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2024-2025學(xué)年廣東省佛山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)( )
A. B. C. D.
2.已知向量，是兩個不共線的向量，，，且，則( )
A. B. C. D.
3.將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，則( )
A. B. C. D.
5.為調(diào)查學(xué)生的體育達標(biāo)情況，用簡單隨機抽樣的方法，了解全校名學(xué)生的體育達標(biāo)情況，抽取名學(xué)生作為樣本，第個學(xué)生的體育達標(biāo)情況記為變量值，則表示的含義為( )
A. 全校學(xué)生體育達標(biāo)的人數(shù) B. 樣本學(xué)生體育達標(biāo)的人數(shù)
C. 全校學(xué)生體育達標(biāo)率 D. 全校學(xué)生體育達標(biāo)率的估計值
6.已知中，是的中點，且，，則( )
A. B. C. D.
7.如圖，等邊與直線在同一平面，垂直于，，則繞旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的表面積是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)，則( )
A. 的虛部為 B.
C. D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限
10.佛山公里徒步自年首次推出條路線實現(xiàn)“五龍匯聚”，參與人數(shù)逐年增加，到年，現(xiàn)場參與人數(shù)為萬人，這不僅是一場全民健身的狂歡，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示下面分別為年佛山公里徒步參與人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖圖、年佛山公里徒步參與人數(shù)的條形統(tǒng)計圖圖，單位：萬人，已知年高明線的參與人數(shù)是年的倍，則( )
A. 年佛山公里徒步總的參與人數(shù)是萬
B. 年順德線的參與人數(shù)超過了年南海線與順德線的參與人數(shù)總和
C. 五條線的參與人數(shù)年與年相比增加人數(shù)最少的是三水線
D. 五條線的參與人數(shù)年與年相比增長率最高的是南海線
11.已知在中，，，，點為所在平面內(nèi)一點，則( )
A. 若為的垂心，則 B. 若為的重心，則
C. 若為的外心，則 D. 若為的內(nèi)心，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若，則 ______．
13.若物體在共點力，的作用下產(chǎn)生位移，則合力對物體所做的功為______．
14.已知正四面體內(nèi)部有一個半徑為的小球，則正四面體棱長的最小值為______若小球可以在正四面體內(nèi)任意滾動，小球與正四面體所有接觸點的軌跡形成的圖形面積為，則正四面體的棱長為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，為中點．
求證：平面；
若，證明：底面為菱形．
16.本小題分
某商場停車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：停車時間在小時內(nèi)含小時免費，超過小時的部分，每小時收費元不足小時的部分按小時算，如停車時長為小時，則按小時計算，收費元，一天之內(nèi)封頂元為了解該商場停車情況，通過抽樣，獲得了輛車一天內(nèi)的停車時長單位：小時，將數(shù)據(jù)按照，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
估計停車費為元的頻率；
估計停車時長的第百分位數(shù)；
假設(shè)這個商場節(jié)假日一天有輛車進入車場停車，估計該商場節(jié)假日一天的停車費收入．
17.本小題分
已知向量，，函數(shù)．
求的解析式；
求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
若在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．
18.本小題分
如圖，梯形中，，，，，將沿翻折至，其中為動點．
當(dāng)平面平面時，
求證：；
求點到平面的距離；
求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小題分
已知的面積為，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，點在內(nèi)，且滿足．
證明：；
證明：；
若，，，求及的長度．
參考答案
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13.
14.
15.證明：連接，設(shè)，連接，
因為四邊形為平行四邊形，
所以為的中點，
又因為為的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面；
在直四棱柱中，可得平面，平面，
所以，
又因為，，
所以平面，
平面，
所以，又因為四邊形為平行四邊形，
可證得四邊形為菱形．
16.根據(jù)題意得，停車時長落在區(qū)間的車輛停車費為元，頻率為；
根據(jù)題意得：停車時長在的頻率為：，
停車時長在的頻率為：，
設(shè)停車時長的第百分位數(shù)為，由題知，
所以，解得，
所以停車時長的第百分位數(shù)為；
依題意得一臺車的停車費用的頻率分布表如下：
停車時長
停車費用
頻率
每一臺車的停車費用的平均值的估計值為：元，
所以該商場節(jié)假日一天的停車費收入的估計值為元．
17.因為，，
所以
；
由知，的最小正周期為，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
因為，
時，，
且的值域為，所以，
解得，所以實數(shù)的取值范圍是
18.證明：梯形中，，，，
，，
取的中點，連接，易知四邊形為正方形，
，可知，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，
；
，，，，平面，
平面，
點到平面的距離為；
取的中點，的中點，連接，，
可知，
由知，，
設(shè)點在平面上的射影為，則由，，
可得≌，從而，
在直線上，
設(shè)直線由平面所成的角為，
則，
可知分別在左右對稱位置時，長度相同，
而當(dāng)在右側(cè)時，較長，此時較小，
因此只需考慮在上或在左側(cè)的情況，
過作，則，
設(shè)，則，，
，，
，
，
．
設(shè)，，則，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
，
直線與平面所成角的正弦值的最大值為．
19.證明：在中，由余弦定理得，
由三角形面積公式得，即，則，所以；
證明：由知，，，，
設(shè)，，，同理，
所以；
由，，，得，，由得，
，即，所以；
由，解得，，而，，
則，
，
于是，
由正弦定理，得．
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