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2024-2025學(xué)年廣東省惠州市華羅庚中學(xué)高一（下）6月質(zhì)檢
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列結(jié)論正確的是( )
A. 平行向量不一定是共線向量 B. 單位向量都相等
C. 兩個(gè)單位向量之和不可能是單位向量 D.
3.九章算術(shù)問(wèn)題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈．問(wèn)積幾何．今譯：已知正四棱臺(tái)體建筑物方亭如圖，下底邊長(zhǎng)丈，上底邊長(zhǎng)丈，高丈．問(wèn)它的體積是多少立方丈？( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，則向量在方向上的投影向量為( )
A. B. C. D.
5.在中，，則( )
A. B. C. D.
6.設(shè)，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條直線，則下列命題為真命題的是( )
A. 若，，，則 B. 若，，則
C. 若，，，，則 D. 若，，則
7.某校有小學(xué)生、初中生和高中生，其人數(shù)比是：：，為了解該校學(xué)生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，已知樣本中高中生的人數(shù)比小學(xué)生的人數(shù)少，則( )
A. B. C. D.
8.已知直三棱柱的體積為，二面角的大小為，且，，則點(diǎn)到平面的距離為( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
10.設(shè)為復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，下列命題正確的有( )
A. 若，則
B. 對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
C. 對(duì)任意復(fù)數(shù)，，有
D. 在復(fù)平面內(nèi)，若，則集合所構(gòu)成區(qū)域的面積為
11.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，下列命題正確的是( )
A. 若，，則面積的最大值為
B. 若，，則面積的最大值為
C. 若，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則
D. 若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.高一年級(jí)有男生人，女生人，按男生、女生進(jìn)行分層，抽取總樣本量為通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法得到男生、女生的平均身高為和，則估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為______結(jié)果保留一位小數(shù)
13.已知復(fù)數(shù)，其中，且，則的最小值是______．
14.如圖，已知在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，，，，當(dāng)三棱錐的外接球的半徑最小時(shí)，直線與所成角的余弦值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
在中，已知，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，設(shè)，．
用向量，表示；
若，求．
16.本小題分
記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．
求；
若，，求的面積．
17.本小題分
如圖，在三棱臺(tái)中，底面為等邊三角形，平面，，其中為上的點(diǎn)，且．
Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求平面與平面夾角的余弦值．
18.本小題分
記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，已知，點(diǎn)在邊上，C.
證明：
若，求．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，面面，是的中點(diǎn)．
求證：平面；
求直線與平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在點(diǎn)使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，說(shuō)明理由．
參考答案
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：，
所以
，
所以；
點(diǎn)為線段中點(diǎn)，用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式結(jié)論得
，
由知，
則，
由，則，
則．
16.根據(jù)題意可知，及正弦定理可得，
即，由余弦定理可得，
因?yàn)椋剩?br/>因?yàn)椋矗?br/>所以的面積為．
17.解：Ⅰ取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋渲袨樯系狞c(diǎn)，且．
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槊妫妫?br/>所以，，
因?yàn)榈酌鏋榈冗吶切危?br/>所以，
以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系：
所以，，，，，，，
，，
設(shè)面的法向量，
所以，
所以，即，
令，則，，
所以，
又，
所以，
所以平面D.
Ⅱ由Ⅰ知，，
設(shè)面法向量，
所以，即，
令，則，，
所以，
平面的法向量，
所以，，
所以平面與平面夾角的余弦值．
18.解：證明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
當(dāng)時(shí)，舍；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述，．
19.解：證明：設(shè)，連接，
因?yàn)榈酌媸钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面；
因?yàn)榈酌媸钦叫危裕?br/>因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>所以直線與平面所成角為，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>所以，
即直線與平面所成角的正弦值為；
存在，當(dāng)時(shí)，平面平面，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>設(shè)，則，所以，
由知平面，
因?yàn)槠矫妫裕裕?br/>因?yàn)椋?br/>，
所以，
所以，
得，
解得，
所以當(dāng)時(shí)，平面平面．

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