資源簡介

2024-2025 學年四川省南充市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.用 1，3，5，7 這 4 個數字，可以組成沒有重復數字的四位數的個數是( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2.若隨機變量 ～ (2, 2)，且 ( > 3) = 0.3，則 (1 < < 3) =( )
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7

3.已知函數 ( ) = 2 (2+ ) (2)，則 → 0 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4 1.二項式( 6 ) 的展開式中常數項為( )
A. 15 B. 15 C. 20 D. 20
5.若隨機變量 的分布列為
0 1 2
0.3 0.4
則 (3 + 1) =( )
A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4
6.現有 5 本不同的書《天工開物》、《夢溪筆談》、《齊民要術》、《本草綱目》、《九章算術》，則下
列說法正確的是( )
A.將全部的書放到 6 個不同的抽屜里，一個抽屜可放多本書，有56種不同的放法
B.將全部的書放在同一層書架上，要求《本草綱目》和《九章算術》相鄰，有 96 種不同的放法
C.將書分給 3 位不同的學生，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 2 本，有 90 種不同的分法
D.現將五本書并排成一排，則《天工開物》、《夢溪筆談》按從左到右(可以不相鄰)的順序排列的不同的
排法有 120 種
7 1 1 1.若數列{ }滿足 + 2 + 3 + +
1 4
= 2 +1，且不等式 4 ≤ 4 + 37 對一切正整數 恒成立，則 1 2 3
的最大值( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8 ( ) = 1.函數 22 + 2025( ∈ )有兩個極值點 1， 2滿足 1 < 2 ≤ 2 1，則 1 + 2的取值范圍為( )
A. (1,2 2] B. (2,3 2] C. (2,4 2] D. (0,3 2]
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
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9.關于等差數列和等比數列，下列選項中說法正確的是( )
A.若等比數列{ }的前 項和 = 2 + ，則實數 = 1
B.若數列{ }為等比數列，且 2 7 + 3 6 = 6，則 1 2 3 8 = 81
C.若等差數列{ }的前 項和為 ，則 ， 2 ， 3 2 ， 成等差數列
D.若等差數列{ }的前 項和為 ， 1 = 10，公差 = 2，則 的最大值為 30
10.已知 ( ) = (3 2) ( ∈ )展開式的二項式系數和為 512， ( ) = 2 0 + 1 + 2 + + ，下列
選項正確的是( )
A. 0 + 1 + 2 + + = 1 B. | 0| + | 1| + + | 9 | = 3
C. 1 + 2 2 + 3 3 + + = 27 D. (3)被 8 整除的余數為 1
11.已知函數 ( ) = ( + 1) ， ( ) = ( + 1)，則( )
A.函數 ( )在(0, + ∞)上無極值點
B.函數 ( )在 上單調遞增
C.若對任意 > 0 1，不等式 ( ) ≥ ( 2)恒成立，則實數 的最小值為
D.若 ( 1) = ( 2) = ( > 0)，則 1( 2 + 1)的最大值為 1
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.若等差數列{ }的前 項和為 ，且 5 + 7 = 12，則 11 = ______．
13.已知函數 ( )及其導函數 ′( )的定義域均為 ，若 (2) = 3，且 ( ) + ′( ) > 0，則不等式( 2
) ( 2 ) < 6 的解集為______．
14.某校開學后，食堂從開學第一天起，每天中午只推出即點即取的米飯套餐和面食套餐.已知某同學每天中
2
午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯套餐的概率為3，如果第 1 天選擇米飯套餐，那
3 1
么第 2 天選擇面食套餐的概率為4；如果第 1 天選擇面食套餐，第 2 天選擇米飯套餐概率為3，如此往復.設
該同學第 天選擇米飯套餐的概率為 ( ∈ )，則 = ______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)

已知數列{ }滿足 = 1，且 = 1 +1 +1．
(1) 1求證：{ }是等差數列，并求{ }的通項公式；
(2) = 1
1
令 + 2 ，求數列{ }的前 項和 ．
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16.(本小題 15 分)
已知函數 ( ) = 3 12 ( 3)
2 + 1, ( ∈ )．
(1)當 = 1 時，求曲線 ( )在(1, (1))處的切線方程；
(2)討論函數 ( )的單調性．
17.(本小題 15 分)
有 2 臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的合格品率為 94%，第二臺加工的合格品率為 98%；若將這
兩批零件混合放在一起，則合格品率為 96%．
(1)設第一臺車床加工的零件有 件，第二臺車床加工的零件有 件，求證： = ；
(2)從混合放在一起的零件中隨機抽取 4 個零件，用頻率估計概率，記這 4 個零件中來自第二臺車床的個數
為 ，求 的分布列、數學期望和方差．
18.(本小題 17 分)
已知數列{ }的前 項和為 ，且 2 = + 2( ∈ )．
(1)求數列{ }通項公式；
(2)數列{ }

