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2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高一級(jí) 數(shù)學(xué)科 參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
1-8. DAAC ADAB
ACD 10. AB 11. BCD 12. ABD
13. 14. 15. 16.
注：13題寫成“”不得分；
14題第一空2分，第二空3分；
16題寫成集合、區(qū)間或者不等式均可得分
17.（1）由角終邊上一點(diǎn)，得，（2分，一個(gè)值1分）
故（5分，誘導(dǎo)公式2分，結(jié)果1分）
法二：由角終邊上一點(diǎn)，得，（1分）
故
（5分，誘導(dǎo)公式2分，同角關(guān)系式1分，結(jié)果1分）
由角終邊上一點(diǎn)，得，（1分）
因?yàn)椋?br/>所以，（3分）
則（4分）
（5分）
（1）當(dāng)時(shí)，，（2分）
或，（3分）
而，所以.（4分）
即，（6分）
解得（8分）
法二：假設(shè)命題“，”為真命題
則（4分）
解得（6分）
，為假命題
（8分）
19.（1）由已知可得，.（2分）
又圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，，即，所以，
所以，.（3分）
由可得，（4分）
，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（6分，寫成集合不得分，沒寫扣1分）
（2）由（1）知，，
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，（1分）
可得的圖象.
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.（2分）
因?yàn)椋裕?分）
當(dāng)，即時(shí)，的最小值為（6分）
20.（1）選擇函數(shù)模型①更合適，（2分）
將代入，可得，解得（4分）（注：列出任意兩個(gè)方程即可）
所以函數(shù)解析式為.（6分，x的范圍1分）
（2）2022年的游客量約為180萬人，當(dāng)汕頭小公園的游客量約是2022年的3倍時(shí)，約是540萬人，
則，（2分）
所以，
即（5分，指數(shù)式化對(duì)數(shù)式答對(duì)得1分）
故大約在2025年，汕頭小公園的游客量約是2022年的3倍．（6分）
21.（1）任取，，且，即
則，（2分）
因?yàn)椋裕?br/>所以函數(shù)在R上為減函數(shù)；（4分）
（2）由（1）得在R上為減函數(shù)，又，
則，（1分）
當(dāng)時(shí)，，解得，（2分）
當(dāng)時(shí)，，解得，不成立，（3分）
綜上所述，（4分）
（3）由（1）得在R上為減函數(shù)，則在R上也為減函數(shù)，（1分）
又在上存在唯一零點(diǎn)，
即，且（3分）
解得.（4分）
22.（1）解：由圖1知：（1分）
，則，（2分）
所以矩形的面積為：，（3分）
，
，（4分）
，（5分）
因?yàn)椋裕?分）
當(dāng)，即，矩形面積取得最大值為；（7分）
（2）設(shè)，分別與、交于點(diǎn)，
則，（1分）
，（2分）
所以矩形的面積為
（3分）
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值 （4分）
因?yàn)椋?br/>所以選擇方案1可以裁剪出面積最大的矩形. （5分）2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高一級(jí) 數(shù)學(xué)科 試題
注意：試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．=（ ）
A． B． C． D．
3．命題，命題，則是成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如圖，已知扇形的周長為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長（ ）

A． B．
C． D．
8．設(shè)函數(shù)，若方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9．已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．為第四象限角
10. 下列函數(shù)中最小值為2的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某過山車軌道是依據(jù)正弦曲線設(shè)計(jì)安裝的，在時(shí)刻（單位：）時(shí)過山車（看作質(zhì)點(diǎn)）離地平面的高度（單位：）為，）．已知當(dāng)時(shí)，過山車到達(dá)第一個(gè)最高點(diǎn)，最高點(diǎn)距面，當(dāng)時(shí)，過山車到達(dá)第一個(gè)最低點(diǎn)，最低點(diǎn)距地面．則（ ）
A． B．
C．過山車啟動(dòng)時(shí)距地面20米 D．一個(gè)周期內(nèi)過山車距離地平面不低于40的時(shí)長為4
12．已知正數(shù)、、滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.14題第一空2分，第二空3分.
13．函數(shù)的定義域?yàn)? ．(寫成區(qū)間形式)
14．已知，則 ，= .
15．已知，，且，則取得最小值時(shí)的值是 .
16．已知函數(shù)，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
18．已知集合函數(shù)
(1)若，設(shè)的解集為，求；
已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.
(1)求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值以及取得最小值時(shí)的值.
每逢節(jié)假日，汕頭小公園開埠區(qū)總是游人如織，這里的騎樓風(fēng)貌、非遺展演、戲亭印象、時(shí)尚潮玩，總能讓慕名而來的游客感受到“最潮最老”的潮汕文化。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，汕頭小公園開埠區(qū)2021年至2023年春節(jié)期間的游客人數(shù)如下表所示：
年份 2021年 2022年 2023年
年份代碼x 1 2 3
游客人數(shù)y（單位：萬人） 120 180 270
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，汕頭小公園開埠區(qū)春節(jié)期間的游客人數(shù)y（萬人）與年份代碼x（注：記2021年的年份代碼為，2022年的年份代碼為，依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇：
①，②
(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（給出判斷即可，不必說明理由），請(qǐng)根據(jù)你的判斷結(jié)果以及表中數(shù)據(jù)求出該函數(shù)模型的函數(shù)解析式；
(2)為提升游客的旅游體驗(yàn)，汕頭市需提前做好各項(xiàng)準(zhǔn)備。請(qǐng)問大約在哪一年，汕頭小公園開埠區(qū)春節(jié)期間的游客量約是2022年的3倍？（參考數(shù)據(jù)：）
已知函數(shù)．
(1)用定義證明函數(shù)在R上為減函數(shù)；
(2)若（其中，），求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若在上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22. 有一個(gè)半徑為1，圓心角的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個(gè)矩形.
方案1：如圖1，裁剪出的矩形的頂點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在弧上，點(diǎn)D在線段OM上；
方案2：如圖2，裁剪出的矩形的頂點(diǎn)分別在線段上，頂點(diǎn)在弧上，并且滿足，其中點(diǎn)為弧的中點(diǎn).
(1)按照方案1裁剪，設(shè)，用表示矩形的面積，并求出其最大面積；
(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS的最大面積，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.(如需作輔助線，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡完成)

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