資源簡介

2024-2025 學年遼寧省錦州市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.一包裝箱內有 12 件產品，其中有 10 件合格品.現從中隨機取出 4 件，設取出的 4 件產品中有 件合格品，
則 ( ) =( )
A. 13 B.
2 4
3 C. 3 D.
10
3
2 1 1.已知數列{ }中， 1 = 4， +1 = 1 ，則 9 =( )
A. 45 B.
5 8
4 C. 3 D. 5
3.在經濟學中，通常把生產成本關于產量的導數稱為邊際成本，設生產 個單位產品的生產成本函數是
( ) = 8 +
2
8 + 4 ，則生產 4 個單位產品時，邊際成本是( )
A. 2 B. 8 C. 10 D. 16
4.已知等差數列{ }的前 項和為 ， 3 = 1， 6 = 4，則 16 + 17 + 18 =( )
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13

5 1 1 1.已知 ( ) = 3， ( | ) = 2， ( | ) = 4 .則 ( ) =( )
A. 7 7 5 512 B. 24 C. 12 D. 24
6.數列{ 2 }的前 項和為 ，對一切正整數 ，點( , )在函數 ( ) = 2 + 2 的圖象上， = + ( ∈ +1
且 ≥ 1)，則數列{ }的前 項和為 =( )
A. 2 + 1 2 1 B. 2 + 3 1
C. 2 2 2 D. 2 + 3 3
7.若 ～ (0,1)，則 ( 1 ≤ ≤ 1) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ 2) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ 3) ≈ 0.9973.今有
一批數量龐大的零件，假設這批零件的某項質量指標為 (單位：毫米)，且 ～ (5.40, 0.052)，現從中隨機
抽取 10000 個，其中恰有 個零件的該項質量指標位于區間(5.35,5.55)，則 的估計值為( )
A. 6895 B. 8400 C. 9545 D. 9973
8 .已知函數 ( ) = ，則下列大小關系正確的是( )
A. ( ) < (3) < (2) B. ( ) < (2) < (3)
C. (2) < (3) < ( ) D. (3) < (2) < ( )
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
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9.統計學里一般用線性相關系數衡量兩個變量 與 之間線性相關性強弱，下列關于相關系數 的敘述中，正
確的是( )
A. 1 ≤ ≤ 1
B.當 與 正相關時， > 0
C. | |越小，得出的 與 之間的回歸直線方程越沒有價值
D. 越大，具有相關關系的兩個變量 與 的線性相關程度越強

10 .已知函數 ( )與其導函數 ′( )的圖象如圖所示，設 ( ) = ( )，則( )
A.曲線 為函數 ( )的圖象
B.曲線 為函數 ( )的圖象
C.函數 ( )在區間[0,2]上是增函數
D.函數 ( )在區間[ , ]上是減函數
11.已知一組樣本數據： 1， ， ，9，其中 ≤ 0， ≥ 0，將該組數據排列，下列關于該組數據結論正確
的是( )
A.排列后得到的新數列可能既是等比數列又是等差數列
B.若排列后得到的新數列成等比數列， 和 有 4 組可能取值
C.若排列后得到的新數列成等差數列， 和 有 2 組可能取值
D. 33這組數據方差的最小值為 2
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.已知隨機變量 服從兩點分布，且 ( = 0) = 0.4，若 = 3 2，則 ( = 1) = ______．
13.寫出數列 1，2，4，7，11，16，…的一個遞推公式： 1 = 1，______；一個通項公式：______．
14.若 ∈ [ 2 , + ∞),
2 + 3 2 ≥ (3 + )，則實數 的取值范圍是______. (參考數據： 2 ≈ 0.693)
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)
已知函數 ( ) = 3 + + 2 在 = 2 處取得極值 14．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲線 = ( )在點(1, (1))處的切線方程．
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16.(本小題 15 分)
某工廠 ， 兩條生產線生產同款產品，若產品按照一、二、三等級分類，則每件可分別獲利 20 元、18 元、
16 元，現從 ， 生產線的產品中各隨機抽取 100 件進行檢測，結果統計如圖：
一等級 非一等級 合計
生產線
生產線
合計
(1)根據已知數據，完成 2 × 2 列聯表并判斷有 95%的把握認為是否為一等級產品與生產線有關嗎？
(2)以頻率代替概率，分別計算兩條生產線單件產品獲利的方差，以此作為判斷依據，說明哪條生產線的獲
利更穩定？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
17.(本小題 15 分)
已知甲、乙兩個箱子中各裝有 9 個大小相同的球，其中甲箱中有 4 個紅球、5 個白球，乙箱中有 2 個紅球、
7 個白球.定義一次“交換”：先從其中一個箱子中隨機摸出一個球放入另一個箱子，再從接收球的箱子中
隨機摸出一個球放回原來的箱子.每次“交換”之前先拋擲一枚質地均勻的骰子，若點數為 1，6，則從甲箱
開始進行一次“交換”；若點數為 2，3，4，5，則從乙箱開始進行一次“交換”．
(1)求第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球的概率；
(2)已知第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球.第二次“交換”后，設乙箱中白球的個數為 ，求隨機變
量 的分布列和數學期望．
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18.(本小題 17 分)