滿足 = 2

，求數列{ }的前 項和 ；
(3) = 1設 ，求證：數列{ }中任意不同的三項都不能構成等差數列．
19.(本小題 17 分)
已知函數 ( ) = ( 為自然對數的底數)， ( ) = ln( + 1)．
(1)求函數 ( )在區間[0, ]上的最值；
(2)若對 ∈ (0, 2 )，求證： ( ) >
( )；
(3) 1 1求證：sin 2+ sin 4 + + sin
1 1
2 > 2 ln( + 1)( ∈ )．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.66
13.( 1,2)
14.1439 × (
1 1 4
12 ) + 13
15.(1) 根據數列{ }滿足 1 = 1，且 +1 = +1，
1 1
兩邊取倒數，可得 = 1， +1
{ 1所以 }是首項和公差均為 1 的等差數列，
1
所以 = 1 + ( 1) × 1 =
1
，所以 = ；
(2) = 1
1
由 + 2 = + 2
，

則 = 1 + 2 + + = 1 + 2 + 2 + 22 + + + 2 ，
2
根據分組求和可得 = (1 + 2 + + ) + (2 + 22 + + 2 ) =
(1+ )
2 +
2(1 2 ) +1
1 2 = 2 + 2 + 2 2．
16.(1)當 = 1 時， ( ) = 3 + 2 + 1，因此導函數 ′( ) = 3 2 + 2 1，
所以 (1) = 1 + 1 1 + 1 = 2， ′(1) = 3 + 2 1 = 4，
因此 ( )在(1,2)處的切線方程為 2 = 4( 1)，即得 4 2 = 0；
(2) ( ) = 3 12 ( 3)
2 + 1，因此導函數 ′( ) = 3 2 ( 3) = (3 )( + 1)．
當 = 3 時， ∈ ( ∞, + ∞)，導函數 ′( ) = 3( + 1)2 ≥ 0， ( )單調遞增；
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< 3 ∈ ( ∞, ), ( ) > 0, ( ) ∈ ( 當 時， 3 ′ 單調遞增； 3 , 1), ′( ) < 0, ( )單調遞減；
∈ ( 1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )單調遞增；

當 > 3 時， ∈ ( ∞, 1)， ′( ) > 0， ( )單調遞增； ∈ ( 1, 3 ), ′( ) < 0, ( )單調遞減；
∈ ( 3 , + ∞), ′( ) > 0, ( )單調遞增；
綜上，當 = 3 時， ( )在( ∞, + ∞)上單調遞增；
當 < 3 時， ( ) 遞減區間是( 3 , 1)； ( )遞增區間是( 1, + ∞), ( ∞, 3 )；

當 > 3 時， ( )遞減區間是( 1, 3 )； ( )遞增區間是( ∞, 1), (

3 , + ∞)．
17.(1)證明：已知第一臺車床加工的零件有 件，合格品有 0.94 件，
第二臺車床加工的零件有 件，合格品有 0.98 件，
0.94 +0.98
混合后的合格率為 + = 0.96，解得 = ；
(2)由 = 1可知，一個零件來自第二臺車床概率為 + = 2，
隨機變量 可能取值有 0，1，2，3，4，來自第二臺車床零件的個數 服從二項分布，
則 ～ (4, 12 )，
( = ) = 4(
1 ) ( 1 4 2 2 ) ， = 0，1，2，3，4，
所以 的分布列為：
0 1 2 3 4
1 1 3 1 1
16 4 8 4 16
1
所以 ( ) = 4 × 2 = 2， ( ) = 4 ×
1 × 12 2 = 1；
18.(1)根據數列{ }的前 項和為 ，且 2 = + 2( ∈ )，
當 = 1 時， 1 = 1 = 2 1 2，解得 1 = 2，
當 ≥ 2，由 = 2 2，可得 1 = 2 1 2，

