資源簡介

2024-2025 學年福建省福州三中高二（下）期末考試
數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,8}， = { | ∈ }，則 ∩ =( )
A. {1} B. {1,2} C. {1,4} D. {1,2,4}
2.“ < 2”是“關于 的不等式 2 2 + < 0 有實數解”的( )
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
3.( 1)10的展開式的第 6 項的系數是( )
A. 6 6 510 B. 10 C. 10 D. 510
4.已知隨機變量 服從正態分布 (2, 2)，若 ( > 3) = 0.1，則 (1 ≤ ≤ 2) =( )
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
5.已知 ， 都是銳角， = 35 , cos( + ) =
3
5，則 的值為( )
A. 16 16 7 725 B. 25 C. 25 D. 25
6 3.已知定義在 上的奇函數 ( )的圖象關于直線 = 1 對稱.當 ∈ [ 1,0)時， ( ) = 2 + 2，則 ( 2 ) =( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
7.已知函數 ( ) = 3 + cos2 + 12 ( > 0)在區間[0, ]上只有一個零點和兩個最大值點，則
的取值范圍是( )
A. [ 2 11 2 5 7 5 7 113 , 12 ) B. [ 3 , 3 ) C. [ 6 , 3 ) D. [ 6 , 12 )
8.已知△ 是銳角三角形，內角 ， ， 所對應的邊分別為 ， ， .若 2 2 = ，則 + 的取值范圍是
( )
A. ( 3 23 , 2 ) B. (
3
3 ,
3 6 3 6 6
2 ) C. ( 3 , 2 ) D. ( 3 , 2 )
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設 ， 1 1為一次隨機試驗中的兩個事件.若 ( ) = 4， ( | ) = 3， ( ) =
1
8，則( )

A. ( ) = 34 B. ( | ) =
1
2 C. ( ) =
1
4 D. ( ) =
7
8
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10.如圖，點 ， 是函數 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < 2 ) 3的圖象與直線 = 2 相鄰的兩個交點，且
| | = 5 12， ( 12 ) = 0，則( )
A. = 4
B. = 5 3
C.函數 ( )在( 3 , 2 )上單調遞減
D. 若將函數 ( )的圖象沿 軸平移 個單位，得到一個偶函數的圖象，則| |的最小值為24
2
11 .數學中有許多形狀優美的曲線，曲線 ：2 + = 1 就是其中之一，下列選項中關于曲線 的說法正確
的有( )
A.當 ∈ [ 8,8]時，曲線 與 軸有 4 個交點
B.曲線 圖像關于 = 2對稱
C. 當 ∈ [ 2 , 0]時，曲線 上的一點 到原點距離的最大值為 2
D.當 ∈ [0, 2 ]時，曲線 上的一點 到原點距離的最小值大于 1
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.已知 4 2 + 2 3 1 = 0，則 的最大值為______．
13.在平面直角坐標系 中，角 與角 均以 為始邊，它們的終邊關于 軸對稱.若 = 2，則 sin( +
3 ) = ______．
14.已知甲袋中有 1 個白球和 2 個黑球，乙袋中有 2 個白球，這 5 個球除顏色外無其他差異.現從甲、乙兩
袋中各取出 1 個球，交換后再放入甲、乙兩袋中(即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋).
如此交換兩次后，甲袋中的白球個數記作 ，則 ( ) = ______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
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15.(本小題 13 分)
已知數列{ }的前 項和為 ， 1 = 1

，且數列{ }是公差為 1 的等差數列．
(1)求數列{ }的通項公式；
(2) 1若數列{ }滿足 = , ( ∈ )， 為數列{ }的前 項和，求 ． +1
16.(本小題 15 分)
已知△ 的內角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，且 = 3( )．
(1)求 ；
(2)若 = 6， 為△ 的角平分線，且 = 1，求△ 的面積．
17.(本小題 15 分)
“英才計劃”最早開始于 2013 年，由中國科協、教育部共同組織實施，到 2023 年已經培養了 6000 多名
具有創新潛質的優秀中學生.為選拔培養對象，某高校在暑假期間從中學挑選優秀學生參加數學和物理學科
夏令營活動．
(1)若參加數學學科夏令營的 7 名中學生中恰有 3 人來自 中學，從這 7 名中學生中選取 3 名，求選取的中
學生中來自 中學的人數 的分布列和數學期望；
(2)在夏令營活動中，物理學科舉行了一次學科知識競答活動，規則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人
分別答兩題，若小組答對題數不小于 3，則取得本輪勝利.已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道
題的概率分別為 1， 2.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響．
( )求甲、乙兩位同學所在組每輪答題中取勝的概率 ；
( )當 1 + =
4
2 3時，求 的最大值．
18.(本小題 17 分)
2 2
已知雙曲線： 2

