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2024 — 2025學(xué)年度(下)期末考試
高2026屆數(shù)學(xué)試題
考試時(shí)間120分鐘
試題總分1 5 0 分
4 頁(yè)
試卷頁(yè)數(shù)
一 、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(1+x) 的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為( )。
A.2 B.16 C.32 D. 64
2. 設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,σ ),P(-13)=( )。
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
3. 設(shè)函數(shù)y=f(x) 可 導(dǎo) ，y=f(x) 的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)
可能為( )。
A. B. C. D.
4. 已 知f'(x) 是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)=2f'(1)Inx+3x , 則 f'(1)=( )。
A.-1 B.6 C. D.-6
5. 設(shè) 0X 0 a 2
P
A.D(X) 增大 B.D(X) 減小 C.D(X) 先增大后減小 D.D(X) 先減小后增大
高二數(shù)學(xué) 第 1 頁(yè) 共 4 頁(yè)
6.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]
上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f'(x), 那么在區(qū)間(a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,
使得 成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定
理，可得函數(shù)f(x)=(x-3)Inx+1 在[1,3]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為( )。
A.3 B.2 C.1 D.0
7. 已知變量x,y 線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)(x,y,)(i=1,2,…,9),滿足 用最小
二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2x-1. 若增加一個(gè)數(shù)據(jù)(-6,1)后，得到修正后的回歸直線
的斜率為2.1,則數(shù)據(jù)(5,10)相對(duì)于修正后的回歸直線的殘差為( )。
A.-0.3 B.0.2 C.0.3 D.-0.2
8. 已知函數(shù)y=f(x) 對(duì)于任意的x∈(0,π)滿足f'(x)sinx>f(x)cosx (其中f'(x)是函數(shù)f(x)
的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式不成立的是( )。
A. B. C. ①
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)
符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部份分，有選錯(cuò)得0分.
9.下列結(jié)論正確的是( )。
A. 若 則A與B相互獨(dú)立
B. 若隨機(jī)變量X的期望E(X)=2, 則E(2X)=4
C. 若隨機(jī)變量X的方差D(X)=2, 則D(2X)=4
D.若隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布B ,則
10.若(2x-1) =ao+a(x-1)+a (x-1) +…+a (x-1) , 則( )。
A.ao=1 B.a =40
C.a +az+a3+a +a =240 D.a +a +a =122
高二數(shù)學(xué) 第 2 頁(yè) 共 4 頁(yè)
11.函數(shù) ,若存在x∈(0,+∞),x ∈R, 使f(x )=h(x )=k(k<0)
成立，則下列結(jié)論正確的是( )。
A.x +x >1 B.x =e 2 C. 2.ek的最大值為 D. 的最小值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若 (a∈R) )的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為32,則a=.
13.已知曲線f(x)=x+ex 在點(diǎn)(0,f(0) 處的切線與曲線y=In(x+1)+a 相切，則
a= ·
14. 為了提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)打算選修學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)拓展課程，
現(xiàn)有幾何畫板、數(shù)學(xué)與生活、趣味數(shù)學(xué)、數(shù)獨(dú)四門課程可供選修，每名同學(xué)均需選修且只能
選修其中一門課程，每門課程至少有一名同學(xué)選修，甲不選修幾何畫板，且數(shù)獨(dú)只能由乙和
丙中的一人或兩人選修，則不同的選修方法數(shù)共有
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.
15. (13分)已知函數(shù)f(x)=xlnx-2x+1.
(1)求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求函數(shù)f(x) 在[1,e ] 上的最值.
16. (15分)在2025年春節(jié)檔電影中，由餃子導(dǎo)演的《哪吒之魔童鬧海》電影在國(guó)內(nèi)外受到
一致好評(píng)，票房一路飆升到國(guó)內(nèi)第一，也是國(guó)內(nèi)首部百億票房，目前暫居全球票房第五.
其中有不少觀眾對(duì)角色喜歡都有自己的見解.某同學(xué)為了了解學(xué)生喜歡哪吒角色是否與性別
有關(guān)，他對(duì)全班40人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：
喜歡哪吒角色 不喜歡哪吒角色 總計(jì)
女生 8
男生 4
總計(jì) 40
高二數(shù)學(xué) 第 3 頁(yè) 共 4 頁(yè)
已知從全班40人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學(xué)生的概率為0.7.
