資源簡介

板塊綜合　概率與統計的綜合問題(階段小結課—習題講評式教學)
[建構知識體系]
[融通學科素養]
1．浸潤的核心素養
在概率與統計中作為高中數學課程中的一個重要內容板塊承載著考查學生數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養以及閱讀理解能力．
2．滲透的數學思想
(1)在統計圖表的應用及概率問題中利用樹形圖求樣本點的總數和事件A包含的樣本點數考察數形結合思想．
(2)在互斥事件的概率加法公式、對立事件的概率公式、相互獨立事件的概率、統計圖表中樣本數字特征的求解中，運用方程思想解題的關鍵就是抓住等量關系，列出方程(組)或函數式求解．
(3)在解決概率的相關問題時，常常會用到轉化與化歸的思想方法．
題型(一)　概率與統計圖表交匯
[例1]　(2023·新課標Ⅱ卷)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設數據在組內均勻分布．以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．
(1)當漏診率p(c)＝0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；
(2)設函數f(c)＝p(c)＋q(c)．當c∈[95,105]時，求f(c)的解析式，并求f(c)在區間[95,105]的最小值．
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破解概率與統計圖表綜合問題的3步驟
[針對訓練]
1．下面是某市某年2月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖及空氣質量指數與空氣質量等級對應表．某人隨機選擇2月1日至2月13日中的某一天到該市出差，第二天返回(往返共兩天)．
空氣質量指數 空氣質量等級
小于或等于100 優良
大于100且小于或等于150 輕度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 嚴重污染
(1)觀察空氣質量指數趨勢圖，你認為從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大？(只寫出結論，不要求證明)
(2)求此人到達當日空氣質量優良的概率；
(3)求此人出差期間(兩天)空氣質量至少有一天為中度或重度污染的概率．
題型(二)　概率與樣本數字特征交匯
[例2]　某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試，現從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理數據并按分數段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]進行分組，假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖如圖所示．
(1)體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”．已知該校高一年級有1 000名學生，試估計高一全年級中“體育良好”的學生人數；
(2)為分析學生平時的體育活動情況，現從體育成績在[60,70)和[80,90)的樣本學生中隨機抽取2人，求在抽取的2名學生中，至少有1人體育成績在[60,70)的概率；
(3)假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在[70,80)，[80,90)，[90,100]三組中，其中a，b，c∈N，當數據a，b，c的方差s2最小時，寫出a，b，c的值．(結論不要求證明)
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本題主要考查概率與數字特征，涉及平均數、中位數，分層隨機抽樣，古典概型的概率計算等知識．解決此類問題的關鍵是正確理解圖表中各個量的意義，牢記相關定義和公式，在利用頻率分布直方圖求平均值時，不要與求中位數、眾數混淆．
[針對訓練]
2．某公司生產的宣紙為純手工制作，年產宣紙10 000刀(1刀＝100張)，該公司按照某種質量指標x給宣紙確定等級如表所示：
x的范圍 (44,48]∪(52,56] (48,52] [0,44]∪(56,60]
質量等級 副牌 正牌 廢品
在該公司所生產的宣紙中隨機抽取了一刀進行檢驗，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌
宣紙的利潤為15元，副牌宣紙利潤為8元，廢品的利潤為－20元．
(1)試估計該公司的年利潤；
(2)市場上有一種售價為100萬元的機器可以改進宣紙的生產工藝，但這種機器的使用壽命為一年，只能提高宣紙的質量，不能增加宣紙的年產量；據調查這種機器生產的宣紙的質量指標x如表所示：
x的范圍 (－2，＋2) (－6，＋6)
頻率 0.682 7 0.954 5
其中為質量指標x的平均值，但是由于人們對傳統手工工藝的認可，改進后的正牌和副牌宣紙的利潤都將下降3元/張，請問該公司是否購買這種機器？請你為公司提出合理建議，并說明理由．(同一組的數據用該組區間的中點值作代表)
題型(三)　概率統計中的決策性問題
[例3]　某村為提高村民收益，種植了一批蜜柚，現為了更好地銷售，從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，測得其質量(單位：克)均分布在區間[1 500,3 000]內，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)按分層隨機抽樣的方法從質量落在區間[1 750，2 000)，[2 000,2 250)的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨機抽取2個，求這2個蜜柚質量均小于2 000克的概率；
(2)以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹上大約還有5 000個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：
A．所有蜜柚均以40元/千克收購；
B．低于2 250克的蜜柚以60元/個的價格收購，高于或等于2 250克的蜜柚以80元/個的價格收購．
請你通過計算為該村選擇收益最好的方案．
聽課記錄：
[針對訓練]
3．某中學的高二(1)班有男同學45名、女同學15名，老師按照分層隨機抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組．
(1)求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數；
(2)經過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗，方法是先從小組里選出1名同學做實驗，該同學做完后，再從小組內剩下的同學中選1名同學做實驗，求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率；
(3)實驗結束后，第一次做實驗的同學得到實驗數據為68,70,71,72,74，第二次做實驗的同學得到的實驗數據為69,70,70,72,74，請問哪位同學的實驗更穩定？并說明理由．
板塊綜合　概率與統計的綜合問題
[題型(一)]
[例1]　解：(1)由題圖知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100.
設X為患病者的該指標，
則p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.
