以P(A12＋A21)＝P(A12)＋P(A21)＝0.48.
所以兩人中恰有一人“擲實心球”成績為優秀的概率為0.48.
[針對訓練]
4．解：(1)依題意，甲隊將以3∶1或3∶2的比分贏得比賽．
若甲隊以3∶1的比分贏得比賽，則第4局甲贏，
若甲隊以3∶2的比分贏得比賽，則第4局乙贏，第5局甲贏．
故甲隊最后贏得整場比賽的概率為＋×＝.
(2)依題意，甲每次發球，甲隊得分的概率為，接發球方得分的概率為.
甲接下來可以以16∶14或17∶15贏得比賽，此時X的取值為2或4.
當X＝2時，其贏球順序為“甲甲”，對應發球順序為“甲甲”，
P(X＝2)＝×＝；
當X＝4時，其贏球順序為“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，對應發球順序為“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
P(X＝4)＝×××＋×××＝.
所以兩隊打了X(X≤4)個球后，甲隊贏得整場比賽的概率為P(X)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
1 / 5(共62張PPT)
4
事件的獨立性
(教學方式:深化學習課—梯度進階式教學)
課時目標
1.結合有限樣本空間,了解兩個隨機事件獨立性的含義.　
2.結合古典概型,利用獨立性計算概率.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
1.相互獨立事件
相互獨立事件 相關內容
定義 事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率_________,這樣的兩個事件叫作相互獨立事件
概率公式 兩個相互獨立事件同時發生的概率公式為P(AB)=_________
性質
沒有影響
P(A)P(B)
A
B
2.相互獨立事件與互斥事件的關系
A,B關系 概率記法 A,B互斥 A,B相互獨立
至少一個發生 P(A+B) P(A)+P(B)
同時發生 P(AB) 0 P(A)P(B)
都不發生 1-[P(A)+P(B)]
恰有一個發生 P(A)+P(B)
至多一個發生 1 1-P(A)P(B)
|微|點|助|解| 　
(1)事件A與B相互獨立就是事件A的發生不影響事件B發生的概率,事件B的發生不影響事件A發生的概率.
(2)相互獨立事件同時發生的概率P(AB)=P(A)P(B),就是說,兩個相互獨立事件同時發生的概率等于這兩個事件發生的概率的積.
(3)由兩個事件相互獨立的定義,容易驗證必然事件Ω,不可能事件 都與任意事件相互獨立,這是因為必然事件Ω總會發生,不會受任何事件是否發生的影響;同樣,不可能事件 總不會發生,也不受任何事件是否發生的影響.當然,它們也不影響其他事件是否發生.
基礎落實訓練
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,則事件A與B的關系是(　 )
A.事件A與B互斥 B.事件A與B對立
C.事件A與B相互獨立 D.事件A與B既互斥又相互獨立
解析:因為P()=,所以P(A)=.又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A與B相互獨立但不一定互斥.故選C.
√
2.周老師上數學課時,給班里學生出了兩道選擇題,她預估做對第一道題的概率為0.80,做對兩道題的概率為0.60,則預估做對第二道題的概率是 (　 )
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
解析:設“做對第一道題”為事件A,“做對第二道題”為事件B,則P(AB)=
P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.故選B.
√
課堂題點研究·遷移應用融通
題型(一)　相互獨立事件的判斷
[例1]　(多選)下列事件中,A,B是相互獨立事件的是 (　 )
A.一枚硬幣擲兩次,A=“第一次為正面”,B=“第二次為反面”
B.袋中有2個白球,2個黑球,不放回地摸兩球,A=“第一次摸到白球”,
B=“第二次摸到白球”
C.擲一枚骰子,A=“出現點數為奇數”,B=“出現點數為3或4”
D.擲一枚骰子,A=“出現點數為奇數”,B=“出現點數為偶數”
√
√
解析:把一枚硬幣擲兩次,對于每次而言是相互獨立的,其結果不受先后次序的影響,故A中A,B事件是相互獨立事件;B中A,B事件是不放回地摸球,顯然不是相互獨立事件;對于C,A事件為出現1,3,5點,B事件為出現3,4點,則P(A)=,P(B)=,又事件AB為出現3點,從而P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),事件A,B相互獨立;D中兩事件是互斥事件,不是相互獨立事件.
|思|維|建|模|　判斷兩個事件相互獨立的方法
(1)定義法:如果事件A,B同時發生的概率等于事件A發生的概率與事件B發生的概率的乘積,則事件A,B為相互獨立事件.這是用定量計算的方法進行判斷.
