資源簡介

第02講 6.2.1向量的加法運算
課程標準 學習目標
①理解并掌握向量加法的概念。 ②掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算。 ③了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性。 1通過閱讀課本在數量加法的基礎上，理解向量加法與數量加法的異同； 2.熟練運用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則在題目中靈活的作兩個向量的加法運算； 3.在認真學習的基礎上，深刻掌握兩個或者多個相連接加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性，把運算律的應用范圍進行拓廣；
知識點01：向量的加法
（1）向量加法的定義
求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規定.
（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）
已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
【即學即練1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】詳見解析
【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，
則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，
如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，
再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

（4）多個向量相加
已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量，這個法則叫做向量求和的多邊形法則。如圖.
知識點02：向量加法的運算律
（1）交換律
（2）結合律
題型01 求向量的和
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．
(1) (2) (3)
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【詳解】（1）解：作，，，則即為所求作的向量.

（2）解：作，，，則即為所求作的向量.

（3）解：作，，，則即為所求作的向量.

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，正六邊形中， .
【答案】
【詳解】將平移到，平移到，
故.
故答案為:.
【典例3】（2023下·山東濟寧·高一嘉祥縣第一中學校考階段練習）如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若圖表中小正方形邊長為1，求、．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)，
【詳解】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：
（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再平移向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：
（3）由是單位向量可知，根據作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共線向量的加法運算可知.
【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習）填空：
（1） ；
【答案】
【詳解】（1）；
故答案為：（1）；
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1) (2)
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

（2）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

【變式3】（2022·高一課前預習）如圖，已知，求作.
(1)(2)
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）在平面內任取一點，如圖所示
作則.
（2）在平面內任取一點，如圖所示
作則.
題型02 向量的加法運算
【典例1】（2022下·高一課時練習）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】.
故選：B
【典例2】（2022·高一課時練習）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中結果為的是 .(填序號)
【答案】①④/④①
【詳解】①;
②;
③;
④.
故答案為：①④.
【變式1】（2022下·浙江·高一階段練習）如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【詳解】連接OB.
由正六邊形的性質，可知與都是等邊三角形，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
，
，
故選:A.
【變式2】（2022下·陜西寶雞·高一統考期中）向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由,
故選：A
題型03 向量加法的運用
【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北師范大學附屬實驗中學校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，，且，則 ．

【答案】
【詳解】因為，所以由向量的加法的幾何意義可知四邊形ABCD是平行四邊形，
又因為，所以四邊形ABCD是菱形，
且，所以．
故答案為：
【典例2】（2023下·河南鄭州·高一?？茧A段練習）若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，當，同向時，；當，反向時，；
當，不共線時， ；
故選：C.
【變式1】（2023·高一單元測試）如圖，在中，D，E分別是AB，AC上的點，F為線段DE延長線上一點，，連接CD，那么 ； .
【答案】
【詳解】因為，
所以四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：
；
.
故答案為：；.
【變式2】（2022下·廣東湛江·高一校考階段練習）已知菱形的邊長為2，
(1)化簡向量；
(2)求向量的模.
【答案】(1)
(2)2
【詳解】（1）
（2）由向量的平行四邊形法則與三角形法則，
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023下·天津紅橋·高一統考期末）化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
2．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，（　 ?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由向量的加法法則，得.
故選：A.
3．（2023下·云南迪慶·高一統考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】,
故選：B
4．（2013下·山西晉中·高一統考期中）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】D
【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.
故選：A
5．（2022下·云南·高一統考期末）如圖，一個人騎自行車由A地出發到達B地，然后由B地出發到達C地，則這個人由A地到C地位移的結果為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意,
故這個人由A地到C地位移的結果為，
故選：C
6．（2023下·廣西·高一統考期末）在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】在矩形中，由，可得，
又因為，故，故．
故選：A.
7．（2023·高一課時練習）、為非零向量，且，則（ ）
A．與方向相同 B． C． D．與方向相反
【答案】D
【詳解】由向量模長的三角不等式可得，當且僅當、的方向相同時，等號成立，
因為，所以與方向相同，
故選：A．
8．（2023下·甘肅天水·高一天水市第二中學?？茧A段練習）在矩形中，設，，則的模為（ ）
A． B． C．12 D．6
【答案】D
【詳解】已知在矩形中，，，
因為，
根據勾股定理．，
所以的模為.
故選：A.
二、多選題
9．（2022下·高一單元測試）下列結論中正確的是（ ）
A．
B．對任一向量，
C．對于任意向量，
D．對于任意向量，
【答案】BC
【詳解】對A，，故A不正確；
對B，根據零向量的方向是不確定的，則其和任何向量共線B正確；
對C，根據向量加法交換律，C正確；
對D，時，，D不正確.
故選：BC.
10．（2022·高一課時練習）（多選）已知向量，那么下列命題中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【詳解】解：由向量的加法法則可得：，故正確，錯誤；
當點在線段上時，，否則,故錯誤，D正確．
故選：AD.
三、填空題
11．（2023下·上海浦東新·高一?？茧A段練習）化簡 .
【答案】
【詳解】.
故答案為：
12．（2023下·高一單元測試）若有以下命題：
①兩個相等向量的模相等； ②若和都是單位向量，則；
③相等的兩個向量一定是共線向量； ④，，則；
⑤零向量是唯一沒有方向的向量； ⑥兩個非零向量的和可以是零．
其中正確的命題序號是 ．
【答案】①③
【詳解】①長度相等，方向相同的向量為相等向量，故①正確；
②單位向量為長度為1的向量，方向不確定，故②錯誤；
③相等向量的方向相同，所以一定是共線向量，故③正確；
④若，則和不一定平行，故④錯誤；
⑤零向量的長度為0，方向為任意方向，即零向量有方向，故⑤錯誤；
⑥向量的和仍然是向量，不會是一個數，故⑥錯誤.
故答案為：①③.
13．（2021下·高一課時練習）已知，，，則等于 ．
【答案】
【詳解】如圖，由，∴四邊形OACB為菱形．
連接OC、AB，則，設垂足為D．
∵ ，，∴在中， ．
∴
故答案為：
14．（2017上·山東濟南·高三濟南外國語學校階段練習）如圖，在菱形ABCD中，，，則 ．
【答案】
【詳解】如圖所示，設菱形對角線交點為O,．
因為，所以，
所以為等邊三角形．
又，，
所以．
在中，，
所以．
故答案為:
四、解答題
15．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【答案】分析答案見解析，OA受力最大
【詳解】設OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為，，，則.
因為，的合力為，所以.
如圖在平行四邊形中，