設Y為未患病者的該指標，
則q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)當95≤c≤100時，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
當100＜c≤105時，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
綜上所述，f(c)＝
由一次函數的單調性知，函數f(c)在[95,100]上單調遞減，在(100,105]上單調遞增，
作出f(c)在區間[95,105]上的大致圖象(略)，可得f(c)在區間[95,105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
[針對訓練]
1．解：(1)通過觀察空氣質量指數趨勢圖可知，
從2月5日開始連續三天的空氣質量指數波動最大，所以從2月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大．
(2)通過觀察空氣質量指數趨勢圖可知，前13天，有6天空氣質量優良，所以此人到達當日空氣質量優良的概率為.
(3)通過觀察空氣質量指數趨勢圖可知，此人出差期間(兩天)空氣質量至少有一天為中度或重度污染的情況有8次，所以此人出差期間(兩天)空氣質量至少有一天為中度或重度污染的概率為.
[題型(二)]
[例2]　解：(1)由折線圖得樣本中體育成績大于或等于70分的學生有14＋3＋13＝30人，所以該校高一年級學生中“體育良好”的學生大約為1 000×＝750人．
(2)成績在[60,70)有2名學生，設為1,2，[80,90)有3名學生，設為A，B，C，故抽取2名學生，有(1,2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10種情況，其中至少有1人體育成績在[60,70)的情況有(1,2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，共7種情況，故在抽取的2名學生中，至少有1人體育成績在[60,70)的概率為.
(3)由題意知，要想數據a，b，c的方差s2最小，則a，b，c三個數據的差的絕對值越小越好，故a＝79，c＝90，
則甲、乙、丙三人的體育成績平均值為＝，故方差s2＝
＝[(68－b)2＋(2b－169)2＋(101－b)2]
＝(6b2－1 014b＋43 386)，
對稱軸為b＝－＝84.5，
故當b＝84或b＝85時，s2取得最小值，
a，b，c的值為79,84,90或79,85,90.
[針對訓練]
2．解：(1)由頻率分布直方圖得，一刀宣紙有正牌100×0.1×4＝40張，有副牌100×0.05×4×2＝40張，有廢品100×0.025×4×2＝20張，
∴該公司一刀宣紙的利潤的估計值為40×15＋40×8－20×20＝520元，
∴估計該公司的年利潤為520萬元．
(2)由頻率分布直方圖得，
＝42×0.025×4＋46×0.05×4＋50×0.1×4＋54×0.05×4＋58×0.025×4＝50.
∴－2＝48，＋2＝52，－6＝44，＋6＝56，
則這種機器生產的宣紙的質量指標x如表所示：
x的范圍 (48,52) (44,56)
頻率 0.682 7 0.954 5
∴一刀宣紙中有正牌的張數估計為100×0.682 7＝68.27，
廢品的張數估計為100×(1－0.954 5)＝4.55，
副牌的張數為100×(0.954 5－0.682 7)＝27.18，
∴一刀宣紙的利潤為68.27×(15－3)＋27.18×(8－3)－4.55×20＝864.14元，
∴公司改進后該公司的利潤為
864．14－100＝764.14萬元．
∵764.14>520，
∴建議該公司購買這種機器．
[題型(三)]
[例3]　解：(1)由題圖可得蜜柚質量在區間[1 750，2 000)和[2 000,2 250)的比為2∶3，
所以應分別在質量為[1 750,2 000)，[2 000，2 250)的蜜柚中抽取2個和3個．
記抽取的質量在區間[1 750,2 000)的蜜柚分別為A1，A2，質量在區間[2 000,2 250)的蜜柚分別為B1，B2，B3，
則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有10種：
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，
其中質量均小于2 000克的僅有A1A2這1種情況，所以所求概率為.
(2)方案A好，
理由：由題中頻率分布直方圖可知，
蜜柚質量在區間[1 500,1 750)的頻率為250×0.000 4＝0.1，
同理，蜜柚質量在區間
[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500，2 750)，[2 750,3 000]
的頻率依次為0.1,0.15,0.4,0.2,0.05，
若按方案A收購：由題意知各區間的蜜柚個數依次為500,500,750,2 000,1 000,250，
于是總收益為
×40÷1 000=457 500(元).
若按方案B收購：由題意知蜜柚質量低于2 250克的個數為(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，蜜柚質量高于或等于2 250克的個數為5 000－1 750＝3 250，
所以總收益為1 750×60＋3 250×80＝365 000(元)．
因為365 000<457 500,
所以方案A的收益比方案B的收益高，應該選擇方案A.
[針對訓練]
3．解：(1)某同學被抽到的概率為＝，課外興趣小組中男同學的人數為45×＝3，課外興趣小組中女同學的人數為15×＝1.
(2)把3名男同學和1名女同學記為a1，a2，a3，b，則選取兩名同學的情況有
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12種，
其中恰有一名女同學的有6種情況，
所以選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為P＝＝.
(3)1＝×(68＋70＋71＋72＋74)＝71，
2＝×(69＋70＋70＋72＋74)＝71，
s＝×[(68－71)2＋(70－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝4，
s＝×[(69－71)2＋(70－71)2＋(70－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝3.2.