已知函數 ( ) = 2 + ， ， 為實常數， ( ) = ，其中 ≈ 2.718．
(1) = 0 時，討論 ( )的單調性；
(2)求 ( )的最值；
(3) = 1， = 0 時，證明： ( ) > 2．
19.(本小題 17 分)
已知數列{ }的首項 1 = 1，{ }的前 項和為 ，且 +1 = 2 + + 1( ∈ )．
(1)證明數列{ + 1}是等比數列；
(2)令 ( ) = 1 + 22 + + ，求函數 ( )在點 = 1 處的導數 ′(1)；
(3)設 = 2 +1 ( 1) ，是否存在實數 ，使 +1 > 對任意正整數 都成立，若存在，求出實數
的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.6
2
13. = + ( ∈ )( ) = +2 +1 答案不唯一 2
14.( ∞, 6 ]
15.(1)解：由函數 ( ) = 3 + + 2，可得 ′( ) = 3 2 + ，
( ) = 2 14 ′(2) = 0 12 + = 0因為 在 處取得極值 ，可得 ，即 ，
(2) = 14 8 + 2 + 2 = 14
12 + = 0
整理得 4 + = 8，解得 = 1， = 12，
經檢驗，當 = 1， = 12 時， ′( ) = 3 2 12 = 3( + 2)( 2)，
令 ′( ) > 0，解得 < 2 或 > 2；令 ′( ) < 0，解得 2 < < 2，
所以 ( )在( ∞, 2)單調遞增，( 2,2)單調遞減，(2, + ∞)單調遞增，
所以 ( )在 = 2 處取得極值，且 (2) = 14 符合題意，
所以 = 1， = 12．
(2)解：由(1)得，函數 ( ) = 3 12 + 2 且 ′( ) = 3 2 12，
則 ′(1) = 9，即切線的斜率為 = 9 且 (1) = 9，
所以曲線 = ( )在點(1, (1))處的切線方程為 ( 9) = 9( 1)，
即 9 + = 0．
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16.(1) 生產線生產的 100 件產品中一等級產品數有 20， 生產線生產的 100 件產品中一等級產品數有 30，
因此 2 × 2 列聯表如下：
一等級 非一等級 合計
生產線 20 80 100
生產線 30 70 100
合計 50 150 200
零假設 0：一等級產品與生產線無關，
2 = 200(20×70 30×80)
2 8
50×150×100×100 = 3 < 3.841，
因此依據小概率值 = 0.05 的獨立性檢驗，沒有充分證據可以推斷 0不成立，
則可以推斷 0成立，即沒有 95%的把握認為一等級產品與生產線有關．
(2)設 ， 兩條生產線單件產品獲利分別為 ， 元，
20 18 16
0.2 0.6 0.2
因此 ( ) = 20 × 0.2 + 18 × 0.6 + 16 × 0.2 = 18，
因此 ( ) = (20 18)2 × 0.2 + (18 18)2 × 0.6 + (16 18)2 × 0.2 = 1.6，
20 18 16
0.3 0.4 0.3
因此 ( ) = 20 × 0.3 + 18 × 0.4 + 16 × 0.3 = 18，
因此 ( ) = (20 18)2 × 0.3 + (18 18)2 × 0.4 + (16 18)2 × 0.3 = 2.4，
( ) < ( )，因此 生產線的獲利更穩定．
17.(1) 1 2依題意，每次“交換”從甲箱開始的概率為3，從乙箱開始的概率為3，且每次“交換”后箱子總球數
仍然為 9 個，
要使第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球，則無論從哪個箱子開始“交換”，甲箱中摸出的都是白球，
乙箱中摸出的都是紅球，
1
若第一次“交換”從甲箱開始，則第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球的概率為27；
2
若第一次“交換”從乙箱開始，則第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球的概率為27；
設第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球為事件 ，
1 2 1
所以． ( ) = 27 + 27 = 9
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(2)因為第一次“交換”后，甲箱中紅球多于白球，
所以此時甲箱中有 5 個紅球、4 個白球，乙箱中有 1 個紅球，8 個白球，
的取值為 7，8，9
( = 7) = 1 × 5 × 8 2 8 5 43 9 10 + 3 × 9 × 10 = 9，
( = 8) = 1 5 2 4 9 23 × ( 9 × 10 + 9 × 10 ) + 3 × (
1 6 8 5 23
9 × 10 + 9 × 10 ) = 45，
( = 9) = 13 ×
4
9 ×
1 2 1 4 2
10 + 3 × 9 × 10 = 45，
7 8 9
4 23 2
9 45 45
( ) = 7 × 4+ 8 × 23 + 9 × 2 = 28 + 184 + 2 389 45 45 9 45 5 = 5．
18.(1) = 0 2時，函數 ( ) = 2 + ， > 0，導函數 ′( ) = + ，
當 ≤ 0 時，導函數 ′( ) < 0，函數 ( )在(0, + ∞)上單調遞減；
當 > 0 時，根據 ′( ) = 0，得 = 2 ，
> 2 時，
2
′( ) > 0， ( )在( , + ∞)上單調遞增；
0 < < 2 時， ′( ) < 0， ( )
2
在(0, )上單調遞減．
2 2
綜上，當 > 0 時， ( )在(0, )上單調遞減；在( , + ∞)上單調遞增；
當 ≤ 0 時， ( )在(0, + ∞)上單調遞減．
(
1
2)(2)由于函數 ( ) = , > 0，因此導函數 ′( ) = ，
1
當 ∈ ( 2 , + ∞)時， ′( ) > 0， ( )單調遞增；
1
當 ∈ (0, 2 )時， ′( ) < 0， ( )單調遞減，
1
因此函數 ( )無最大值，最小值是 ( 2 ) = 2 ．
(3)證明： = 1， = 0 時，函數 ( ) = 2 ，( > 0)，

