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復興中學2024-2025學年第二學期高一年級數(shù)學期末
2025.6
一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）
1．已知扇形的弧長和半徑都是4，則扇形的面積為________．
2．1與9的等差中項為________．
3．已知，，若，則實數(shù)________．
4．若復數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則的實部為________．
5．已知，則________．
6．已知向量，向量，則在上的數(shù)量投影為________
7．已知等差數(shù)列滿足，則________．
8．已知為虛數(shù)單位，則________．
9．設為等比數(shù)列的前項和，若，則實數(shù)________．
10．已知復數(shù)滿足，則的最小值為________．
11．如圖，由一個正方形與正三角形（點在下方）組成一個“風箏骨架”，為正方形的中心，點是“風箏骨架”上一點，設（、），則的最大值是________．
12．對任意閉區(qū)間，用表示函數(shù)在上的最小值．若正數(shù)滿足，則正數(shù)的取值集合為________．
二、選擇題（其中13~14題，每題4分，15~16題每題5分，共18分）
13．是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知數(shù)列是等比數(shù)列，、、為正整數(shù)，則“”是“”的（ ）條件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
15．已知向量，，，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
16．已知（是正整數(shù)）是直角三角形，是直角，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，面積為．若，，，．有下列兩個命題：①既存在最小項又存在最大項；
②既存在最小項又存在最小項．則（ ）．
A．①真；②真 B．①真；②假 C．①假；②真 D．①假；②假
三、解答題（14+14+14+18+18=78分）
17．已知復數(shù)，為虛數(shù)單位．
（1）求；
（2）若復數(shù)是關于的方程的一個根，求實數(shù)，的值．
18．設是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求的通項公式；
（2）記的前項和為，求的最小值．
19．已知、為單位向量，且與的夾角為．
（1）求的值；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．
20．我市某大型綜合商場門前有條長120米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形），路的一側(cè)劃有24個長5米，寬2．5米的停車位（如矩形）．由于停車位不足，高峰期時段道路擁堵，該商場顧經(jīng)理提出一個改造方案：在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊的綠化帶及改變停車位的方向來增加停車位．記綠化帶被壓縮的寬度米，停車位相對道路傾斜的角度，其中．
（1）若，求和的長；
（2）求關于的函數(shù)表達式；
（3）若，按照顧經(jīng)理的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加了多少個？
21．如圖，已知，，，點是的外接圓優(yōu)
弧上的一個動點（含端點、），記．
（1）求外接圓的直徑；
（2）試將表示為的函數(shù)；
（3）設點滿足，求的最大值．
參考答案
一、填空題
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．對任意閉區(qū)間，用表示函數(shù)在上的最小值．若正數(shù)滿足，則正數(shù)的取值集合為________．
【答案】
【解析】當時，為在上為減函數(shù)，
所以，
由，則，即
解得或，不合題意．
當時，有，，
由，則，可得．
當時，有，，不合題意；
當時，有，，適合題意；
當時，的區(qū)間長度不小于，故，適合題意．
綜上正數(shù)的取值范圍為或．故答案為：或．
二、選擇題
13.A 14.C 15.D 16.
15．已知向量，，，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，向量，則，
則（，又由，則有，
則有，即的取值范圍是．故選：D．
三、解答題
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．我市某大型綜合商場門前有條長120米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形），路的一側(cè)劃有24個長5米，寬2．5米的停車位（如矩形）．由于停車位不足，高峰期時段道路擁堵，該商場顧經(jīng)理提出一個改造方案：在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊的綠化帶及改變停車位的方向來增加停車位．記綠化帶被壓縮的寬度米，停車位相對道路傾斜的角度，其中．
（1）若，求和的長；
（2）求關于的函數(shù)表達式；
（3）若，按照顧經(jīng)理的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加了多少個？
【答案】（1）米，米 （2） （3）13個
【解析】（1）由題意得
則，即．
由，可得，則米，
（2）由（1）可得，
，故．
（3）由，可得，即．
設，則
整理得，解得．由，可得．
當時，解得，不符合題意；
當時，解得，符合題意．
設改造后停車位數(shù)量的最大值為，如圖，過停車位頂點作的垂線，垂足為，
則頂點到線段的距離為
由圖及題意可知,則．
因為，所以，
，則．
由題可知，即，解得，則取，
故該路段改造后的停車位比改造前增加了
21．（1） （2） （3）略

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