因為s>s，所以第二位同學的實驗更穩定．
5 / 6(共76張PPT)
板塊綜合　概率與統計的綜合問題
(階段小結課—習題講評式教學)
建構知識體系
融通學科素養
1.浸潤的核心素養
在概率與統計中作為高中數學課程中的一個重要內容板塊承載著考查學生數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養以及閱讀理解能力.
2.滲透的數學思想
(1)在統計圖表的應用及概率問題中利用樹形圖求樣本點的總數和事件A包含的樣本點數考察數形結合思想.
(2)在互斥事件的概率加法公式、對立事件的概率公式、相互獨立事件的概率、統計圖表中樣本數字特征的求解中,運用方程思想解題的關鍵就是抓住等量關系,列出方程(組)或函數式求解.
(3)在解決概率的相關問題時,常常會用到轉化與化歸的思想方法.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　概率與統計圖表交匯
題型(二)　概率與樣本數字特征交匯
題型(三)　概率統計中的決策性問題
4
課時跟蹤檢測
題型(一)　概率與統計圖表交匯
01
[例1]　(2023·新課標Ⅱ卷)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:
利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性,此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設數據在組內均勻分布.以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.
(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);
解:由題圖知(100-95)×0.002=1%>0.5%,所以95設X為患病者的該指標,則p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%,
解得c=97.5.
設Y為未患病者的該指標,則q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)設函數f(c)=p(c)+q(c).當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區間[95,105]的最小值.
解:當95≤c≤100時,p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19,q(c)=(100-c)×0.01+
5×0.002=-0.01c+1.01,所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82;
當100q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21,
所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98.
綜上所述,f(c)=
由一次函數的單調性知,函數f(c)在[95,100]上單調遞減,在(100,105]上單調遞增,
作出f(c)在區間[95,105]上的大致圖象(略),可得f(c)在區間[95,105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02.
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破解概率與統計圖表綜合問題的3步驟
1.下面是某市某年2月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖及空氣質量指數與空氣質量等級對應表.某人隨機選擇2月1日至2月13日中的某一天到該市出差,第二天返回(往返共兩天).
針對訓練
空氣質量指數 空氣質量等級
小于或等于100 優良
大于100且小于或等于150 輕度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 嚴重污染
(1)觀察空氣質量指數趨勢圖,你認為從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大 (只寫出結論,不要求證明)
解:通過觀察空氣質量指數趨勢圖可知,
從2月5日開始連續三天的空氣質量指數波動最大,所以從2月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.
(2)求此人到達當日空氣質量優良的概率;
解:通過觀察空氣質量指數趨勢圖可知,前13天,有6天空氣質量優良,所以此人到達當日空氣質量優良的概率為.
(3)求此人出差期間(兩天)空氣質量至少有一天為中度或重度污染的概率.
解:通過觀察空氣質量指數趨勢圖可知,此人出差期間(兩天)空氣質量至少有一天為中度或重度污染的情況有8次,所以此人出差期間(兩天)空氣質量至少有一天為中度或重度污染的概率為.
題型(二)　概率與樣本數字特征交匯
02
[例2]　某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試,現從中隨機抽取40名學生的測試成績,整理數據并按分數段[40,50),[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]進行分組,假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖如圖所示.
(1)體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級有1 000名學生,試估計高一全年級中“體育良好”的學生人數;
解:由折線圖得樣本中體育成績大于或等于70分的學生有14+3+13=30人,所以該校高一年級學生中“體育良好”的學生大約為1 000×=750人.
(2)為分析學生平時的體育活動情況,現從體育成績在[60,70)和[80,90)的樣本學生中隨機抽取2人,求在抽取的2名學生中,至少有1人體育成績在[60,70)的概率;
解:成績在[60,70)有2名學生,設為1,2,[80,90)有3名學生,設為A,B,C,故抽取2名學生,有(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10種情況,其中至少有1人體育成績在[60,70)的情況有(1,2),(1,A),(1,B),
(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),共7種情況,故在抽取的2名學生中,至少有1人體育成績在[60,70)的概率為.
(3)假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為a,b,c,且分別在[70,80),[80,90),
[90,100]三組中,其中a,b,c∈N,當數據a,b,c的方差s2最小時,寫出a,b,c的值.(結論不要求證明)
解:由題意知,要想數據a,b,c的方差s2最小,則a,b,c三個數據的差的絕對值越小越好,
故a=79,c=90,
則甲、乙、丙三人的體育成績平均值為=,
故方差s2=
=[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2]
=(6b2-1 014b+43 386),
對稱軸為b=-=84.5,
故當b=84或b=85時,s2取得最小值,
a,b,c的值為79,84,90或79,85,90.
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　　本題主要考查概率與數字特征,涉及平均數、中位數,分層隨機抽樣,古典概型的概率計算等知識.解決此類問題的關鍵是正確理解圖表中各個量的意義,牢記相關定義和公式,在利用頻率分布直方圖求平均值時,不要與求中位數、眾數混淆.
針對訓練
2.某公司生產的宣紙為純手工制作,年產宣紙10 000刀(1刀=100張),該公司按照某種質量指標x給宣紙確定等級如表所示:
x的范圍 (44,48]∪(52,56] (48,52] [0,44]∪(56,60]
質量等級 副牌 正牌 廢品
在該公司所生產的宣紙中隨機抽取了一刀進行檢驗,得到頻率分布直方圖如圖所示,已知每張正牌宣紙的利潤為15元,副牌宣紙利潤為8元,廢品的利潤為-20元.
