資源簡介

2024-2025學年廣東省深圳高級中學高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.為虛數單位的虛部為( )
A. B. C. D.
2.一組數據，，，，，，，的第百分位數是( )
A. B. C. D.
3.和垂直的一個單位向量的坐標可以是( )
A. B. C. D.
4.已知，，則( )
A. B. C. D.
5.設，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題中正確的是( )
A. 若，，且，則
B. 若，，且，則
C. 若，，且，則
D. 若，，且，則
6.已知兩個隨機事件和，其中，，，則( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的對邊分別為，，，已知的面積為，，，則( )
A. B. C. D.
8.我國古代舉世聞名的數學專著九章算術將底面為矩形的棱臺稱為“芻童”已知棱臺是一個所有側棱的長相等，高為的“芻童”，，，則該“芻童”外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設復數在復平面內對應的點為，原點為，為虛數單位，則下列說法正確的是( )
A. 若點的坐標為，則對應的點在第三象限
B. 若，則點的集合所構成的圖形的面積為
C. 若是關于的方程的一個根，則
D. 若，則的模為
10.有一組樣本數據，，，，其平均數、中位數、方差、極差分別記為，，，，由這組數據得到新樣本數據，，，，其中且，其平均數、中位數、方差、極差分別記為，，，，則( )
A. B.
C. D.
11.如圖，已知矩形中，，，為中點，現將沿翻折后得到如圖的四棱錐，點是線段上不含端點的動點，則下列說法正確的是( )
A. 當為線段中點時，平面
B.
C. 不存在點，使平面
D. 當為線段中點時，過點，，的截面交于點，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.哥德巴赫猜想被譽為“數學王冠上的明珠”，可以表述為“每個大于的偶數可以表示為兩個素數的和”，如素數是除了和它自身外，不能被其他自然數整除的大于的自然數在不超過的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于的概率是______．
13.已知，，分別為三個內角，，的對邊，且，則 ______．
14.已知圓為的外接圓，，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
某芯片工廠生產甲型號的芯片，為了解芯片的某項指標，從這種芯片中抽取件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：
假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率．
求甲型芯片指標的平均數和第百分位數；
現采用按比例分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在內取件，再從這件中任取件，求指標在和內各件的概率．
16.本小題分
如圖，四棱錐的側面是正三角形，底面是正方形，且側面底面，，為側棱的中點．
求證：平面；
求三棱錐的體積．
17.本小題分
已知，，分別為三個內角，，的對邊，，邊上的高等于．
求的值；
若，求的面積．
18.本小題分
在學校數學活動周中，高一年級舉辦了數學答題比賽題目選自模塊或模塊已知在模塊的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為，在模塊的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為和假設甲、乙兩人在每個模塊中答對與否互不影響每個人在各模塊中的結果也互不影響．
若在正式比賽前，甲、乙作為代表參加模塊的循環答題熱身賽參賽者依次輪流答題，若答對則該選手獲枚印章，若答錯則對手獲枚印章連續獲兩枚印章的選手最終獲勝甲回答第題，乙回答第題，依次輪流答題求到第個問題甲獲勝的概率．
在正式比賽中，每個選手均要參加兩個模塊的比賽，每個模塊回答一個問題，答對者獲枚印章，答錯沒有印章．
(ⅰ)若，，求甲、乙共獲得枚印章的概率；
(ⅱ)若甲沒有獲得印章，乙獲得枚印章的概率為，兩人都獲得兩枚印章的概率為求甲、乙至少有人獲得印章的概率．
19.本小題分
如圖，在棱長為的正方體中
求二面角的正切值；
若與平面交于點，求線段的長；
若點是平面內一個動點，且，求直線與平面所成角的正弦值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由頻率分布直方圖可得各組頻率依次為：
，，
，，
，．
因為各組的組中值依次為：，，，，，，
所以甲型芯片指標的平均數為：
．
設第百分位數為，
因為前四組的頻率和為：，
前五組的頻率和為：，
所以，
則，解得：．
所以甲型芯片指標的平均數為，第百分位數為．
根據頻率分布直方圖及分層抽樣可得：
指標在內取件，分別編號為，，；
指標在取件，分別編號為，，．
從甲型芯片指標在內取件，再從這件中任取件，
樣本空間可記為，，，，，，，，，
，，，
，，，共包含個樣本點；
指標在和內各件，包含的樣本點有：
，，，，，，
，，，共種；
所以根據古典概型的概率公式可得：指標在和內各件的概率為．
16.證明：如圖，連接交于，連接，
因為底面是正方形，所以為中點，又為側棱的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面；
取的中點為，連接，
易知，且，
又平面底面，平面底面，
所以平面，
所以三棱錐的體積為：
．
17.邊上的高等于，
，即，
由正弦定理得，
又，，
又，
，
，
故；
由知，
，，，
由余弦定理可得：，
即，
則，即，解得，
的面積．
18.題目選自模塊或模塊，
在模塊的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為，，
在模塊的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為和，
假設甲、乙兩人在每個模塊中答對與否互不影響．每個人在各模塊中的結果也互不影響．
設“甲答對”為事件，“乙答對”為事件，設“到第個問題甲勝”為事件，
則，
．
設表示甲在第個模塊答題中答對的事件，
表示乙在第個模塊答題中答對的事件其中，．
設表示甲在兩個模塊答題中答對個的事件，
表示乙在兩個模塊答題中答對個的事件其中，，．
根據獨立性假定，得
，．
設“甲、乙共獲得枚印章”，
則，且與互斥，與，與分別相互獨立．
．
設“甲、乙至少有一人獲得印章”，
，
，
由已知，
所以，
．
19.取的中點，連接F、，
則由正方體的性質可得：，，且平面
，，
故為二面角的平面角，
又平面，
，
正方體的棱長為，
，
則，
二面角的正切值為．
如圖，連接，
四邊形為正方形，
，
由正方體性質可知：平面，
平面，
，
，
平面．
平面，
，
同理可證得，
，
平面．
，與平面交于點，
≌≌，
，即為的外心．
由正方體的性質可得：，
是正三角形；
為正的中心．
正方體的棱長為，
因為點為的中點，
．
如圖，由知，則．
由正方體的體對角線公式可得：，
．
平面，平面，
，即，．
，
，即，
即，
兩邊平方后，整理得，
又，
，
點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓．
平面，
與平面所成的角為，且，
，
故直線與平面所成角的正弦值為．
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