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2024-2025學(xué)年江西省上饒市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知角的終邊上一點(diǎn)，則( )
A. B. C. D.
2.若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量與的夾角為，，，則( )
A. B. C. D.
4.設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是( )
A. 若，，，則 B. 若，，，則
C. 若，，，則 D. 若，，則
5.已知，則( )
A. B. C. D.
6.已知平面上不共線的四點(diǎn)，，，，滿足，則等于( )
A. B. C. D.
7.如圖，在山腳處測得山頂?shù)难鼋菫椋巾斞仄露葹榈男逼孪蛏献叩近c(diǎn)處，此時(shí)測得山頂?shù)难鼋菫椋瑒t山高為．
A.
B.
C.
D.
8.已知棱長為的正方體，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形包括邊界內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則的長度最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)滿足，則( )
A. 的虛部為 B. C. D.
10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是( )
A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象
D. 若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
11.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是( )
A. 若，，，則有兩解
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，點(diǎn)為的外心，滿足，則的值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知扇形的弧長為，半徑為，則扇形的面積為______．
13.如圖，和是異面直線，，，分別為線段，上的點(diǎn)，且，，則與所成角的余弦值為______．
14.已知中，，，的最小值為，若為邊上任意一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知，．
若，求的值；
若且，求在方向上的投影數(shù)量．
16.本小題分
已知，求的值．
已知，求．
17.本小題分
如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)已知，分別是，的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過和作平面交平面于．
求證：平面；
求證：．
18.本小題分
已知函數(shù)．
求的單調(diào)增區(qū)間；
若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，
求實(shí)數(shù)的取值范圍；
求用表示．
19.本小題分
在中，角，，對應(yīng)的邊分別為，，，若，，是內(nèi)任一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，的垂線，垂足分別為，，．
求角；
若為邊中點(diǎn)，求的最大值；
柯西不等式是以數(shù)學(xué)家柯西的名字命名請借助于三維分式型柯西不等式：對任意，，，有：經(jīng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立求的最小值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15，．
則，
由于，所以，
所以或．
由可知，，
若且，則，解得，
則，，可得，；
所以在方向上的投影數(shù)量．
16.方法一：因?yàn)椋?br/>所以原式；
方法二：原式；
因?yàn)?br/>，
所以，
所以．
17.證明：取中點(diǎn)，連接，，，
易知為中位線，故，且，
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以，，
故，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面．
連接，交于，連接，如圖：
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危允堑闹悬c(diǎn)，
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，
所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫?br/>所以．
18.原式，
令，所以有，
即單調(diào)增區(qū)間為．
由，得，
化簡得，即，其中，，所以有，
即時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
當(dāng)時(shí)，，可得，
此時(shí)，
結(jié)合而，可得；
當(dāng)時(shí)，可得，
此時(shí)，
結(jié)合，可得．
所以有．
19.因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，
整理可得，
且，則，可得，
且，所以；
在中，，由知，
由余弦定理，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，
因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，
所以
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以的最大值為；
，
又，，，
因?yàn)椋?br/>所以，
由三維分式型柯西不等式有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
由余弦定理，得：，
所以，即，
則，
令，則，
因?yàn)椋獾茫?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，則，
令，
則當(dāng)，即時(shí)，有最大值，
則有最小值為．
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