(1)試估計該公司的年利潤;
解:由頻率分布直方圖得,一刀宣紙有正牌100×0.1×4=40張,有副牌100×0.05×4×2=40張,有廢品100×0.025×4×2=20張,
∴該公司一刀宣紙的利潤的估計值為40×15+40×8-20×20=520元,
∴估計該公司的年利潤為520萬元.
(2)市場上有一種售價為100萬元的機器可以改進宣紙的生產工藝,但這種機器的使用壽命為一年,只能提高宣紙的質量,不能增加宣紙的年產量;據調查這種機器生產的宣紙的質量指標x如表所示:
x的范圍
頻率 0.682 7 0.954 5
其中為質量指標x的平均值,但是由于人們對傳統手工工藝的認可,改進后的正牌和副牌宣紙的利潤都將下降3元/張,請問該公司是否購買這種機器 請你為公司提出合理建議,并說明理由.(同一組的數據用該組區間的中點值作代表)
解:由頻率分布直方圖得,
=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50.
∴-2=48,+2=52,-6=44,+6=56,
則這種機器生產的宣紙的質量指標x如表所示:
∴一刀宣紙中有正牌的張數估計為100×0.682 7=68.27,廢品的張數估計為100×(1-0.954 5)=4.55,
副牌的張數為100×(0.954 5-0.682 7)=27.18,
x的范圍 (48,52) (44,56)
頻率 0.682 7 0.954 5
∴一刀宣紙的利潤為68.27×(15-3)+27.18×(8-3)-4.55×20=864.14元,∴公司改進后該公司的利潤為864.14-100=764.14萬元.
∵764.14>520,∴建議該公司購買這種機器.
題型(三)　概率統計中的決策性問題
03
[例3]　某村為提高村民收益,種植了一批蜜柚,現為了更好地銷售,從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重,測得其質量(單位:克)均分布在區間[1 500,3 000]內,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)按分層隨機抽樣的方法從質量落在區間[1 750,2 000),[2 000,2 250)的蜜柚中隨機抽取5個,再從這5個蜜柚中隨機抽取2個,求這2個蜜柚質量均小于2 000克的概率;
解:由題圖可得蜜柚質量在區間[1 750,2 000)和[2 000,2 250)的比為2∶3,
所以應分別在質量為[1 750,2 000),[2 000,2 250)的蜜柚中抽取2個和3個.
記抽取的質量在區間[1 750,2 000)的蜜柚分別為A1,A2,質量在區間
[2 000,2 250)的蜜柚分別為B1,B2,B3,
則從這5個蜜柚中隨機抽取2個的情況共有10種:
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,
其中質量均小于2 000克的僅有A1A2這1種情況,
所以所求概率為.
(2)以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平,以頻率代表概率,已知該村的蜜柚樹上大約還有5 000個蜜柚待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有蜜柚均以40元/千克收購;
B.低于2 250克的蜜柚以60元/個的價格收購,高于或等于2 250克的蜜柚以80元/個的價格收購.
請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.
解:方案A好,
理由:由題中頻率分布直方圖可知,
蜜柚質量在區間[1 500,1 750)的頻率為250×0.000 4=0.1,
同理,蜜柚質量在區間
[1 750,2 000),[2 000,2 250),[2 250,2 500),[2 500,2 750),[2 750,3 000]
的頻率依次為0.1,0.15,0.4,0.2,0.05,
若按方案A收購:由題意知各區間的蜜柚個數依次為500,500,750,2 000,
1 000,250,
于是總收益為
若按方案B收購:由題意知蜜柚質量低于2 250克的個數為(0.1+0.1+0.15)
×5 000=1 750,
蜜柚質量高于或等于2 250克的個數為5 000-1 750=3 250,
所以總收益為1 750×60+3 250×80=365 000(元).
因為365 000<457 500,
所以方案A的收益比方案B的收益高,應該選擇方案A.
針對訓練
3.某中學的高二(1)班有男同學45名、女同學15名,老師按照分層隨機抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組.
(1)求某同學被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學的人數;
解:某同學被抽到的概率為=,
課外興趣小組中男同學的人數為45×=3,
課外興趣小組中女同學的人數為15×=1.
(2)經過一個月的學習、討論,這個興趣小組決定選出兩名同學做某項實驗,方法是先從小組里選出1名同學做實驗,該同學做完后,再從小組內剩下的同學中選1名同學做實驗,求選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率;
解:把3名男同學和1名女同學記為a1,a2,a3,b,
則選取兩名同學的情況有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),
(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3),共12種,其中恰有一名女同學的有6種情況,
所以選出的兩名同學中恰有一名女同學的概率為P==.
(3)實驗結束后,第一次做實驗的同學得到實驗數據為68,70,71,72,74,第二次做實驗的同學得到的實驗數據為69,70,70,72,74,請問哪位同學的實驗更穩定 并說明理由.
解:=×(68+70+71+72+74)=71, =×(69+70+70+72+74)=71,
=×[(68-71)2+(70-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(74-71)2]=4,
=×[(69-71)2+(70-71)2+(70-71)2+(72-71)2+(74-71)2]=3.2.
因為>,所以第二位同學的實驗更穩定.
