資源簡介

4　一次函數的應用
第1課時　借助一次函數表達式解決一些簡單問題
@基礎分點訓練
　知識點1　確定一次函數表達式
1.如圖，一次函數的圖象經過A，B兩點，則這個函數的表達式為　y＝5x－2　，點P（－1，7）　不在　該一次函數的圖象上（填“在”或“不在”）
2.如圖，已知B中的實數與A中的實數之間的對應關系是某個一次函數.
（1）若用y表示B中的實數，用x表示A中的實數，求y與x之間的函數表達式；
（2）求m＋n的值.
解：（1）設一次函數的表達式為y＝kx＋b.
根據題意，得－3＝b，①
9＝－3k＋b.②
將①代入②，得k＝－4.
所以y與x之間的函數表達式為y＝－4x－3.
（2）在y＝－4x－3中，
當x＝－1時，n＝－4×（－1）－3＝1；
當y＝5時，－4m－3＝5，解得m＝－2.
所以m＋n＝－2＋1＝－1.
　知識點2　借助一次函數表達式解決簡單問題
3.隨著海拔的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數關系.當x＝36時，y＝108.
（1）含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）之間的關系式是　y＝3x??；
（2）當大氣壓強是29 kPa時，含氧量是　87　g/m3.
4.在一次蠟燭燃燒實驗中，蠟燭燃燒時剩余部分的高度y（cm）是燃燒時間x（h）的一次函數.蠟燭點燃前的高度為30 cm，燃燒3 h后，蠟燭剩余部分的高度為12 cm.
（1）蠟燭燃燒時，y（cm）與x（h）之間的關系式是　y＝－6x＋30??；
（2）蠟燭從點燃到燃盡所用的時間是　5　h.
@中檔提分訓練
5.一次函數y＝kx＋b的圖象經過點A（2，3），每當x增加1個單位長度時，y增加3個單位長度，則此函數的表達式是　y＝3x－3　.
6.【數學文化】桿秤是我國傳統的計重工具，如圖，秤鉤上所掛物體的質量不同，使得秤砣到秤紐的水平距離不同.稱重時，秤鉤所掛物重為x（kg）時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為y（cm）.下表為若干次稱重時所記錄的一些數據，且y是x的一次函數.
x/kg 0 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25
y/cm －2 1 2 4 7 11
注：秤桿上秤砣在秤紐左側時，水平距離y（cm）為正、在右側時為負.
（1）根據題意，完成上表；
（2）請求出y與x之間的關系式；
解：（2）設y與x之間的關系式為y＝kx＋b.
根據題意，得－2＝b，①
1＝0.75k＋b.②
將①代入②，得k＝4.
所以y與x之間的關系式為y＝4x－2.
（3）當秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15 cm時，秤鉤所掛物重是　4.25　kg.
第2課時　借助單個一次函數圖象解決實際問題
@基礎分點訓練
　知識點1　單個一次函數圖象的應用
1.如圖，一個條形測力計不掛重物時長5 cm，掛上重物后，在彈性限度內彈簧伸長的長度與所掛重物的質量成正比，彈簧總長y（cm）關于所掛物體質量x（kg）的函數圖象如圖所示，則圖中a的值是（　C?。?br/>A.15 B.18 C.20 D.33
2.由于持續高溫和連日無雨，水庫蓄水量普遍下降，如圖所示的是某水庫蓄水量V（萬立方米）與干旱時間t（天）之間的關系圖，請你根據此圖填空：
第2題圖
（1）水庫原蓄水量是　1 000　萬立方米，干旱持續10天，蓄水量為　800　萬立方米；
（2）若水庫的蓄水量小于400萬立方米時，將發出嚴重干旱警報.則持續干旱　30　天后，將發出嚴重干旱警報.按此規律，持續干旱　50　天時，水庫的水將干涸.
3.如果生產某種產品的成本y（萬元）與產量x（噸）之間的關系如圖所示，那么生產5噸這種產品所需的成本是　10　萬元.
第3題圖
4.節約用水是我們的美德，水龍頭不擰緊會造成滴水.用可以顯示水量的容器做如圖1所示的試驗，并根據試驗數據繪制出如圖2所示的容器內盛水量w（L）與滴水時間t（h）之間的函數關系圖象，結合圖象解答下列問題：
（1）求w與t之間的函數關系式；
解：（1）由圖象可知，w與t之間是一次函數關系，
所以設w與t之間的函數關系式為w＝kt＋b.