2 = 1( > 0, > 0)的一條漸近線為 = ，且過點(2, 2)．
(1)求 的方程；
(2)已知 為坐標原點，過 的右焦點 作直線 與 的右支交于 ， 兩點．
( )若△ 和△ 的面積的比值為 2，求直線 的方程；
( )若 關于 的對稱點為 ，試判斷直線 與圓 2 + 2 = 2的位置關系，并說明理由．
19.(本小題 17 分)
已知函數 ( ) = + ，其中 ， ∈ ．
(1)討論 ( )的單調性；
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(2)若函數 ( ) = ( )．
( )證明：曲線 = ( )圖象上任意兩個不同點處的切線均不重合．
( )當 = 1 時，若存在 ∈ ( 1, + ∞)，使得 > 12 ( + 1)成立，求實數 的取值范圍．
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.45
14.169
15.解：(1)數列{ }的前

項和為 ， 1 = 1，且數列{ }是首項為 1，公差為 1 的等差數列，

可得 = 1+ 1 = 2，即
2
= 2 ，
當 ≥ 2 時， = 2 1 = 2 ( 1)2 + 2( 1) = 2 3，對 = 1 也成立，
所以 = 2 3， ∈ ；
(2) 1 1 1 1 1 = = +1 (2 3)(2 1)
= 2 ( 2 3 2 1 )，
= 1 ( 1 1 + 1 1+ 1 1 + . . . + 1 1 1 1可得 2 3 3 5 2 3 2 1 ) = 2 ( 1 2 1 ) =

2 1．
16.(1)由已知以及正弦定理得， = 3 3 ，
因為 = sin( + ) = + ，
所以 = 3 ，
因為 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 = 3 ，即 = 3，
又因為 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
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(2)因為 為∠ 的平分線，則∠ = ∠ = 6，
因為 = + ，
1
則2 sin∠ =
1 1
2 sin∠ + 2 sin∠ ，
1 3
即2 × 2 =
1 1 1 1
2 × 1 × 2 + 2 × 1 × × 2，化簡得 + = 3 ，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ∠ = ( + )2 2 2 ∠ ，
即 6 = 3( )2 2 ，整理可得( )2 2 = 0，解得 = 2 或 1(舍去)，
所以△ 1的面積 = 2 sin∠ =
1 3
2 × 2 × 2 =
3
2 ．
17.(1)隨機變量 服從超幾何分布，其中 = 7， = 3， = 3，
3
所以 ( = ) = 3 43 ， = 0，1，2，3， 7
所以 ( ) = 9 = 7；
(2)( )因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，
設甲答對題數為 ，則 ～ (2, )，乙答對題數為 ，則 ～ (2, 2)，
設“ =甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”，
則 ( ) = ( = 1) ( = 2) + ( = 2) ( = 1) + ( = 2) ( = 2)，
= 1 (1 ) 2 2 + 2 2 1 (1 ) + 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 22 2
= 2 1(1 21) 2 + 2 2(1 2) 2 + 2 21 1 2
= 3 2 2 + 2 21 2 1 2 + 2 21 2；
( ) 4 8因為 1 + = 2 22 3，所以 ( ) = 3 1 2 + 3 1 2，
0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1 + = 4 0 < ≤ ( + 由 1 ， 2 ，又 1 2 3，所以
1 2
1 2 2 )
2 = 49，
2
當且僅當 1 = 2 = 3時取等號，
= ( ) = 3 2 + 8 = 3( 4 )2 + 16設 1 2，所以 3 9 27，
= 4 16所當 9時，有最大值27，
16
所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為27．
2
18.(1)
2
設雙曲線方程為 2 2 = 1( > 0, > 0)，
因為雙曲線的一條漸近線為 = ，且過點(2, 2)．
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所以
= 1
4 2 ，
2 2 = 1
解得 = = 2，
2 2
則 的方程為 2 2 = 1；
(2)( )設直線 的方程為 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 2
聯立 2 2 ，消去 并整理得( 2 1) 2 + 4 + 2 = 0，
2 2 = 1
此時 2 1 ≠ 0 且 > 0，
4 2
由韋達定理得 1 + 2 = 2 1 , 1 2 = 2 1 < 0，
解得 2 < 1，
因為△ 和△ 的面積的比值為 2，