課時跟蹤檢測
04
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2
√
A級——達標評價
1.如圖所示是根據某市3月1日至3月10日的
最低氣溫(單位:℃)的情況繪制的折線統計
圖,由圖可知這10天最低氣溫的80%分位
數是(　 )
A.-2 B.0 C.1 D.2
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解析:由折線圖可知,這10天的最低氣溫按照從小到大的順序排列為:-3,-2,-1,-1,0,0,1,2,2,2,因為共有10個數據,所以10×80%=8是整數,則這10天最低氣溫的80%分位數是=2.
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2
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√
2.一個系統如圖所示,A,B,C,D,E,F為6個部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互獨立的,當A,B都正常工作或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作時,系統就能正常工作,則系統正常工作的概率是(　 )
A. B.
C. D.
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解析:設“C正常工作”為事件G,“D正常工作”為事件H,則P(G)=
P(H)=,“A與B中至少有一個不正常工作”為事件T,“E與F中至少有一個不正常工作”為事件R,則P(T)=P(R)=1-×=,于是得系統不正常工作的事件為TR　,而T,R,,相互獨立,所以系統正常工作的概率P=1-P(T)·P(R)·P()·()=.
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2
3.某工廠的機器上有一種易損元件,這種元件發生損壞時,需要及時維修.現有甲、乙兩名工人同時從事這項工作,下表記錄了某月1日到10日甲、乙兩名工人分別維修這種元件的件數.
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
甲 3 5 4 6 4 6 3 7 8 4
乙 4 7 4 5 5 4 5 5 4 7
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由于甲、乙的任務量大,擬增加工人,為使增加工人后平均每人每天維修的元件不超過3件,請利用上表數據估計最少需要增加工人的人數為 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
√
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解析:設增加工人后有n名工人.因為甲、乙兩名工人每天維修的元件的平均數為×[(3+5+4+6+4+6+3+7+8+4)+(4+7+4+5+5+4+5+5+4+7)]=10,所以這n名工人每人每天維修的元件的平均數為.令≤3,解得n≥,所以n的最小值為4.為使增加工人后平均每人每天維修的元件不超過3件,至少應增加2名工人.
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2
√
4.若A=a2+b2+c2+d2(a,b,c,d∈N),則稱{a,b,c,d}為A的一組四平方和分解(該分解與a,b,c,d的順序無關),SA=a+b+c+d為該分解因素和,例如2=12
+12+02+02,或2=12+02+12+02,稱{1,1,0,0}和{1,0,1,0}是2的同一組四平方和分解,S2=2,則從36的四平方和分解中任取一組分解,則因素和為10的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
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解析:36=62+02+02+02=52+32+12+12=42+42+22+02=32+32+32+32,四種情形下,因素和分別為6,10,10,12,所以因素和為10的概率是=.
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2
5.甲、乙兩人在5次體育測試中成績見下表,其中●表示一個數字被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為　　　　　.
甲 89 91 90 88 92
乙 83 87 9● 83 99
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2
解析:甲的平均成績=×(89+91+90+88+92)=90.
設被污損的數字為x,
則有83+87+90+x+83+99=442+x,由×(442+x)<90,得x<8,
所以甲的平均成績超過乙的平均成績的概率P==.
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2
6.隨著經濟發展,江門市居住環境進一步改善,市民休閑活動的公園越來越多,其中,最新打造的網紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園.某個節假日,甲、乙、丙、丁四組家庭到這個網紅公園打卡,通過訪問和意向篩查,最后將這四組家庭的意向匯總如下:
公園 兒童公園 湖連潮頭中央公園 下沙公園
有意向的家族組 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁
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若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機選取一項,且每個公園至多有兩組家庭選擇,則甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的概率為　　　.
解析:①選兒童公園和湖連潮頭中央公園時,有以下情況:甲丙、乙丁;乙丙、甲丁;
②選兒童公園和下沙公園時,有以下情況:甲乙、丙丁;甲丙、乙丁;
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③選湖連潮頭中央公園和下沙公園時,有以下情況:甲乙、丙丁;甲丁、乙丙;
④選3個公園時,有以下幾種情況:甲乙、丁、丙;甲丙、乙、丁;甲丙、丁、乙;乙丙、甲、丁;
丙、甲乙、丁;乙、甲丁、丙;丙、甲丁、乙;甲、乙丁、丙;
甲、丁、乙丙;丙、甲、乙丁;甲、乙、丙丁;乙、甲、丙丁.
共有18種選擇,其中甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的4種,則甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的概率為=.
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7.(10分)如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,據統計,通過兩條路徑所用的時間互不影響,所用時間落在各時間段內的頻率如下表:
時間(分鐘) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
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現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站.
(1)為了盡可能在各自允許的時間內趕到火車站,甲和乙應如何選擇各自的路徑
解:Ai表示事件“甲選擇路徑Li時,40分鐘內趕到火車站”,Bi表示事件“乙選擇路徑Li時,50分鐘內趕到火車站”,i=1,2.
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用頻率估計相應的概率,則有:
P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5.
∵P(A1)>P(A2),∴甲應選擇路徑L1.
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9.
∵P(B2)>P(B1),∴乙應選擇路徑L2.
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(2)根據第(1)問中選擇的路徑,求甲、乙兩人中恰有一人在允許的時間內能趕到火車站的概率.