由圖象知，b＝0.3，圖象經過點（1.5，0.9）.
所以1.5k＋0.3＝0.9，解得k＝0.4.
所以w與t之間的函數關系式為w＝0.4t＋0.3.
（2）計算在這種滴水狀態下，經過一天（24 h），容器內的盛水量是　9.9　L.
　知識點2　一次函數與一元一次方程
5.已知一次函數y＝2x＋n的圖象如圖所示，則方程2x＋n＝0的解可能是（　C?。?br/>A.x＝1 B.x＝ C.x＝－ D.x＝－1
6.已知一次函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，利用圖象解決下列問題.
（1）關于x的方程kx＋b＝0的解是　x＝2　.
（2）關于x的方程kx＋b＝2的解是　x＝1　.
（3）關于x的方程kx＋b＝4的解是　x＝0　.
@中檔提分訓練
7.某生物小組觀察一植物生長，得到植物高度y（cm）與觀察時間x（天）之間的關系，并畫出如圖所示的圖象（AC是線段，射線CD平行于x軸）.根據圖象，下列說法正確的是（　C?。?br/>第7題圖
A.從開始觀察起，60天后該植物停止長高
B.直線AC的函數表達式為y＝2x＋6
C.觀察第40天時，該植物的高度為14 cm
D.該植物最高為15 cm
8.如圖，一次函數y1＝x＋b與一次函數y2＝kx＋4的圖象交于點P（1，3），則關于x的方程x＋b＝kx＋4的解是　x＝1　.
第8題圖
9.小蕾家與外婆家相距270 km，她假期去看望外婆，返回時，恰好有一輛順風車可以帶小蕾到A服務區，于是，小蕾與爸爸約定，她先搭乘順風車到A服務區，爸爸駕車到A服務區接小蕾回家.兩人在A服務區見面后，休息了一會兒，然后小蕾乘坐爸爸的車以60 km/h的速度返回家中.在小蕾的整個行程中，小蕾與自己家的距離y（km）和時間x（h）之間的關系如圖所示.
（1）求小蕾從外婆家到A服務區的過程中，y與x之間的函數關系式；
（2）小蕾從外婆家回到自己家共用了多長時間？
解：（1）設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b，
根據題意，得270＝b，①
180＝k＋b.②
將①代入②，得k＝－90.
所以y＝－90x＋270（0≤x≤2）.
（2）把x＝2代入y＝－90x＋270，得y＝90.
從A服務區到家的時間為90÷60＝1.5（h）.
所以2.5＋1.5＝4（h）.
答：小蕾從外婆家回到自己家共用了4 h.
@拓展素養訓練
10.【數據分析】如圖1，某商場在一樓與二樓之間設有上、下行自動扶梯和步行樓梯.甲、乙兩人同時從二樓下行，甲乘自動扶梯，乙走步行樓梯，甲離一樓地面的高度h（單位：m）與下行時間x（單位：s）之間具有函數關系h＝－x＋6，乙離一樓地面的高度y（單位：m）與下行時間x（單位：s）的函數關系如圖2所示.
（1）求y關于x的函數表達式；
　
圖1　圖2
（2）請通過計算說明甲、乙兩人誰先到達一樓地面.
　
圖1　圖2
解：（1）設y關于x的函數表達式是y＝kx＋b.
由圖2，得b＝6，①　15k＋b＝3.②
將①代入②，得k＝－.
故y關于x的函數表達式是y＝－x＋6.
（2）當h＝0時，0＝－x＋6.解得x＝20；
當y＝0時，0＝－x＋6.解得x＝30.
20＜30，則甲先到達一樓地面.
第3課時　借助兩個一次函數圖象解決實際問題
@基礎分點訓練
　知識點1　兩個一次函數圖象的應用
1.如圖，射線l甲，l乙分別表示甲、乙兩名運動員在自行車比賽中所行路程s（m）與時間t（min）的函數圖象，則他們行進的速度關系是（　B　）
第1題圖
A.甲、乙同速 B.甲比乙快 C.乙比甲快 D.無法確定
2.某天，一輛轎車和一輛貨車都走高速公路沿相同的路線從甲地開往乙地，且所走過的路程y（km）與所用的時間x（h）之間的函數圖象如圖所示，下列描述錯誤的是（　B　）
第2題圖
A.轎車比貨車晚出發1 h
B.轎車和貨車同時到達乙地
C.轎車用1.5 h追上了貨車，此時離乙地還有150 km
D.甲、乙兩地之間的路程是300 km
3.（吉林中考）李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質量的水，甲壺比乙壺加熱速度快，在一段時間內，水溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數關系，根據記錄的數據，畫函數圖象如圖所示.