(2)直接法:看一個事件的發生對另一個事件的發生是否有影響,沒有影響就是相互獨立事件,有影響就不是相互獨立事件.這是從定性的角度進行判斷.
針對訓練
1.一枚質地均勻的正方體骰子,其六個面分別刻有1,2,3,4,5,6六個數字,投擲這枚骰子兩次,A表示事件“第一次向上一面的數字是1”,B表示事件“第二次向上一面的數字是2”,C表示事件“兩次向上一面的數字之和是7”,D表示事件“兩次向上一面的數字之和是8”,則 (　 )
A.C與D相互獨立 B.A與D相互獨立
C.B與D相互獨立 D.A與C相互獨立
√
解析:由題意知P(A)=,P(B)=,P(C)==,P(D)=,
P(CD)=0≠P(C)P(D),所以C與D不相互獨立,P(AD)=0≠P(A)P(D),所以A與D不相互獨立,P(BD)=≠P(B)P(D) ,所以B與D不相互獨立,
P(AC)==P(A)P(C),所以A與C相互獨立.
[例2]　某大學的入學面試中有4道難度相當的題目,王寧答對每道題目的概率都是0.6,若每位面試者共有4次機會,一旦某次答對抽到的題目,則面試通過,否則就一直抽題到第4次為止.用Y表示答對題目,用N表示沒有答對題目,假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的,那么
(1)求王寧第3次答題通過面試的概率;
解:因為P(Y)=0.6,所以P(N)=1-0.6=0.4,
于是王寧第三次通過面試的概率為P(NNY)=0.4×0.4×0.6=0.096.
題型(二)　相互獨立事件的概率
(2)求王寧最終通過面試的概率.
解:王寧未通過面試的概率為P(NNNN)=0.4×0.4×0.4×0.4=0.025 6,
所以王寧最終通過面試的概率為1-P(NNNN)=1-0.025 6=0.974 4.
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(1)求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的;
②確定這些事件可以同時發生;
③求出每個事件的概率,再求積.
(2)使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時,要掌握公式的適用條件——各個事件是相互獨立的,而且它們同時發生.　
針對訓練
2.在某道路的A,B,C三處設有交通燈,這三盞燈在1分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒,35秒,45秒,某輛車在這段道路上勻速行駛,則在這三處都不停車的概率為 (　 )
A. B.
C. D.
√
解析:由題意可知汽車在這三處都不停車的概率為××=.
3.甲、乙兩班各有36名同學,甲班有9名三好學生,乙班有6名三好學生,兩班各派1名同學參加演講活動,兩班各自派出代表相互獨立,則派出的恰好都是三好學生的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
√
解析:設事件A,B分別為甲班、乙班派出的是三好學生,則事件AB為兩班派出的都是三好學生,由題意知,P(A)=,P(B)=,因為兩班各自派出代表是相互獨立事件,所以P(AB)=P(A)P(B)=×=.
題型(三)　相互獨立事件的綜合問題
[例3]　為了解某市今年初二年級男生的身體素質狀況,從該市初二年級男生中抽取了一部分學生進行“擲實心球”的項目測試.經統計,成績均在2米到12米之間,把獲得的所有數據平均分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五組,得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)如果有4名學生的成績在10米到12米之間,求參加“擲實心球”項目測試的人數;
解:由題意可知(0.2+0.15+0.075+a+0.025)×2=1,解得a=0.050.
所以=40.
故此次參加“擲實心球”項目測試的人數為40.
(2)若測試數據與成績之間的關系如下表:
根據此次測試成績的結果,試估計從該市初二年級男生中任意選取一人,“擲實心球”成績為優秀的概率;
測試數據(單位:米) (0,6) [6,8) [8,12]
成績 不合格 及格 優秀
解:設“從該市初二年級男生中任意選取一人,‘擲實心球’成績為優秀”為事件A.
由頻率分布直方圖可知,參加此次“擲實心球”的項目測試的初二男生,成績優秀的頻率為(0.15+0.05)×2=0.4,
由頻率分布估計概率得P(A)=0.4.