所以 1 = 2，2
所以 1 + 2 = 2，
4 8
此時 2 = 2 1， 1 = 2 1，
32 2 2
所以． 1 2 = ( 2 1)2 = 2 1，
1
解得 2 = 217，滿足 < 1，
則 =± 117，
故直線 的方程為 17 2 17 = 0 或 17 + 2 17 = 0；
(3)( )依題意得 ( 1, 1)，
+
所以直線 的斜率 = 2 1 + =
2+ 1
2 1 ( 2+ 1)+4
= ，
直線 的方程為 + 1 = ( + 1)，
即 + 1 1 = 0，
= | |圓心 到直線 的距離為 1 1 ，
2+1
2
2 =
2
1 2 1 1+
2
可得 1 2+1 ，
因為 2 21 1 = 2, 1 = 1 + 2，
2( 2 2 = 1+2) 2 1( 1+2)+
2
1 (1 2)
2
1 4 1+2 2所以 2+1 = 2+1 ，
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因為( 2 1) 21 + 4 1 + 2 = 0，
2+2 2
所以 2 = 2+1 = 2．
所以直線 與圓 2 + 2 = 2相切．
19.(1) ( )的定義域為(0, + ∞)，
由 ( ) = + ，得 ′( ) = 1 1+ + = ，
①當 < 0 時，則當 ∈ (0, 1 )時， ′( ) > 0， ( )單調遞增；
則當 ∈ ( 1 , + ∞)時， ′( ) < 0， ( )單調遞減；
②當 ≥ 0 時， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上單調遞增．
綜上，當 ≥ 0 時 ( )在(0, + ∞)上單調遞增；
當 < 0 1 1時， ( )在(0, )單調遞增，在( , + ∞)單調遞減；
(2)( )證明：由 ( ) = ( ) = + 2 得 ′( ) = 2 + + 1，
設點 ( 1, ( 1))和點 ( 2, ( 2))，不妨設 0 < 1 < 2，
同理曲線 = ( )在點 處的切線 2方程為 ( 2) = ′( 1)( 1)，即 = ′( 2) ′( 2) 2 +
( 2)；
同理曲線 = ( )在點 處的切線 1方程為 ( 1) = ′( 1)( 1)，即 = ′( 1) ′( 1) 1 +
( 1)，
′( ) = ′( )
假設 1 21與 2重合，則 ，
′( 1) 1 + ( 1) = ′( 2) 2 + ( 2)
+ 2 ( ) = 0
化簡得， 1 2 1 2 ( 1 + 2) = 1
1 1
兩式消去 ，得 2 1 2 1 21 2 1+
= 0，則 ln
2
2 1 = 0，2 +12
令 = 1 (0 < < 1) = 2
1
， +1由 ′( ) > 0，2
所以 ( )在(0,1)上單調遞增，所以 ( ) < (1) = 0，即 ( ) = 0 無解，
所以 1與 2不重合，即對于曲線 = ( )在任意兩個不同點處的切線均不重合．
( )當 = 1 時，先解決對于 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( + 1) 2 ≥ 0 恒成立，
令 + 1 = ， ( ) = 2 + 2 ( 1)，則 ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
由 (1) ≥ 0，解得 ≥ 1．
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下面證明當 ≥ 1 時， ( ) ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立．
則當 ≥ 1 時， ( ) ≥ 2 + 2 ( 1)，令 ( ) = 2 + 2 ( 1)，
則 ′( ) = 2 + 2 ( 1)，
則當 ∈ [1, + ∞)時，由 2 ≥ 2，2 ( 1) ≥ 2，則 ′( ) ≥ 0，
則 ( )在(1, + ∞)上單調遞增，所以 ( ) ≥ (1) = 0；
當 ∈ (0,1)時，令 ( ) = ( ) = 2 + 2 ( 1)，
則 ′( ) = 2 + 1 + 2 ( 1) ≥ 0 則 ( )在(0,1)上單調遞增，
所以 ( ) = ′( ) < ′(1) = 0，所以 ( )在(0,1)上單調遞減，
所以 ( ) ≥ (1) = 0 成立，
所以對于 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( + 1) 2 ≥ 0 恒成立時，實數 的取值范圍為[1, + ∞)．
所以 ∈ ( 1, + ∞)，使得 ( + 1) 2 < 0 成立時， 的取值范圍為( ∞,1)．
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