資源簡介

2　平行線的證明
第1課時　平行線的判定
@基礎(chǔ)分點(diǎn)訓(xùn)練
　知識點(diǎn)　平行線的判定
1.如圖，∠1＝120°，要使a∥b，則∠2的度數(shù)是（　 　）
第1題圖
A.120° B.100° C.80° D.60°
2.我們可以用如圖所示的兩個相同的三角板作出直線a∥b，其中的道理是（　 ?。?br/>第2題圖
A.同位角相等，兩直線平行
B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行
C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行
3.如圖，直線a，b被直線c所截，則能使直線a∥b 的條件是（　 ?。?br/>第3題圖
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠2＋∠3＝180° D.∠1＋∠2＝180°
4.如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（　 　）
第4題圖
A.∠2＝90° B.∠3＝90°
C.∠4＝90° D.∠5＝90°
5.【開放性問題】如圖，E是BC延長線上一點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件： ，使AD∥BC.
第5題圖
6.小明和小穎在做三角形擺放游戲，他們將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起，使CE位于∠ACB內(nèi)部，三角板ABC的位置保持不變，改變?nèi)前錍DE的位置，則當(dāng)∠ECB＝ 時，DE∥BC.
第6題圖
7.閱讀下面的解答過程，并填空.
如圖，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.求證：CE∥DF.
證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠ ，
∠ECB＝∠ （角平分線的定義）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠ ＝∠ （等量代換）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠ ＝∠ （等量代換）.
∴CE∥DF（ .
8.如圖，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC.求證：AD∥BC.
@中檔提分訓(xùn)練
9.如圖，對于下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°.其中一定能得到AD∥BC的是（　 ?。?br/>A.①② B.②③ C.①④ D.③④
10.如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（　 ?。?br/>A.如圖1，展開后測得∠1＝∠2
B.如圖2，展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C.如圖3，測得∠1＝∠2
D.如圖4，展開后測得∠1＋∠2＝180°
11.如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（　 　）
第11題圖
A.15° B.25° C.35° D.50°
12.一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，其中點(diǎn)B，D重合，若固定三角尺AOB，改變?nèi)浅逜CD的位置（其中點(diǎn)A位置始終不變），當(dāng)∠BAD＝ 時，CD∥AB.
第12題圖
13.如圖，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB與CD平行嗎？BC與DE呢？為什么？
@拓展素養(yǎng)訓(xùn)練
14.【邏輯推理】如圖，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，∠CDE＝130°，試確定AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由.
第2課時　平行線的性質(zhì)
@基礎(chǔ)分點(diǎn)訓(xùn)練
　知識點(diǎn)1　平行線的性質(zhì)
1.一把直尺和一個含30°角的直角三角板按如圖所示的方式放置.若∠1＝20°，則∠2＝（　 ?。?br/>第1題圖
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABE.若∠1＝56°，則∠2的度數(shù)為（　 ?。?br/>第2題圖
A.56° B.68° C.78° D.72°
3.如圖，已知直線a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°，則∠2＝ .
第3題圖
4.如圖，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，則∠D＝ .
第4題圖
5.將下面的推理過程及依據(jù)補(bǔ)充完整：
如圖，已知CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF.求證：EF平分∠DEB.
證明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴ （ ）.
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠ （ ）.
∴∠2＝∠3（等量代換）.
∵ （已知），
∴∠3＝∠4（ ），
∠2＝∠5（ ）.
∴ （等量代換）.
∴EF平分∠DEB（角平分線的定義）.
　知識點(diǎn)2　平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
6.如圖，若∠A＋∠ABC＝180°，則下列結(jié)論正確的是（　 ?。?br/>A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠1＝∠3 D.∠2＝∠4
7.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求證：AB∥CD.請?zhí)羁眨?br/>證明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ ）.
∵∠1＝∠B（ ），
∴ （ ）.
∴∠AFB＝∠AOE（ ）.
∴∠AFB＝90°（ ）.
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝ （平角的定義），
∴∠AFC＋∠2＝ .
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ ）.
∴ （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.