因為，，
所以，，即，.
故細繩OA受力最大.
16．（2022·高一課前預習）如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）；
（2）.
B能力提升
1．（2022下·高一課前預習）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.
(1)化簡；
(2)化簡；
(3)化簡；
(4)求向量的模.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【詳解】（1）解：根據向量的平行四邊形法則得；
（2）解：根據題意，，所以；
（3）解：因為，所以；
（4）解：因為，所以，
所以
2．（2020·高一課時練習）如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)，，
【詳解】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：
（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：
（3）由是單位向量可知，根據作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共線向量的加法運算可知；
利用圖示的向量和勾股定理可知，.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 6.2.1向量的加法運算
課程標準 學習目標
①理解并掌握向量加法的概念。 ②掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算。 ③了解向量加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性。 1通過閱讀課本在數量加法的基礎上，理解向量加法與數量加法的異同； 2.熟練運用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則在題目中靈活的作兩個向量的加法運算； 3.在認真學習的基礎上，深刻掌握兩個或者多個相連接加法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法運算律的合理性，把運算律的應用范圍進行拓廣；
知識點01：向量的加法
（1）向量加法的定義
求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規定.
（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）
已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
【即學即練1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】詳見解析
【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，
則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，
如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，
再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

（4）多個向量相加
已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量，這個法則叫做向量求和的多邊形法則。如圖.
知識點02：向量加法的運算律
（1）交換律
（2）結合律
題型01 求向量的和
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．
(1) (2) (3)
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，正六邊形中， .
【典例3】（2023下·山東濟寧·高一嘉祥縣第一中學校考階段練習）如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若圖表中小正方形邊長為1，求、．
【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習）填空：
（1） ；
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1) (2)
【變式3】（2022·高一課前預習）如圖，已知，求作.
(1)(2)
題型02 向量的加法運算
【典例1】（2022下·高一課時練習）如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2022·高一課時練習）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中結果為的是 .(填序號)
【變式1】（2022下·浙江·高一階段練習）如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則（ ）
A． B．0 C． D．
【變式2】（2022下·陜西寶雞·高一統考期中）向量化簡后等于（ ）
A． B． C． D．
題型03 向量加法的運用
【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北師范大學附屬實驗中學校考階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，，且，則 ．

【典例2】（2023下·河南鄭州·高一?？茧A段練習）若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023·高一單元測試）如圖，在中，D，E分別是AB，AC上的點，F為線段DE延長線上一點，，連接CD，那么 ； .
【變式2】（2022下·廣東湛江·高一?？茧A段練習）已知菱形的邊長為2，
(1)化簡向量；
(2)求向量的模.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023下·天津紅橋·高一統考期末）化簡：（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，（　 ?。?br/>
A． B． C． D．
3．（2023下·云南迪慶·高一統考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
4．（2013下·山西晉中·高一統考期中）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．（2022下·云南·高一統考期末）如圖，一個人騎自行車由A地出發到達B地，然后由B地出發到達C地，則這個人由A地到C地位移的結果為（ ）

A． B． C． D．
6．（2023下·廣西·高一統考期末）在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（2023·高一課時練習）、為非零向量，且，則（ ）
A．與方向相同 B． C． D．與方向相反
8．（2023下·甘肅天水·高一天水市第二中學?？茧A段練習）在矩形中，設，，則的模為（ ）
A． B． C．12 D．6
二、多選題
9．（2022下·高一單元測試）下列結論中正確的是（ ）
A．
B．對任一向量，
C．對于任意向量，
D．對于任意向量，
10．（2022·高一課時練習）（多選）已知向量，那么下列命題中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2023下·上海浦東新·高一校考階段練習）化簡 .
12．（2023下·高一單元測試）若有以下命題：
①兩個相等向量的模相等； ②若和都是單位向量，則；
③相等的兩個向量一定是共線向量； ④，，則；
⑤零向量是唯一沒有方向的向量； ⑥兩個非零向量的和可以是零．
其中正確的命題序號是 ．
1．（2022下·高一課前預習）如圖，為邊長為1的正六邊形，O為其幾何中心.
(1)化簡；
(2)化簡；
(3)化簡；
(4)求向量的模.
2．（2020·高一課時練習）如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
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