(3)在(2)的條件下,從該市初二年級男生中任意選取兩人,假定兩人的成績是否優秀之間沒有影響,求兩人中恰有一人“擲實心球”成績為優秀的概率.
解:記事件Ai:第i名男生成績優秀,其中i=1,2.兩人中恰有一人成績優秀可以表示為A1+A2,由(2)知,P(A1)=P(A2)=0.4,則P()=P()=0.6,
因為A1,相互獨立,A2,相互獨立,
所以P(A1)=P(A1)P()=0.24,P(A2)=P(A2)P()=0.24,
又因為A1,A2互斥,
所以P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.48.
所以兩人中恰有一人“擲實心球”成績為優秀的概率為0.48.
|思|維|建|模|
相互獨立事件的綜合問題的解題策略
(1)正難則反.靈活應用對立事件的概率關系(P(A)+P()=1)簡化問題,是求解概率問題最常用的方法.
(2)化繁為簡.將復雜事件的概率轉化為簡單事件的概率,即尋找所求事件與已知事件之間的關系:“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉化為相互獨立事件).　
針對訓練
4.女排世界杯比賽采用5局3勝制,前4局比賽采用25分制,每個隊只有贏得至少25分,并同時超過對方2分時,才勝1局;在決勝局(第五局)采用15分制,每個隊只有贏得至少15分,并領先對方2分為勝.在每局比賽中,發球方贏得此球后可得1分,并獲得下一球的發球權,否則交換發球權,并且對方得1分.現有甲、乙兩隊進行排球比賽.
(1)若前三局比賽中甲已經贏兩局,乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊獲勝的概率為,求甲隊最后贏得整場比賽的概率;
解:依題意,甲隊將以3∶1或3∶2的比分贏得比賽.
若甲隊以3∶1的比分贏得比賽,則第4局甲贏,
若甲隊以3∶2的比分贏得比賽,則第4局乙贏,第5局甲贏.
故甲隊最后贏得整場比賽的概率為+×=.
(2)若前四局比賽中甲、乙兩隊已經各贏兩局比賽.在決勝局(第五局)中,兩隊當前的得分為甲、乙各14分,且甲已獲得下一發球權.若甲發球時甲贏1分的概率為,乙發球時甲贏1分的概率為,得分者獲得下一個球的發球權.求兩隊打了X(X≤4)個球后,甲隊贏得整場比賽的概率.
解:依題意,甲每次發球,甲隊得分的概率為,接發球方得分的概率為.
甲接下來可以以16∶14或17∶15贏得比賽,此時X的取值為2或4.
當X=2時,其贏球順序為“甲甲”,對應發球順序為“甲甲”,
P(X=2)=×=;
當X=4時,其贏球順序為“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”,對應發球順序為“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”,
P(X=4)=×××+×××=.
所以兩隊打了X(X≤4)個球后,甲隊贏得整場比賽的概率為
P(X)=P(X=2)+P(X=4)=+=.
課時跟蹤檢測
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——達標評價
1.拋擲一枚硬幣出現正面或反面,記事件A表示“出現正面”,事件B表示“出現反面”,則(　 )
A.A與B相互獨立 B.P(AB)=P(A)P(B)
C.A與不相互獨立 D.P(AB)=
√
1
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4
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2
解析:由題意得P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,故A與B,A與均不相互獨立,A、B、D不正確.故選C.
1
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2
3
4
2.出租車司機老王從飯店到火車站途中經過六個交通崗,已知各交通崗信號燈相互獨立.假設老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是,則他遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為(　 )
A. B.
C. D.
√
1
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7
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13
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2
3
4
解析:因為司機老王在第一、二個交通崗未遇到紅燈,在第三個交通崗遇到紅燈之間是相互獨立的,且遇到紅燈的概率都是,所以未遇到紅燈的概率都是1-=,所以遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為××=.
1
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13
14
3
4
2
3.(多選)分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣,設事件A是“第一枚為正面”,事件B是“第二枚為正面”,事件C是“兩枚結果相同”,則下列事件具有相互獨立性的是 (　 )
A.A與B B.A與C
C.B與C D.都不具有獨立性
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由題意,可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,
P(BC)=0.25.可以驗證P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根據事件相互獨立的定義,事件A與B相互獨立,事件A與C相互獨立,事件B與C相互獨立.
