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2024-2025學年遼寧省遼陽市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，則( )
A. B. C. D.
2.命題：，，則命題的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.等差數列的前項和為，若，則( )
A. B. C. D.
4.已知，，，則( )
A. B. C. D.
5.“為等比數列”是“為等比數列”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.若正數，滿足，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率曲線在點處的曲率為( )
A. B. C. D.
8.函數的定義域為，則實數的取值范圍是( )
A. B. ，
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數，若有兩個極值點，則實數的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列命題為真命題的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
11.已知是定義在上的奇函數，且，當時，，則( )
A. 點為圖象的一個對稱中心 B.
C. 的一個周期為 D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.設集合，，若，則 ______．
13.已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是______．
14.設等比數列的前項和為，若，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在數列中，，．
求；
設，求數列的前項和．
16.本小題分
已知數列的首項，且滿足．
證明：數列為等比數列．
若，求滿足條件的最小整數．
17.本小題分
已知函數．
若曲線在點處的切線方程為，求，；
若有三個零點，求實數的取值范圍．
18.本小題分
已知函數．
若的解集為，求，的值；
若，求不等式的解集；
在的條件下，若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
19.本小題分
已知函數，．
判斷的單調性；
若恒成立，求的取值范圍；
若方程有兩個不同的根，，證明：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根據題意，，
所以，
又滿足上式，所以；
因為，
所以
即．
16.證明：由，
兩邊取倒數可得，
所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列．
由等比數列的通項公式可得，
所以．
令，易知單調遞增，
因為，，
所以滿足條件的最小整數為．
17.因為，
所以，
因為，，
所以，
解得；
因為有三個零點，
即有三個解，
顯然不是函數的零點，
所以關于的方程有三個不同的根，
即曲線與直線有三個交點．
令，
則，
因為，
所以當，時，，；
當時，，，
所以在，上單調遞減，在上單調遞增．
因為，所以當時，直線與曲線有三個交點，
故實數的取值范圍是．
18.因為關于的不等式的解集為，
所以關于的方程的兩根為，，
所以，即，
解得；
因為，所以，
即，
當時，不等式為，解得，故解集為；
當時，不等式可化為，解得或，故解集為或；
當時，，不等式可化為，解得，故解集為；
當時，，不等式可化為，解得，故解集為；
當時，，不等式可化為，解得，故解集為；
綜上，當時，解集為；
當時，解集為或；
當時，解集為；
當時，解集為；
當時，解集為．
由知不等式對任意恒成立，
即對任意恒成立，
只需．
因為，且，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
所以，
即，
解得，
故實數的取值范圍為．
19.由已知，，，
當時，，所以在和上單調遞減；
當時，令，得，令，得或，
所以在上單調遞增，在和上單調遞減；
當時，令，得，令，得或，
所以在上單調遞增，在和上單調遞減；
綜上所述，當時，在和上單調遞減，
當時，在上單調遞增，在和上單調遞減，
當時，在上單調遞增，在和上單調遞減；
因為恒成立，
所以恒成立，
令，則令，則在上單調遞增，
因為，所以，即，
由，得，
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以；
證明：設，由得，，
當時，，此時，
因為，
，當時，，
所以有兩個不同的根，即有兩個不同的根，，且，
由得，，
因為函數在上單調遞增，且，所以，
所以，故，
又，
所以，
令，則，
要證，只要證，即證，
即證，
令，，則，
令，，則，
所以在上單調遞減，
所以，所以在上單調遞增，
所以，即成立，故．
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