（1）加熱前水溫是　20 ℃??；
（2）求乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數關系式；
（3）當甲壺中水溫剛達到80 ℃時，乙壺中水溫是　65 ℃　.
解：（2）設乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數關系式為y＝kx＋b，根據題意，得
20＝b，①　80＝160k＋b.②
將①代入②，得k＝.
所以乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數關系式為y＝x＋20.
　知識點2　看圖象做決策
4.某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案.
方案一：沒有底薪，只付銷售提成.
方案二：底薪加銷售提成.
下圖中的射線l1、射線l2分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一、方案二付給銷售人員的工資y1（元）和y2（元）與其當月鮮花銷售量x（kg）（x≥0）的函數關系.
（1）分別求y1，y2與x的函數表達式；
解：（1）設y1＝k1x，根據題意，得40k1＝1 200，
解得k1＝30.
所以y1＝30x（x≥0）.
設y2＝k2x＋b，
根據題意，得800＝b，①　1 200＝40k2＋b，②
將①代入②，得k2＝10.
所以y2＝10x＋800（x≥0）.
（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70 kg，但其3月份的工資超過2 000元，則該公司采用了方案　一　給這名銷售人員付3月份的工資.
@中檔提分訓練
5.《九章算術》中記載：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺.問幾何日相逢？大意是：有一道墻，高9尺（1尺＝10寸），上面種一株瓜，瓜蔓向下伸，每天長7寸，地上種著瓠向上長，每天長1尺，問瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇.如圖是瓜蔓與瓠蔓離地面的高度h（單位：尺）關于生長時間x（單位：天）的函數圖象，則由圖可知兩圖象交點P的橫坐標是（　C?。?br/>A.4　 　B.5　 　C.5　 　D.30
6.兩架無人機A，B準備在120 m高空完成拍攝任務，無人機A從海拔10 m處以5 m/s的速度勻速上升，無人機B從海拔30 m處以m m/s的速度勻速上升.如果這兩架無人機同時出發，經過10 s后都位于同一海拔高度n m.無人機海拔高度y（m）與時間x（s）的關系如圖所示.
（1）填空：m＝　3　，n＝　60　；
（2）求無人機B在上升過程中，海拔高度y（m）與時間x（s）之間的函數關系式；
解：（2）由（1）知，無人機B的速度為3 m/s，
無人機B在上升過程中，海拔高度y（m）與時間x（s）之間的函數關系式是y＝3x＋30.
（3）當兩架無人機都上升了20 s時，無人機A比無人機B高多少米？
解：（3）由題意，得無人機A的海拔高度y（m）與時間x（s）之間的函數關系式為y＝5x＋10.
當x＝20時，
（5×20＋10）－（3×20＋30）＝20（m）.
故此時無人機A比無人機B高20 m.
@拓展素養訓練
7.如圖，lA，lB分別表示A步行與B騎車在同一條路上行駛的路程s（km）與時間t（h）之間的關系.
（1）B出發時與A相距　10　km；
（2）B走了一段路后，自行車發生故障，進行修理，所用的時間是　1　h；
（3）B出發后　3　h與A相遇；
（4）求A行走的路程s與時間t之間的函數關系式；
解：（4）設A行走的路程s與時間t之間的函數關系式為s＝kt＋b（k≠0），由圖象可知，b＝10.將（3，22.5）代入s＝kt＋10，得22.5＝3k＋10，解得k＝.
所以A行走的路程s與時間t之間的函數關系式為s＝t＋10.
（5）若B的自行車不發生故障，保持出發時的速度前進，則　　h與A相遇，相遇點與B的出發點相距　　km.在圖中表示出這個相遇點C.
解：（5）相遇點C的位置如圖所示.4　一次函數的應用
第1課時　借助一次函數表達式解決一些簡單問題
@基礎分點訓練
　知識點1　確定一次函數表達式
1.如圖，一次函數的圖象經過A，B兩點，則這個函數的表達式為 ，點P（－1，7） 該一次函數的圖象上（填“在”或“不在”）
2.如圖，已知B中的實數與A中的實數之間的對應關系是某個一次函數.
（1）若用y表示B中的實數，用x表示A中的實數，求y與x之間的函數表達式；
（2）求m＋n的值.
