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2024-2025學年安徽省馬鞍山市高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數滿足，則( )
A. B. C. D.
2.已知向量，滿足，丨丨，與的夾角為，則( )
A. B. C. D.
3.已知某圓錐的母線與底面所成的角為，且母線長為，則該圓錐的表面積為( )
A. B. C. D.
4.為慶祝中華全國總工會成立周年，某單位舉行工會知識競賽，進入決賽的名選手得分如下：，，，，，，，則這組數據的分位數為( )
A. B. C. D.
5.對空中移動的目標連續射擊兩次，設兩次都擊中目標，兩次都沒擊中目標，恰有一次擊中目標，至少有一次擊中目標，下列關系不正確的是( )
A. B. C. D.
6.已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列結論正確的是( )
A. 若，，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，，則
7.在年春晚的舞臺設計中，工程師設計了一個三角形裝飾燈架用于懸掛燈光設備已知燈架的兩邊米，米，且為了加固結構，需從邊的中點到頂點安裝一條加固桿，則加固桿的長度為( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.在中，，，直線與交于點，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，為復數，下列命題為真命題的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
10.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則可以是( )
A. B. C. D.
11.如圖是一個由直三棱柱與半個圓柱拼接而成的簡單組合體，底面，，且，為該組合體曲面部分上一動點，下列結論正確的是( )
A. 存在點，使得
B. 一質點從點沿著該組合體表面運動到的最短路程為
C. 三棱錐體積的最大值為
D. 當平面時，直線與底面所成角的正切值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，則______．
13.甲、乙兩人獨立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為 ．
14.如圖，等腰三角形的底邊，將繞頂點旋轉角后得到，且，分別沿著，將，折起，使得，重合于點，得到三棱錐，若三棱錐外接球的半徑為，則的面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
某校對高一年級的學生進行了一次測試整理參加此次測試的學生的分數得到如圖所示的頻率分布直方圖．
求的值；
從分數在內的學生中抽取人，求分數在內被抽取到的學生人數；
估計此次測試分數的平均值同組數據以這組數據的中間值作為代表．
16.本小題分
如圖，在直四棱柱中，，，且，點為棱的中點，點為棱的中點．
證明：平面；
證明：平面平面C.
17.本小題分
在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
求；
若，且，求．
18.本小題分
甲、乙、丙三人相約下圍棋，共下局，規則如下：每局由兩人上場對弈，第三人輪空，一局結束后，原輪空者上場與勝者對弈下一局，敗者輪空，按此規則循環下去第一局由三人中隨機選擇兩人進行對弈．
求第一局由乙、丙兩人進行對弈的概率；
若甲、乙、丙三人每局對弈中戰勝對手的概率均為，每局對弈相互獨立且沒有平局，第一局由乙、丙兩人進行對弈．
(ⅰ)丙提出用擲骰子來決定誰先落子：連續拋擲一枚質地均勻的正方體骰子兩次，記骰子朝上的點數分別為和，若，則由乙先落子，否則由丙先落子請你運用所學知識判斷這個方法公平嗎？說明理由；
(ⅱ)求在局對弈中甲輪空局的概率．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，，且，為棱的中點，在棱上，且．
求證：；
記平面底面，求二面角的大??；
當異面直線與所成角為時，求三棱錐的體積．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.由，解得．
分數在與內的頻率之比為：，
故被抽到的人數為．
估計此次測試分數的平均值為．
16.證明：在直四棱柱中，，，且，
點為棱的中點，點為棱的中點，
取中點為，連接和，
則，，
點為的中點，，，
，，四邊形為平行四邊形，
，平面，平面，
平面C.
連接，由，，得，
又，則，
點為的中點，，
又平面，平面，，
又，，平面，平面，
由知，平面，
平面，平面平面C.
17.由，根據正弦定理得，
在中，，
所以，化簡得，
因為在中，，
所以，即，結合，可得；
由正弦定理得，可得，，
所以，解得，
由余弦定理得，
即，解得舍負，所以．
18.首局所有對弈情況為：
甲、乙，甲、丙，乙、丙，
所以由乙、丙兩人進行對弈的概率為；
由已知樣本空間，共有個樣本點，
設，則中所有的樣本點為：
，，，，，，
，，，，，，，，，
共有個樣本點，故乙先落子的概率為：，
所以這個方法不公平；
輪空情況如下表所示：
第一局 第二局 第三局 第四局
甲 乙 甲 乙
丙
丙 甲
乙
丙 甲 乙
丙
乙 甲
丙
其中甲輪空局的可能有種，所以在四局比賽中甲輪空局的概率為．
19.證明：因為底面，底面，所以，
因為底面為矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，因為平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因為平面，所以．
因為，為棱的中點，所以，
由，易得平面，
因為平面，所以，
延長與交于點，則即，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以即二面角的平面角，大小為．
與所成角即與所成角，即，則，
由，所以，
所以，則，，
由，
得，
又，
所以，
則．
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