@中檔提分訓(xùn)練
8.（東營中考）如圖，直線a∥b，一個三角尺的直角頂點(diǎn)在直線a上，兩直角邊均與直線b相交，若∠1＝40°，則∠2＝（　 ?。?br/>第8題圖
A.40° B.50° C.60° D.65°
9.如圖，直線l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，則∠2的度數(shù)為（　 ?。?br/>第9題圖
A.36° B.46° C.72° D.82°
10.如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（　 ?。?br/>第10題圖
A.120° B.125° C.130° D.135°
11.如圖，在長方形紙帶ABCD中，AB∥CD，將紙帶沿EF折疊，點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)A'，D'處，若∠1＝62°，則∠2的大小是 .
第11題圖
12.如圖，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1）求證：EF∥AB；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度數(shù).
@拓展素養(yǎng)訓(xùn)練
13.如圖，已知AM∥BN，∠A＝80°，P是射線AM上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點(diǎn)C，D.（推理時不需要寫出每一步的理由）
（1）∠CBD的度數(shù)為 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，∠APB與∠ADB的大小關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請找出它們的關(guān)系，并說明理由；若變化，請找出變化規(guī)律；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數(shù).2　平行線的證明
第1課時　平行線的判定
@基礎(chǔ)分點(diǎn)訓(xùn)練
　知識點(diǎn)　平行線的判定
1.如圖，∠1＝120°，要使a∥b，則∠2的度數(shù)是（　A?。?br/>第1題圖
A.120° B.100° C.80° D.60°
2.我們可以用如圖所示的兩個相同的三角板作出直線a∥b，其中的道理是（　B　）
第2題圖
A.同位角相等，兩直線平行
B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行
C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行
3.如圖，直線a，b被直線c所截，則能使直線a∥b 的條件是（　C?。?br/>第3題圖
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠2＋∠3＝180° D.∠1＋∠2＝180°
4.如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（　C　）
第4題圖
A.∠2＝90° B.∠3＝90°
C.∠4＝90° D.∠5＝90°
5.【開放性問題】如圖，E是BC延長線上一點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件：　∠A＋∠B＝180°（答案不唯一）　，使AD∥BC.
第5題圖
6.小明和小穎在做三角形擺放游戲，他們將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起，使CE位于∠ACB內(nèi)部，三角板ABC的位置保持不變，改變?nèi)前錍DE的位置，則當(dāng)∠ECB＝　30°　時，DE∥BC.
第6題圖
7.閱讀下面的解答過程，并填空.
如圖，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.求證：CE∥DF.
證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠　ABC　，
∠ECB＝∠　ACB?。ń瞧椒志€的定義）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠　DBC　＝∠　ECB?。ǖ攘看鷵Q）.
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠　ECB　＝∠　F　（等量代換）.
∴CE∥DF（　同位角相等，兩直線平行）　.
8.如圖，∠ABD＝∠D，BD平分∠ABC.求證：AD∥BC.
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABD＝∠D，
∴∠CBD＝∠D.
∴AD∥BC.
@中檔提分訓(xùn)練
9.如圖，對于下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A＋∠ADC＝180°.其中一定能得到AD∥BC的是（　B　）
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
10.如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（　C?。?br/>A.如圖1，展開后測得∠1＝∠2
B.如圖2，展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C.如圖3，測得∠1＝∠2
D.如圖4，展開后測得∠1＋∠2＝180°
11.如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（　C　）
第11題圖
A.15° B.25° C.35° D.50°
12.一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，其中點(diǎn)B，D重合，若固定三角尺AOB，改變?nèi)浅逜CD的位置（其中點(diǎn)A位置始終不變），當(dāng)∠BAD＝　30°或150°　時，CD∥AB.
第12題圖
13.如圖，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB與CD平行嗎？BC與DE呢？為什么？
解：AB∥CD，BC∥DE.
理由如下：
∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1（對頂角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代換）.
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC＋∠2＝180°（等式的性質(zhì)），
∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.
∵∠2＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)）.
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D（等量代換），
∴BC∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.
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14.【邏輯推理】如圖，已知∠ABC＝80°，∠BCD＝30°，∠CDE＝130°，試確定AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由.
解：AB∥DE.
理由如下：
過點(diǎn)C作FG∥AB，
則∠GCB＝∠ABC＝80°.
∵∠BCD＝30°，
∴∠DCG＝∠GCB－∠BCD＝80°－30°＝50°.