　知識點2　借助一次函數表達式解決簡單問題
3.隨著海拔的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，即含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數關系.當x＝36時，y＝108.
（1）含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）之間的關系式是 ；
（2）當大氣壓強是29 kPa時，含氧量是 g/m3.
4.在一次蠟燭燃燒實驗中，蠟燭燃燒時剩余部分的高度y（cm）是燃燒時間x（h）的一次函數.蠟燭點燃前的高度為30 cm，燃燒3 h后，蠟燭剩余部分的高度為12 cm.
（1）蠟燭燃燒時，y（cm）與x（h）之間的關系式是 ；
（2）蠟燭從點燃到燃盡所用的時間是 h.
@中檔提分訓練
5.一次函數y＝kx＋b的圖象經過點A（2，3），每當x增加1個單位長度時，y增加3個單位長度，則此函數的表達式是 .
6.【數學文化】桿秤是我國傳統的計重工具，如圖，秤鉤上所掛物體的質量不同，使得秤砣到秤紐的水平距離不同.稱重時，秤鉤所掛物重為x（kg）時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為y（cm）.下表為若干次稱重時所記錄的一些數據，且y是x的一次函數.
x/kg 0 0.75 1.00 2.25 3.25
y/cm －2 1 2 4 7
注：秤桿上秤砣在秤紐左側時，水平距離y（cm）為正、在右側時為負.
（1）根據題意，完成上表；
（2）請求出y與x之間的關系式；
（3）當秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15 cm時，秤鉤所掛物重是 kg.
第2課時　借助單個一次函數圖象解決實際問題
@基礎分點訓練
　知識點1　單個一次函數圖象的應用
1.如圖，一個條形測力計不掛重物時長5 cm，掛上重物后，在彈性限度內彈簧伸長的長度與所掛重物的質量成正比，彈簧總長y（cm）關于所掛物體質量x（kg）的函數圖象如圖所示，則圖中a的值是（　 　）
A.15 B.18 C.20 D.33
2.由于持續高溫和連日無雨，水庫蓄水量普遍下降，如圖所示的是某水庫蓄水量V（萬立方米）與干旱時間t（天）之間的關系圖，請你根據此圖填空：
第2題圖
（1）水庫原蓄水量是 萬立方米，干旱持續10天，蓄水量為 萬立方米；
（2）若水庫的蓄水量小于400萬立方米時，將發出嚴重干旱警報.則持續干旱 天后，將發出嚴重干旱警報.按此規律，持續干旱 天時，水庫的水將干涸.
3.如果生產某種產品的成本y（萬元）與產量x（噸）之間的關系如圖所示，那么生產5噸這種產品所需的成本是 萬元.
第3題圖
4.節約用水是我們的美德，水龍頭不擰緊會造成滴水.用可以顯示水量的容器做如圖1所示的試驗，并根據試驗數據繪制出如圖2所示的容器內盛水量w（L）與滴水時間t（h）之間的函數關系圖象，結合圖象解答下列問題：
（1）求w與t之間的函數關系式；
（2）計算在這種滴水狀態下，經過一天（24 h），容器內的盛水量是 L.
　知識點2　一次函數與一元一次方程
5.已知一次函數y＝2x＋n的圖象如圖所示，則方程2x＋n＝0的解可能是（　 　）
A.x＝1 B.x＝ C.x＝－ D.x＝－1
6.已知一次函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，利用圖象解決下列問題.
（1）關于x的方程kx＋b＝0的解是 .
（2）關于x的方程kx＋b＝2的解是 .
（3）關于x的方程kx＋b＝4的解是 .
@中檔提分訓練
7.某生物小組觀察一植物生長，得到植物高度y（cm）與觀察時間x（天）之間的關系，并畫出如圖所示的圖象（AC是線段，射線CD平行于x軸）.根據圖象，下列說法正確的是（　 ?。?br/>第7題圖
A.從開始觀察起，60天后該植物停止長高
B.直線AC的函數表達式為y＝2x＋6
C.觀察第40天時，該植物的高度為14 cm
D.該植物最高為15 cm
8.如圖，一次函數y1＝x＋b與一次函數y2＝kx＋4的圖象交于點P（1，3），則關于x的方程x＋b＝kx＋4的解是 .
