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廣西欽州市第十三中學2024-2025學年高二下學期期末熱身考試數學試卷（九）
注意事項:
1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，
2.四答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需
改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。四答非選擇題時,將答案寫在簽題卡上。
寫在本試卷上無效。
3.考試結來后,將本試卷和答題卡一并交回
一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）
1．已知數列 滿足 ，則 （ ）
A．3 B．2 C． D．
2．數列的前n項和，則（ ）
A．140 B．120 C．40 D．50
3．函數在上（ ）
A．既無極大值也無極小值B．有極小值無極大值C．既有極大值又有極小值 D．有極大值無極小值
4．若函數（）的極小值點為2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．記為等差數列的前n項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知兩個無窮等比數列、的公比分別為，：數列與數列有無窮多個公共項；，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．已知是函數的導函數，且．則下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．C． D．
8．函數的圖象大致是（ ）
A．B．C． D．
二、多選題（共3小題，每小題5分，共15分）
9．設函數有三個不同的零點，從小到大依次為，則（ ）
A．B．函數的對稱中心為
C．過引曲線的切線，有且僅有1條D．若成等差數列，則
10．已知函數（其中是自然對數的底數），則下列結論正確的是（ ）
A．若，則是上的增函數B．若，則為函數的極大值點
C．當且僅當時，函數有兩個不同的零點
D．若函數在上存在零點，則的最小值是
11．已知數列各項均為正數，其前項和滿足．則下列結論正確的有（ ）
A．的第2項小于B．C．為遞減數列 D．中存在小于的項．
第II卷（非選擇題）
三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）
12．侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規律的蜘蛛網，如圖是由無數個正方形環繞而成的，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上．設外圍第一個正方形的邊長為3，往里第二個正方形為，…，往里第個正方形為．那么至少前 個正方形的面積之和超過20．（參考數據：，）．
13．甲、乙玩報數游戲，約定規則如下：甲、乙輪換報數，若一人報出的正整數為奇數，則另一人報出的數為；若一人報出的正整數為偶數，則另一人報出的數為；當一人報出的數為1時，游戲結束．已知由甲先報數，且報出的正整數為．若，則游戲結束時，甲報出數字的次數為 ；若游戲結束時，甲、乙共報數次，則正整數所有可能的取值之和為 ．
14．已知函數，則曲線在處的切線方程為 .
四、解答題（共6小題，共70分）
15．已知函數．
(1)討論函數的單調性．
(2)當時，，求a的取值范圍．
16．已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)當，時，求曲線過點的切線方程；
(3)若存在三個不同的零點，且，證明：.
17．已知是各項均為正數的等比數列，數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
18．中國古代數學著作《張丘建算經》中記載：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈．”（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一月按30天算）．若該女子從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，問：
(1)她每天比前一天多織多少尺布？
(2)第15天織布多少尺？
19．近年來，全球數字化進程持續加速，人工智能（Artificial Intelligence，簡稱AI）已然成為科技變革的核心驅動力．有媒體稱DeepSeek開啟了我國AI新紀元．我校團委擬與某網絡平臺合作組織學生參加與AI知識有關的網絡答題活動，為鼓勵同學們積極參加此項活動，比賽規定：答對一題得兩分，答錯一題得一分，選手不放棄任何一次答題機會．已知甲同學報名參加比賽，每道題回答是否正確相互獨立，且每次答對的概率不一定相等．
(1)若前三道試題，甲每道試題答對的概率均為p，
①設，記甲同學答完前三道題得分為X，求隨機變量X的分布列和數學期望；
②若甲同學答完前四道題得8分的概率為，求甲同學答完前四題時至少答對三題的概率的最小值；
(2)若甲同學答對每道題的概率均為，因為甲同學答對第一題或前兩題都答錯，均可得到兩分，稱此時甲同學答題累計得分為2，記甲答題累計得分為n的概率為，
（ⅰ）求證：是等比數列；
（ⅱ）求的最大值．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A D D C A ABD ABD
題號 11
答案 ACD
12．8 13． 14．
15．（1）由，則，，
令，
當時，有，即，所以在R上單調遞減；
當時，，，
方程的兩根為，，且，
當和時，，即，
當時，，即，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減；
綜上，當時，在R上單調遞減；
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.
（2）當時，，，
所以不等式，即，
兩邊取對數可得，
當時，上式對恒成立，
當時，上式轉化為恒成立，
令，由，知是偶函數，
所以只需對恒成立即可，
令，，
則，
令，則，
，則，故，則，
所以在上單調遞減，故，即，
所以在上單調遞減，
所以，則，對，
所以，
即可.
所以的取值范圍為.
16．（1），
①當時，，
所以的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
②當時，令，解得或，令，解得；
所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；
③當時，令，解得或，令，解得；
所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.
綜上，當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；
當時，的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.
（2）當，時，，則，
設切點為，
則切線的斜率，
所以切線方程為
又因為經過點，
所以，
即，整理得，
解得或，
所以過點的切線方程為或.
（3）法一：若存在三個不同的零點，
則可設，
整理得，
所以.
因為，所以，
所以，可得.
法二：若存在三個不同的零點，
因為，可設，，，
則，，，
化簡可得，，
兩式相減可得，
所以，
所以，可得.
法三：若存在三個不同的零點，
則，，，
兩兩相減可得，，
因為，所以，，
兩式相減可得，
所以，
因為，所以.
所以，可得.
17．(1) (2)
18．(1)尺 (2)尺
19．(1)①隨機變量X的分布列見解析，期望；②
②已知甲得8分（答對4題）概率為，得.則其至少答對3題的概率：
（2）（ⅰ）證明：對，得分n的遞推：
最后一題答錯（概率）：之前得分，故含；
最后一題答對（概率）：之前得分，故含.
即.
所以
初始項：，，故.
因此，是以為首項，為公比的等比數列.
（ⅱ）由差數列累加求和：
，
偶數項（）: 為負，正數，且隨著n增大，正數減小，故為最大值；
奇數項（）：為正，正數，隨著n增大，正數減小，趨近于0，故最大值趨近于.
綜上，為最大值，計算，即最大值為.

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