作差得 1 = = 2 2 (2 1 2)，化簡得 = 2， 1
可知數列{ }為等比數列，所以 1 = 2 × 2 = 2 ．
(2) = 2 22

可知 = 2 = 2 ，
1 2 3 則 = 1 + 2 + 3 + + = 2 + 22 + 23 + + 2 ，
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1 1 2 3 1
則2 = 22 + 23 + 24 + + 2 + 2 +1，
1 1
1 = 1 1 1
(1 )
作差得2 2+ 22 + + 2 2 +1 =
2 2
1
2+
1 2 +1
，化簡得 = 2 2 ．
2
(3) 1 1已知 = = 2 ，可知( , )在函數 ( ) =
1
2
上，
設等差數列 = + ，是一個首項為 + ，公差為 的等差數列，
則( , )在函數 ( ) = + 上，
可知 = ( )是指數函數， = ( )是一次函數，
易知指數函數與一次函數至多只有兩個交點，所以不存在三個點即在 = ( )上，又在 = ( )上，
即數列{ }中任意不同的三項都不能構成等差數列．
19.(1)對函數 ( )求導可得 ′( ) = ( + )，
令 ( ) = + ，則 ( ) = 2sin( + 4 )，
當 ∈ [0, ]時， + 4 ∈ (

4 ,
5
4 )，
3
由正弦函數性質可知，當 + 4 ∈ ( 4 , )，即 ∈ (0, 4 )， ( ) > 0，
當 + 4 ∈ ( ,
5
4 )，即 ∈ (
3
4 , )， ( ) < 0，
因為 > 0，所以 ∈ (0, 3 4 )時， ′( ) > 0， ∈ (
3
4 , )時， ′( ) < 0，
( ) (0, 3 ) ( 3 即函數 在區間 4 單調遞增，在區間 4 , )上單調遞減，
3 3
而 ( 3 ) = 4 sin 3 = 2 4 ， (0) = 04 4 2 0 = 0， ( ) =
= 0，
3
所以函數 ( ) 2的最大值為 42 ，最小值為 0；
(2) 證明：要證 ( ) > ( )，只需要證明 > ln( + 1)，其中 ∈ (0, 2 )，
設 ( ) = ln( + 1) 1， ′( ) = +1，
設 ( ) = ′( )， ′( ) = + 1( +1)2
= = 2因為函數 、 ( +1)2在(0,

2 )上均為減函數，
則 ′( ) = + 1 ( +1)2在區間(0, 2 )內單調遞減
因為 ′(0) = 1 > 0 ( ) = 1 + 1， ′ 2 ( +1)2 < 0，2

所以 1 ∈ (0, 2 )，使得 ′( 1) = 0，
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當 0 < < 1時， ′( ) > 0；當 1 < < 2時， ′( ) < 0．
所以 ′( )在區間(0, 1)

內單調遞增，在區間( 1, 2 )內單調遞減
1
又因為 ′(0) = 0， ′( 1) > 0， ′( 2 ) = +1 < 0，2
所以 2 ∈ (

1, 2 )，使得 ′( 2) = 0，
當 0 < < 2時， ′( ) > 0；當 2 < < 2時， ′( ) < 0．
所以 ( )在區間(0, 2)內單調遞增，在區間( 2, 2 )內單調遞減，
因為 (0) = 0， ( 2 ) = 1 ln(

2 + 1) > 0，
所以 > ln( + 1)在區間(0, 2 )內恒成立，
即對 ∈ (0, 2 )， ( ) >
( )成立；
(3)證明：由(2)得， > ln( + 1)對任意 ∈ (0, 2 )恒成立，
1
令 = 2 ， ∈
，則 sin 12 > ln(
1 2 +1
2 + 1) = ln 2 ，
所以 sin 1 3 1 5 1 7 12 > ln 2，sin 4 > ln 4，sin 6 > ln 6，…，sin 2 > ln
2 +1
2 ，
sin 1 + sin 1+ + sin 1 > ln 3+ ln 5 + + ln 2 +1所以 2 4 2 2 4 2 ．
∈ 2 +1 2 +2 = 1 > 0 ln 2 +1 > ln 2 +2對 ， 2 2 +1 2 (2 +1) ，所以 2 2 +1，
1 1
所以 2(sin 2 + sin 4+ + sin
1 3 5
2 ) > 2(ln 2 + ln 4 + + ln
2 +1
2 )
3 4 5 6 2 + 1 2 + 2
> ln2 + ln3 + ln4+ ln5 + + ln 2 + ln2 + 1
= 3 2 + 4 3 + + ln(2 + 2) ln(2 + 1) = ln( + 1)，
sin 1 1 1 1所以 2 + sin 4+ + sin 2 > 2 ln( + 1)得證．
第 7頁，共 7頁

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