第8題圖
9.小蕾家與外婆家相距270 km，她假期去看望外婆，返回時，恰好有一輛順風車可以帶小蕾到A服務區，于是，小蕾與爸爸約定，她先搭乘順風車到A服務區，爸爸駕車到A服務區接小蕾回家.兩人在A服務區見面后，休息了一會兒，然后小蕾乘坐爸爸的車以60 km/h的速度返回家中.在小蕾的整個行程中，小蕾與自己家的距離y（km）和時間x（h）之間的關系如圖所示.
（1）求小蕾從外婆家到A服務區的過程中，y與x之間的函數關系式；
（2）小蕾從外婆家回到自己家共用了多長時間？
@拓展素養訓練
10.【數據分析】如圖1，某商場在一樓與二樓之間設有上、下行自動扶梯和步行樓梯.甲、乙兩人同時從二樓下行，甲乘自動扶梯，乙走步行樓梯，甲離一樓地面的高度h（單位：m）與下行時間x（單位：s）之間具有函數關系h＝－x＋6，乙離一樓地面的高度y（單位：m）與下行時間x（單位：s）的函數關系如圖2所示.
（1）求y關于x的函數表達式；
　
圖1　圖2
（2）請通過計算說明甲、乙兩人誰先到達一樓地面.
　
圖1　圖2
第3課時　借助兩個一次函數圖象解決實際問題
@基礎分點訓練
　知識點1　兩個一次函數圖象的應用
1.如圖，射線l甲，l乙分別表示甲、乙兩名運動員在自行車比賽中所行路程s（m）與時間t（min）的函數圖象，則他們行進的速度關系是（　 ?。?br/>第1題圖
A.甲、乙同速 B.甲比乙快 C.乙比甲快 D.無法確定
2.某天，一輛轎車和一輛貨車都走高速公路沿相同的路線從甲地開往乙地，且所走過的路程y（km）與所用的時間x（h）之間的函數圖象如圖所示，下列描述錯誤的是（　 ?。?br/>第2題圖
A.轎車比貨車晚出發1 h
B.轎車和貨車同時到達乙地
C.轎車用1.5 h追上了貨車，此時離乙地還有150 km
D.甲、乙兩地之間的路程是300 km
3.（吉林中考）李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質量的水，甲壺比乙壺加熱速度快，在一段時間內，水溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數關系，根據記錄的數據，畫函數圖象如圖所示.
（1）加熱前水溫是 ；
（2）求乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數關系式；
（3）當甲壺中水溫剛達到80 ℃時，乙壺中水溫是 .
　知識點2　看圖象做決策
4.某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案.
方案一：沒有底薪，只付銷售提成.
方案二：底薪加銷售提成.
下圖中的射線l1、射線l2分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一、方案二付給銷售人員的工資y1（元）和y2（元）與其當月鮮花銷售量x（kg）（x≥0）的函數關系.
（1）分別求y1，y2與x的函數表達式；
（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70 kg，但其3月份的工資超過2 000元，則該公司采用了方案 給這名銷售人員付3月份的工資.
@中檔提分訓練
5.《九章算術》中記載：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺.問幾何日相逢？大意是：有一道墻，高9尺（1尺＝10寸），上面種一株瓜，瓜蔓向下伸，每天長7寸，地上種著瓠向上長，每天長1尺，問瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇.如圖是瓜蔓與瓠蔓離地面的高度h（單位：尺）關于生長時間x（單位：天）的函數圖象，則由圖可知兩圖象交點P的橫坐標是（　 　）
A.4　 　B.5　 　C.5　 　D.30
6.兩架無人機A，B準備在120 m高空完成拍攝任務，無人機A從海拔10 m處以5 m/s的速度勻速上升，無人機B從海拔30 m處以m m/s的速度勻速上升.如果這兩架無人機同時出發，經過10 s后都位于同一海拔高度n m.無人機海拔高度y（m）與時間x（s）的關系如圖所示.
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）求無人機B在上升過程中，海拔高度y（m）與時間x（s）之間的函數關系式；
（3）當兩架無人機都上升了20 s時，無人機A比無人機B高多少米？
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7.如圖，lA，lB分別表示A步行與B騎車在同一條路上行駛的路程s（km）與時間t（h）之間的關系.
（1）B出發時與A相距 km；
（2）B走了一段路后，自行車發生故障，進行修理，所用的時間是 h；
（3）B出發后 h與A相遇；
（4）求A行走的路程s與時間t之間的函數關系式；
（5）若B的自行車不發生故障，保持出發時的速度前進，則 h與A相遇，相遇點與B的出發點相距 km.在圖中表示出這個相遇點C.

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