解:用A,B分別表示針對(1)的選擇方案,甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站,由(1)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又事件A,B相互獨立,則甲、乙兩人中恰有一人在允許的時間內能趕到火車站的概率為
P(B+A)=P()P(B)+P(A)P()=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42.
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8.(13分)某次高三年級模擬考試中,數學試卷有一道滿分10分的選做題,學生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學生參加了本次考試,為了了解該校學生解答該選做題的得分情況,為下一步教學作參考依據,計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本.現采用分層隨機抽樣的方法,按照學生選擇A題目或B題目將成績分為兩層.已知該校高三學生有540人選做A題目,有360人選做B題目,選取的樣本中,A題目的成績平均數為5,方差為2,B題目的成績平均數為5.5,方差為0.25.
(1)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數與方差;
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解:由題意,按照分層隨機抽樣的方法抽出的樣本中,
A題目的成績有6個,按分值降序分別記為x1,x2,…,x6,
B題目的成績有4個,按分值降序分別記為y1,y2,y3,y4,
記樣本的平均數為,樣本的方差為s2,
由題意知=×[(x1+x2+…+x6)+(y1+y2+y3+y4)]==5.2,
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(2)本選做題閱卷分值都為整數,且選取的樣本中,A題目成績的中位數和B題目成績的中位數都是5.5.從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據做進一步調查,求取到的兩個成績來自不同題目的概率.
解:由題意,樣本中A題目的成績大于樣本平均值的成績有3個,設為x1,x2,x3,
B題目的成績大于樣本平均值的成績有2個,設為y1,y2.
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從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據共有10種取法,為(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),
其中取到的兩個成績來自不同題目的取法共有6種,為(x1,y1),(x1,y2),
(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),
記“從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據,取到的兩個成績來自不同題目”為事件A,則P(A)==0.6.
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B級——重點培優
9.(多選)已知n是一個三位正整數,若n的個位數字大于十位數字,十位數字大于百位數字,則稱n為“三位遞增數”(如135,256,345等).現要從甲、乙兩名同學中選出1人參加某市組織的數學競賽,選取的規則如下:從由1,2,3,4,5組成的所有“三位遞增數”中隨機抽取1個數,若抽取的“三位遞增數”是偶數,則甲參加數學競賽;否則,乙參加數學競賽.則下列說法正確的是(　 )
A.甲參賽的概率大 B.乙參賽的概率大
C.這種選取規則公平 D.這種選取規則不公平
√
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解析:由題意,知由1,2,3,4,5組成的“三位遞增數”有123,124,125,134,
135,145,234,235,245,345,共10個.記“甲參加數學競賽”為事件A,事件A包含的樣本點有124,134,234,共3個,所以P(A)=.記“乙參加數學競賽”為事件B,則事件B包含的樣本點有123,125,135,145,235,245,345,共7個,所以P(B)=.因為P(A)1
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10.(多選)下列說法正確的是 (　 )
A.甲、乙兩人獨立地解題,已知各人能解出的概率分別是0.5,0.25,則題被解出的概率是0.125
B.若A,B是互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B),P(AB)=0
C.某校200名教師的職稱分布情況如下:高級占比20%,中級占比50%,初級占比30%,現從中抽取50名教師做樣本,若采用分層隨機抽樣的方法,則高級教師應抽取10人
D.一位男生和兩位女生隨機排成一列,則兩位女生相鄰的概率是
√
√
√
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解析:對于A,∵他們各自解出的概率分別是0.5,0.25,則此題不能解出的概率為×=0.375,則此題能解出的概率為1-0.375
=0.625,故A錯誤;對于B,若A,B是互斥事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B),
P(AB)=0,故B正確;對于C,高級教師應抽取50×20%=10人,故C正確;對于D,由列舉法可知,兩位女生相鄰的概率是,故D正確.
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11.(15分)根據空氣質量指數(AQI,為整數)的不同,可將空氣質量分級如下表:
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
級別 一級 二級 三級 四級 五級(A) 五級(B)
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現對某城市30天的空氣質量進行監測,獲得30個AQI數據(每個數據均不同),統計繪得頻率分布直方圖如圖所示.
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(1)請由頻率分布直方圖來估計這30天AQI的平均數;
解:依題意,該城市這30天AQI的平均數為
(25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3)÷30=150.
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2
(2)若從獲得的“一級”和“五級(B)”的數據中隨機選取2個數據進行復查,求“一級”和“五級(B)”數據恰均被選中的概率;
解:一級有2個數據,記為P,Q,五級(B)有3個數據,記為C,D,E,從中選取兩個有PQ,PC,PD,PE,QC,QD,QE,CD,CE,DE,共10種可能,一級和五級(B)數據恰均被選中有PC,PD,PE,QC,QD,QE,共6種可能.記“一級和五級(B)數據恰均被選中”為事件M,則P(M)==.
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(3)假如企業每天由空氣污染造成的經濟損失S(單位:元)與AQI(記為ω)的關系式為S=若將頻率視為概率,在本年內隨機抽取一天,試估計這天的經濟損失S不超過600元的概率.
解:設“在本月30天中隨機抽取一天,該天經濟損失不超出600元”為事件N,分兩種情況:當0≤ω≤100時,S=0,此時概率為=;
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當100<ω≤300時,由S≤600,得100<ω≤250,
此時概率為==.
綜上,由互斥事件的概率公式可得P(N)=+=.