又∵∠CDE＝130°，
∴∠DCG＋∠CDE＝180°.
∴DE∥FG.
∴AB∥DE.
第2課時　平行線的性質(zhì)
@基礎(chǔ)分點(diǎn)訓(xùn)練
　知識點(diǎn)1　平行線的性質(zhì)
1.一把直尺和一個含30°角的直角三角板按如圖所示的方式放置.若∠1＝20°，則∠2＝（　B?。?br/>第1題圖
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABE.若∠1＝56°，則∠2的度數(shù)為（　B?。?br/>第2題圖
A.56° B.68° C.78° D.72°
3.如圖，已知直線a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°，則∠2＝　40°　.
第3題圖
4.如圖，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，則∠D＝　100°　.
第4題圖
5.將下面的推理過程及依據(jù)補(bǔ)充完整：
如圖，已知CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF.求證：EF平分∠DEB.
證明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴　∠1＝∠2　（　角平分線的定義?。?
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠　3?。ā芍本€平行，內(nèi)錯角相等?。?
∴∠2＝∠3（等量代換）.
∵　CD∥EF?。ㄒ阎?br/>∴∠3＝∠4（　兩直線平行，內(nèi)錯角相等　），
∠2＝∠5（　兩直線平行，同位角相等　）.
∴　∠4＝∠5　（等量代換）.
∴EF平分∠DEB（角平分線的定義）.
　知識點(diǎn)2　平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
6.如圖，若∠A＋∠ABC＝180°，則下列結(jié)論正確的是（　D?。?br/>A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3
C.∠1＝∠3 D.∠2＝∠4
7.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A＋∠2＝90°.求證：AB∥CD.請?zhí)羁眨?br/>證明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（　垂直的定義?。?
∵∠1＝∠B（　已知?。?，
∴　CE∥BF?。ā⊥唤窍嗟?，兩直線平行?。?
∴∠AFB＝∠AOE（　兩直線平行，同位角相等?。?
∴∠AFB＝90°（　等量代換?。?
又∵∠AFC＋∠AFB＋∠2＝　180°　（平角的定義），
∴∠AFC＋∠2＝　90°　.
又∵∠A＋∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（　同角的余角相等　）.
∴　AB∥CD?。▋?nèi)錯角相等，兩直線平行）.
@中檔提分訓(xùn)練
8.（東營中考）如圖，直線a∥b，一個三角尺的直角頂點(diǎn)在直線a上，兩直角邊均與直線b相交，若∠1＝40°，則∠2＝（　B?。?br/>第8題圖
A.40° B.50° C.60° D.65°
9.如圖，直線l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，則∠2的度數(shù)為（　A?。?br/>第9題圖
A.36° B.46° C.72° D.82°
10.如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（　C?。?br/>第10題圖
A.120° B.125° C.130° D.135°
11.如圖，在長方形紙帶ABCD中，AB∥CD，將紙帶沿EF折疊，點(diǎn)A，D分別落在點(diǎn)A'，D'處，若∠1＝62°，則∠2的大小是　56°　.
第11題圖
12.如圖，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1）求證：EF∥AB；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度數(shù).
（1）證明：∵CD∥AB，∠DCB＝70°，∴∠DCB＝∠ABC＝70°.
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝50°.
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°.
∴EF∥AB.
（2）解：∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD.
∴∠CEF＋∠ECD＝180°.
∵∠CEF＝70°，∴∠ECD＝110°.
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD－∠DCB＝40°.
@拓展素養(yǎng)訓(xùn)練
13.如圖，已知AM∥BN，∠A＝80°，P是射線AM上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點(diǎn)C，D.（推理時不需要寫出每一步的理由）
（1）∠CBD的度數(shù)為　50°　；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，∠APB與∠ADB的大小關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請找出它們的關(guān)系，并說明理由；若變化，請找出變化規(guī)律；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數(shù).
解：（2）∠APB與∠ADB的大小關(guān)系不變，∠APB＝2∠ADB.
理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN.
∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN.
∴∠APB＝2∠ADB.
（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN.
∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD.
∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN.
∴∠ABC＝∠DBN.
∵∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC＋∠DBN＝50°.
∴∠ABC＝25°.

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