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2024-2025學年陜西省安康市漢濱區七校聯考高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知數列中，則的值為( )
A. B. C. D.
2.的展開式中，的系數為( )
A. B. C. D.
3.函數的單調遞減區間為( )
A. B. C. 和 D. 和
4.將一枚質地均勻的骰子連續拋擲次，記為“朝上的點數不大于”出現的次數，則隨機變量的方差( )
A. B. C. D.
5.已知數列是等差數列，其前項和為，若，，則數列中最小的項是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，則( )
A. B. C. D.
7.已知函數在處取得極小值，則實數的取值范圍為( )
A. B. 或 C. D.
8.如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點出發，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為，若該質點每次移動一個單位長度，則經過次移動后，該質點位于處的概率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知某地月份第天的平均氣溫為單位：，，線性相關，由，的前天樣本數據求得的經驗回歸方程為，則下列說法正確的是( )
A. ，負相關
B. 第天的平均氣溫為
C. 前天平均氣溫的平均數為
D. 若剔除偏離經驗回歸直線最大的一個異常點，則相關系數變大
10.已知隨機變量，，則( )
A. B.
C. D.
11.煙花三月，鶯飛草長，美麗的櫻花開滿園將櫻花抽象并按照一定的規律循環出如圖：圖將櫻花抽象后，得櫻花數，圖以櫻花五片花瓣為蕊作五個縮小版櫻花，得櫻花數，以此類推假設第個圖的櫻花數是，設數列的前項和為，則下列說法正確的是( )
A.
B.
C. 數列是遞增數列
D. 數列的前項和為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等比數列的公比為，若，，則 ______．
13.已知函數，若曲線在處的切線與直線相互垂直，則 ______．
14.在如圖所示的圓環形花園種花，將圓環平均分成，，，四個區域，現有牡丹、芍藥、月季、玫瑰、蝴蝶蘭五種花可供選擇，要求每個區域只種一種花且相鄰區域的花不同，則不同的種植方法有 種
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知的展開式的二項式系數和為．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若展開式的第項的系數為，求實數的值．
16.本小題分
某科技公司年計劃推出量子加密通信設備，該設備可實時保護數據傳輸，目標用戶為學校、企業和自由開發者該公司調查了不同用戶對該設備的需求情況，得到數據如下單位：個：
學校 企業 自由開發者
有需求
無需求
已知調查了個學校和個自由開發者．
Ⅰ求和的值；
Ⅱ估計目標用戶對該設備有需求的概率；
Ⅲ是否有的把握認為學校用戶與非學校用戶對該設備的需求情況有差異？附：．
17.本小題分
已知等差數列的前項和為，數列為等比數列，且滿足，，．
求和的通項公式；
設，求數列的前項和．
18.本小題分
已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中甲袋內裝有兩個號球，一個號球和一個號球；乙袋內裝有兩個號球，一個號球；丙袋內裝有三個號球，兩個號球和一個號球．
從甲袋中一次性摸出個小球，記隨機變量為號球的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；
現按照如下規則摸球：連續摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出個球，若摸出的是號球放入甲袋，摸出的是號球放入乙袋，摸出的是號球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機摸出個球求第二次摸到的是號球的概率．
19.本小題分
已知函數．
當時，求的最小值；
求函數的極值；
當時，不等式在上恒成立，求整數的最大值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ的展開式的二項式系數和為，得，解得；
Ⅱ若展開式的第項的系數為，即，
解得．
16.解：Ⅰ由題意可知，，
解得；
Ⅱ由題可得估計目標用戶對該設備有需求的概率為；
Ⅲ列出列聯表：
學校用戶 非學校用戶 總計
有需求
無需求
總計
零假設：學校用戶與非學校用戶對該設備的需求情況無差異，
由表格得，
根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
所以有的把握認為學校用戶與非學校用戶對該設備的需求情況有差異．
17.已知等差數列的前項和為，數列為等比數列，且滿足，，，
設等差數列的公差為，數列的等比為，
則，，，，
即且，
解得，，
所以和的通項公式分別為，．
由得，
則，
則，
因此，
所以．
18.從甲袋中一次性摸出個小球，記隨機變量為號球的個數，
由題意可知：隨機變量的可能取值為，，，則有：
，
可得隨機變量的分布列為：
所以隨機變量的期望；
現按照如下規則摸球：連續摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機摸出個球，
若摸出的是號球放入甲袋，摸出的是號球放入乙袋，摸出的是號球放入丙袋；
第二次從放入球的袋子中再隨機摸出個球，
記第一次從甲袋中隨機摸出個球，摸出的是、、號球分別為事件，，，
第二次摸到的是號球為事件，
則，
所以．
19.當時，，定義域為，
則，
令，得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
當時，函數取得最小值，即，
當時，的最小值為，此時．
由題意得，，其定義域為，
則，
當時，恒成立，函數在上單調遞增，
不存在極值；
當時，令，解得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
當時，存在極大值，無極小值；
綜上所述，當時，函數不存在極值；
當時，函數存在極大值，此時，不存在極小值．
由題意知，當時，不等式在上恒成立，
即，等價于在上恒成立，
設，即
則，
令，則，
當時，恒成立，則在上單調遞增，
又，，
，使，即，
當，，即，
當，，即，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
當，存在最小值，即，
由，得，
，
，
又，的最大值為．
第1頁，共3頁

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