所以估計這天的經濟損失S不超過600元的概率為.課時跟蹤檢測(五十二)　概率與統計的綜合問題
(滿分80分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．如圖所示是根據某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統計圖，由圖可知這10天最低氣溫的80%分位數是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
2.一個系統如圖所示，A，B，C，D，E，F為6個部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互獨立的，當A，B都正常工作或C正常工作，或D正常工作，或E，F都正常工作時，系統就能正常工作，則系統正常工作的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3．某工廠的機器上有一種易損元件，這種元件發生損壞時，需要及時維修．現有甲、乙兩名工人同時從事這項工作，下表記錄了某月1日到10日甲、乙兩名工人分別維修這種元件的件數.
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
甲 3 5 4 6 4 6 3 7 8 4
乙 4 7 4 5 5 4 5 5 4 7
由于甲、乙的任務量大，擬增加工人，為使增加工人后平均每人每天維修的元件不超過3件，請利用上表數據估計最少需要增加工人的人數為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．若A＝a2＋b2＋c2＋d2(a，b，c，d∈N)，則稱{a，b，c，d}為A的一組四平方和分解(該分解與a，b，c，d的順序無關)，SA＝a＋b＋c＋d為該分解因素和，例如2＝12＋12＋02＋02，或2＝12＋02＋12＋02，稱{1,1,0,0}和{1,0,1,0}是2的同一組四平方和分解，S2＝2，則從36的四平方和分解中任取一組分解，則因素和為10的概率是(　　)
A. B.
C. D.
5．甲、乙兩人在5次體育測試中成績見下表，其中●表示一個數字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為__________.
甲 89 91 90 88 92
乙 83 87 9● 83 99
6.隨著經濟發展，江門市居住環境進一步改善，市民休閑活動的公園越來越多，其中，最新打造的網紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園．某個節假日，甲、乙、丙、丁四組家庭到這個網紅公園打卡，通過訪問和意向篩查，最后將這四組家庭的意向匯總如下：
公園 兒童公園 湖連潮頭中央公園 下沙公園
有意向的家族組 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁
若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機選取一項，且每個公園至多有兩組家庭選擇，則甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的概率為__________．
7．(10分)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：
時間(分鐘) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．
(1)為了盡可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
(2)根據第(1)問中選擇的路徑，求甲、乙兩人中恰有一人在允許的時間內能趕到火車站的概率．
8．(13分)某次高三年級模擬考試中，數學試卷有一道滿分10分的選做題，學生可以從A，B兩道題目中任選一題作答．某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，為下一步教學作參考依據，計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本．現采用分層隨機抽樣的方法，按照學生選擇A題目或B題目將成績分為兩層．已知該校高三學生有540人選做A題目，有360人選做B題目，選取的樣本中，A題目的成績平均數為5，方差為2，B題目的成績平均數為5.5，方差為0.25.
(1)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數與方差；
(2)本選做題閱卷分值都為整數，且選取的樣本中，A題目成績的中位數和B題目成績的中位數都是5.5.從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據做進一步調查，求取到的兩個成績來自不同題目的概率．
B級——重點培優
9．(多選)已知n是一個三位正整數，若n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱n為“三位遞增數”(如135,256,345等)．現要從甲、乙兩名同學中選出1人參加某市組織的數學競賽，選取的規則如下：從由1,2,3,4,5組成的所有“三位遞增數”中隨機抽取1個數，若抽取的“三位遞增數”是偶數，則甲參加數學競賽；否則，乙參加數學競賽．則下列說法正確的是(　　)
A．甲參賽的概率大 B．乙參賽的概率大
C．這種選取規則公平 D．這種選取規則不公平
10．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．甲、乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5,0.25，則題被解出的概率是0.125
B．若A，B是互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(AB)＝0
C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現從中抽取50名教師做樣本，若采用分層隨機抽樣的方法，則高級教師應抽取10人
D．一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是
11．(15分)根據空氣質量指數(AQI，為整數)的不同，可將空氣質量分級如下表：
AQI [0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250] (250，300]
級別 一級 二級 三級 四級 五級(A) 五級(B)
現對某城市30天的空氣質量進行監測，獲得30個AQI數據(每個數據均不同)，統計繪得頻率分布直方圖如圖所示．
(1)請由頻率分布直方圖來估計這30天AQI的平均數；
(2)若從獲得的“一級”和“五級(B)”的數據中隨機選取2個數據進行復查，求“一級”和“五級(B)”數據恰均被選中的概率；
(3)假如企業每天由空氣污染造成的經濟損失S(單位：元)與AQI(記為ω)的關系式為S＝若將頻率視為概率，在本年內隨機抽取一天，試估計這天的經濟損失S不超過600元的概率．
課時跟蹤檢測(五十二)
1．選D　由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的順序排列為：－3，－2，－1，－1,0,0,1,2,2,2，因為共有10個數據，所以10×80%＝8是整數，則這10天最低氣溫的80%分位數是＝2.
2．選A　設“C正常工作”為事件G，“D正常工作”為事件H，則P(G)＝P(H)＝，“A與B中至少有一個不正常工作”為事件T，“E與F中至少有一個不正常工作”為事件R，則P(T)＝P(R)＝1－×＝，
于是得系統不正常工作的事件為TR　，而T，R，，相互獨立，
所以系統正常工作的概率P＝1－P(T)·P(R)·P()·()＝.