1
5
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4.4×100米接力賽是田徑運動中的集體項目.一根小小的木棒,要四個人共同打造一個信念,一起拼搏,每次交接都是信任的傳遞.甲、乙、丙、丁四位同學將代表高一年級參加校運會4×100米接力賽,教練組根據訓練情況,安排了四人的交接棒組合,已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1,p2,p3,假設三次交接棒相互獨立,則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是 (　 )
A.p1p2p3 B.1-p1p2p3
C.(1-p1)(1-p2)(1-p3) D.1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)
√
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解析:∵三次交接棒失誤的概率分別是p1,p2,p3,∴三次交接棒不失誤的概率分別是1-p1,1-p2,1-p3,∵三次交接棒相互獨立,∴此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是(1-p1)(1-p2)(1-p3).
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5.甲和乙兩位同學準備在體育課上進行一場乒乓球比賽,假設甲對乙每局獲勝的概率都為,比賽采取三局兩勝制(當一方獲得兩局勝利時,該方獲勝,比賽結束),則甲獲勝的概率為(　 )
A. B.
C. D.
√
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解析:分三類:
①甲直接獲得前兩局勝利,不進行第三局,此時甲獲勝的概率為×=;
②甲輸第一局,贏后兩局,此時甲獲勝的概率為××=;
③甲贏第一局和第三局,輸第二局,此時甲獲勝的概率為××=.
故甲獲勝的概率為++=.
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6.上數學課時,有兩道“多選一”的選擇題,每題有四個選項,則兩道題都選對的概率是　　　.
解析:由題意可知,每道題選對的概率為,所以兩道題都選對的概率為×=.
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7.某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為　　　　.
解析:設此隊員每次罰球的命中率為p,則1-p2=,所以p=.
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8.某單位有兩輛車參加某種事故保險,對在當年內發生此種事故的每輛車,單位均可獲賠(每輛車最多只獲一次賠償).設這兩輛車在一年內發生此種事故的概率分別為和,且各車是否發生事故相互獨立,則一年內該單位在此種保險中獲賠的概率為　　　　.(結果用最簡分數表示)
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解析:因為這兩輛車在一年內發生此種事故的概率分別為和,且各車是否發生事故相互獨立,所以一年內該單位在此種保險中獲賠的概率P=1-×=.
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9.(8分)在同一時間內,甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為和.求:
(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率;
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解:記“甲氣象臺預報天氣準確”為事件A,“乙氣象臺預報天氣準確”為事件B.
顯然事件A,B相互獨立,且P(A)=,P(B)=.
甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率為P(AB)=P(A)P(B)=×=.
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(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率.
解:至少有一個氣象臺預報準確的概率為P=1-P( )=1-P()P()=
1-×=.
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10.(10分)在某校運動會中,甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽(即每兩隊比賽一場),共賽三場,每場比賽勝者得3分,負者得0分,沒有平局.在每一場比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為.
(1)求甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率;
解:設甲隊獲第一名且丙隊獲第二名為事件A,則P(A)=××=.
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(2)求在該次比賽中甲隊至少得3分的概率.
解:甲隊至少得3分有兩種情況:兩場只勝一場;兩場都勝.設事件B為“甲兩場只勝一場”,事件C為“甲兩場都勝”,則事件“甲隊至少得3分”為B+C,則P(B+C)=P(B)+P(C)=×+×+×=+=.
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B級——重點培優
11.某大學選拔新生補充進“籃球”“電子競技”“國學”三個社團,據資料統計,新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立,2024年某新生入學,假設他通過考核選拔進入該校的“籃球”“電子競技”“國學”三個社團的概率依次為m,,n,已知三個社團他都能進入的概率為,至少進入一個社團的概率為,且m>n.則m+n=(　 )
A. B. C. D.
√
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解析:由題知三個社團都能進入的概率為,即m××n= m×n=,又因為至少進入一個社團的概率為,即一個社團都沒能進入的概率為1-=,即(1-m)××(1-n)= 1-m-n+m×n=,整理得m+n=.
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12.一個人有n把鑰匙,其中只有一把可以打開房門,他隨意地進行試開,若試開過的鑰匙放在一旁,則他第k次恰好打開房門的概率等于　　　.