(1)請(qǐng)將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試判斷學(xué)生喜歡
哪吒角色與性別是否有關(guān)；
(2)從全班學(xué)生中隨機(jī)選取2人，已知選出的兩學(xué)生中一人喜歡哪吒角色一人不喜歡哪吒角
色，求選出的兩學(xué)生性別不相同的概率.
附： ,n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01
Xα 2.706 3.841 6.635
17. (15分)已知函數(shù)f(x)=x -2x+2alnx(a>0)
(1)若a=1, 求f(x) 的圖象在(1,f(1)) 處的切線方程；
(2)若f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求a 的取值范圍；
(3)若f(x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x ,x , 試比較 的大小.
18. (17分)某人有兩只盒子，盒子A裝有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，盒子B裝有4個(gè)白球和1
個(gè)黑球，且兩個(gè)盒子里球的大小材質(zhì)均相同.他通過擲一個(gè)均勻的六面骰子來(lái)選擇盒子：若
骰子點(diǎn)數(shù)大于2,則選擇盒子A; 否則選擇盒子B. 然后他從選中的盒子中隨機(jī)取出兩球.
(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的兩球中黑球數(shù)量.求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若在原取球規(guī)則基礎(chǔ)上，從選擇的盒子中第一次取球，將取出的球顏色記錄下來(lái)并放回
原盒子，然后擲一枚均勻硬幣，若正面朝上，則對(duì)第一次摸球的盒子中的球進(jìn)行如下操作：
將白球和黑球數(shù)量互換；若反面朝上，則球的情況不變；之后再對(duì)這個(gè)盒子進(jìn)行第二次取
球，設(shè)兩次取球取出黑球總數(shù)為Y, 求Y的數(shù)學(xué)期望.
19. (17分)已知函數(shù)f(x)=e ×-2In(x+m).
(1)若x=0 是f(x) 的極值點(diǎn)，求m 的值，
(2)在(1)的條件下，求f(x)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)m≤2時(shí)，證明：
高二數(shù)學(xué) 第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè)
2024 — 2025學(xué)年度(下)期末考試高2026屆數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D D D C A C ABD ABD BCD
二、填空題：
12.2 13.In2 14. 52
三、解答題：
15. 解：函數(shù)f(x)=xlnx-2x+1 的定義域是(0,+∞)
又f'(x)=lnx-1,… … …… … …… … …2 分
令f'(x)>0, 得x>e, 令 f'(x)<0, 得，0故函數(shù)f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e), 單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+o),… ………5分
所以函數(shù)f(x) 的極小值為f(e)=1-e, 無(wú)極大值.…… …… ……7分
(2)由(1)可知，f(x) 在[1,e]上單調(diào)遞減，在(e,e ).上單調(diào)遞增，…… …8分
所以f(x) 在[1,e ] 上的最大值為
因?yàn)閒(1)=-1,f(e )=1,f(e)=1-e … … …11分
所以f(x)mx=f(e )=1,f(x)m.n=f(e)=1-e… … ……13分
16.解：(1)因?yàn)閺娜?0人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學(xué)生的概率為0.7,
所以喜歡哪吒角色的學(xué)生人數(shù)為40×0.7=28,其中女生8人，則男生20人.
不喜歡哪吒角色的人數(shù)為40-28=12,其中男生4人，則女生8人.