3．選A　設增加工人后有n名工人．因為甲、乙兩名工人每天維修的元件的平均數為×[(3＋5＋4＋6＋4＋6＋3＋7＋8＋4)＋(4＋7＋4＋5＋5＋4＋5＋5＋4＋7)]＝10，所以這n名工人每人每天維修的元件的平均數為.令≤3，解得n≥，所以n的最小值為4.為使增加工人后平均每人每天維修的元件不超過3件，至少應增加2名工人．
4．選D　36＝62＋02＋02＋02＝52＋32＋12＋12＝42＋42＋22＋02＝32＋32＋32＋32，四種情形下，因素和分別為6,10,10,12，所以因素和為10的概率是＝.
5．解析：甲的平均成績甲＝×(89＋91＋90＋88＋92)＝90.
設被污損的數字為x，
則有83＋87＋90＋x＋83＋99＝442＋x，由×(442＋x)<90，得x<8，
所以甲的平均成績超過乙的平均成績的概率P＝＝.
答案：
6．解析：①選兒童公園和湖連潮頭中央公園時，有以下情況：甲丙、乙?。灰冶⒓锥?；
②選兒童公園和下沙公園時，有以下情況：甲乙、丙丁；甲丙、乙??；
③選湖連潮頭中央公園和下沙公園時，有以下情況：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；
④選3個公園時，有以下幾種情況：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、?。?br/>丙、甲乙、??；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、乙丁、丙；
甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙?。灰摇⒓?、丙?。?br/>共有18種選擇，其中甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的4種，則甲、乙兩組家庭選擇同一個公園打卡的概率為＝.
答案：
7．解：(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，i＝1,2.
用頻率估計相應的概率，則有：
P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.
∵P(A1)>P(A2)，∴甲應選擇路徑L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.
∵P(B2)>P(B1)，∴乙應選擇路徑L2.
(2)用A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又事件A，B相互獨立，則甲、乙兩人中恰有一人在允許的時間內能趕到火車站的概率為
P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42.
8．解：(1)由題意，按照分層隨機抽樣的方法抽出的樣本中，
A題目的成績有6個，按分值降序分別記為x1，x2，…，x6，B題目的成績有4個，按分值降序分別記為y1，y2，y3，y4，
記樣本的平均數為，樣本的方差為s2，
由題意知
＝×[(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋y3＋y4)]＝＝5.2，
(xi－5.2)2＝[(xi－5)－0.2]2＝[(xi－5)2－0.4(xi－5)＋0.04]，
(yi－5.2)2＝[(yi－5.5)＋0.3]2＝[(yi－5.5)2＋0.6(yi－5.5)＋0.09]，
所以s2＝×[(x1－5.2)2＋(x2－5.2)2＋…＋(x6－5.2)2＋(y1－5.2)2＋…＋(y4－5.2)2]＝×(2×6－0＋0.04×6＋0.25×4＋0＋0.09×4)＝＝1.36.
所以估計該校900名考生選做題得分的平均數為5.2，方差為1.36.
(2)由題意，樣本中A題目的成績大于樣本平均值的成績有3個，設為x1，x2，x3，
B題目的成績大于樣本平均值的成績有2個，設為y1，y2.
從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據共有10種取法，為(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，
其中取到的兩個成績來自不同題目的取法共有6種，為(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，
記“從樣本中隨機選取兩個大于樣本平均值的數據，取到的兩個成績來自不同題目”為事件A，則P(A)＝＝0.6.
9．選BD　由題意，知由1,2,3,4,5組成的“三位遞增數”有123,124,125,134,135,145,234,235,245,345，共10個．記“甲參加數學競賽”為事件A，事件A包含的樣本點有124,134,234，共3個，所以P(A)＝.記“乙參加數學競賽”為事件B，則事件B包含的樣本點有123,125,135,145,235,245,345，共7個，所以P(B)＝.因為P(A)10．選BCD　對于A，∵他們各自解出的概率分別是0.5,0.25，則此題不能解出的概率為×＝0.375，則此題能解出的概率為1－0.375＝0.625，故A錯誤；對于B，若A，B是互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(AB)＝0，故B正確；對于C，高級教師應抽取50×20%＝10人，故C正確；對于D，由列舉法可知，兩位女生相鄰的概率是，故D正確．
11．解：(1)依題意，該城市這30天AQI的平均數為(25×2＋75×5＋125×9＋175×7＋225×4＋275×3)÷30＝150.
(2)一級有2個數據，記為P，Q，五級(B)有3個數據，記為C，D，E，從中選取兩個有PQ，PC，PD，PE，QC，QD，QE，CD，CE，DE，共10種可能，一級和五級(B)數據恰均被選中有PC，PD，PE，QC，QD，QE，共6種可能．記“一級和五級(B)數據恰均被選中”為事件M，則P(M)＝＝.
(3)設“在本月30天中隨機抽取一天，該天經濟損失不超出600元”為事件N，分兩種情況：當0≤ω≤100時，S＝0，此時概率為＝；
當100<ω≤300時，由S≤600，得100<ω≤250，此時概率為＝＝.
綜上，由互斥事件的概率公式可得P(N)＝＋＝.
所以估計這天的經濟損失S不超過600元的概率為.
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