解析:第k次恰好打開,則前k-1次沒有打開,
∴第k次恰好打開房門的概率為××…××=.
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13.(13分)小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設這三列火車之間是否正點到達互不影響.求:
(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率;
解:用A,B,C分別表示這三列火車正點到達的事件,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
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由已知,A,B,C之間相互獨立,所以恰好有兩列火車正點到達的概率為
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)·P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
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(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率.
解:三列火車至少有一列正點到達的概率為P2=1-P( )=1-P()P()
P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
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14.(17分)國家執業醫師資格考試分實踐技能考試與醫學綜合筆試兩部分,每部分考試成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考試都“合格”者,則執業醫師資格考試“合格”,并頒發執業醫師證書.甲、乙、丙三人在醫學綜合筆試中“合格”的概率依次為,,,在實踐技能考試中“合格”的概率依次為,,,所有考試是否合格互不影響.
(1)假設甲、乙、丙三人同時進行實踐技能考試與醫學綜合筆試兩項考試,誰獲得執業醫師證書的可能性最大
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解:記甲、乙、丙三人在醫學綜合筆試中合格依次為事件A1,B1,C1,
在實踐技能考試中合格依次為事件A2,B2,C2,則甲、乙、丙獲得執業醫師證書依次為A1A2,B1B2,C1C2,并且A1與A2,B1與B2,C1與C2相互獨立,
則P(A1A2)=×=,P(B1B2)=×=,P(C1C2)=×=,由于>>,故乙獲得執業醫師證書的可能性最大.
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(2)這三人進行實踐技能考試與醫學綜合筆試兩項考試后,求恰有兩人獲得執業醫師證書的概率.
解:由于事件A1A2,B1B2,C1C2彼此相互獨立,
則“恰有兩人獲得執業醫師證書”即為事件(A1A2)(B1B2)()+(A1A2)()(C1C2)+()(B1B2)(C1C2),
概率為P=××+××+××=.課時跟蹤檢測(五十一)　事件的獨立性
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．拋擲一枚硬幣出現正面或反面，記事件A表示“出現正面”，事件B表示“出現反面”，則(　　)
A．A與B相互獨立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A與不相互獨立 D．P(AB)＝
2．出租車司機老王從飯店到火車站途中經過六個交通崗，已知各交通崗信號燈相互獨立．假設老王在各交通崗遇到紅燈的概率都是，則他遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為(　　)
A. B.
C. D.
3．(多選)分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結果相同”，則下列事件具有相互獨立性的是(　　)
A．A與B B．A與C
C．B與C D．都不具有獨立性
4．4×100米接力賽是田徑運動中的集體項目．一根小小的木棒，要四個人共同打造一個信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞．甲、乙、丙、丁四位同學將代表高一年級參加校運會4×100米接力賽，教練組根據訓練情況，安排了四人的交接棒組合，已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，假設三次交接棒相互獨立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是(　　)
A．p1p2p3
B．1－p1p2p3
C．(1－p1)(1－p2)(1－p3)
D．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)
5．甲和乙兩位同學準備在體育課上進行一場乒乓球比賽，假設甲對乙每局獲勝的概率都為，比賽采取三局兩勝制(當一方獲得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結束)，則甲獲勝的概率為(　　)
A. B.
C. D.
6．上數學課時，有兩道“多選一”的選擇題，每題有四個選項，則兩道題都選對的概率是________．
7．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為________．
8．某單位有兩輛車參加某種事故保險，對在當年內發生此種事故的每輛車，單位均可獲賠(每輛車最多只獲一次賠償)．設這兩輛車在一年內發生此種事故的概率分別為和，且各車是否發生事故相互獨立，則一年內該單位在此種保險中獲賠的概率為________．(結果用最簡分數表示)
9．(8分)在同一時間內，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為和.求：
(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率；
(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率．
10．(10分)在某校運動會中，甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽(即每兩隊比賽一場)，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局．在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.