要證明 ( ) > 2，需要證明 > 2 + 2 ，( > 0) 2+2 ，等價于 > ( > 0)①，
( ) = 2+2 設函數 ( > 0)，可得導函數 ′( ) =
1 3
2 ，
1
根據 ′( ) = 0，得 = 3，
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1當 ∈ ( 3, + ∞)時， ′( ) < 0， ( )單調遞減；
1
當 ∈ (0, 3)時， ′( ) > 0， ( )單調遞增，
1 4 4
那么函數 ( )的最大值是 ( 3) = 3 ，即 ( ) ≤ 3 ，
根據第二問知 ( ) ≥ 2 ，
4 4
又由于 2 3 = ( 2 3 ) > 0，即 ( ) > ( ) ，
所以①式成立，所以 ( ) > 2．
19.(1)證明：數列{ }的首項 1 = 1，{ }的前 項和為 ，
且 +1 = 2 + + 1( ∈ )，
當 ≥ 2 時，可得 = 2 1 + ，
相減可得 +1 = 2 + 1，
兩邊同時加上 1，可得 +1 + 1 = 2( + 1)，
又 1 + 1 = 2， 2 = 2 1 + 2 即 2 + 1 = 2( 1 + 1)，
所以數列{ + 1}是公比和首項均為 2 的等比數列．
(2)由(1) = 2 1，
可得 ( ) = 1 + 2 2 + + 2 = (2 1) + (2 1) 2 + . . . + (2 1)
= 2 + 22 2 + + 2 2 ，
所以 ′( ) = 1 2 + 2 22 + 3 23 2 + + 2 1 1 2 3 2 1，
(1) = 1 2 + 2 22 + 3 23 + + 2 1 2 3 = ( +1)所以 ′ 2 ，
所以 2 = 1 22 + 2 23 + 3 24 + + 2 +1，

所以 1 2 3 = 2 + 2 + 2 + + 2 2 +1 =
2(1 2 ) 2 +11 2 = (1 )2
+1 2，
所以 = ( 1)2 +1 + 2，
( +1)所以 ′(1) = ( 1)2 +1 + 2 2 ．
(3)不存在，理由如下：由題 = 2 +1 ( 1) +1 = 2 ( 1) (2 1)，
則 +1 = 2 +2 ( 1) +1 (2 +1 1)，設 +1 > 對任意正整數 都成立，
+1
則當 為偶數時， 2 +2 + (2 +1 1) > 2 +1 (2 1) > 2 = 22 +1+2 2 ，3 22
2
因為 為偶數，所以3 <
2
2 ≤
4 4
，所以 > ；
3 2
5 5
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+1
當 為奇數時， 2 +2 (2 +1 1) > 2 +1 + (2 1) < 2 22 +1+2 2 = 2 ，
2 3
因為 2 2為奇數，所以 1 ≤ 2 < 3，所以 < 1，
2 3
綜上所述，不存在實數 ，使 +1 > 對任意正整數 都成立．
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