列聯(lián)表補(bǔ)充如下，
第1頁(yè)，共6頁(yè)
喜歡哪吒角色不喜歡哪吒角色 總計(jì)
女生 8 8 16
男生 20 4 24
總計(jì) 28 12 40
… … 3分
零假設(shè)為H :學(xué)生喜歡哪吒角色與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算可得
,… … … 6分
根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們沒有足夠證據(jù)證明學(xué)生喜歡哪吒角色與性別之間
存在顯著關(guān)聯(lián)，從而認(rèn)為假設(shè)成立，即學(xué)生喜歡哪吒角色與性別無(wú)關(guān)聯(lián).…… … 8分
(2)記選出的兩生：“一人喜歡哪吒角色一人不喜歡哪吒角色”為事件M; “兩生性別不相
同”為事件N, 則 … …… … … 10分
… …… … …………12分
17. 解：(1) a=1,f(x)=x -2x+2Inx, 即 f(1)=-1, 即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)
,k 切=f'(1)=2,…… ……… 3 分
故切線方程為2x-y-3=0;…… … ……… … …4 分
(2) (x>0)
f(x) 在定義域上是單調(diào)函數(shù)且易知f(x)≤0 在(0,+0∞)上不可能恒成立，
故f'(x)≥0 恒成立，即a≥-x +x 在(0,+∞)上恒成立…… ………… … 7分
當(dāng) 時(shí)， -x +x 取得最大值 · , 故 .…… …… … …9分
(3)已知 , 且f(x) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x ,x ,
第2頁(yè)，共6頁(yè)
令f'(x)=0 即x -x+a=0 在(0,+∞)上有兩個(gè)正根，
需滿足 得 ……11分
f(x)+f(x )=x -2x +2alnx +x -2x +2alnx
=(x +x ) -2(x +x )-2x,x +2aln(x,x )
=1-2-2a+2alna
=-1-2a+2alna … … … 13分
h(a)=2Ina<0,h(a) 在 上單調(diào)遞減，所以
.…… … …15分
18. 解：(1)選擇A盒的概率為 , 選 擇B盒的概率為 …… … … 1分
如果在A盒子中取球：
為1白球1黑球的概率為 為2黑球的概率為 ,不可能是兩白球.
如果在B盒子中取球：
為1白球1黑球的概率為 為2白球的概率為 ,不可能是兩黑球.
X可取的值為0,1,2
… ……6分
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
第3頁(yè)，共6頁(yè)
…………… … … … … … … …… 7分
… … … …8分
(2)兩次取球取出黑球總數(shù)Y 可取的值為0,1,2,3,4… … … … 9 分
由(1)易知，如果盒子中為1個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出兩球，則：
為1白球1黑球的概率為 為2黑球的概率為
如果盒子中為4個(gè)白球和1個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出兩球，則：
為1白球1黑球的概率為 為2白球的概率為
… ……15分
Y 0 1 2 3 4
P
…… … …17分
19. 解：(1)∵ ,… … 1分
x=0 是 f(x) 的極值點(diǎn)，∴ 解 得m=1.
經(jīng)檢驗(yàn)m=1 時(shí) ，x=0 是 f(x) 的極值點(diǎn)，故m=1…………
…3 分
第4頁(yè)，共6頁(yè)
(2)函數(shù)f(x)=e -2In(x+1), 其定義域?yàn)?-1,+∞o).
… … …… … …4分
所 以f'(x) 在(-1,+00)上為增函數(shù)，…… … 6分
又f'(0)=0,…… … … … …7分
所以當(dāng)- 10 時(shí) ，f'(x)>0.
所以f(x) 在(-1,0)上為減函數(shù)；在(0,+∞)上為增函數(shù)； …………………9分
(3)證明： 當(dāng)m≤2時(shí) ，In(x+m)≤In(x+2), 故只需證
令h(x)=e ×-2In(x+2)… … …… …10 分
函數(shù) ,易知h'(x) 在定義域(-2,+∞)上為增函數(shù)，
易知le >1. h'(0)=1>0.
故h(x)=0 在(-2,+∞)上有唯一實(shí)數(shù)根x , 且 .…… … …13分
當(dāng)x∈(-2,x ) 時(shí) ，h'(x)<0, 當(dāng)x∈(x ,+∞0)時(shí) ，h'(x)>0,
h(x)在(-2,x ) 上單調(diào)遞減，在(x ,+∞) 上單調(diào)遞增
從而當(dāng)x=x 時(shí) ，h(x) 取得最小值.… … … 14分
由 h'(x )=0, 得 In(x +2)=-2x .…… …15 分
故 h(x)≥h(x )=e 0-2In(x +2).
令 , 即
第5頁(yè)，共6頁(yè)
在 上單調(diào)遞增，即
即
綜上，當(dāng)m≤2 時(shí) ， .…… … … …17分
第6頁(yè)，共6頁(yè)

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