(1)求甲隊獲第一名且丙隊獲第二名的概率；
(2)求在該次比賽中甲隊至少得3分的概率．
B級——重點培優
11．某大學選拔新生補充進“籃球”“電子競技”“國學”三個社團，據資料統計，新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立，2024年某新生入學，假設他通過考核選拔進入該校的“籃球”“電子競技”“國學”三個社團的概率依次為m，，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且m＞n.則m＋n＝(　　)
A. B.
C. D.
12．一個人有n把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進行試開，若試開過的鑰匙放在一旁，則他第k次恰好打開房門的概率等于________．
13．(13分)小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8，0.7,0.9，假設這三列火車之間是否正點到達互不影響．求：
(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；
(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率．
14．(17分)國家執業醫師資格考試分實踐技能考試與醫學綜合筆試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則執業醫師資格考試“合格”，并頒發執業醫師證書．甲、乙、丙三人在醫學綜合筆試中“合格”的概率依次為，，，在實踐技能考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格互不影響．
(1)假設甲、乙、丙三人同時進行實踐技能考試與醫學綜合筆試兩項考試，誰獲得執業醫師證書的可能性最大？
(2)這三人進行實踐技能考試與醫學綜合筆試兩項考試后，求恰有兩人獲得執業醫師證書的概率．
課時跟蹤檢測(五十一)
1．選C　由題意得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A與B，A與均不相互獨立，A、B、D不正確．故選C.
2．選B　因為司機老王在第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈之間是相互獨立的，且遇到紅燈的概率都是，所以未遇到紅燈的概率都是1－＝，所以遇到紅燈前已經通過了兩個交通崗的概率為××＝.
3．選ABC　由題意，可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以驗證P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根據事件相互獨立的定義，事件A與B相互獨立，事件A與C相互獨立，事件B與C相互獨立．
4．選C　∵三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失誤的概率分別是1－p1,1－p2,1－p3，∵三次交接棒相互獨立，∴此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是(1－p1)(1－p2)(1－p3)．
5．選B　分三類：
①甲直接獲得前兩局勝利，不進行第三局，此時甲獲勝的概率為×＝；
②甲輸第一局，贏后兩局，此時甲獲勝的概率為××＝；
③甲贏第一局和第三局，輸第二局，此時甲獲勝的概率為××＝.
故甲獲勝的概率為＋＋＝.
6．解析：由題意可知，每道題選對的概率為，所以兩道題都選對的概率為×＝.
答案：
7．解析：設此隊員每次罰球的命中率為p，則1－p2＝，所以p＝.
答案：
8．解析：因為這兩輛車在一年內發生此種事故的概率分別為和，且各車是否發生事故相互獨立，所以一年內該單位在此種保險中獲賠的概率P＝1－×＝.
答案：
9．解：記“甲氣象臺預報天氣準確”為事件A，“乙氣象臺預報天氣準確”為事件B.
顯然事件A，B相互獨立，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率為P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率為P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.
10．解：(1)設甲隊獲第一名且丙隊獲第二名為事件A，則P(A)＝××＝.
(2)甲隊至少得3分有兩種情況：兩場只勝一場；兩場都勝．設事件B為“甲兩場只勝一場”，事件C為“甲兩場都勝”，則事件“甲隊至少得3分”為B＋C，
則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.
11．選C　由題知三個社團都能進入的概率為，即m××n＝ m×n＝，又因為至少進入一個社團的概率為，即一個社團都沒能進入的概率為1－＝，即(1－m)××(1－n)＝ 1－m－n＋m×n＝，整理得m＋n＝.
12．解析：第k次恰好打開，則前k－1次沒有打開，
∴第k次恰好打開房門的概率為××…××＝.
答案：
13．解：用A，B，C分別表示這三列火車正點到達的事件，則
P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由已知，A，B，C之間相互獨立，所以恰好有兩列火車正點到達的概率為
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火車至少有一列正點到達的概率為P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
14．解：(1)記甲、乙、丙三人在醫學綜合筆試中合格依次為事件A1，B1，C1，
在實踐技能考試中合格依次為事件A2，B2，C2，則甲、乙、丙獲得執業醫師證書依次為A1A2，B1B2，C1C2，并且A1與A2，B1與B2，C1與C2相互獨立，
則P(A1A2)＝×＝，P(B1B2)＝×＝，P(C1C2)＝×＝，
由于>>，故乙獲得執業醫師證書的可能性最大．
(2)由于事件A1A2，B1B2，C1C2彼此相互獨立，
則“恰有兩人獲得執業醫師證書”即為事件(A1A2)(B1B2)()＋(A1A2)()(C1C2)＋()(B1B2)(C1C2)，
概率為P＝××＋××＋××＝.
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